裴黎黎

摘? 要：“函數(shù)與不等式”是“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”單元的基本問題之一. 本節(jié)課從函數(shù)的圖象及結(jié)構(gòu)特征出發(fā)創(chuàng)設(shè)典型問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析不等式問題，使學(xué)生掌握將這類問題轉(zhuǎn)化為拆分函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的一般策略，體驗轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法. 課后從教學(xué)內(nèi)容的深度挖掘、信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合、備考沖刺階段的復(fù)習(xí)教學(xué)等方面進(jìn)行了反思論述.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；不等式；函數(shù)圖象；一般策略；深度學(xué)習(xí)

2022年4月下旬，筆者有幸在廣東省深圳中學(xué)郭慧清老師和廣東省深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院殷木森老師的指導(dǎo)下，經(jīng)過多次線上線下磨課，于5月初在中國教師研修網(wǎng)舉辦的“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略與方法行動研究”主題教研活動中進(jìn)行課例展示. 此次研討的單元主題內(nèi)容是“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”. 起初，筆者選定的課題內(nèi)容是“函數(shù)圖象的切線及其應(yīng)用問題”，郭慧清老師認(rèn)為該課題屬于第一輪或第二輪復(fù)習(xí)的內(nèi)容，且不是本單元的熱點問題，不應(yīng)該在考前一個月再深入研究，并建議筆者抓住“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”板塊里的熱點問題進(jìn)行研究. 之后，筆者在郭慧清老師的建議下，經(jīng)過對人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）的充分研讀、近幾年高考新變化的研究及單元主題下基本問題的提煉，擬定“函數(shù)與不等式”進(jìn)行課例研討. 期間，團(tuán)隊成員通力合作，在注重基本問題的提煉、基本思想的啟發(fā)與總結(jié)、基本方法與步驟的梳理等基礎(chǔ)上，筆者對教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了反復(fù)實踐與打磨，最終的教學(xué)效果得到了教材主編章建躍博士的認(rèn)可. 通過此次活動，筆者深刻體會到教材中新的變化對于新高考的方向指引性，也切實感受到課堂問題的設(shè)置對于學(xué)生思維靈活性培養(yǎng)的重要性. 以下分享本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計、實踐與反思.

一、單元-課時教學(xué)設(shè)計

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在高考中往往以綜合性比較強的題型出現(xiàn)，但這些復(fù)雜、綜合的高考問題可以逐步化歸為某個基本問題或某些基本問題的組合，主要包括：函數(shù)作圖，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，函數(shù)的零點，求參數(shù)的取值范圍，證明不等式.

（2）內(nèi)容解析.

內(nèi)容的本質(zhì)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，即通過函數(shù)作圖，并借助函數(shù)圖象，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點、參數(shù)取值，以及證明不等式的問題.

蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法：以函數(shù)圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，體會數(shù)形結(jié)合的重要思想；對于函數(shù)零點問題，要學(xué)會將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、可操作的問題，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想；對于參數(shù)的取值范圍，探究參數(shù)變化對函數(shù)或不等式產(chǎn)生的影響，蘊含分類討論思想. 此外，還有特殊情形下的設(shè)而不求、以直代曲等思想方法.

知識的上下位關(guān)系：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不僅與方程、不等式、數(shù)列等有著緊密的聯(lián)系，在其他學(xué)科領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，而且是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)微積分等其他內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，是現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)建模的重要模型.

育人價值：通過解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的基本問題，體會將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題來處理的一般策略，提升學(xué)生靈活處理問題的能力. 通過對問題的變式探究與深度挖掘，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 借助信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，在提升學(xué)生利用技術(shù)解決問題的能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).

教學(xué)重點：通過創(chuàng)設(shè)典型的例題與變式，以函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，解決函數(shù)的零點、參數(shù)范圍求解和不等式證明等基本問題，引導(dǎo)學(xué)生反思并總結(jié)一般策略.

2. 目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）單元目標(biāo).

① 利用導(dǎo)數(shù)作出較為復(fù)雜的函數(shù)的圖象，并能根據(jù)列表內(nèi)容判斷函數(shù)的單調(diào)性，能求某些函數(shù)的極值和最值.

