福建省武夷山市第二中學(xué)

林夢雨

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(2022湖北黃岡中考模擬)

問題背景：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，將△CAE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，AD的延長線交邊BF于點(diǎn)P.

問題探究：(1)探究EP，F(xiàn)P之和與BP之間的數(shù)量關(guān)系.

①先將問題特殊化，如圖2，當(dāng)CE⊥AD時(shí)，直接寫出EP，F(xiàn)P之和與BP之間的數(shù)量關(guān)系；

②再探究一般情形，如圖1，當(dāng)CE不垂直AD時(shí)，證明①中的結(jié)論仍然成立.

圖2

圖3

拓展探究：(2)如圖3，若AD的延長線交BF的延長線于點(diǎn)P時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示EP，F(xiàn)P，BP之間的數(shù)量關(guān)系.

2 考點(diǎn)及特征分析

本題是一道幾何探究問題，以旋轉(zhuǎn)為知識載體，探求幾何圖形在特殊情況和一般情況下的性質(zhì)，問題由易到難，逐層深入.思考模式為：利用上一個(gè)問題的解決方法來類比解決下一個(gè)問題.如果不能解決，就把兩個(gè)問題結(jié)合起來分析，找出不能類比的原因和“不變”特征，圍繞“不變”特征進(jìn)行新的探索.本題第①問易上手，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及正方形、全等三角形等知識點(diǎn)就可以解決；第②問類比第①問的處理方式構(gòu)造正方形，經(jīng)過兩次全等即可解決. 第(2)問，同樣是在同一位置構(gòu)造正方形，證兩次全等，只不過過程與前兩問不完全一致而已，結(jié)論由“線段之和”改成了“線段之差”，但解題所用的方法、知識基本相同. 此類題目體現(xiàn)“特殊與一般”，運(yùn)用類比思想探究科學(xué)解決問題的基本思路，是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生理性思維的較好素材.

3 試題解析

經(jīng)過探究與思考，發(fā)現(xiàn)本題解法較多，簽于篇幅有限，筆者重點(diǎn)分析最具研究價(jià)值的第(2)問，現(xiàn)整理如下.

解法1：設(shè)元思想.

圖4

點(diǎn)評：解法1思路簡單、清晰.由旋轉(zhuǎn)得對應(yīng)角相等和對頂角相等，直接得到相似三角形對應(yīng)邊成比例.由直角三角形聯(lián)想到勾股定理，在線段相等的轉(zhuǎn)換處理中，運(yùn)用了設(shè)而不求的方程思想，轉(zhuǎn)換非常巧妙，大道至簡.

解法2:作垂證正方形.

圖5

如圖5，過點(diǎn)C作CH⊥AP交于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM∥AP交BF的延長線于點(diǎn)M，則四邊形CHPM為矩形.證△CEH≌△CFM，得到四邊形CHPM為正方形.再證△CHD≌△BPD,得CH=BP.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

點(diǎn)評：解法2延續(xù)了第①問的解題思路，類比特殊情況構(gòu)造正方形解題.滿分的學(xué)生大部分都是用這種方法，亦屬本題的自然解法.

解法3:截長法，移花接木.

圖6

如圖6，在AE上截取一點(diǎn)P′，使得EP′=PF，過點(diǎn)C作CH⊥AP交于點(diǎn)H.易證△CEP′ ≌△CFP，得CP′=CP，∠P′CP=90°，則BP=CH=PH=P′H.

故EP+FP=EP+EP′=PP′=2CH=2BP.

解法4:補(bǔ)短法.

圖7

點(diǎn)評：解法3和解法4思路來源于證明線段之間的和差關(guān)系，聯(lián)想到截長補(bǔ)短法. 截長補(bǔ)短法也是初中階段最為常見、最為經(jīng)典的解決線段和差問題的策略.

解法5:“K字型”全等.

圖8

如圖8，過點(diǎn)C作MN∥AP，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作MN的垂線，垂足為點(diǎn)M，N.易證四邊形EMNP是矩形，得EP=MN，DP∥CN.又由D為BC中點(diǎn)，可知點(diǎn)P為BN中點(diǎn).易證△ECM≌△CFN，得CM=FN，CN=EM.則EP=MN=MC+NC=FN+PN=BP-FP+BP，即EP+FP=2BP.

