南京師范大學附屬中學新城初級中學(210019) 宋遠征

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1,在?ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M為BC的中點,點D在MC上,以點A為中心,將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE,連接BE,DE.

圖1

(1)比較∠BAE與∠CAD的大小; 用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(2)過點M作AB的垂線,交DE于點N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系,并證明.

2 解法分析

文獻[1]和[2]從不同的角度進行探究與思考,特別是運用同一法,將條件與結(jié)論互換,從結(jié)論出發(fā),倒推出垂直,再根據(jù)基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直”證明唯一性,轉(zhuǎn)換了思考的角度,拓寬了解決問題的空間.

圖形的平移變換改變的是線段的位置,不變的是特定的數(shù)量關(guān)系和特殊的位置關(guān)系,如果將ED平移到合適的位置,將問題進行合適的轉(zhuǎn)換,從將研究的重心從N點轉(zhuǎn)移到M點上,從而降低了研究的難度.從角平分線的角度出發(fā),引導學生嘗試構(gòu)造倍半角的模型,如圖2,延長EB到G使得BG=BD,連接DG,易知DG//AB,過N作NQ⊥MN交BC于P點,則NQ//AB,交EG于Q點,若EN=ND,可得Q是EG的中點且PM=BE=CD.但是這個思路是依據(jù)N為ED的中點倒推出來的,若根據(jù)Q為EG中點,連接QN,卻較難證明QN⊥EM,以及N為ED的中點,因此考慮從證明PM=BE來尋找突破.

圖2

3 解法探究

思路1將線段ED沿著NM方向平移到GH,如果N是ED的中點,則M點是GH的中點.

方法1如圖3,過E作EG⊥AB,垂足為G點,過D作DQ⊥AB,垂足為Q,過C作CH⊥DQ交QD的延長線于H點,連接MG、MH.下證G、M、H三點是共線的.由作圖易知AB//CH,所以∠3=∠2.由第(1)問可知∠1=∠2,所以∠1=∠3.又因為∠EGB=∠DHC=90?和BE=CD,可證?BEG?CDH(AAS),所以BG=CH,EG=DH.再由已知得BM=CM,結(jié)合∠3=∠2 和BG=CH可證?BGM?CHM(SAS),所以GM=HM,∠GMB=∠HMC,所以∠GMB+∠GMC=∠HMC+∠GMC=180?,則G、M、H三點共線.由EG⊥AB和MN⊥AB,可得EG//MN,又因為GM=HM,根據(jù)平行線分線段成比例可證EN=ND.

圖3

方法2運用同一法.如圖3,過E作EG⊥AB,垂足為G點,過D作DQ⊥AB,垂足為Q,過C作CH⊥DQ交QD的延長線于H點,連接GH,設(shè)BC和GH的交點為M′.

同解法1,可證明?BEG?CDH(AAS),所以BG=CH.由BG=CH,∠GMB=∠CMH,∠3=∠2,可證?BGM′?CHM′(AAS),可得BM′=CM′,即M′為BC的中點,因此M′與M重合.

剩下步驟同解法1.

反思將探究的目標通過圖形的變換轉(zhuǎn)換到合適的位置進一步的探討,降低分析的難度.在方法1 最后部分,幫助學生鞏固平行線分線段成比例定理在證明題中的運用.

思路2構(gòu)造“一線三等角”通過計算來證明線段長度相等.

方法3如圖4,過N點作NP⊥MN,交BC于P點,連接AN、AM.因為PN⊥MN,AB⊥MN,所以PN//AB,可知∠3=∠2.易知∠4=∠3=∠C,根據(jù)“一線三等角”易證?PND∽?CDA,則設(shè)AM=1,MD=a,MC=b,MP=x,則

圖4

因為AB=AC,M為BC的中點,所以AM⊥MC,即∠AMC=∠MPN=90?,又因為∠3=∠C,可證?MPN∽?ACM,則即所以PN=由知解得x=b?a,即PM=CD.由和PM=CD,知又因為∠3=∠4,得?AND∽?MNP,所以∠MNP=∠AND=90?.又因為AE=AD,根據(jù)“三線合一”得N為ED的中點.

方法4如圖5,過N點作NP⊥MN,交BC于P點,方法3 證明了PM=CD.在MN的延長線上截取NQ=NM,連接NQ、EQ.可知NP為MQ的垂直平分線,則PQ=PM,且∠QPN=∠MPN,易知∠QPM=∠EBM,所以EB//PQ,又因為EB=CD=PM,所以EB=PQ,即四邊形EBPQ為平行四邊形,則EQ=PB=MD,且EQ//PB.易證?EQN?DMN,則NE=ND.

圖5

方法5如圖2,過N點作NP⊥MN,交BC于P點,根據(jù)方法3 有PM=CD=EB.過D作DG//AB交EB的延長線于G點,延長NP與EG交于Q點.所以有∠G=∠1,∠3=∠2,則∠G=∠3,得BG=BD,同理可證BQ=BP,則QG=PD=BM.因為EQ=EB+BQ=PM+BP=BM,所以EQ=QG,根據(jù)平行線分線段成比例得EN=ND.

方法6如圖6,過N點作NP⊥MN,交BC于P點,過E作AB的平行線交CB的延長線于G點,由∠1=∠3,∠2=∠G,可證GB=BE,由方法3 知PM=CD=EB,因為BM=CM,則可證PD=GP,又因為PN//AB,利用平行線分線段成比例得ND=NE.