② 借助函數(shù)圖象，研究函數(shù)的零點、含參不等式取值和不等式證明等問題，體會轉(zhuǎn)化與化歸思想.

③ 通過多角度對問題進(jìn)行思考與變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握解決各類基本問題的一般策略與步驟.

（2）單元目標(biāo)解析.

達(dá)成上述單元目標(biāo)的標(biāo)志如下.

對于函數(shù)作圖問題，能夠做到步驟明確：求出函數(shù)[fx]的定義域；求導(dǎo)數(shù)[fx]及函數(shù)[fx]的零點；列表；確定函數(shù)[fx]的圖象的特殊點（如與坐標(biāo)軸的交點、極值點等），以及圖象的變化趨勢（如漸近線等）；畫出函數(shù)[fx]的大致圖象. 本章節(jié)高度重視函數(shù)圖象的作圖，課堂上應(yīng)選擇典型問題讓學(xué)生親自操作與體驗，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，為后面解決復(fù)雜問題做準(zhǔn)備.

對于函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題，前三步與函數(shù)作圖的步驟相同，第四步可以由表格得出結(jié)論. 因此，只要解決了函數(shù)作圖的問題，這類問題就可以迎刃而解了.

對于函數(shù)零點問題，能根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征嘗試將其轉(zhuǎn)化為以下幾類問題來解決. 第一類，分離參數(shù)法，其步驟為：將方程[fx=0]變形為[a=gx]；作出函數(shù)[y=gx]的圖象；觀察直線[y=a]與函數(shù)[y=gx]的圖象的交點；對參數(shù)進(jìn)行分類說明. 第二類，函數(shù)拆分法，其步驟為：將方程[fx=0]拆分為[gx=hx]，其中[gx]不含參數(shù)[a]，[hx]含參數(shù)[a]但易知參數(shù)[a]對函數(shù)[y=hx]的圖象的影響；作出函數(shù)[y=gx]的圖象，研究清楚參數(shù)[a]對函數(shù)[hx]的圖象的影響；觀察函數(shù)[y=gx]與函數(shù)[y=hx]的圖象的交點；對參數(shù)進(jìn)行分類說明. 第三類，參數(shù)試值法，其步驟為：取若干參數(shù)值分別畫出函數(shù)圖象，觀察函數(shù)零點個數(shù)；觀察參數(shù)變化對函數(shù)圖象的影響，找出函數(shù)零點個數(shù)發(fā)生變化的“界”及其對應(yīng)的參數(shù)值；對參數(shù)進(jìn)行分類說明.

對于求參數(shù)取值范圍問題，要求學(xué)生能夠從不同的角度進(jìn)行思考并解決. 第一類，直接求解含參不等式，通過解不等式獲得答案，其步驟為：轉(zhuǎn)化為參數(shù)不等式（或不等式組）；解不等式. 第二類，分離參數(shù)求函數(shù)最值，其步驟為：分離參數(shù)；求函數(shù)最值；得到參數(shù)變化范圍. 第三類，不等式變量分離法，即函數(shù)的拆分處理，如本節(jié)課教學(xué)設(shè)計中的問題1，參數(shù)不用完全分離出來，可以出現(xiàn)在一個基本初等函數(shù)里，使問題盡可能簡化.

對于不等式證明問題，要求學(xué)生能夠掌握解決這類問題的一般策略. 根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)的特點，可以與函數(shù)建立聯(lián)系，借助函數(shù)的圖象特征將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或拆分成兩個函數(shù)的最值比較問題，或拆分成兩個函數(shù)之后引入中間變量利用放縮法證明.

3. 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在前面兩輪“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，對于函數(shù)的作圖不夠精細(xì). 例如，關(guān)鍵點和變化趨勢的確定會影響對后面復(fù)雜問題的研究，尤其是參數(shù)范圍的求解. 因此，函數(shù)作圖是基礎(chǔ)，要讓學(xué)生認(rèn)識到精確作圖的重要性，尤其是對與坐標(biāo)軸的交點和漸近線的判斷.

