何曉明

一元二次方程的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考的重點(diǎn)考查對(duì)象. 很多同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，解一元二次方程并不難，然而一旦它與實(shí)際問題結(jié)合起來，有的時(shí)候就無處下手，找不到等量關(guān)系. 今天我們一起探討一下“一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用”問題.

[考點(diǎn)提煉]

考點(diǎn)1：一元二次方程與利潤(rùn)問題

例1 某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè). 調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)時(shí)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè). 為了實(shí)現(xiàn)平均每月10 000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)購進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？

解題思路：找到等量關(guān)系是破解一元二次方程的關(guān)鍵所在. 本題中，等量關(guān)系為：總利潤(rùn) = 每件商品的利潤(rùn)[×]銷售數(shù)量，可以設(shè)每個(gè)臺(tái)燈漲價(jià)x元，則每個(gè)臺(tái)燈的利潤(rùn)為（40 + x - 30）元，臺(tái)燈銷售數(shù)量為（600 - 10x）個(gè)，根據(jù)題意，列方程為（40 + x - 30）（600 - 10x） = 10 000，解方程即可.

易錯(cuò)點(diǎn)：沒有根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的根是否符合題意. 如此題方程的兩個(gè)解為x1 = 10，x2 = 40，題目中要求售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)，當(dāng)x2 = 40時(shí)，售價(jià)為40 + 40 = 80（元），不符合題意，應(yīng)該舍去.

解題要點(diǎn)：1. 找到等量關(guān)系；2. 檢驗(yàn)根的合理性.

考點(diǎn)2：一元二次方程與增長(zhǎng)（下降）率問題

例2 某公司2022年10月的營(yíng)業(yè)額為2500萬元，按計(jì)劃第四季度的總營(yíng)業(yè)額要達(dá)到9100萬元，求該公司 11月和12月兩個(gè)月營(yíng)業(yè)額的月均增長(zhǎng)率.

解題思路：本題中等量關(guān)系為：10月的營(yíng)業(yè)額 + 11月的營(yíng)業(yè)額 + 12月的營(yíng)業(yè)額 = 第四季度的總營(yíng)業(yè)額. 設(shè)該公司11月和12月兩個(gè)月營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)率為x，則11月的營(yíng)業(yè)額為2500（1 + x），12月的營(yíng)業(yè)額為2500（1 + x）2，根據(jù)題意，列方程為：2500 + 2500（1 + x） + 2500（1 + x）2 = 9100，解方程即可.

易錯(cuò)點(diǎn)：1. 不能正確表示出12月的營(yíng)業(yè)額；2. 審題不仔細(xì)，將第四季度主觀臆斷為12月.

解題要點(diǎn)：明確變化率問題的等量關(guān)系. 設(shè)a為基礎(chǔ)量，x為平均增長(zhǎng)（下降）率，n為增長(zhǎng)（下降）次數(shù)，b為增長(zhǎng)（下降）后的量，則a（1 ± x）n = b.

考點(diǎn)3：一元二次方程與幾何圖形結(jié)合的實(shí)際問題（如與幾何圖形結(jié)合的面積問題、動(dòng)點(diǎn)問題等）

例3 如圖1，在一塊長(zhǎng)92 m、寬60 m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為885 m的6個(gè)矩形小塊，水渠應(yīng)挖多寬？

解題思路：在幾何圖形的面積問題中，利用面積公式列出等量關(guān)系是解決此類問題的常用方法. 本題設(shè)小路的寬為x m，根據(jù)題意，得（92 - 2x）（60 - x） = 885 [×] 6，求解即可.

易錯(cuò)點(diǎn)：1. 等量關(guān)系找得不好，導(dǎo)致列不出方程或者列出的方程很復(fù)雜；2. 沒有根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的根是否為實(shí)際問題的解.

解題要點(diǎn)：如圖2，利用平移的方法將6塊矩形耕地拼成一個(gè)大矩形，再利用面積公式列方程.

[真題精講]

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是用一個(gè)未知數(shù)表示出長(zhǎng)和寬，然后利用面積公式來列出一元二次方程.

例5 （2022·遼寧·盤錦）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖4所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？

分析：（1）直接用待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案.

解：（1）一次函數(shù)的關(guān)系式為y =? - 2x + 100（過程略）；

（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是x元，

由題意得（x - 10）（ - 2x + 100） = 600，解得x1 = 40，x2 = 20，

∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元.

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是理解題意，正確找出題目中的等量關(guān)系，列出方程或函數(shù)關(guān)系式.

[總結(jié)提升]

通過對(duì)2022年各地區(qū)中考中一元二次方程應(yīng)用題的分析，我們發(fā)現(xiàn)試題普遍關(guān)注合理設(shè)置實(shí)際問題情境，突出對(duì)考生列方程與解決實(shí)際問題能力的考查，同時(shí)關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)，體現(xiàn)素養(yǎng)立意. 下面分享幾點(diǎn)解決此類問題的經(jīng)驗(yàn).

（一）回歸教材，重視基礎(chǔ)

綜觀近年來各地區(qū)的此類考題，很多試題都源自教材例題、習(xí)題，或者是由教材例題、習(xí)題經(jīng)過改編的變式拓展題. 因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，一定要重視教材的例題、習(xí)題.

（二）抓住關(guān)鍵，找好等量

要認(rèn)真閱讀題目，分析題意，并能分解題目，各個(gè)擊破，從而找到已知的條件和未知問題. 必要時(shí)可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關(guān)系，找到一個(gè)或幾個(gè)相等的式子，從而列出方程求解，同時(shí)還要及時(shí)檢驗(yàn)答案的正確性并作答.

（三）規(guī)范答題，養(yǎng)成習(xí)慣

1. 寫答案前，需先寫“解”；2. 嚴(yán)格按照“設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”的步驟書寫答案，避免漏寫步驟；3. 求得方程的兩個(gè)根后，務(wù)必檢驗(yàn)，看是否符合題意，舍去不符合題意的根；4. 結(jié)尾處，勿忘作答.

（四）優(yōu)化解法，準(zhǔn)確計(jì)算

要結(jié)合方程特點(diǎn)，選取合適的解題方法，如增長(zhǎng)率問題可以優(yōu)先考慮直接開平方法. 另外，設(shè)不同的未知量，方程的計(jì)算量也有差別，比如例1中的利潤(rùn)問題，若設(shè)臺(tái)燈的定價(jià)為x元，計(jì)算量就會(huì)增加很多.

（五）關(guān)注生活，發(fā)展能力

一些試題背景設(shè)計(jì)往往會(huì)結(jié)合當(dāng)代熱點(diǎn)和時(shí)代潮流，因此我們應(yīng)把重點(diǎn)放在如何分析和思考實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系上. 例如，從關(guān)鍵字句中發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系；發(fā)掘所涉及的基本數(shù)量關(guān)系，以此溝通不同量之間的關(guān)系；注意變化中的不變量，尋找隱含的等量關(guān)系.

如今，命題形式愈加多樣化，知識(shí)交匯融合較多，例如一元二次方程常和函數(shù)結(jié)合，將問題設(shè)計(jì)成兩問或三問，主要考查模型思想和分析問題、解決問題的能力，我們不必追求分類（如銷售問題、循環(huán)問題等）硬套題型，而是應(yīng)該多積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不斷提升解決問題的能力.