點(diǎn)評：由等腰直角三角形聯(lián)想到構(gòu)造一線三垂直“K字型”全等，由中點(diǎn)和平行得到中位線，從而將線段之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

解法6:四點(diǎn)共圓.

圖9

如圖9，過點(diǎn)C作CH⊥AP交于點(diǎn)H，CM⊥BF交BF的延長線于點(diǎn)M.由∠ACB=∠APB=90°，得點(diǎn)A，C，P，B四點(diǎn)共圓，則∠CBA=∠CPD=∠CPF=45°.由角平分線性質(zhì)，得CH=CM，從而得到四邊形CHPM為正方形.故EP+FP=EH+PH+FP=FM+BP+FP=2BP.

點(diǎn)評：由共斜邊且在同側(cè)的兩直角三角形聯(lián)想到四點(diǎn)共圓，再運(yùn)用圓周角定理的推論和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到CP為∠FPA的角平分線.此法看似簡單，但對四點(diǎn)共圓及圓的性質(zhì)要掌握得非常熟練，富有創(chuàng)新性，有鮮明特點(diǎn)，值得點(diǎn)贊.

4 解題反思

4.1 了解類比綜合題特點(diǎn)

近幾年，類比拓展探究問題越來越頻繁出現(xiàn)在各類考試中.因?yàn)樗饶芎芎玫乜疾椤读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對學(xué)生知識要求的掌握情況，也能更好地考查學(xué)生活學(xué)活用的能力，即能否把書本知識很好地遷移、拓展到新的問題情境之中. 這樣的題型一般多以大題出現(xiàn)，涉及知識點(diǎn)較多，與圖形變換知識有關(guān)，對學(xué)生運(yùn)用知識的能力要求較高.

正如美國數(shù)學(xué)家G.波利亞所言：“類比是一個(gè)偉大的引路人.”類比探究問題的解決策略，將一般條件與特殊條件相結(jié)合，由特殊情形過渡到一般情形；或由簡單到復(fù)雜，逐步深化；解決問題的思想方法一脈相承.體現(xiàn)了“條件類似，圖形結(jié)構(gòu)類似，解法類似”的特點(diǎn).

解決類比探究問題的方法是類比.如，類比輔助線，類比思路，將特殊情形中的問題解決方法類比到一般情形中去.對比前后條件的變化，尋找并利用不變特征，類比方法，類比圖形特征，進(jìn)行推理求證. 正如德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒曾指出：“我重視類比勝過任何別的東西，他是我最依賴的老師，在幾何學(xué)中它應(yīng)該不容忽視.” 因此，培養(yǎng)學(xué)生解決類比問題的解題策略、解題信心、解題心理及解題方向至關(guān)重要.

4.2 一題多解，培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)

創(chuàng)新素養(yǎng)是初中生的核心素養(yǎng)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，獨(dú)立思考、理性思考是創(chuàng)新的核心與關(guān)鍵.面對問題，認(rèn)真審題是解題的基礎(chǔ).可以由已知向結(jié)論推理，或由結(jié)論向已知推證；或者從兩邊向中間追尋，尋找已知與結(jié)論之間的橋梁，由題目的已知條件能夠挖掘出什么重要結(jié)論，由條件能聯(lián)想到什么，由結(jié)果還能聯(lián)想到什么.

一題多解是目前一般學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)研究的方向，在課堂中一般都有體現(xiàn).它是一種過程性變化變式教學(xué)，在實(shí)際應(yīng)用教學(xué)中，也特別關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效提升.特別強(qiáng)調(diào)教師要結(jié)合數(shù)學(xué)問題，將條件與結(jié)論不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)換，凸顯自身對不同教學(xué)模擬內(nèi)容、方法的不同理解.這有利于學(xué)生知識方法的鞏固，數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，創(chuàng)新意識的提升.

總之，在平時(shí)教學(xué)中，教師要了解學(xué)生知識與能力的起點(diǎn)，明晰學(xué)生的困難與需要，不能浮光掠影，而應(yīng)深度揭示題目的內(nèi)涵，挖掘思想品質(zhì)，提升思維品質(zhì).