摘 要：數(shù)學(xué)作為我國課程體系中的三大主科之一，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)所有理科知識的基礎(chǔ)，還關(guān)系到他們思維能力與推理能力的發(fā)展.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)屬于一個常規(guī)環(huán)節(jié)，主要鍛煉學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.教師既要關(guān)注理論知識的講授，還需介紹一些常用的解題方法，構(gòu)造法即為其中一個，可指導(dǎo)他們巧用構(gòu)造法解答數(shù)學(xué)題，助其解題水平穩(wěn)步升高.筆者針對如何巧用構(gòu)造法解答初中數(shù)學(xué)題作探討，并羅列部分解題案例.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；方程；不等式；函數(shù)

中圖分類號：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0089-03

構(gòu)造法就是當(dāng)處理部分?jǐn)?shù)學(xué)試題時，采用常規(guī)方法或者按照定向思維很難處理，可結(jié)合題目中已知條件與所求結(jié)論的性質(zhì)、特征，基于新觀點(diǎn)、新視角重新分析與理解，把握好反映問題條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，以原題中條件為基礎(chǔ)，通過已知數(shù)學(xué)理論與關(guān)系式構(gòu)造出新對象，呈現(xiàn)題目中的隱性關(guān)系，從而方便、快捷地解決數(shù)學(xué)試題［1］.初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指引學(xué)生巧用構(gòu)造法解答試題，使其會根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造新對象，讓他們輕松完成試題求解.

1 巧用方程構(gòu)造法，解答數(shù)學(xué)題

“方程”作為學(xué)生從小學(xué)階段就開始接觸到的一個知識，進(jìn)入初中以后，他們將會學(xué)習(xí)到更多與方程相關(guān)的知識，不僅要學(xué)習(xí)簡單的一元一次方程，還要學(xué)習(xí)一元二次方程及方程組等內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著關(guān)鍵地位，而且方程知識在解題中應(yīng)用廣泛.針對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說，部分試題難度系數(shù)較高，教師可以指導(dǎo)學(xué)生以認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容為前提，根據(jù)題干中給出的已知條件與數(shù)量關(guān)系構(gòu)造出新的方程形式，由此把方程思想體現(xiàn)出來，使其結(jié)合方程知識找到合理的解題思路，讓他們有效轉(zhuǎn)化問題，降低解題難度，順利解答數(shù)學(xué)題.

例1 已知x、y、z為三個不一樣的實(shí)數(shù)，其中x＞y＞z，滿足x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，請求出x+y的取值范圍.

分析 本題中出現(xiàn)的方程比較特殊，形式分別是三元一次方程和三元二次方程.如果使用常規(guī)方法受限于已知條件難以順利完成解題，首選思路通常是采用整體替換法，根據(jù)題目中給出的條件進(jìn)行替換，但是采用這樣的方法解題過程較為復(fù)雜，很難輕松求出代數(shù)式x+y的取值范圍.可以巧妙應(yīng)用構(gòu)造方程的方法，根據(jù)題干中的所給條件與結(jié)論構(gòu)造出新的方程形式，然后再利用方程相關(guān)知識求出x+y的取值范圍.

詳解 因?yàn)閤+y+z＝1，所以x+y＝1-z，將兩邊同時平方以后可以得到（x+y）2＝（1-z）2，又因?yàn)閤2+y2+z2＝1，

整理、化簡以后能夠得到xy＝z2-z，

結(jié)合這兩個式子可以看出x、y為方程m2+（z-1）m+（z2-z）＝0兩個不一樣的實(shí)數(shù)根，即為構(gòu)造出的新方程，

然后根據(jù)△＞0能夠得到-13＜z＜1，也就是-13＜1-（x+y）＜1，

所以x+y的取值范圍為43＞x+y＞0.

例2 已知三個實(shí)數(shù)x，y，z同時滿足x+y＝3，xy＝（z-3）2+x+1，請問x+2y+3z的值是什么？

分析 本題屬于較為常見的代數(shù)式求值類題目，可以先對題干中給出的幾個條件進(jìn)行變形處理，將原式整理為關(guān)于兩個式子的求解題目，再認(rèn)真觀察題目提供的已知式子的特征與形式，代入和化簡后構(gòu)造出一個新方程，隨后借助方程的性質(zhì)就能輕松解題.