學(xué)生在處理函數(shù)零點問題時，往往習(xí)慣采用分離參數(shù)法，通過觀察參數(shù)發(fā)生變化時兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)來判斷. 這其中蘊含著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等重要思想，卻也存在不嚴(yán)謹(jǐn)性. 因此，讓學(xué)生在不使用極限的條件下，掌握純粹利用函數(shù)零點存在定理來判斷零點的存在性是這類問題的難點，尤其是兩個特殊值的選取，通常還會涉及不等式的求解來選取合適的臨界值，需要學(xué)生具備一定的分析能力與運算能力.

學(xué)生在處理函數(shù)與不等式問題時，當(dāng)直接求導(dǎo)之后導(dǎo)函數(shù)零點不可求時，需要使用零點存在定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，從而虛設(shè)零點解決問題. 學(xué)生需要積累處理這類情形的經(jīng)驗，否則將出現(xiàn)函數(shù)最值無法表述與求解的問題. 此外，對于不等式的證明，當(dāng)整體求導(dǎo)有困難時，學(xué)生應(yīng)學(xué)會將問題轉(zhuǎn)化，學(xué)會將函數(shù)進(jìn)行拆分或重組來處理. 復(fù)雜條件下，還應(yīng)考慮分類討論.

教學(xué)難點：將一個綜合性的問題化歸為一個基本問題來處理，并掌握零點存在定理中的取值問題和不等式問題中分類標(biāo)準(zhǔn)的確定問題.

4. 教學(xué)支持條件分析

首先，在高三前兩輪復(fù)習(xí)結(jié)束之后，學(xué)生對函數(shù)的作圖步驟已基本明晰，教師只需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注更多細(xì)節(jié)便可以處理好函數(shù)作圖問題. 其次，在學(xué)生作業(yè)的基礎(chǔ)上給予點評，既能充分認(rèn)識學(xué)情、強調(diào)規(guī)范表達(dá)，又能幫助學(xué)生多角度思考問題，并梳理其中的方法和策略. 再次，沖刺階段的復(fù)習(xí)課充分關(guān)注《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求和教材內(nèi)容滲透的本質(zhì)，注重對基本問題和解題步驟的整理，這對于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說是非常有必要的. 最后，借助信息技術(shù)制作函數(shù)圖象或相關(guān)動圖有利于學(xué)生直觀感受圖象的作用，引導(dǎo)學(xué)生注重函數(shù)作圖，并借助函數(shù)圖象尋求解決問題的突破口.

5. 課時教學(xué)設(shè)計

本單元主題分為3個微專題復(fù)習(xí)課時，具體分配如下：第1課時，函數(shù)零點的存在性問題；第2課時，函數(shù)與不等式；第3課時，求參數(shù)取值范圍問題. 下面詳細(xì)介紹第2課時的教學(xué)設(shè)計.

（1）課時教學(xué)內(nèi)容.

函數(shù)的概念與性質(zhì)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與不等式的綜合問題，適合高考沖刺階段的復(fù)習(xí)教學(xué).

（2）課時教學(xué)目標(biāo).

① 從函數(shù)的圖象及結(jié)構(gòu)特征上創(chuàng)設(shè)典型的題設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考和分析不等式證明或恒成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和探究能力.

② 通過多種不同的分析與解答過程，使學(xué)生掌握將不等式證明或恒成立問題轉(zhuǎn)化為拆分函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)處理的一般策略，體驗轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、以直代曲、設(shè)而不求和分類討論等思想與方法，提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

（3）教學(xué)重點與難點.

教學(xué)重點：從函數(shù)的圖象與結(jié)構(gòu)特征上尋找解決問題的突破口；利用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明或恒成立問題的一般策略.

教學(xué)難點：數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用，特別是分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定.

（4）教學(xué)過程設(shè)計.

導(dǎo)語：分析近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)，通過給出函數(shù)關(guān)系式證明不等式恒成立，或已知不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，是高考中的熱點與難點問題. 例如，新高考第一年，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題就考查了這類問題. 要處理這類問題，有什么一般性的方法與策略嗎？這節(jié)課我們就選擇兩個典型的題組，研究一下分析與解決這類問題的過程.

