彭春燕(山東省臨沂市莒南縣第二小學(xué) 276600)

結(jié)構(gòu)化思維是一種重要的數(shù)學(xué)思維方式,可以引導(dǎo)小學(xué)生從已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中調(diào)取解決當(dāng)前問(wèn)題的方法、經(jīng)驗(yàn),使他們?cè)诿鎸?duì)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)做出準(zhǔn)確判斷、進(jìn)而找到最佳解題策略。學(xué)生必須經(jīng)過(guò)持續(xù)訓(xùn)練才能養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化思維習(xí)慣,這就要求教師有意識(shí)地在教材解讀、課程設(shè)置、活動(dòng)設(shè)計(jì)和作業(yè)布置等環(huán)節(jié)增加培育結(jié)構(gòu)化思維所占的比重,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、遷移應(yīng)用等過(guò)程,將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的思維結(jié)構(gòu),并進(jìn)一步形成結(jié)構(gòu)化思維。

一、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維的內(nèi)涵與功能

結(jié)構(gòu)化思維出自管理學(xué)領(lǐng)域,是對(duì)事物結(jié)構(gòu)進(jìn)行積極建構(gòu),使事物結(jié)構(gòu)更為優(yōu)化、有序化的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的結(jié)構(gòu)化思維是將廣義中的“事物”轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)知識(shí),其具體解釋為“能夠從多角度對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)觀察、分析,并利用關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性、整體性的思維找到解題策略、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法?！睌?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維的對(duì)象是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),它可以使學(xué)習(xí)者在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中形成完備的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

在以往的教學(xué)案例中,數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維偶有使用。如在“平行四邊形的面積”的學(xué)習(xí)中,教師會(huì)引領(lǐng)學(xué)生將“平行四邊形的面積”與已習(xí)得的“長(zhǎng)方形的面積”關(guān)聯(lián)起來(lái)。而在“梯形的面積”這一板塊中,學(xué)生又會(huì)利用已學(xué)的平行四邊形、三角形等知識(shí),研究、探析“梯形的面積”,且對(duì)這些基礎(chǔ)幾何圖形的面積公式進(jìn)行對(duì)比、聯(lián)系。在上述示例中,學(xué)生的思維已呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化特點(diǎn)。但大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂對(duì)結(jié)構(gòu)化思維的運(yùn)用都停留在淺嘗輒止的階段,教師設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)化思維培育環(huán)節(jié)很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主精神、探索動(dòng)力。學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍不會(huì)將新與舊、數(shù)與形、抽象與具象的知識(shí)自主關(guān)聯(lián)起來(lái)。他們從往昔學(xué)習(xí)、生活實(shí)際中所獲的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)很難投入到新知識(shí)新領(lǐng)域的探索中,這就說(shuō)明大部分學(xué)校對(duì)結(jié)構(gòu)化思維的培育還存在誤區(qū),需要加強(qiáng)指向結(jié)構(gòu)化思維培育的教學(xué)對(duì)策研究。

二、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維培育存在的問(wèn)題

1.新舊知識(shí)間的聯(lián)系不夠緊密

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維重視知識(shí)間的溝通與遷移。當(dāng)前,教學(xué)較為忽視知識(shí)的類比遷移,尤其是在新舊知識(shí)之間沒(méi)有建立起交流渠道,導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)片面、靜止、孤立的狀態(tài),不利于學(xué)生的理解應(yīng)用。教師往往“教到哪里就只看哪里”,在這種情況下,學(xué)生的頭腦中無(wú)法生成整體化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系,也難以將新知識(shí)與自身所掌握的知識(shí)進(jìn)行同化。同時(shí),教師也很少有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生拓展、延伸舊知識(shí),并自主探尋新知識(shí),學(xué)會(huì)的知識(shí)如同“放在儲(chǔ)藏間的舊貨”一樣棄之不用,自然也不會(huì)將舊知識(shí)拿出來(lái),同新知識(shí)進(jìn)行觀察、比較。這不僅使新的問(wèn)題無(wú)法解決,還會(huì)造成數(shù)學(xué)知識(shí)技能的生疏與遺忘。

