□云南省昆明市尋甸縣第一中學(xué) 馬順秋

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，這一目標(biāo)的實現(xiàn)離不開引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角獨立提出問題并解決問題的學(xué)習(xí)行為。然而，在教學(xué)實踐中，傳統(tǒng)課堂教學(xué)方式仍是主流教學(xué)方式，以教師講授與發(fā)問為主，學(xué)生缺少獨立提問并解決問題的機(jī)會。針對新課標(biāo)要求與傳統(tǒng)課堂教學(xué)現(xiàn)狀的矛盾，本文從高中課堂有效提問的理論基礎(chǔ)和課堂實踐兩方面探討了改善傳統(tǒng)課堂教學(xué)方式的可能性，并以正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計為依托，在傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)形式下，探索如何促進(jìn)學(xué)生有效提問并解決問題的教學(xué)策略。

一、問題提出

新課標(biāo)的核心要求與傳統(tǒng)課堂教學(xué)有著較大不同?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機(jī)的整體?！备鶕?jù)新課標(biāo)的精神，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的，是一種漸進(jìn)式、發(fā)展式的培養(yǎng)過程。在這個培養(yǎng)過程中，教師需要重視對學(xué)生思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)。

（一）核心素養(yǎng)培養(yǎng)過程與傳統(tǒng)教學(xué)目標(biāo)有著較大差異

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師更為重視知識點的傳遞和應(yīng)用知識的基本能力，重點在于知識的積累。相對于新課標(biāo)的要求，這樣的教學(xué)過程難以突出思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀等基本特征。

（二）新課標(biāo)對教育教學(xué)提出高要求

新課標(biāo)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的闡述也對傳統(tǒng)課堂教學(xué)提出了更高的要求，既反映了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)培養(yǎng)部分——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀形象及數(shù)學(xué)運算，又突出了大數(shù)據(jù)時代對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新要求，即強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的核心地位。傳統(tǒng)課堂教學(xué)的內(nèi)容和組織形式更適合于培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀形象及數(shù)學(xué)運算方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。但是，此類教學(xué)內(nèi)容和組織形式往往難以滿足對學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求。鑒于此，教師有必要從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)形式等方面思考如何創(chuàng)新、優(yōu)化傳統(tǒng)課堂教學(xué)，以滿足新課標(biāo)的要求。

（三）高要求和高挑戰(zhàn)下的有效提問教學(xué)

面對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)對傳統(tǒng)課堂教學(xué)的提出的要求，教師需要思考高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效提問這個關(guān)鍵教學(xué)環(huán)節(jié)。新課標(biāo)提出將“培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題”作為重要的課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。由此可見，在課堂教學(xué)中進(jìn)一步突出高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效提問的重要地位，是優(yōu)化傳統(tǒng)課堂教學(xué)的重要抓手。

（四）正態(tài)分布教學(xué)下的有效提問

正態(tài)分布課堂教學(xué)能夠更為全面地覆蓋高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)。正態(tài)分布模型是從大量觀測數(shù)據(jù)中總結(jié)而成的一種經(jīng)典分布模型，容易和實際問題相結(jié)合，便于設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生思考。從實際數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，這正是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的基本要求。針對正態(tài)分布模型性質(zhì)的研究則可以促進(jìn)學(xué)生從形象思維向邏輯思維轉(zhuǎn)變，即以直觀想象為基礎(chǔ)，自覺地利用邏輯思維和數(shù)學(xué)運算能力去加工、組織研究對象的抽象數(shù)學(xué)性質(zhì)。在這一過程中，教師適時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)問，能夠進(jìn)一步提升學(xué)生在邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算方面等核心素養(yǎng)。在此基礎(chǔ)上，教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生將正態(tài)分布模型應(yīng)用于不同實際場景，以數(shù)學(xué)模型的經(jīng)典性質(zhì)來分析或預(yù)測實際問題的發(fā)生或發(fā)展情況。這樣既可以加深學(xué)生對正態(tài)分布概念及其性質(zhì)的記憶和理解，又可以在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)原理解決實際問題的基本能力。因此，針對傳統(tǒng)課堂教學(xué)在培養(yǎng)形式性核心素養(yǎng)方面的不足，教師可以嘗試以正態(tài)分布教學(xué)為例，討論在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中如何通過課堂教學(xué)中的有效提問來完善高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程。

