【摘要】隨著課程改革的全面實(shí)施，近幾年高考真題更傾向于對(duì)學(xué)生能力的考查，出現(xiàn)了許多命題背景新穎、考查能力的“高觀點(diǎn)”試題，合理分析這些試題的來源，探尋試題背后隱含的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，可為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些新的生長點(diǎn). 本文就以2022年新高考Ⅰ卷第4題和第5題為例，淺談此類問題背后隱含的“高觀點(diǎn)”和“高觀點(diǎn)”下的教學(xué)對(duì)策.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)高考；辛普森體積公式；歐拉乘積公式

1引言

“高觀點(diǎn)”是“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”的簡稱. 關(guān)于“高觀點(diǎn)”思想，19世紀(jì)末20世紀(jì)初，德國著名數(shù)學(xué)家克萊因在其《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中闡述了“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)數(shù)學(xué)的思想.“高觀點(diǎn)”是指站在高等數(shù)學(xué)的角度去分析和解決初等數(shù)學(xué)問題，避免現(xiàn)實(shí)中高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的脫節(jié)，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育“現(xiàn)代化”［1］. 它包含在高等數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)高度下教授高中數(shù)學(xué)的理念；用高等數(shù)學(xué)的思想和方法指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的行為；在高等數(shù)學(xué)的視角下分析解決高中數(shù)學(xué)某些困難問題的能力［2］.

初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和拓展，這兩個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系緊密而且有交叉和融合，這就說明用“高觀點(diǎn)”的數(shù)學(xué)的思想和方法指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有可行性［3］.

2“高觀點(diǎn)”下的典例

真題展示1

注《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查重要載體就是問題情景. 但正如何小亞教授所說，目前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著多真實(shí)世界的情境少數(shù)學(xué)世界的情境、為創(chuàng)設(shè)情境而創(chuàng)設(shè)情境的誤區(qū). 2022年新高考Ⅰ卷第5題以數(shù)論中質(zhì)數(shù)分布為情景，以歐拉乘積公式這個(gè)高等數(shù)學(xué)結(jié)論為載體，把最前沿的數(shù)學(xué)問題設(shè)置為更簡化的初等數(shù)學(xué)問題，知識(shí)點(diǎn)落實(shí)為古典概型的應(yīng)用. 此題與數(shù)學(xué)前沿知識(shí)的初步聯(lián)結(jié)，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)做知識(shí)上的準(zhǔn)備工作.

3 “高觀點(diǎn)”下教學(xué)的對(duì)策

作為一名高中數(shù)學(xué)教師，僅僅具備高中數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)，那是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 即便是在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中的知識(shí)內(nèi)容范圍內(nèi)，有些問題也需要“高觀點(diǎn)”的知識(shí)背景下來解釋，否則可能造成學(xué)生模糊不清，疑問重重. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們的根本目的在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，目前高考數(shù)學(xué)已從“解題”轉(zhuǎn)向“解決問題”，“知識(shí)考查立意”轉(zhuǎn)向“能力考查立意”，“高觀點(diǎn)”試題為其實(shí)施扮演著舉足輕重的角色. 高等數(shù)學(xué)知識(shí)和初等數(shù)學(xué)如何相結(jié)合，“高觀點(diǎn)”下教學(xué)如何居高臨下地指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，有四條建議：

①用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)去統(tǒng)一建立初等數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)體系. 掌握高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，嘗試著用高等數(shù)學(xué)知識(shí)命制不脫離高中教學(xué)實(shí)際的“高觀點(diǎn)”試題.

②用高等數(shù)學(xué)的思想方法去總結(jié)初等數(shù)學(xué)的解題規(guī)律. 改變復(fù)習(xí)中的“題海戰(zhàn)術(shù)”，不過分追求解題的模式化、程式化和技巧化，不沉迷于題型、公式記憶，發(fā)展學(xué)生的解題能力，夯實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)以不變應(yīng)萬變.

③用高等數(shù)學(xué)的理論對(duì)初等數(shù)學(xué)作新的推廣和發(fā)展. 在不脫離課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的前提下，教師可以對(duì)重要的概念和知識(shí)的聯(lián)系上做必要的拓展. 教師站在高等數(shù)學(xué)的角度去教授，將會(huì)更有利于學(xué)生的領(lǐng)悟.

④“高觀點(diǎn)”的試題設(shè)計(jì)來源于高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，但通性通法仍是高中所學(xué)的初等數(shù)學(xué)知識(shí)，不能誤導(dǎo)將高等數(shù)學(xué)引進(jìn)高考，忽視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）的培養(yǎng)［4］.

從“高觀點(diǎn)”去解決初等數(shù)學(xué)的問題，不僅能夠更好地幫我們理解命題的意圖，同時(shí)也能夠更深刻地理解高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系，更有利于提升我們的思想高度以及切實(shí)解題的能力，真正實(shí)現(xiàn)“居高等數(shù)學(xué)之高”去臨“中學(xué)數(shù)學(xué)之下”［5］.

參考文獻(xiàn)

［1］張勁松.論高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2008（04）：2-5.

［2］胡炳生.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)［M］. 北京：高等教育出版社，1981.

［3］周瑪莉，張勁松.高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2014（03）：7-10.

［4］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［5］李三平.高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)教學(xué)［M］. 上海：科學(xué)出版社，2019.

作者簡介李云鵬（1987—），男，山東濟(jì)寧人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師；先后榮獲濰坊市教學(xué)成果一等獎(jiǎng)、濟(jì)南市優(yōu)秀班主任、濟(jì)南市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教育教學(xué).