問題1：已知函數(shù)[fx=ex-lnx+m]，當(dāng)[m≤2]時，求證[fx>0.]（教材選擇性必修第二冊第104頁第18題.）

師生活動1：教師陳述這道題是2013年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷中的試題并已被編入現(xiàn)行教材后，投影將這個問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來處理的兩份學(xué)生作業(yè).側(cè)重從利用不等式的性質(zhì)[lnx+m≤lnx+2]對其放縮將問題簡化、導(dǎo)函數(shù)零點的判斷與虛設(shè)、原函數(shù)極值的判別與化簡（即將超越函數(shù)值轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)值）、函數(shù)最值取不到[0]的條件說明這四個方面進(jìn)行評析，并引導(dǎo)學(xué)生注重其中的方法、策略和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá). 最后，教師在黑板上書寫將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的具體步驟，尤其對導(dǎo)函數(shù)零點存在且不可求的情形進(jìn)行分析.

師生活動2：教師投影學(xué)生利用放縮法證明這個問題的作業(yè)，并說明放縮法通常是將一個函數(shù)拆分成兩個函數(shù)之后的通用方法，即引入中間變量對其進(jìn)行證明. 可以考慮對其中一個函數(shù)進(jìn)行切線放縮，也可以同時對兩個函數(shù)進(jìn)行切線放縮，引導(dǎo)學(xué)生思考還可以選擇夾在兩個函數(shù)之間的任意一條曲線作為中間變量，但往往首要考慮切線放縮，并通過信息技術(shù)的動圖進(jìn)行演示說明，如圖1 ～ 4所示.

在此，教師還追問以下兩個問題.

追問1：如果[m]比[2]大一點點，[fx>0]是否仍然可以成立？

追問2：反過來，如果[fx>0]，則[m≤2]成立嗎？

讓學(xué)生知道兩個函數(shù)圖象之間的空隙就是我們選擇放縮的中間變量的切入點，并考慮兩個函數(shù)圖象的臨界狀態(tài)（即相切）. 同時，教師提出對使用的放縮不等式都要給予嚴(yán)格證明. 最后，教師板書將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象問題之后尋找中間變量的具體步驟，并總結(jié)一般從切線、不等式性質(zhì)、有界性、函數(shù)圖象等方面進(jìn)行放縮證明.

師生活動3：學(xué)生在前面兩種切線放縮做法的基礎(chǔ)之上，比較容易想到利用公切線[y=x+1]同時對兩個函數(shù)進(jìn)行切線放縮，但不容易找出另一條公切線y = （1/e）x+2/e. 此時，教師拋出問題：“當(dāng)我們將一個函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，并畫出這兩個函數(shù)的圖象之后，若這兩個函數(shù)圖象處于相離狀態(tài)，如何來尋找中間變量？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)還存在另一條公切線，筆者認(rèn)為這是關(guān)于公切線求解的問題，所以只是引導(dǎo)學(xué)生有相關(guān)的思考即可，并順勢提問：“只能從切線入手嗎？”學(xué)生能總結(jié)出“夾在兩條曲線的中間部分均可”，進(jìn)而順利完成后面的研究.

對于追問1，學(xué)生借助圖象發(fā)現(xiàn)當(dāng)[m=2]時，兩個函數(shù)圖象仍然處于相離狀態(tài)，還存在一定的空隙，所以[m]比[2]大一點點，[fx>0]仍然可以成立.

對于追問2，學(xué)生能迅速得出“如果[fx>0]，則[m≤2]不成立”的結(jié)論，教師繼續(xù)追問“[m≤2]是[fx>0]的什么條件”，旨在讓學(xué)生能更深刻地了解其中的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生課下繼續(xù)尋找“當(dāng)[fx>0]時，[m]的臨界值是什么”，培養(yǎng)學(xué)生靈活思考與處理問題的能力.

師生活動4：教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考這個問題是否還有其他解法，投影對這個問題采用分離參數(shù)法處理的學(xué)生作業(yè)，即將問題轉(zhuǎn)化為證明[m

【設(shè)計意圖】在處理這類由幾個基本初等函數(shù)組合而成的不等式問題時，引導(dǎo)學(xué)生可以先觀察題設(shè)中的參數(shù)，并利用不等式性質(zhì)對其進(jìn)行簡單的放縮處理，從而將問題簡化（或根據(jù)拆分之后的函數(shù)圖象特征進(jìn)行判斷）. 接下來，思考是否可以利用放縮法進(jìn)行證明，如果不能，則對其進(jìn)行直接求導(dǎo)后，對導(dǎo)函數(shù)的零點進(jìn)行判斷與分析，虛設(shè)零點求得函數(shù)的最值，或?qū)?dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，先研究導(dǎo)函數(shù)再研究原函數(shù)的最值，從而證明不等式成立. 通過這類問題的解決過程，幫助學(xué)生建立處理這類問題的一般方法與策略.

