高楠

［摘? 要］ 設(shè)計(jì)高認(rèn)知的學(xué)習(xí)任務(wù)能促進(jìn)學(xué)生的高認(rèn)知發(fā)展，從真正意義上調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 文章以“反比例函數(shù)圖象的不變性”教學(xué)為例，從“回顧舊知，導(dǎo)入新課”“適當(dāng)留白，激發(fā)猜想”“鋪設(shè)臺(tái)階，激發(fā)探索欲”“循循善誘，慢中求穩(wěn)”“自主探究，鞏固提升”五個(gè)方面展開教學(xué)設(shè)計(jì)和研究，并針對(duì)教學(xué)活動(dòng)提出了一些教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 高認(rèn)知發(fā)展；反比例函數(shù)；本質(zhì)

教學(xué)活動(dòng)的開展應(yīng)基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平. 這就需要教師充分了解學(xué)情，設(shè)置高認(rèn)知的學(xué)習(xí)任務(wù)，以培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，激發(fā)學(xué)生的探究欲，樹立學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)等，從真正意義上實(shí)現(xiàn)“淡化形式，注重知識(shí)本質(zhì)”的教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

本文以“反比例函數(shù)圖象的不變性”教學(xué)為例，具體從以下幾個(gè)方面談?wù)劵诟哒J(rèn)知發(fā)展的教學(xué)實(shí)踐與思考.

教學(xué)分析

反比例函數(shù)是在研究函數(shù)概念與一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生所接觸到的新的函數(shù). 從設(shè)計(jì)思路的角度來看，反比例函數(shù)的圖象是分布在不同象限內(nèi)的雙曲線，x，y的取值范圍都有一定的局限性，且反比例函數(shù)圖象的增減性、連續(xù)性、對(duì)稱性以及漸進(jìn)特征都比一次函數(shù)復(fù)雜許多. 因此，基于一次函數(shù)研究反比例函數(shù)，學(xué)生很難從高認(rèn)知發(fā)展的角度掌握知識(shí)本質(zhì).

鑒于此，教師常會(huì)緊扣“y=k/x（k為常數(shù)，且k≠0），其中x，y的乘積為一個(gè)定值”這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，但雙曲線除了這一個(gè)特點(diǎn)，是否存在其他不變的關(guān)系呢？帶著這個(gè)疑問，筆者基于學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)了“探究反比例函數(shù)圖象的不變性”的一節(jié)課，以期揭示知識(shí)本質(zhì).

教學(xué)簡錄

1. 回顧舊知，導(dǎo)入新課

師：大家還記得什么樣的函數(shù)為反比例函數(shù)嗎？

生1：y=k/x（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)為反比例函數(shù).

師：很好！解析式y(tǒng)=k/x表達(dá)了x與y之間的反比例關(guān)系，我們還可以用什么式子表示這個(gè)關(guān)系？

生2：x·y=k（k為常數(shù)，且k≠0）.

師：也就是說不論x，y發(fā)生怎樣的變化，它們的乘積始終是一個(gè)常數(shù). 大家想一想，之前我們接觸到的幾何問題中，是否有用兩個(gè)量的乘積來描述的幾何模型？

生3：有，如矩形的面積、三角形的面積等都是用兩個(gè)量的乘積來描述的.

師（借助幾何畫板，操作演示）：大家一起來看，圖中點(diǎn)P（x，y）為反比例函數(shù)y=100/x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若過點(diǎn)P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，求四邊形MONP的圖形特征與面積.

生4：四邊形MONP為一個(gè)面積為100的矩形.

師：你是如何確定它的面積是100的？

生4：我是根據(jù)矩形的面積公式得S=PM·PN=|x||y|=|k|=100.

簡簡單單的舊知回顧，輕輕松松的交流，教師順利地引入了教學(xué)主題. 以上對(duì)話反映出反比例函數(shù)的代數(shù)特征，運(yùn)用幾何圖形進(jìn)行解釋，可以給學(xué)生帶來更多的信息與價(jià)值.

