楊清

【摘要】文章以“中心對稱圖形———平行四邊形”設(shè)計(jì)為例，利用多媒體信息技術(shù)，以“旋轉(zhuǎn)”為主線，從復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)入手，到旋轉(zhuǎn)特殊角180°，再到旋轉(zhuǎn)任意三角形、旋轉(zhuǎn)特殊（直角和等腰）三角形開展探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)課；旋轉(zhuǎn)；中心對稱；平行四邊形；素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】本文系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“中小學(xué)生課堂學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)評價(jià)模型的構(gòu)建與應(yīng)用研究”（項(xiàng)目編號(hào)：20YJC880134）研究成果.

“炒冷飯”式的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課只注重知識(shí)回顧和習(xí)題練習(xí)，這樣的復(fù)習(xí)課，學(xué)生只學(xué)會(huì)了知識(shí)而非素養(yǎng)養(yǎng)成.有效的復(fù)習(xí)課既能揭示知識(shí)間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，又能教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，還能發(fā)散數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于這些思考，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了一些嘗試.下面以“中心對稱圖形———平行四邊形”的教學(xué)為例，淺談?wù)挛矎?fù)習(xí)課應(yīng)該如何設(shè)計(jì)和實(shí)施才能從知識(shí)走向素養(yǎng).

一、研究教材，分析學(xué)情

“中心對稱圖形———平行四邊形”是蘇科版八年級(jí)下冊第九章內(nèi)容，涉及旋轉(zhuǎn)、中心對稱、平行四邊形和特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）性質(zhì)和判定，知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生容易混淆且不會(huì)靈活運(yùn)用.鑒于此前學(xué)生已學(xué)習(xí)了“圖形的平移”“軸對稱與軸對稱圖形”，初步積累了一定的圖形運(yùn)動(dòng)變化的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課利用多媒體信息技術(shù)，以“旋轉(zhuǎn)”為主線，從復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)入手，到旋轉(zhuǎn)特殊角180°，再到旋轉(zhuǎn)三角形、旋轉(zhuǎn)特殊的三角形來開展學(xué)習(xí)探究.

二、環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn)

環(huán)節(jié)一：探究活動(dòng)

活動(dòng)1 如圖1，將點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，有哪些不變的量？

教師使用幾何畫板演示“點(diǎn)A繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程”，讓學(xué)生回憶什么是旋轉(zhuǎn).有了動(dòng)圖的直觀演示，學(xué)生更易回憶出旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向.教師提問：在這個(gè)過程中有哪些不變的量？喚醒學(xué)生大腦中對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)認(rèn)識(shí)：OA=OA′，即對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

活動(dòng)2 如圖2，將線段AB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，有哪些等量關(guān)系？

教師使用幾何畫板演示“線段AB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程”，讓學(xué)生說一說在旋轉(zhuǎn)的過程中有哪些等量關(guān)系.通過觀察動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的過程，學(xué)生互相補(bǔ)充得到：OA=OA′，OB=OB′，AB=A′B′，∠AOA′=∠BOB′，即對應(yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等，它們都是旋轉(zhuǎn)角；△AOB≌△A′OB′，即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等.

教學(xué)說明：活動(dòng)2是活動(dòng)1的遞進(jìn).活動(dòng)1是通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)點(diǎn)幫助學(xué)生回顧“什么是旋轉(zhuǎn)”“旋轉(zhuǎn)的三要素”“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”，活動(dòng)2是通過旋轉(zhuǎn)一條線段幫助學(xué)生進(jìn)一步回顧旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

活動(dòng)3 如圖3，將△AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°.

幾何畫板演示“△AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°”的過程.

師：將△AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，△AOB與△A′OB′有什么關(guān)系？

生1：兩個(gè)三角形全等，AB∥A′B′.

生2：兩個(gè)三角形成中心對稱.

師：中心對稱有哪些性質(zhì)？

生：因?yàn)樾D(zhuǎn)，所以O(shè)A=OA′，OB=OB′，即對稱點(diǎn)連線經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分.

師：如圖3，幾何畫板連接AB′，A′B，構(gòu)成的四邊形AB′A′B是什么圖形？你能說明理由嗎？

生1：由旋轉(zhuǎn)得OA=OA′，OB=OB′，對角線互相平分，四邊形AB′A′B是平行四邊形.

生2：AB=A′B′，AB∥A′B′，一組對邊平行且相等，四邊形AB′A′B是平行四邊形.

生3：可以證明△AOB′≌△A′OB，AB′=A′B，AB=A′B′，兩組對邊相等，四邊形AB′A′B是平行四邊形.

生4：AB′∥A′B，AB∥A′B′，兩組對邊平行，四邊形AB′A′B是平行四邊形.

教師總結(jié)學(xué)生回答中的平行四邊形的判定方法，并提出問題“你還記得平行四邊形有哪些性質(zhì)嗎？”

教學(xué)說明：活動(dòng)3是活動(dòng)2的遞進(jìn).活動(dòng)3將△AOB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)特殊角180°，幫助學(xué)生回顧“什么是中心對稱”“中心對稱有哪些性質(zhì)”，讓學(xué)生經(jīng)歷研究數(shù)學(xué)問題“先猜想、再驗(yàn)證”的過程，進(jìn)而領(lǐng)悟解決數(shù)學(xué)問題的方法，提高解決問題的能力.在驗(yàn)證四邊形AB′A′B是平行四邊形的過程中，學(xué)生開動(dòng)腦筋，各抒己見，教師總結(jié)學(xué)生的各種方法，幫助學(xué)生成功回顧平行四邊形的判定方法：兩組對邊平行（定義）；兩組對邊相等；一組對邊平行且相等；對角線互相平分.教師順勢讓學(xué)生繼續(xù)說一說平行四邊形的性質(zhì)有哪些.有了活動(dòng)探究的鋪墊，學(xué)生可以很輕松地從邊、角、對角線三個(gè)角度說出平行四邊形的性質(zhì).

