浙江省諸暨市諸暨中學(xué)(311800) 閆二路

浙江省諸暨市草塔中學(xué)(330681) 何百惠

1 解題教學(xué)背景

波利亞[1]的《怎樣解題》,對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)觸動(dòng)很大,激起了我國(guó)學(xué)者和教師深入地研究數(shù)學(xué)教學(xué),特別是數(shù)學(xué)解題教學(xué).羅增儒[2]教授的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》掀起了中國(guó)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新篇章.張景中[3],[4]院士提出數(shù)學(xué)解題教學(xué)要講求循序漸進(jìn)、有章可循的解題通法,落實(shí)的關(guān)鍵是反思、總結(jié)、提煉.

孫維剛[5]老師提出:“一題多解,多解歸一,多題歸一”是非常精彩的、經(jīng)典的論述.一題多解講的是發(fā)散思維,而多解歸一、多題歸一,則是總結(jié)、提煉,是收斂思維,兩者實(shí)現(xiàn)辯證統(tǒng)一.應(yīng)該說(shuō),孫老師在解題教學(xué)時(shí),是教規(guī)律,教方法,教應(yīng)變特點(diǎn).

顧泠沅[6]教授主持的青浦實(shí)驗(yàn),最早提出了數(shù)學(xué)變式教學(xué)的概念.在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中,又稱(chēng)變式練習(xí),張奠宙[7]教授評(píng)價(jià)道,變式練習(xí)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)創(chuàng)造.通過(guò)變式練習(xí),教師為學(xué)生的思維發(fā)展提供了一個(gè)個(gè)階梯,循序漸進(jìn)但螺旋上升,有利于學(xué)生構(gòu)建完備、系統(tǒng)的新知識(shí).

傅學(xué)順[8]教授說(shuō):優(yōu)秀生從不就事論事,決不放過(guò)解題過(guò)程中的任何“副產(chǎn)品”.因此為了去開(kāi)發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,教師應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生去尋找解題思路,并嘗試進(jìn)行一題多解等,這是解題教學(xué)的“前半程”,還要能培養(yǎng)學(xué)生在解題之后進(jìn)行反思,反思中收獲一些新的成果,如:會(huì)質(zhì)疑解法;會(huì)優(yōu)化解題過(guò)程;會(huì)提岀、推廣、拓展問(wèn)題;會(huì)多解歸一,多題歸一;會(huì)歸納解法,建立求解模型;會(huì)提煉命題等,這是解題教學(xué)的“后半程”.

作為一名優(yōu)秀的教師,解題教學(xué)一定要讓學(xué)生理解解題背后的“秘訣”,即啟發(fā)思考、學(xué)會(huì)思維.筆者在長(zhǎng)期對(duì)數(shù)學(xué)解題理論深入學(xué)習(xí)的過(guò)程中,在對(duì)解題教學(xué)的探索與實(shí)踐中,認(rèn)識(shí)到一套可以系統(tǒng)的培養(yǎng)學(xué)生解題能力的經(jīng)驗(yàn)——解題教學(xué)模式,與同行們一起分享.

2 解題教學(xué)模式

2.1 解題教學(xué)模型

圖1

2.2 解題教學(xué)模型注釋

下面對(duì)模型中的(1)-(5)進(jìn)行解釋:

(1)問(wèn)題與驅(qū)動(dòng):設(shè)計(jì)“提出問(wèn)題——解決問(wèn)題”的教學(xué)鏈,讓學(xué)生以問(wèn)題鏈為紐帶啟發(fā)解題.在問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)設(shè)計(jì)能夠多維度思考且具有啟發(fā)性的問(wèn)題,以此誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力,并引導(dǎo)學(xué)生在探究與討論中嘗試解決問(wèn)題,促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

(2)情感與思維:解題教學(xué)要貫穿“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的主線,通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng),激發(fā)學(xué)生行為參與、思維參與和情感參與,強(qiáng)化學(xué)生的解題理解和解題體驗(yàn),以此進(jìn)一步增強(qiáng)解題自信.

(3)本質(zhì)與遷移:解題教學(xué)的最終指向是尋找問(wèn)題的本質(zhì),并遷移運(yùn)用到一類(lèi)問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生理解解題方法背后的思維邏輯和問(wèn)題本質(zhì),以解題為載體回歸數(shù)學(xué)的核心概念與原理.