2. 適當(dāng)留白，激發(fā)猜想

師：我們所知道的雙曲線中，從雙曲線上一點(diǎn)，分別向x，y軸作垂線段，垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積不會(huì)發(fā)生變化，那么，是否還有其他不變的關(guān)系呢？

問題 如圖1所示，已知點(diǎn)P（x，y）為反比例函數(shù)y=100/x圖象外側(cè)的一點(diǎn)，若過點(diǎn)P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，并分別與雙曲線圖象在第一象限的一支交于點(diǎn)H，G，嘗試猜想直線GH和MN可能存在怎樣的特殊位置關(guān)系，并證明.

師生共同操作幾何畫板，如圖1所示，拖動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的位置發(fā)生變化時(shí)，直線GH的位置也隨之改變. （給學(xué)生充足的時(shí)間觀察與思考）

看著幾何畫板的變化，不少學(xué)生自主利用雙手在空中比畫，聯(lián)想直線GH和MN的位置關(guān)系. 大部分學(xué)生通過分析猜想出這兩條直線為互相平行的關(guān)系. 此時(shí)，教師作出直線MN.

設(shè)計(jì)意圖 “留白”是繪畫重要的手法之一，數(shù)學(xué)課堂中適當(dāng)留白，能為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的空間，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力、推理能力、空間觀念等有重要的促進(jìn)作用.

3. 鋪設(shè)臺(tái)階，激發(fā)探索欲

當(dāng)學(xué)生對(duì)GH∥MN的證明無從下手時(shí)，教師通過以下方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.

師：通過第一個(gè)探究活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)由拋物線上的一點(diǎn)向x（或y軸）作垂線段，拋物線上的這個(gè)點(diǎn)、坐標(biāo)原點(diǎn)及所作垂線段的垂足三點(diǎn)所圍成的直角三角形的面積恒定為|k|/2，現(xiàn)在我們一起來觀察圖2，看看△NGM和△NHM的面積是否相等.

生5：這兩個(gè)三角形的面積是相等的關(guān)系，因?yàn)椤鱊GM和△OGM是同底等高的，根據(jù)面積公式，它們的面積都是|k|/2. 同時(shí)可證，△NHM的面積也是|k|/2，因此△NGM和△NHM的面積是相等的.

師：非常好！這兩個(gè)三角形之間除了面積是相等的，還存在其他特殊關(guān)系嗎？

生6：這兩個(gè)三角形同底.

師：這個(gè)條件有什么作用呢？

（學(xué)生躍躍欲試，課堂達(dá)到了一個(gè)小高潮）

生7：這兩個(gè)三角形同底，面積也一樣，那么它們的高也是一樣的. 根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的條件，可確定四邊形BHGA為一個(gè)平行四邊形，由此可知MN∥GH.

評(píng)注 教師通過鋪設(shè)臺(tái)階，設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的問題吊足了學(xué)生的胃口，啟發(fā)了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生的探索欲.

4. 循循善誘，慢中求穩(wěn)

學(xué)生此時(shí)的探究熱情高漲，想要發(fā)表言論的學(xué)生很多，教師可在此時(shí)趁熱打鐵，提出高質(zhì)量的問題，引發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)學(xué)生高認(rèn)知發(fā)展.

師：若想判定兩條直線是否為平行的關(guān)系，還有其他方法嗎？

生（眾）：可以從內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等來證明兩條直線為平行的關(guān)系.

師：觀察圖2，你們認(rèn)為此題用什么來證明的可能性更大些？

生8：用同位角相等證明.

師：那么從什么角度來證明同位角相等呢？

生8：用全等三角形或相似三角形可證明同位角相等.

師：怎樣尋找全等三角形或相似三角形呢？

生8：圖2中找不到全等的關(guān)系，只能從相似的角度來探索，目前已經(jīng)知道一組直角對(duì)應(yīng)相等了……（該生邊說邊思考，此處停頓，教師沒有打斷他，其他學(xué)生也沉浸在思考中，兩分鐘后，該生肯定地提出意見）

生8：想要證明兩個(gè)三角形相似，這里找不到另一組角相等的關(guān)系，我們只能去尋找兩組邊分別成比例的條件了.

（教師給予肯定，點(diǎn)頭示意讓他繼續(xù)往下說，但該生欲言又止、猶猶豫豫）

師：現(xiàn)在我們都回到問題的原始條件來觀察、思考所有線段是如何構(gòu)造出來的.