問題2：下面把問題進(jìn)行簡單變式，你是怎么考慮的呢？

變式：已知關(guān)于[x]的不等式[mex-lnx-1≥0]恒成立，求實數(shù)[m]的取值范圍.（由2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷文科第21題改編.）

師生活動5：在學(xué)生充分思考的基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生表達(dá)對于這個問題的分析方法.（這部分均由學(xué)生現(xiàn)場思考之后口述，教師用PPT呈現(xiàn)方法步驟.）

預(yù)設(shè)回答1：分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)求最值，如圖5所示.

預(yù)設(shè)回答2：整體構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)范圍進(jìn)行討論，如圖6所示.

預(yù)設(shè)回答3：拆分成兩個函數(shù)進(jìn)行研究，考慮題設(shè)的臨界狀態(tài)或拆分之后的兩個函數(shù)的最值比較，如圖7和圖8所示.

對于第二個預(yù)設(shè)，學(xué)生可能很難想到，教師要引導(dǎo)學(xué)生整體求導(dǎo)進(jìn)行嘗試，思考導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)如何確定分類標(biāo)準(zhǔn). 對于第三個預(yù)設(shè)，要將學(xué)生拆分成兩個函數(shù)之后再比較函數(shù)最值的方法進(jìn)行梳理和板書.

師生活動6：預(yù)設(shè)回答1的分離參數(shù)是學(xué)生最直接的想法，也能順暢地逐步解決. 接下來，學(xué)生想到的是函數(shù)的拆分，即預(yù)設(shè)回答3，學(xué)生借助函數(shù)圖象可以尋找相切時的臨界狀態(tài)，求得[m]的臨界值. 學(xué)生最后才考慮對函數(shù)直接求導(dǎo)，觀察導(dǎo)函數(shù)[fx=][mex-1x]的特征，考慮對參數(shù)[m]進(jìn)行討論，這里的分類標(biāo)準(zhǔn)的確定是學(xué)生思考問題的難點，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮導(dǎo)函數(shù)[fx]隨著參數(shù)[m]的取值變化是否有恒正或者恒負(fù)的可能，從而確定將[m]分為[m≤0]時[fx]恒負(fù)和[m>0]兩類情況討論.

師生活動7：教師與學(xué)生一起對這類問題進(jìn)行方法總結(jié). 當(dāng)函數(shù)由幾個基本初等函數(shù)組合而成時，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的方法有函數(shù)的最值（包括含參問題）、拆分成兩個函數(shù)引入中間變量（即放縮法）、拆分成兩個函數(shù)比較函數(shù)最值.

【設(shè)計意圖】在問題1初步體會過一些處理方法與策略之后，讓學(xué)生在課堂上實際體驗分析問題的方法與策略的使用，感悟在嘗試解答的過程中遇到障礙怎么突破，突破不了怎么辦. 讓學(xué)生學(xué)會靈活地考慮根據(jù)函數(shù)的圖象或不等式的結(jié)構(gòu)及時調(diào)整方法. 因此，設(shè)置變式的目的在于讓學(xué)生不僅要掌握處理某類問題的策略與方法，還要提升分析問題與解決問題的思維品質(zhì).

問題3：已知函數(shù)[fx=ex-sinx-cosx]，證明：當(dāng)[x>-5π4]時，[fx≥0].（2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第22題節(jié)選.）

師生活動8：教師引導(dǎo)學(xué)生思考. 對解決這類問題的過程有了初步了解之后，你會如何來分析問題3呢？并給予學(xué)生一些時間重新思考這個課前已經(jīng)完成了的作業(yè)難題.