(4)反思與發(fā)展:解題教學(xué)要能呈現(xiàn)教師和學(xué)生的思維過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題之后的反思、總結(jié)、歸納、推廣、提煉等重要環(huán)節(jié),最終體現(xiàn)學(xué)生對(duì)解題的情感發(fā)展與思維發(fā)展.

(5)內(nèi)化與升華:解題教學(xué)的終極目標(biāo)“解題思維的內(nèi)化與數(shù)學(xué)思想的升華”,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的解題實(shí)踐與積累,實(shí)現(xiàn)對(duì)解題從“知其然”到“知其所以然”,再到“知何由以知其所以然”,最終潛移默化的呈現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

3 解題教學(xué)模式案例

下面我們以這樣一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題為例,呈現(xiàn)本人設(shè)計(jì)的一個(gè)解題教學(xué)模式.

問(wèn)題引入:

(1)嘗試作出y=在(0,+∞)上的圖象(或利用數(shù)學(xué)工具輔助作圖);

(2)若不等式ax?ln(x+1)>0 對(duì)任意x ∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若不等式ax?ln(x+1)>0 對(duì)任意x ∈(?1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

請(qǐng)同學(xué)們思考一下上述問(wèn)題,分組討論并完成.

小組1我們通過(guò)Geogebra 得到該函數(shù)的圖象,我們發(fā)現(xiàn)下列性質(zhì):①函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,值域?yàn)?0,1);②x趨近于0 時(shí),y趨近于1,且y取不到1;③x趨近于無(wú)窮時(shí),y趨近于0,即x軸是其漸近線.

老師小組1 非常棒! 通過(guò)我們熟悉的數(shù)學(xué)工具畫(huà)出了函數(shù)圖象,并通過(guò)圖象直觀總結(jié)了這三條重要性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性.利用小組的成果,同學(xué)們繼續(xù)回答(2),(3)兩個(gè)問(wèn)題.

小組2對(duì)于問(wèn)題(2)通過(guò)分離參數(shù)得,a >對(duì)任意x ∈(0,+∞)恒成立,由y=在(0,+∞)上的圖象可知,a≥1.同樣的,我們可得到y(tǒng)=在(?1,0) 上的圖象,可知y在(?1,0) 上單調(diào)遞減,又由a <對(duì)任意x ∈(?1,0)恒成立,所以可得a≤1,所以得到問(wèn)題(3)中a的取值范圍為:{1}.

老師小組2 求解得非常完美,考慮得也非常全面,說(shuō)明同學(xué)們的基礎(chǔ)還是比較扎實(shí)的.我們繼續(xù)深入研究該問(wèn)題,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)解決(2),(3)的關(guān)鍵是端點(diǎn)“x=0”,下面我們一起來(lái)探究該類(lèi)問(wèn)題的求解策略.

分析上述引入體現(xiàn)了模型中問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下“啟發(fā)——解題”的起始環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)聯(lián)系學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),并以“鋪墊”的形式展開(kāi),啟發(fā)學(xué)生思考、探究,以此激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入更深入的解題教學(xué)環(huán)節(jié).

通過(guò)上面問(wèn)題引領(lǐng),我們激發(fā)了學(xué)生解題的情感參與和思維參與,初步增強(qiáng)了學(xué)生的解題體驗(yàn)與解題自信,下面我們?cè)偕钊氲娜デ蠼庠擃?lèi)問(wèn)題,挖掘其蘊(yùn)含的本質(zhì)及思想方法.

問(wèn)題已知(ex?1)ln(x+1)≥ax2對(duì)任意x ∈(0,∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.1 求解問(wèn)題,尋法問(wèn)題

老師同學(xué)們,結(jié)合上述引例,你們會(huì)從哪些角度去解題? 請(qǐng)思考八分鐘,八分鐘后,小組代表分別匯報(bào)你們組的解題思路及解題進(jìn)展.

小組3我們組選擇了從分離參數(shù)的角度得到,a≤對(duì)x ∈(0,+∞) 恒成立,令h(x)=,x ∈(0,+∞),可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x) 在(0,+∞)上的最小值(或下確界),但是我們?cè)谇蠼鈎(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性上都不約而同的遇到了困難,還需要更多時(shí)間去繼續(xù)解答.