二、有效提問的理論基礎(chǔ)

（一）認(rèn)知理論

提出問題是一項復(fù)雜而重要的認(rèn)知活動，是培養(yǎng)學(xué)生探索精神、創(chuàng)新能力的重要途徑。在課堂教學(xué)實踐中，學(xué)生往往可以跟隨教師的問題進(jìn)行思考和學(xué)習(xí)，但是部分學(xué)生難以自主發(fā)問或質(zhì)疑。

從認(rèn)知活動的角度分析，這反映了傳統(tǒng)課堂教學(xué)實質(zhì)上是以教師的思考替代學(xué)生的思考。教師在備課階段，通過對教學(xué)內(nèi)容的巧妙編排，適時設(shè)置問題等技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生在預(yù)定的思路下進(jìn)行思考和學(xué)習(xí)活動。這樣的教學(xué)準(zhǔn)備既可以使整個教學(xué)進(jìn)程平順精當(dāng)，也可以使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)階段易于接受教師的思路，進(jìn)而易于接受新知識。然而，越精巧的內(nèi)容安排和問題設(shè)置，就越限制學(xué)生主動思考的自由，忽視了對學(xué)生探索精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此，在教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)當(dāng)在精心設(shè)計的基礎(chǔ)上，適當(dāng)留出學(xué)生主動思考和質(zhì)疑的空間，從而為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做好準(zhǔn)備。

同時，有效的課堂提問是對教師基于教材內(nèi)容組織課堂教學(xué)的新挑戰(zhàn)。在構(gòu)建有效課堂提問的過程中，教師既要提升自己進(jìn)行有效提問的能力，還要具備預(yù)測學(xué)生可能提問的能力。這不僅要求教師對教學(xué)內(nèi)容有十分深刻的理解，還要求教師具備與之相關(guān)的拓展知識，如對相關(guān)的數(shù)學(xué)史、相關(guān)的應(yīng)用領(lǐng)域等具有較為全面的了解?；趯I(yè)知識的深刻理解和相關(guān)應(yīng)用的全面了解，教師才能結(jié)合自身的知識體系結(jié)構(gòu)提出有效而精彩的問題。同時，結(jié)合班級學(xué)情，以學(xué)生的視角和知識結(jié)構(gòu)去預(yù)測可能的學(xué)生提問。這樣的課程準(zhǔn)備和教學(xué)設(shè)計，實質(zhì)上已經(jīng)超越了傳統(tǒng)課堂教學(xué)的基本要求，無疑是對新時代教師教學(xué)能力的巨大挑戰(zhàn)。

（二）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論

開展有效的課堂提問需要教師改變教學(xué)觀念，突出學(xué)生的主體地位。傳統(tǒng)課堂教學(xué)的典型特征是以教師為中心，教師主導(dǎo)著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。然而，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，有意義的學(xué)習(xí)是基于學(xué)習(xí)者自身特定的生活經(jīng)歷和特有的知識結(jié)構(gòu)的。由此不難發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)教學(xué)過程中，教師不自覺地以自己的生活經(jīng)歷和知識結(jié)構(gòu)替代學(xué)生的生活經(jīng)歷和知識結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象比較普遍。因為學(xué)生的生活經(jīng)歷和知識結(jié)構(gòu)往往不如教師的全面，這種替換成為學(xué)生發(fā)問的障礙。

為避免這一問題，教師可以適時適度地從課堂主導(dǎo)者的身份轉(zhuǎn)變?yōu)閱栴}制造者的身份。在課堂教學(xué)過程中，為學(xué)生準(zhǔn)備足夠的素材，讓學(xué)生從自身的生活經(jīng)歷和知識結(jié)構(gòu)出發(fā)去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。在這樣的教學(xué)過程中，教師應(yīng)專注于如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題，而不是代替學(xué)生發(fā)問或解決問題。