生8：其實(shí)最初就是存在雙曲線圖象外側(cè)任意點(diǎn)P（x，y），大部分線段的形成都源自點(diǎn)P.

師：從題目出發(fā)，根據(jù)點(diǎn)P（x，y），我們要探索三角形與矩形的面積不變，其中PM與PN的長度該怎么表達(dá)？

生8：根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，那么點(diǎn)H，G的坐標(biāo)也很容易得到，如此就能用x，y來表示四條線段的長度了，只要知道線段的長度，自然能斷定它們是否成比例.

師：非常棒！現(xiàn)在我們一起來把這道題的解題過程梳理一下，哪位同學(xué)愿意來表述？我來板書.

設(shè)計(jì)意圖 想要證明MN∥GH，有兩種證明方法，即分別從幾何關(guān)系著手或代數(shù)運(yùn)算的角度分析. 本節(jié)課，關(guān)鍵在于緊扣圖形特征，從圖形關(guān)系與變化的角度進(jìn)行分析. 當(dāng)學(xué)生的思維卡殼時(shí)，教師并沒有著急點(diǎn)撥或換另一位學(xué)生表述，而是給予學(xué)生充足的時(shí)間去思考，通過循循善誘的方式啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在“慢教育”中實(shí)現(xiàn)思維的成長.

此過程中直線平行的實(shí)質(zhì)生成于坐標(biāo)系中的反比例函數(shù)的圖象，因?yàn)閱栴}的源頭為坐標(biāo)系，所以從解析式的角度解決問題也是自然而然的事情. 雖說初中幾何更偏重證明過程，對(duì)于計(jì)算的要求較少，但絕非不計(jì)算. 在學(xué)生的探索過程中增加一些代數(shù)手法，不僅能拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，還能為后續(xù)高中階段的解析幾何的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ).

5. 自主探究，鞏固提升

教師在幾何畫板上拖動(dòng)點(diǎn)P（如圖3所示），要求學(xué)生觀察并思考圖中還有什么沒有發(fā)生變化.

生9：拖動(dòng)點(diǎn)P后，△MGA≌△NBH.

師：哦？說說你的證明過程.

生9：借助生7所證明的MN∥GH，再加上AM∥HN，可確定四邊形MNHA是一個(gè)平行四邊形，因此MA=NH，同理可證GM=BN，根據(jù)“SAS”可確定△MGA≌△NBH.

師：很好！現(xiàn)在大家繼續(xù)觀察幾何畫板. （教師繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)P）線段AG與哪條線段始終相等？

生（眾）：AG與HB始終相等.

師：現(xiàn)在回過頭來想一想，本節(jié)課我們一共獲得了幾個(gè)不變的特性？

生10：3個(gè)，分別為面積不變、平行的關(guān)系沒有發(fā)生變化以及線段始終相等.

師：不錯(cuò)！大家觀察圖4，作一條直線與雙曲線位于第一象限的一支有兩個(gè)交點(diǎn)，那么我們所獲得的三個(gè)不變性是否依然存在呢？

基于以上探究活動(dòng)，學(xué)生快速尋找到了解決問題的辦法：如圖5所示作輔助線.

師：還可以從什么角度來嘗試？

生11：是不是可以從直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點(diǎn)的角度來思考？

師：哦？為你這個(gè)大膽的想法點(diǎn)贊. 請你來給大家說說這個(gè)想法.

生11到講臺(tái)上操作幾何畫板，拖動(dòng)AD，大家都用期待的目光看著幾何畫板，等待結(jié)果的出現(xiàn). 待操作完成，大家都被生11的想法所折服. 原來直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點(diǎn)時(shí)，那些不變的特性依然存在.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生開始在教師的引導(dǎo)與點(diǎn)撥下，由淺入深地進(jìn)入探究，隨著探究的深入，教師慢慢放手讓學(xué)生自主探究、交流與操作，整個(gè)課堂顯示出了濃郁的“探究味”與“求知欲”.