預(yù)設(shè)回答：整體求導(dǎo)比較復(fù)雜時，我們可以將這里的函數(shù)拆分成兩個我們熟悉的函數(shù)，如函數(shù)[gx=ex]和函數(shù)[hx=sinx+cosx]. 觀察這兩個函數(shù)圖象的特點，發(fā)現(xiàn)函數(shù)[gx]和函數(shù)[hx]的圖象有一個公共點[0，1]，且在公共點處有一條公切線[y=x+1，] 可以做放縮處理.

師生活動9：讓學(xué)生口頭表達(dá)這個問題的處理方法與步驟，教師板書.

追問：利用這條切線的放縮可以證明[x>-5π4]的所有情形嗎？

二、教學(xué)反思

1. 對函數(shù)與不等式教學(xué)的理解

教材在“5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”章節(jié)新增了一些比較典型的高考試題作為課后習(xí)題，以及一些蘊含數(shù)形結(jié)合思想且能體現(xiàn)函數(shù)與不等式關(guān)系的基本問題作為例題，這在引導(dǎo)學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題方面具有更好的指導(dǎo)性. 例如，教學(xué)設(shè)計中的問題1，就是典型的將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題中導(dǎo)函數(shù)零點存在且不可求的情形，它的基本方法與步驟是怎樣的？筆者通過幾份典型的學(xué)生作業(yè)點評，啟發(fā)學(xué)生總結(jié)解決這類問題的基本思想與方法.

郭慧清老師建議課堂上引導(dǎo)學(xué)生多角度思考同一個問題，尤其在使用放縮法時，首要找切線但不拘泥于切線，還可以結(jié)合函數(shù)圖象的特點來選擇（如教材第89頁的例4就是很好的說明），并要引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)放縮法不同的表現(xiàn)（如不等式性質(zhì)和有界性等）. 由此，筆者在問題1中的放縮法的點評中引導(dǎo)學(xué)生思考夾在兩條曲線之間的中間空隙部分均可以作為中間變量從而實現(xiàn)放縮法的證明. 設(shè)置了兩個追問幫助學(xué)生更好地借助圖象的特征體會參數(shù)[m]的取值范圍還可以再增大，并通過深度探索參數(shù)[m]的臨界值，激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 對于問題3的探究，郭慧清老師建議在學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這個問題需要分類并將其分為三類來處理的基礎(chǔ)之上，應(yīng)繼續(xù)通過問題“分類能不能再少一點，當(dāng)[x∈-π/4，+∞]時可以一起說明嗎？”和“如果不以[-π/4]為界，可以以其他數(shù)值為界嗎？”追問學(xué)生. 教師在課堂上不僅應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生完成對一道題目的求解，還要適當(dāng)拋出問題啟發(fā)學(xué)生課后繼續(xù)深入思考. 這與鐘啟泉教授的觀點十分吻合，即實現(xiàn)主體性、對話性的深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計應(yīng)該滿足“問題產(chǎn)生”“問題分享”“問題深化”三個條件，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“開始”“鏈接”“持續(xù)”.

總之，課堂上應(yīng)對學(xué)生充滿“前向期待”，即無論教怎樣的學(xué)生、教什么，最終總能達(dá)成目標(biāo). 一節(jié)課不能將函數(shù)與不等式的多個問題進(jìn)行全面討論，但對于這一類問題的解決過程應(yīng)該做到解題步驟清晰且精細(xì)化，引導(dǎo)學(xué)生反思并總結(jié)基本方法與步驟，程序化地呈現(xiàn)出整個過程的思考分析流程圖. 殷木森老師認(rèn)為，課堂上對于典型問題的探究應(yīng)該注重變式訓(xùn)練，通過“一題多變”和“一題多解”提升課堂的思維容量，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和敏捷性，從而提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

2. 對信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的理解

章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程的設(shè)計應(yīng)該以“純粹數(shù)學(xué)”為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為核心，為學(xué)生構(gòu)建有價值的（實用價值和精神價值）、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.