老師小組3 的思路是非常清晰的,這也是我們大部分同學(xué)的習(xí)慣解法(我想還有一部分同學(xué)也是這種思路,是不是也遇到了同樣的困難? ) ,我們發(fā)現(xiàn)了函數(shù)h(x)的分式結(jié)構(gòu)中包含了我們學(xué)過(guò)的三種初等函數(shù)形式:冪函數(shù):x2,指數(shù)函數(shù):ex,對(duì)數(shù)函數(shù):ln(x+1),因此我們?cè)谘芯縣(x) 在(0,+∞)上的單調(diào)性肯定會(huì)遇到一些困難(這里面需要用到一些放縮思想,同學(xué)們課下繼續(xù)思考),既然我們遇到了這么大的阻礙,我們能否繞過(guò)呢?

小組1我們組在引例的啟發(fā)下,運(yùn)用“極限探路”的思想,先分析,再論證.

當(dāng)x趨于0 時(shí),ex?1 趨于0,ln(x+1) 趨于x,即得當(dāng)x趨于0 時(shí),(ex?1)ln(x+1) 趨于x2,當(dāng)x趨于無(wú)窮時(shí),a可取任意值,故猜測(cè)必須有a≤1.下面只需證:F(x)=(ex?1)ln(x+1)?x2≥0 對(duì)x ∈(0,+∞)恒成立即可.

老師小組1 很好的運(yùn)用了引例,想法也非常超前,以此體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程:分析——猜測(cè)——論證,這種思想方法是值得提倡,更值得欣賞!

小組4在含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中,不論參數(shù)能不能分離,我們都可以從“函數(shù)”思想求解——通性通法.令h(x)=(ex?1)ln(1+x)?ax2,x ∈(0,+∞),則有h′(x)=我們可證:exln(1+x)?>0 對(duì)x ∈(0,+∞)恒成立,所以h′′(x)>?2a,x ∈(0,+∞),令?(x)=?2a,x ∈(0,+∞),則?′(x)=>0對(duì)x ∈(0,+∞) 恒成立,所以?(x) 在(0,+∞) 上遞增,且?(0)=2?2a,下面從分類(lèi)討論的思路分析論證即可.

老師非常棒! 小組4 總結(jié)了對(duì)于含參函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的“通性通法”解答,體現(xiàn)了同學(xué)們?cè)鷮?shí)的基本功和思維縝密的推理能力,對(duì)于一般解法中蘊(yùn)含的分類(lèi)討論和層層遞進(jìn)的分析思想是我們今后的解題保證! 希望同學(xué)們以后在解題中多多重視.那么,剩下的小組還有更好的解法嗎? 繼續(xù)和同學(xué)們分享一下.

小組5發(fā)現(xiàn)分離后的函數(shù)具有內(nèi)在的“同構(gòu)性”,我們可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:令?(x)=,x ∈(0,+∞),那么接下來(lái)我們只需要研究函數(shù)?(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性即可.

老師小組5 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化的非常巧妙,將問(wèn)題大大的簡(jiǎn)潔化,體現(xiàn)了同學(xué)們無(wú)限的創(chuàng)造性,同時(shí)也體現(xiàn)了問(wèn)題的優(yōu)化來(lái)源于思維的靈活性與廣闊性,這恰恰表明解題過(guò)程能夠開(kāi)發(fā)我們的大腦,即思考可以創(chuàng)造奇跡!

分析上面過(guò)程體現(xiàn)了模型中“解題——?jiǎng)?chuàng)造”的環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)充斥著學(xué)生們思維與情感的高度參與,同時(shí)貫穿“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的解題教學(xué)主線,為學(xué)生提供了廣闊的表現(xiàn)平臺(tái)及思維開(kāi)發(fā)的無(wú)限空間.

3.2 深挖問(wèn)題,歸類(lèi)問(wèn)題

老師同學(xué)們,通過(guò)你們的多角度解答,你們發(fā)現(xiàn)了什么? 該問(wèn)題解題關(guān)鍵是什么? 命題者考查的方向是什么? 它能反映一類(lèi)問(wèn)題嗎? 你們能?chē)L試描述這類(lèi)問(wèn)題的特征嗎?

學(xué)生1這是“端點(diǎn)效應(yīng)”問(wèn)題,處理關(guān)鍵是“端點(diǎn)”處的極限.

學(xué)生2命題者從高等角度命題,考查學(xué)生從初等知識(shí)解答的能力.

學(xué)生3這類(lèi)問(wèn)題的特征是存在無(wú)定義的點(diǎn),在該點(diǎn)處有極限.