活動(dòng)4 如圖4，當(dāng)OA=OB，將等腰△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°.

師：將△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°之后，連接AB′，A′B，得到的是什么圖形？說明理由.

生1：由活動(dòng)3，得到四邊形AB′A′B是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形.

生2：∠OAB′=∠OB′A，∠OAB=∠OBA，∠B′AB=∠OAB′+∠OAB=90°，有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形.

生3：同樣的方法，可以得到∠B′AB=∠AB′A′=∠ABA′=90°，三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形.

教師總結(jié)學(xué)生回答中的矩形的判定方法，并提出問題“矩形有哪些性質(zhì)呢？”

教學(xué)說明：活動(dòng)4是活動(dòng)3的特殊情況，旋轉(zhuǎn)特殊的三角形（等腰三角形）180°.學(xué)生積極思考，教師給予適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生用矩形的判定方法證明猜測的結(jié)論，最后說出矩形的性質(zhì)有哪些.

活動(dòng)5 當(dāng)∠AOB=90°，將直角△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到的是什么圖形呢？

教學(xué)說明：活動(dòng)5是活動(dòng)3的特殊情形，旋轉(zhuǎn)特殊的三角形（直角三角形）180°.由活動(dòng)3的結(jié)論，學(xué)生可以得出這個(gè)四邊形是平行四邊形，利用問題中的條件，學(xué)生可以給出：AA′⊥BB′，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；通過全等或中垂線的性質(zhì)定理可得AB=A′B=A′B′=AB′，四條邊相等的平行四邊形是菱形；AB=A′B一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

活動(dòng)6 將怎樣的三角形按照這種方式旋轉(zhuǎn)可以得到正方形？說明理由.

教學(xué)說明：活動(dòng)4、活動(dòng)5分別通過旋轉(zhuǎn)等腰三角形、直角三角形研究了矩形、菱形，有了這種研究特殊平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)等腰直角三角形.學(xué)生各抒己見，說明所得圖形為什么是正方形，總結(jié)回憶正方形的判定方法：一組鄰邊相等且一個(gè)角為直角的平行四邊形（定義）；一個(gè)角為直角的菱形；一組鄰邊相等的矩形.正方形可看作由等腰直角三角形繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°形成，此時(shí)學(xué)生可以完整地描述出正方形的性質(zhì)：四邊相等、對邊平行；四個(gè)角為直角；對角線相等且互相垂直平分.

環(huán)節(jié)二：例題精選

例1 如圖5，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F，連接BF.

（1）求證：四邊形ADBF是平行四邊形.

（2）探究填空：

師：以后我們還會(huì)學(xué)習(xí)其他的中心對稱圖形，比如正六邊形、正八邊形、正十二邊形……當(dāng)正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，它的形狀無限地趨近一個(gè)圓.一個(gè)點(diǎn)繞著另一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)360°形成的軌跡就是我們今后要學(xué)習(xí)的圓（教師用圓規(guī)演示，畫一個(gè)圓）.

教學(xué)說明：展望未來的學(xué)習(xí)之路，為以后正多邊形、圓的教學(xué)內(nèi)容做鋪墊.教師提出“圓也是由旋轉(zhuǎn)得到的”，揭示了數(shù)學(xué)研究的重要方法———旋轉(zhuǎn)的重要性.

三、反思教學(xué)，提升素養(yǎng)

1.設(shè)置活動(dòng)串，引領(lǐng)學(xué)生有效思考.

復(fù)習(xí)課可以嘗試設(shè)置活動(dòng)串，環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn)，使課堂高效緊湊，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性.

2.復(fù)習(xí)課不是習(xí)題課，例題在精不在多.

例題應(yīng)選擇具有代表性的問題，最好能夠一題多解，在思考的過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力.

3.復(fù)習(xí)課應(yīng)實(shí)現(xiàn)從知識(shí)本位到素養(yǎng)本位.

復(fù)習(xí)課要以學(xué)生為主體，讓學(xué)生能自我探究，主動(dòng)揭示知識(shí)之間的聯(lián)系.課堂要沿“認(rèn)知線”梳理知識(shí)，把知識(shí)、方法、思想納入一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)，進(jìn)行整合融通.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鐘鳴，張泉.后建構(gòu)課堂的章尾復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)：以“中心對稱圖形：平行四邊形”為例[J].初中生世界，2021（16）：38-42.

[2]蔡立東.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》：注重核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)“三會(huì)”能力[J].招生考試通訊（中考版），2022（9）：15-18.

[3]陳榮，胡加玉.基于故事情境的數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)與實(shí)施[J].小學(xué)教學(xué)參考，2023（2）：30-33.

[4]李艷榮.思維導(dǎo)圖在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的合理應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（34）：29-31.