2.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化程度不夠深入

為順應(yīng)課程改革的要求,數(shù)學(xué)教材的編撰也強(qiáng)調(diào)綜合性。教材中不會(huì)特意區(qū)分幾何模塊或代數(shù)模塊,這便給數(shù)學(xué)教師提出了新的教學(xué)要求。“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,為幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),教師可根據(jù)教學(xué)目的,將抽象的數(shù)字符號(hào)與直觀的幾何圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。當(dāng)前,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍沒(méi)有高效利用“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)方法,對(duì)過(guò)于簡(jiǎn)單以至于觀察者無(wú)法提煉出規(guī)律的圖形,沒(méi)有進(jìn)行處理轉(zhuǎn)化,即沒(méi)有借助數(shù)的精確性來(lái)準(zhǔn)確地表達(dá)某些幾何特性。相較于形,小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)的內(nèi)容更為抽象,但教師卻習(xí)慣性地忽視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,在教學(xué)中往往教到數(shù)字就只講數(shù)字,教到幾何就只講幾何,沒(méi)有利用圖像對(duì)數(shù)進(jìn)行直觀闡述。如此一來(lái),學(xué)生無(wú)法發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在數(shù)中的隱蔽、復(fù)雜信息,也無(wú)法培養(yǎng)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化思維。

3.數(shù)學(xué)與外部世界的對(duì)應(yīng)不夠貼切

數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然較為抽象,但與客觀現(xiàn)實(shí)具有較強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。不少教師并沒(méi)有建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系,在知識(shí)講授中不善于使用簡(jiǎn)化模型。如果教師不能引導(dǎo)學(xué)生從具體生活情境中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題,學(xué)生即便能夠牢記公式步驟、推理過(guò)程,也不一定真正理解數(shù)學(xué)計(jì)算的內(nèi)在規(guī)律,更不會(huì)舉一反三地解決問(wèn)題。有些教師雖有意識(shí)地使用教具模型幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題,但沒(méi)有考慮學(xué)生的接受能力與認(rèn)知規(guī)律,模型的功能沒(méi)有被充分發(fā)揮,成了“走過(guò)場(chǎng)”“充門面”的冗余工具。在這一情況下,學(xué)生雖能按照教師的要求操作模型、解答問(wèn)題,但還很難將模型與所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),也無(wú)法將現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。

三、指向結(jié)構(gòu)化思維培育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)策

1.溝通新舊知識(shí),加強(qiáng)對(duì)新知的同化與內(nèi)化

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維重視利用已有解題思路解決新的問(wèn)題。在數(shù)學(xué)中,每一類問(wèn)題都不是獨(dú)立存在的,而是與其他知識(shí)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。指向結(jié)構(gòu)化思維培育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系,找出隱藏在不同問(wèn)題中的共同特征與相似結(jié)構(gòu),并將已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)遷移到新的領(lǐng)域,從而實(shí)現(xiàn)新知與舊知的結(jié)合與同化,將完整的知識(shí)體系內(nèi)嵌于心,為日后遷移應(yīng)用提供豐富的知識(shí)儲(chǔ)備。

在“除數(shù)是小數(shù)的除法”的教學(xué)中,為達(dá)到新舊知識(shí)的溝通與遷移,教師可以先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)除數(shù)為整數(shù)的除法知識(shí)。教師先給出一系列除法算式:60÷15、600÷150、6000÷1500、6÷1.5。對(duì)于五年級(jí)的學(xué)生而言,前三個(gè)除法式子不存在解答難度,且很容易看出,除數(shù)、被除數(shù)的值雖然不一樣,但答案卻是一樣的。教師再讓學(xué)生自由觀察討論前三題的其他共同點(diǎn),學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的除數(shù)與被除數(shù)較相鄰題目均同時(shí)擴(kuò)大或縮小了10倍,學(xué)生便能將這一發(fā)現(xiàn)遷移到除數(shù)為小數(shù)的除法問(wèn)題上,從而猜出最后一題的答案。接下來(lái),教師給出算式8÷0.32,要求學(xué)生將其按照先前的猜測(cè)轉(zhuǎn)換為除數(shù)為整數(shù)的除法,學(xué)生往往能夠“照貓畫(huà)虎”,根據(jù)前文所提及的四組運(yùn)算,將算式寫作“800÷32”。此時(shí),教師拋出“為什么前面要補(bǔ)上兩個(gè)‘0’”等問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)出小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律與“補(bǔ)0”的數(shù)量依據(jù)。在這一環(huán)節(jié)中,學(xué)生思考討論所總結(jié)出的知識(shí)還能繼續(xù)遷移到被除數(shù)與除數(shù)都是小數(shù)的除法題目中。學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知、構(gòu)建新知的過(guò)程中將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)整合起來(lái),有利于建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系,進(jìn)而加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

2.重視數(shù)形結(jié)合,把握數(shù)量之間的關(guān)系本質(zhì)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的研究對(duì)象,將這兩部分內(nèi)容轉(zhuǎn)化、結(jié)合,有利于學(xué)生對(duì)抽象事物的理解、解題思路的優(yōu)化。把數(shù)學(xué)中復(fù)雜的數(shù)字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像,再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納形與數(shù)之間的關(guān)系,從而使學(xué)生深入理解數(shù)與數(shù)的關(guān)系本質(zhì)。