（三）師生互動理論

有效的課堂提問是師生互動的結(jié)果，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效手段。師生互動理論即在教學(xué)活動中，師生在能互相理解的基礎(chǔ)上，一方做出具體行為，另一方能給出相應(yīng)的反饋，進(jìn)而經(jīng)歷相互交流的教學(xué)過程，如《論語》中所記載的孔子及其弟子的問答過程。在日常教學(xué)過程中，教師以講授和提問等手段將新知識快速地傳遞給學(xué)生，在學(xué)生對新知識有一定理解的基礎(chǔ)上，以教師提問的方式激發(fā)學(xué)生的提問和質(zhì)疑，在引導(dǎo)學(xué)生提問的過程中，逐漸將課堂從教師中心轉(zhuǎn)換為學(xué)生中心，從講授式的課堂轉(zhuǎn)換為討論式的課堂。在這樣的教學(xué)設(shè)計中，師生關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻撜哧P(guān)系，給予了學(xué)生與教師平等交流的機(jī)會。在平等討論的環(huán)境中，學(xué)生不僅能提升數(shù)學(xué)思維能力，還能形成追求真理的精神。這樣的課堂有效提問形式，滿足了新課標(biāo)對思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)的要求。

三、有效提問的課堂實踐

（一）知識梳理及問題設(shè)計

1.知識梳理。

正態(tài)分布屬于隨機(jī)變量及其分布之下的教學(xué)內(nèi)容。其先導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容包括條件概率及全概率公式、離散型隨機(jī)變量及其分布、離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征、二項分布和超幾何分布等內(nèi)容。從上述學(xué)習(xí)內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，高中教材基本沿用了概率論中的知識結(jié)構(gòu)體系。由于條件概率、全概率公式及與離散型隨機(jī)變量相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容僅與初等運算相關(guān)，因此在正態(tài)分布的先導(dǎo)知識教學(xué)中可采用較為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。然而，當(dāng)進(jìn)入正態(tài)分布教學(xué)時，由于連續(xù)型隨機(jī)變量的引入及其性質(zhì)都不可避免地與積分運算相關(guān)，在教學(xué)時，教師不可能只以概率論的知識體系開展教學(xué)。因此，針對正態(tài)分布的教學(xué)可定位為對概率論知識體系的完善和基本應(yīng)用。

屬于正態(tài)分布的知識點：正態(tài)分布、分布密度函數(shù)概念及正態(tài)分布曲線性質(zhì)。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，新概念的引入最好從熟悉的概念開始。作為正態(tài)分布的先導(dǎo)知識，二項分布無疑是引出正態(tài)分布的首選。然而，受學(xué)生的運算能力影響，他們很難以極限工具為基礎(chǔ)，從二項分布導(dǎo)出正態(tài)分布。那么，是否需要放棄從二項分布過渡到正態(tài)分布的方案呢？實際上，在教學(xué)實踐中，為了解決計算方面的困難，教師往往選擇以統(tǒng)計學(xué)為基礎(chǔ)的方案，即從誤差分析問題入手，以頻率逼近概率為基礎(chǔ)，較為直觀地引入正態(tài)分布概念。該方案的好處是不依賴于高等運算，可以兼顧頻率與概率的關(guān)系。該方案的不足之處則是，無法體現(xiàn)離散型隨機(jī)變量向連續(xù)型隨機(jī)變量的轉(zhuǎn)化過程，難以按照概率論體系構(gòu)建離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量之間的聯(lián)系與區(qū)別。

2.問題設(shè)計。

因高中數(shù)學(xué)知識體系中已經(jīng)建立了較為直觀的極限概念，教師可以考慮從直觀的實驗現(xiàn)象入手，結(jié)合極限的直觀概念，通過直觀想象和邏輯推理相結(jié)合的途徑，從二項分布概念引入正態(tài)分布概念。一個可以嘗試的方案是以高爾頓（Francis Galton）釘板實驗為基礎(chǔ)，通過對實驗現(xiàn)象的觀察及相關(guān)概率知識（如二項分布和乘法原則）感受離散型隨機(jī)變量向連續(xù)型隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化的極限過程。