如果想讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)，我們就必須在課堂上教真正的數(shù)學(xué). 信息技術(shù)的確改善了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，為那些重要但難度較大的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)提供了有效途徑，是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的“催化劑”. 它是建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想的直觀基礎(chǔ)，使抽象的數(shù)學(xué)概念形象化的有效途徑. 這節(jié)課對于問題1中放縮法的中間變量的選取，筆者先引導(dǎo)學(xué)生思考除了學(xué)生作業(yè)中呈現(xiàn)的幾種切線放縮做法之外是否還有其他的放縮方式，再借助GeoGebra軟件制作動畫，直觀呈現(xiàn)放縮的多種做法，深化學(xué)生對放縮法本質(zhì)的理解，不固化于切線形式，但引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先考慮切線. 切線實則對應(yīng)一次函數(shù)，即相當(dāng)于將函數(shù)拆分成兩個超越函數(shù)并進(jìn)行比較的問題轉(zhuǎn)化成為兩個函數(shù)分別與一次函數(shù)比較的問題，將問題進(jìn)行簡化，從而更容易得到解決.

但在使用信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)融合的同時，章建躍博士還提出，教師應(yīng)該把握好以紙筆運算、推理、作圖等為主要手段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與在信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間的平衡，即使數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識和基本技能得到落實. 學(xué)生對本節(jié)課中問題1和問題2函數(shù)圖象幾種臨界狀態(tài)下參數(shù)的求解正是落實數(shù)學(xué)運算和推理能力的過程.

我們應(yīng)該學(xué)會借助信息技術(shù)的優(yōu)勢，為學(xué)生開拓觀察、思考、歸納、猜想的空間，使學(xué)生有更多時間和機(jī)會從事高水平數(shù)學(xué)思維、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動，而不是用直觀觀察代替應(yīng)有的思考與運算. 因此，這節(jié)課中，筆者借助信息技術(shù)軟件依次呈現(xiàn)的各種圖象都應(yīng)該在學(xué)生的草稿紙上得到呈現(xiàn). 要想解決這類問題，學(xué)生不僅要具有圖象意識，還要具備一定的作圖能力，更要能夠根據(jù)函數(shù)圖象來尋找解決問題的突破口.

3. 對如何做好高考備考沖刺階段的復(fù)習(xí)教學(xué)的理解

關(guān)于本節(jié)課的選題，我們進(jìn)行了第一次線上磨課會議，從預(yù)設(shè)的“函數(shù)圖象的切線及其應(yīng)用問題”微專題改為“函數(shù)與不等式”微專題，郭慧清老師提出在最后階段的復(fù)習(xí)中應(yīng)該著眼于高考的熱點與難點問題，注重高考的新變化，應(yīng)緊扣函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中的基本問題之一，選擇的例題應(yīng)具有典型性與代表性，通過一道例題的分析啟發(fā)學(xué)生總結(jié)對所有關(guān)于不等式的問題進(jìn)行大致分類，并進(jìn)行程序化地梳理，讓學(xué)生真正了解解決這類問題的一般方法與策略.

郭慧清老師點評本節(jié)課具有五大特點：① 關(guān)注學(xué)生表現(xiàn)，問題1基于學(xué)生的課前作業(yè)學(xué)情進(jìn)行點評，實用有效. ② 教學(xué)富有啟發(fā)性，對于問題1中參數(shù)[m]的變化情況，將一個復(fù)雜的函數(shù)分解為兩個熟悉的基本初等函數(shù)來處理，從而容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)[m=2]時兩條曲線最接近的情形，并借助切線引導(dǎo)學(xué)生尋求其他中間變量進(jìn)行放縮證明. ③ 內(nèi)容選擇恰當(dāng)，問題1既是2013年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷試題，又是教材的課后習(xí)題，其余題目基本都是典型的高考試題或教育部考試中心命制試題，所以課堂選擇的內(nèi)容要重視對教材的使用，用好高考命題者的原始資料. ④ 重視難點突破，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解時，通常與導(dǎo)函數(shù)的零點密切相關(guān)，而這類問題的最大難點是導(dǎo)函數(shù)零點存在卻不可求時的情形，本節(jié)課對于解決這類問題形成了一般策略. 另外，問題3中將函數(shù)分解成指數(shù)函數(shù)與正弦型函數(shù)之后，引導(dǎo)學(xué)生先畫出函數(shù)圖象再啟發(fā)學(xué)生去觀察證明. ⑤ 解題步驟清晰，對于課堂上的每一個問題都做到了步驟化，板書設(shè)計對不等式問題的梳理脈絡(luò)清晰. 這也是沖刺階段高三復(fù)習(xí)課應(yīng)該把控好的幾個重要方面.