詳解 因?yàn)閤+y＝3，所以y＝-x+3，將式子y＝-x+3代入到式子xy＝（z-3）2+x+1中，消去變量y，然后所有項(xiàng)全部移動至右邊，配方以后可以得到一個新的方式（x-1）2+（z-3）2＝0，由此得到x-1＝0，z-3＝0，解得x＝1，z＝3，

又因?yàn)閤y＝（z-3）2+x+1，求得y＝2，所以x+2y+3z＝1+2×2+3×3＝1+4+9＝14.

2 巧用不等式構(gòu)造法，解答數(shù)學(xué)題

不等式本身就是一類與眾不同的代數(shù)式，通常用“＞、＜、≥、≤、≠”等特殊符號來表示式子的大小關(guān)系，學(xué)生在小學(xué)階段也有所接觸，不過在初中階段他們所學(xué)的不等式知識更為復(fù)雜，難度和深度均更高，會遇到一元二次不等式與不等式組等新知識，而且很多題目中都涉及不等式方面的內(nèi)容.對于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，當(dāng)遇到部分題干比較長的題目時，教師需要提醒學(xué)生在閱讀過程中關(guān)注一些特殊詞語，像“最小”“最大”“至少”“不高于”“不低于”等，使其審清題意構(gòu)造出不等式，讓他們結(jié)合不等式的性質(zhì)解答數(shù)學(xué)題.

例3 已知某公司準(zhǔn)備有A、B兩種材料，重量分別是360千克和290千克，現(xiàn)在計(jì)劃使用這兩種材料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品一共50個，生產(chǎn)一個甲產(chǎn)品分別需用到A、B兩種材料9千克與3千克，利潤為700元/個，生產(chǎn)一個乙產(chǎn)品分別需A、B兩種材料4千克與10千克，利潤是1200元/個，請求：

（1）根據(jù)上述條件與要求生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品一共有幾種方案？分別寫出來；

（2）設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品能夠得到的總利潤為y（元），生產(chǎn)甲商品x個，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)指出（1）種哪種生產(chǎn)方案可以得到最大利潤？最大利潤是多少錢？

分析 處理第（1）問時，本題題干較長，閱讀過程中需善于把握住關(guān)鍵信息，基于專業(yè)的數(shù)學(xué)語言重新描述題意，結(jié)合已知條件巧妙應(yīng)用構(gòu)造法構(gòu)造一個不等式組，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)將符合題意的幾種方案都設(shè)計(jì)出來；解決第（2）問時，可結(jié)合第（1）問信息列出一個函數(shù)解析式，隨后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及實(shí)際生產(chǎn)情況確定最終生產(chǎn)方案，且求出最大利潤.

詳解 （1）因?yàn)樯a(chǎn)甲產(chǎn)品x個，那么生產(chǎn)的乙產(chǎn)品是（50-x）個，結(jié)合題意可以構(gòu)造出下列不等式組：9x+4（50-x）≤3603x+10（50-x）≤290，求得30≤x≤32，

因?yàn)閤的值只可以是正整數(shù)，所以x只能取30，31，32，

即為生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量，結(jié)合（50-x）能夠分別求得乙產(chǎn)品的數(shù)列分別為20，19，18，那么總的來說一共有3種生產(chǎn)方案，分別是：①甲商品30個，乙商品20個；②甲商品31個，乙商品19個；③甲商品32個，乙商品18個.

（2）結(jié)合題意能夠列出函數(shù)解析式y(tǒng)＝700x+

1 200（50-x）＝-500x+60 000（30≤x≤32），結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)知道這是一個減函數(shù)，x的值越大，y的值就越小，所以當(dāng)x＝30時利潤有最大值，即為生產(chǎn)甲產(chǎn)品30個、乙產(chǎn)品20個時可以得到最大利潤，

這時y＝-500×30+60 000＝45 000，求出最大利潤是45 000元，

所以說y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝-500x+60 000，按照（1）中的方案①可以得到最大利潤，最大利潤為45 000元.