在“異分母分?jǐn)?shù)的加、減法”教學(xué)中,教師可以使用數(shù)形結(jié)合的講解方法,加深學(xué)生對(duì)算理的理解。以算式“2/3+1/9”為例,教師可以刻畫(huà)一幅扇形圖:將圓形劃分為9 份,其中一份標(biāo)為紅色,三份為藍(lán)色。這幅圖對(duì)應(yīng)了“2/3+1/9”的運(yùn)算本質(zhì),學(xué)生在對(duì)圖像的認(rèn)識(shí)中不難領(lǐng)會(huì)“異分母分?jǐn)?shù)的加減法需要先將兩個(gè)分?jǐn)?shù)劃分為同分?jǐn)?shù)單位”這一原則。

以“將3.27 保留一位小數(shù)求取近似數(shù)”為例,教師可以先提出“為何保存一位的小數(shù)求近似數(shù)要看第二位?”等問(wèn)題,學(xué)生往往會(huì)圍繞數(shù)字來(lái)回答該問(wèn)題。這時(shí)候,教師可出示直線刻度圖,將數(shù)字3與4之間平均分成10份,再將10份中的第2條刻度線與第三條刻度線之間再平分10份,便可以找到“3.27”對(duì)應(yīng)的位置。學(xué)生看到該圖后便能夠察覺(jué)到,相較于“3.2”“3.27”,3同“3.3”的距離更為接近。在此過(guò)程中,學(xué)生先獲悉圖畫(huà)信息,再建立圖形與數(shù)字的聯(lián)系,最終通過(guò)圖畫(huà)理解數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系,這有利于學(xué)生對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解與解決,有助于學(xué)生在數(shù)與形的融會(huì)貫通中建立起數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

3.建立直觀模型,澄清數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)學(xué)模型一般指將復(fù)雜、前沿問(wèn)題簡(jiǎn)潔化、形式化的研究方案。小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題雖談不上復(fù)雜、高深,但仍可以真實(shí)性、簡(jiǎn)易性、直觀性、系統(tǒng)性為目的,建立能夠客觀反映數(shù)學(xué)現(xiàn)象的實(shí)物模型,并以此明晰抽象理論與現(xiàn)實(shí)世界的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在“乘法分配律”教學(xué)中,教師可以利用低年級(jí)知識(shí)“長(zhǎng)方體體積”進(jìn)行建模。教師先拿出三個(gè)立方體,它們的長(zhǎng)寬高分別為7cm、5cm、4cm;3cm、5cm、4cm;4cm、5cm、4cm。這三個(gè)立方體寬與高是相等的,區(qū)別就在于長(zhǎng)度:第一個(gè)立方體的長(zhǎng)度等于其余兩個(gè)立方體長(zhǎng)度的和。也就是說(shuō),將后兩個(gè)立方體拼合為一體后形成的新立方體與第一個(gè)立方體是全等的。教師再要求學(xué)生計(jì)算新立方體的體積,會(huì)發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的計(jì)算中存在兩種求體積方法,第一種是(3×20)+(4×20),第二種則是(3+4)×20。采用第一種方法的學(xué)生是將兩個(gè)立方體分別求積再相加,而采用第二種方法的學(xué)生則是將兩個(gè)立方體想象為一體,先算新立方體的長(zhǎng),再算它的體積。上述兩種計(jì)算方法均正確、合理,并且它們的計(jì)算結(jié)果顯然相同,這準(zhǔn)確地反映了乘法分配律。教師借助立方體模型將抽象的數(shù)字符號(hào)直觀地呈現(xiàn)出來(lái),有利于學(xué)生建立起抽象理論與具象事物的聯(lián)系,將復(fù)雜、晦澀的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔、清晰的結(jié)構(gòu)化知識(shí),最終建立起數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

四、結(jié)語(yǔ)

結(jié)構(gòu)性思維有利于小學(xué)生建立對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知,增強(qiáng)其發(fā)現(xiàn)、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。教師需要使用多樣的教學(xué)策略,在緊扣教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上了解學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)溯源新知識(shí),厘清知識(shí)脈絡(luò)、延展思考維度,使學(xué)生更加系統(tǒng)、完整地把握數(shù)學(xué)知識(shí),并形成結(jié)構(gòu)化思維。最終,學(xué)生將學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去觀察、認(rèn)知、解構(gòu)世界,甚至能用數(shù)學(xué)工具能動(dòng)地改造現(xiàn)實(shí)世界。