經(jīng)過這次長達(dá)一個多月的線上線下磨課、試課，筆者對如何做好沖刺階段的高三復(fù)習(xí)課的備課有了更多的理解. 第一，備課要做到備教材與高考試題，精讀教材，尋找其與高考試題中蘊含的基本思想之間的重要聯(lián)系；第二，備課要做到提煉基本問題，從真正低起點具有基礎(chǔ)性又可拓展延伸的一類典型問題入手，由簡入繁，提升數(shù)學(xué)思維；第三，備課要做到備學(xué)生學(xué)情，建立在學(xué)生已有認(rèn)知水平基礎(chǔ)上的備課才是真正有效的備課，讓學(xué)生通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)能真正有所收獲；第四，備課要做到備問題的提出與啟發(fā)，高三復(fù)習(xí)課更應(yīng)注重問題的啟發(fā)性，讓學(xué)生在課堂上能充分表達(dá)自己的想法；第五，備課要做好解決問題過程中一般策略的梳理與總結(jié)，課堂上引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)之前，教師要先做好深入且全面的思考. 教師應(yīng)在上每一節(jié)課之前都做充足的備課，讓學(xué)生真正在有限的時間內(nèi)更加有效地提升分析問題和解決問題的能力. 想要學(xué)生考前更輕松、高效，教師就得更加深入地做好研究，真正做到以教促學(xué).

章建躍博士指出，備考的最后階段需要注重的方面. 一要注重抓兩頭，要注重對高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的梳理，尤其是教材里的關(guān)鍵點，側(cè)重知識的本質(zhì)、聯(lián)系與結(jié)構(gòu)的梳理，對于每一個板塊的知識要明確基本問題，對標(biāo)高考試題，將一個復(fù)雜的綜合性的高考問題化歸為一個基本問題，并針對高考試題做針對性的訓(xùn)練. 二要注重在備考的最后階段要以高考所強調(diào)的“一核”“四層”“四翼”為目標(biāo)，針對學(xué)生的易錯點、難點和基礎(chǔ)等關(guān)鍵點開展復(fù)習(xí)教學(xué). 在沖刺階段還要做好“針對性”復(fù)習(xí)：① 選好題，經(jīng)過反復(fù)琢磨和精選的題再讓學(xué)生來解決，做“好問題”和“做好”問題比多做問題更重要；② 了解學(xué)情，對于學(xué)生的作業(yè)情況要了解到位，再在課堂上解決普遍性問題，個別問題個別指導(dǎo)；③ 做好考題分類，注重基礎(chǔ)，加強綜合，突破難點；④ 注重考試技能的訓(xùn)練，即思考、解題、表達(dá)的習(xí)慣培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會多元聯(lián)系表達(dá). 多次強調(diào)最后沖刺階段不要讓學(xué)生盲目地解決問題，一定要讓學(xué)生擁有更多自主學(xué)習(xí)時間.

三、結(jié)束語

“函數(shù)與不等式”一課不僅重視學(xué)生一般策略的形成過程，而且重視數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的滲透，借助信息技術(shù)幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的空間，并回歸與落實數(shù)學(xué)運算與邏輯推理素養(yǎng). 教學(xué)對于沖刺階段的高三復(fù)習(xí)課具有一定的指導(dǎo)性，如果課堂上的提問能夠更加精煉與深入，真正落實“問題深化”，定能更好地幫助學(xué)生拓展思維的深度，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的“持續(xù)”. 另外，結(jié)合學(xué)情，可以適當(dāng)調(diào)節(jié)高三復(fù)習(xí)課的節(jié)奏，留出更充足的時間讓學(xué)生可以充分地自主思考與表達(dá)問題探究的變式訓(xùn)練，通過“一題多變”和“一題多解”提升課堂的思維容量，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和敏捷性，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值. 眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教師自己要先理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，成為善于思考者，把引導(dǎo)學(xué)生提出問題作為重要的教學(xué)內(nèi)容，才能做好“思維的教學(xué)”.

參考文獻(xiàn)：

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