最后，師生一起回顧并梳理了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，并以思維導(dǎo)圖的方式將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容整理出來. 相信在今后很長一段時(shí)間內(nèi)，師生都會(huì)對(duì)本節(jié)課的教學(xué)津津樂道. 這種教學(xué)方法不僅體現(xiàn)了知識(shí)與技能的教學(xué)，更重要的是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的揭露與學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的高認(rèn)知發(fā)展具有重要的意義.

教學(xué)思考

縱觀課堂教學(xué)流程，沒有華麗的辭藻，也沒有令人耳目一新的情境，只憑借一個(gè)幾何畫板與教師極少的點(diǎn)撥就將知識(shí)的本質(zhì)完全暴露在學(xué)生面前，給人一種簡約卻又充滿內(nèi)涵之感，且學(xué)生的思維空間充裕，彰顯了基于“高認(rèn)知發(fā)展”的教學(xué)的優(yōu)勢.

1. 把握知識(shí)本質(zhì)

數(shù)學(xué)是反映事物間數(shù)量與空間關(guān)系的一門學(xué)科，其本質(zhì)是對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的思考、刻畫、描述、揭示等，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的在于發(fā)現(xiàn)事物中所蘊(yùn)含的數(shù)、形規(guī)律［1］. 本節(jié)課的教學(xué)核心是反比例函數(shù)在變化過程中哪些概念是恒定不變的，圍繞這個(gè)教學(xué)核心，能凸顯出反比例函數(shù)的本質(zhì).

教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)了三個(gè)不變的特性：首先從數(shù)量關(guān)系中探尋反比例函數(shù)的第一個(gè)不變的特性——兩變量的積不變；其次帶領(lǐng)學(xué)生從幾何圖形的角度，探索雙曲線的第二個(gè)不變的特性——矩形面積不發(fā)生變化；由此促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)：任意點(diǎn)P向兩坐標(biāo)軸作垂線段，“兩垂足所在直線”與“垂線段和雙曲線形成的兩交點(diǎn)所在的直線”間的位置關(guān)系恒定不變，即第三個(gè)不變的特性.

這三個(gè)不變的特性從數(shù)量關(guān)系著手，貫穿整節(jié)課，教師通過步步為營，讓學(xué)生體驗(yàn)了豐富的課堂所帶來的成就感，并在教師由淺入深的啟發(fā)下，開動(dòng)腦筋，使得課堂充滿“探究味”，知識(shí)的本質(zhì)也隨著學(xué)生的探究而水落石出.

2. 暴露思維過程

數(shù)學(xué)問題的解決一般都遵循著一定的規(guī)律，若能往問題的深層去挖掘，常能讓學(xué)生透過表面看到本質(zhì)，從而獲得一定的感悟與體會(huì). 本節(jié)課的成功之處在于充分展示了學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生從反比例函數(shù)的概念出發(fā)，剖析k值的意義，自然而然地過渡到更深層次的探究.

教學(xué)中，“我們所知道的雙曲線中，矩形與直角三角形的面積不會(huì)發(fā)生變化，是否還有其他不變的關(guān)系或量呢？”這個(gè)問題成功地激起了學(xué)生的探究熱情，學(xué)生通過猜想、驗(yàn)證等方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)量和位置關(guān)系中存在不變特性. 學(xué)生的思維在教師的循循善誘下充分暴露了出來，整個(gè)教學(xué)過程學(xué)生自主探索，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

3. 提煉數(shù)學(xué)思想方法

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中強(qiáng)有力的支柱，數(shù)學(xué)思想方法的形成源自知識(shí)，而知識(shí)中又隱藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，兩者為相輔相成的關(guān)系［2］. 本節(jié)課中，所有教學(xué)活動(dòng)的開展都緊扣“面積不變”的主題，有效地滲透了數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在教師循循善誘下感知解決問題的主要方法. 這種教學(xué)方法打破了常規(guī)例題教學(xué)的弊端，讓學(xué)生通過自主探究獲得了一定的解題能力.

總之，教師應(yīng)注重教學(xué)理念的更新，通過巧妙的設(shè)計(jì)將課堂還給學(xué)生，同時(shí)潛移默化地滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)化中理解知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)認(rèn)知的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊翠蓉，周成軍. 布魯納的“認(rèn)知發(fā)現(xiàn)說”與建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的比較研究［J］. 蘇州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（02）：27-31.

［2］ 鄭毓信. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.