引入正態(tài)分布及其密度函數(shù)概念后，正態(tài)分布曲線性質(zhì)的教學(xué)可考慮加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模和模型應(yīng)用的能力培養(yǎng)。正態(tài)曲線性質(zhì)的教學(xué)重點在于理解和掌握正態(tài)分布的兩個關(guān)鍵參數(shù)，即均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于眾多日常現(xiàn)象與正態(tài)分布相關(guān)，所以此部分教學(xué)可在教師引入部分典型例子后，由學(xué)生討論及相互質(zhì)疑而形成更多為學(xué)生所熟悉的新例子。隨后，視學(xué)生所得例子情況，考慮進(jìn)一步引入與前沿學(xué)科（如人工智能及大數(shù)據(jù)處理等）相關(guān)的例子。利用這些學(xué)生不太熟悉的素材，引導(dǎo)其展開以理論知識為基礎(chǔ)進(jìn)行問題發(fā)現(xiàn)和問題提出的探索性學(xué)習(xí)。

（二）課堂問答實踐片段

1.測量誤差實驗。

教師構(gòu)想：取一個體重秤，稱量全班同學(xué)體重，記錄數(shù)據(jù)并觀察該數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布的特點，進(jìn)而分析平均體重和體重的標(biāo)準(zhǔn)差。該項活動的目的是通過數(shù)據(jù)分析，得到正態(tài)分布的關(guān)鍵參數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。具體活動開展如下所示：

首先，設(shè)問：“體重數(shù)據(jù)是否是隨機(jī)的？”這既是對隨機(jī)性概念的復(fù)習(xí)，也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，即在探討數(shù)學(xué)問題之前，必須明確討論的前提條件。

其次，再問：“數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布？怎么驗證？”這個問題可以由教師提出，也可視情況由學(xué)生提出。這個問題既是正態(tài)分布模型的基本應(yīng)用問題，也是數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。

再次，實踐：體重測量。分批次測量，逐漸增大測量人數(shù)。通過不同批次的數(shù)據(jù)，得到不同的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

最后，引思：在該實驗的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同？隨著人數(shù)增加，均值和標(biāo)準(zhǔn)差的變化是否存在某種規(guī)律？”該項活動重在激發(fā)全體學(xué)生的參與精神和學(xué)習(xí)熱情，讓盡可能多的學(xué)生參與到實驗環(huán)節(jié)，增強(qiáng)其班級歸屬感和集體意識。這部分教學(xué)活動側(cè)重于情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)。

2.平均人臉問題。

教師構(gòu)想：平均人臉問題是人臉處理問題中的一個基礎(chǔ)問題，涉及人臉大數(shù)據(jù)的處理能力及人臉的概率模型問題。在探討體重問題之后，教師可以提示學(xué)生“人臉是不是隨機(jī)變量？如果人臉是隨機(jī)變量，符不符合正態(tài)分布？如果符合正態(tài)分布，那么平均人臉是什么樣子？”該系列問題的設(shè)置目的重點在于拓寬學(xué)生應(yīng)用正態(tài)分布模型分析實際問題的視野。通常的教材或教輔材料很少涉及如此前沿的大數(shù)據(jù)分析問題，而且由于學(xué)生所見的例子過于標(biāo)準(zhǔn)化，導(dǎo)致學(xué)生很難認(rèn)識到正態(tài)分布模型的廣泛應(yīng)用價值和強(qiáng)大的分析能力。以平均人臉問題為抓手，則可將高中課本中的基本知識點和大數(shù)據(jù)、人工智能時代的前沿問題聯(lián)系起來。這既能提升學(xué)生對正態(tài)分布模型的認(rèn)識水平，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

四、結(jié)語

新課標(biāo)對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的、更高的要求，然而在現(xiàn)實教學(xué)中，傳統(tǒng)課堂教學(xué)仍然是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要形式。因此，在傳統(tǒng)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，如何引進(jìn)新的方法、思路，以滿足新課標(biāo)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求至關(guān)重要。通過理論分析和教學(xué)實踐，本文提出了以課堂有效提問為抓手的傳統(tǒng)課堂教學(xué)改革思路，根據(jù)正態(tài)分布及其性質(zhì)的教學(xué)實踐，摘取了教學(xué)過程中的三個關(guān)鍵教學(xué)片段。據(jù)此，從概念引入、模型應(yīng)用和知識拓展三個方面探討了課堂有效問題的設(shè)置問題，根據(jù)學(xué)情預(yù)判學(xué)生發(fā)問情況及提問過程中的情感體驗問題，希望可以構(gòu)建高效的有效提問課堂，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。