3 巧用函數(shù)構(gòu)造法，解答數(shù)學(xué)題

函數(shù)可謂是貫穿于整個初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)，在課程體系中有著相當(dāng)重要的地位.學(xué)習(xí)好函數(shù)知識意義重大，不僅可以解決函數(shù)方面的問題，還能夠用來分析和解決其它方面的數(shù)學(xué)試題，究其原因主要在于很多數(shù)學(xué)試題都可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行解題，雖然有時難以直接求解，不過有助于解題思路的打開.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)遇到難度較大的試題時，如果在短時間內(nèi)很難找到解題的切入點(diǎn)，教師可指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題干內(nèi)容，從中找到關(guān)鍵性信息，讓他們構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，使其根據(jù)函數(shù)圖像、性質(zhì)等處理數(shù)學(xué)試題.

例4 如圖1所示，一位籃球員正在進(jìn)行籃球投籃訓(xùn)練，其中籃球的運(yùn)動軌跡是一條拋物線，解析式為y＝-15x2+3.5，可以順利投入籃筐，已知籃筐距離地面的高度為3.05米，求：

（1）籃球在空中運(yùn)行過程中最高點(diǎn)是多高？

（2）如果這名籃球運(yùn)動員進(jìn)行跳投時，出手時籃球與地面的高度為2.25米，請問他同籃筐中心之間的水平距離為多遠(yuǎn)？

分析 處理第（1）問時，需要將整個函數(shù)圖形給構(gòu)造完整，結(jié)合函數(shù)圖象及性質(zhì)計(jì)算出籃球整個運(yùn)行軌跡中最高點(diǎn)是多高；解決第（2）問時，應(yīng)該把這一函數(shù)的坐標(biāo)系構(gòu)造出來，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解，順暢求出這名運(yùn)動員同籃筐中心之間的水平距離.

詳解 （1）結(jié)合題意知道籃球沿著拋物線y＝-15x2+3.5的軌跡運(yùn)行，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5），如圖1所示，將籃球的運(yùn)行軌跡大致畫出來，屬于這條拋物線的一段，驗(yàn)證以后能夠判斷出最高點(diǎn)位于函數(shù)的定義域內(nèi)，即為在空中運(yùn)行過程中最高點(diǎn)是

3.5米；

（2）在圖1建立坐標(biāo)系，如圖所示，經(jīng)過審題后能夠判定出該籃球運(yùn)動員所處位置的橫坐標(biāo)，根據(jù)籃筐處的高度為y＝3.05米，代入拋物線的解析式可以求得這時x＝1.5米；

再結(jié)合該籃球運(yùn)動員進(jìn)行跳投時出手高度是y＝2.25米，則求得x＝-2.5（x≤0），所以說該運(yùn)動員同籃筐中心之間的水平距離為1.5+2.5＝4米.

例5 如果x1、x2是方程（x-m）（x-3）＝-1的兩個根，且x1＜x2，m＜3，那么實(shí)數(shù)x1，x2，3，m的大小關(guān)系如何？

（A）m＜x1＜x2＜3（B）x1＜m＜x2＜3（C）x1＜m＜3＜x2（D）x1＜x2＜m＜3

分析 雖然本題是一道典型的方程題目，但是方程和函數(shù)存在著十分密切的聯(lián)系，處理此類試題時可基于函數(shù)視角切入，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建出相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象平移與性質(zhì)等順利完成解題.

詳解 因?yàn)閤1、x2是方程（x-m）（x-3）＝-1的兩個根，且x1＜x2，m＜3，

所以可構(gòu)造函數(shù)y1＝（x-m）（x-3），y2＝（x-m）（x-3）+1，

其中函數(shù)y1圖象與x軸的交點(diǎn)是x＝m，x＝3，

函數(shù)y2圖象與x軸的交點(diǎn)是x1、x2，

函數(shù)y2圖象能夠視為由函數(shù)y1圖象，往上平移一個單位后得到的，在同一個平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖2所示，能夠清晰看到m＜x1＜x2＜3，

所以正確答案是選項(xiàng)A.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 黃智增.窮則變 變則通：“構(gòu)造法”巧解初中數(shù)學(xué)題舉隅［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（15）：25-27.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：楊少婷（1977.3-），女，福建省泉州人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.