老師通過(guò)同學(xué)們的回答我們來(lái)給出下面一類(lèi)問(wèn)題:

已知f(x)≥ag(x)對(duì)任意x ∈(x0,+∞)恒成立,不妨設(shè)g(x)恒正,滿(mǎn)足:

1.f(x0)=g(x0)=0(或∞);2.=A(A為常數(shù));

令h(x)=且A是h(x)的下確界,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

我們可建立該類(lèi)問(wèn)題的求解思路:

第一步:函數(shù)在某點(diǎn)x0處無(wú)定義;

第二步:利用極限思想探尋思路;

第三步:回歸高中知識(shí)進(jìn)行分析論證;

第四步:檢驗(yàn)與完善過(guò)程,反思與總結(jié)問(wèn)題.

3.3 拓展問(wèn)題,完備問(wèn)題

變式1將問(wèn)題中的條件“x ∈(0,+∞)”改為“x ∈(?1,0)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2已知(ex?1)ln(x+1)≥ax2對(duì)任意a ∈(?∞,1]恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

推論已知不等式(ex?1)ln(x+1)≥ax2對(duì)任意x ∈(c,d)?(?1,∞),c≤0,d>0 恒成立,則a ∈(?∞,1].

老師同學(xué)們,請(qǐng)根據(jù)自己的解答,繼續(xù)去求解上面問(wèn)題,你們的解題過(guò)程需要哪些改變? 問(wèn)題的本質(zhì)有沒(méi)有發(fā)生變化?

老師通過(guò)同學(xué)們的解答,我們發(fā)現(xiàn),這三個(gè)問(wèn)題只是將問(wèn)題一般化、完備化,本質(zhì)不變.

分析上面過(guò)程體現(xiàn)了模型中“創(chuàng)造——實(shí)踐”的環(huán)節(jié),解題教學(xué)要能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì),遷移運(yùn)用.

3.4 反思問(wèn)題,實(shí)踐問(wèn)題

老師通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們課下去完成下列任務(wù),并在下節(jié)課將詳細(xì)步驟展示給同學(xué)們.

1.繼續(xù)完成課上問(wèn)題的后續(xù)解答,并完成變式1、變式2及推論的證明;

2.已知函數(shù)f(x)=(+a)lnx,a ∈R.

(I)當(dāng)a=1 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,對(duì)任意實(shí)數(shù)x ∈A,都存在實(shí)數(shù)t ∈[1,+∞),使得f(x)=t成立,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

分析上面過(guò)程體現(xiàn)了模型中“實(shí)踐——解題”的環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題之后的深度反思、總結(jié)、歸納、推廣、提煉等重要環(huán)節(jié),最終體現(xiàn)學(xué)生對(duì)解題的情感發(fā)展與思維發(fā)展.

3.5 思維內(nèi)化,思想升華

解題教學(xué)的終極目標(biāo)“解題思維的內(nèi)化與數(shù)學(xué)思想的升華”,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的解題實(shí)踐與積累,實(shí)現(xiàn)對(duì)解題從“知其然”到“知其所以然”,再到“知何由以知其所以然”,最終潛移默化的呈現(xiàn)解題核心素養(yǎng)的提升.

4 解題教學(xué)模式結(jié)語(yǔ)

作為一名優(yōu)秀的教學(xué)者,一個(gè)完整的解題教學(xué)過(guò)程,應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):

(1)題不在多但求精彩,體現(xiàn)發(fā)散性與收斂性相結(jié)合;

(2)既要給學(xué)生充足的思考與表達(dá)時(shí)間,又要呈現(xiàn)高效的課堂,體現(xiàn)主體性與主導(dǎo)性相結(jié)合;

(3)既要有猜想,又要有論證,體現(xiàn)啟發(fā)性與嚴(yán)謹(jǐn)性相結(jié)合;

(4)鼓勵(lì)學(xué)生提出、質(zhì)疑、創(chuàng)新、完備問(wèn)題,體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)與探究相結(jié)合;

(5)要站得高、看得遠(yuǎn),揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的個(gè)性與魅力;

(6)既講清問(wèn)題本身,又激發(fā)思維,培養(yǎng)學(xué)生內(nèi)在的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在普通高中新課標(biāo)指導(dǎo)下,為培養(yǎng)“科學(xué)精神與創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”這一宗旨,為實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[9]”這一目標(biāo).在高中解題教學(xué)中,我們要重視數(shù)學(xué)解題模式教學(xué),在模式下培養(yǎng)學(xué)生的解題思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).