圖6

反思思路2 中的核心條件是PM=BE且PM⊥MN,要使得兩個條件同時滿足,通過作圖是無法直接實現(xiàn)的,因此需要借助計算的手段來進一步判斷,計算過程中借助“一線三等角”尋找相似,再通過比例關(guān)系的計算來證明PM=BE.

思路3如圖7,以M為原點建立平面直角坐標系,通過計算證明N為ED中點.

圖7

方法7設(shè)A(0,1),B(b,0),D(a,0),E(m,n),可求出DE所在直線的函數(shù)表達式為y=(m?a).同理可得kAB=因為AB⊥MN,則kMN=b,則MN所在直線的函數(shù)表達式為y=bx.聯(lián)立方程組可求出F點坐標為由EA=AD知m2+(n?1)2=12+a2,化簡得m2+n2=2n+a2,由EB=CD知(m?b)2+n2=12+(?b?a)2,化簡得m2+n2=2mb+2ab+a2.聯(lián)立上述兩個式子得n=(m+a)b,所以根據(jù)中點坐標公式,F點為ED的中點.

方法8運用同一法,取DE的中點N′,根據(jù)方法7 中的設(shè)法,則N′的坐標為,由方法6 知n=(m+a)b,kMN′=則kMN′kAB=所以MN′⊥AB,由于過M點有且只有一條直線與AB垂直,因此MN與MN′是重合的,即N與N′重合,N′為DE的中點.

反思一次函數(shù)中,斜率乘積為?1 的兩條直線互相垂直,對于初中階段的學生來說可以借助“一線三垂直”構(gòu)造相似,運用代數(shù)推理進行證明,因此這個結(jié)論對于學有余力的學生來說并不難理解,建立直角坐標系,運用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的好處就是盡可能的不用輔助線,可以作為拓展學生思維的一種方法.

4 解后反思

4.1 整理基本構(gòu)圖方法,總結(jié)圖形結(jié)構(gòu)特征

對學生來說,復雜的幾何圖形往往讓他們無法快速找到解題思路,引導和鼓勵學生整理常見的構(gòu)圖方法,總結(jié)圖形的結(jié)構(gòu)特征,能夠有效地促進學生探索解決問題的方向.特別是通過構(gòu)造“一線三等角”模型,運用計算來證明線段相等的方法,在以往的練習中,與學生討論過這樣的一道習題:

如圖8,在正方形ABCD中,M是BC邊上任意一點,P是BC延長線上一點,N是∠DCP平分線上一點,若∠AMN=90?,求證:AM=MN.

圖8

批改學生的作業(yè)發(fā)現(xiàn),絕大部分學生首先想到的是作NG⊥BP構(gòu)造“一線三垂直”,在證明?ABM和?MNG全等時,沒有對應的邊相等,好像這條路被堵住了,但是在構(gòu)圖的過程中發(fā)現(xiàn),如果M點位置確定,N點的位置是唯一確定的,其中一定隱藏著線段之間的數(shù)量關(guān)系,反過來倒推條件,我們要證明的結(jié)論AM=MN一定是成立的,必有?ABM?MGN,便有BC=MG,即BM=CG=NG,借助“一線三等角”得?ABM∽?MGN,則有設(shè)AB=1,BM=x,MC=1?x,CG=GN=a,即解得x=a,即BM=CG.我們將這個例子中學習的經(jīng)驗,運用到了本題中的思路2 中,證得MP=CD后,根據(jù)“三線合一”、“角平分線+等腰+平行”或者“倍半角”等基本的構(gòu)圖方法,尋找解題的突破口.

4.2 加強運算能力訓練,在試錯中勇敢前行

在運用數(shù)形結(jié)合的方法時,與學生一起討論的過程中,一開始的各種嘗試并不是很順利,需要引入字母參數(shù)來表示點的坐標或者直線的函數(shù)表達式,如果設(shè)的字母個數(shù)較少或者較多,對于某些線段或者點坐標的代數(shù)表達式就會非常的復雜,對后續(xù)的計算產(chǎn)生心理上障礙,例如只設(shè)兩個參數(shù)表示出C、D點的坐標,利用∠ABC的三角函數(shù)值構(gòu)造二倍角的圖形結(jié)構(gòu)求出∠EBC的三角函數(shù)值,從而表示E點的坐標,但是由于數(shù)據(jù)過于復雜,后續(xù)的運算則無法進行下去.關(guān)于運算素養(yǎng)的培養(yǎng),不僅僅是為了追求計算的結(jié)果,更重要的是面對綜合性較強的問題上,需要總結(jié)如何將復雜的運算變得簡便、高效.對于思路4,合理的設(shè)置了4 個參數(shù),避免不必要的計算過程,只需要恰當?shù)谋硎境鲫P(guān)鍵的條件EA=AD且EB=CD,通過消去高次元的方式得到4 個參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,就運用代數(shù)推理推導出中點表達式或者計算k值乘積為?1.

解題的過程就是一種歷練,特別是面對復雜的代數(shù)式計算時,不僅是考察學生的運算素養(yǎng),更是心理素質(zhì)的訓練,面對錯誤也不放棄嘗試,勇敢前行,在成功解決問題的過程中感受數(shù)學解題帶來的成就感.