劉丹丹

沈陽市博才初級中學(xué)邵愛平老師的直播課《平行四邊形性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用》選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實(shí)國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個(gè)性化提升。

邵愛平老師的直播課，從知識(shí)梳理、典型例題、變式訓(xùn)練、中考鏈接四個(gè)方面展開，幫助同學(xué)們結(jié)合圖形理解、總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)及判定方法，引導(dǎo)同學(xué)們多角度思考，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)方法. 平行四邊形是初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要圖形之一. 它既是平行線、全等三角形等知識(shí)的后續(xù)應(yīng)用，又是進(jìn)一步理解特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的必要基礎(chǔ)，為研究兩條直線平行、線段相等及角相等提供了新的方法和依據(jù).

典例探究

例 如圖1，在?ABCD中，以AB，CD為邊在?ABCD外側(cè)作等邊三角形AEB和等邊三角形CFD.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

學(xué)法指導(dǎo)1：從邊的角度證明平行四邊形，兼顧邊的數(shù)量和位置關(guān)系，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”求證結(jié)論.

證法1：如圖2，連接ED，BF，BD，BD與EF交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB = CD，AB[?]CD，∴∠ABD = ∠CDB.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°，

∴∠ABD + ∠EBA = ∠CDB + ∠CDF，即∠EBO = ∠FDO，

∴BE[?]DF.

∵BE[?]DF，BE = DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學(xué)法指導(dǎo)2：從邊的角度證明平行四邊形，如果只考慮邊的數(shù)量關(guān)系，需要根據(jù)“兩組對邊分別相等”求證結(jié)論.

證法2：如圖3，設(shè)AB，CD與EF分別交于點(diǎn)G，H，連接ED，BF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB[?]CD，AB = CD，∴∠AGH = ∠CHG.

∵∠BGE = ∠AGH，∠DHF = ∠CHG，

∴∠BGE = ∠DHF.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°.

∵∠BEG = 180° - ∠EBA - ∠BGE，∠DFH = 180° - ∠CDF - ∠DHF，

∴∠BEG = ∠DFH，∴BE[?]DF.

∵BE = DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學(xué)法指導(dǎo)3：從邊的角度證明平行四邊形，如果只考慮邊的位置關(guān)系，需要根據(jù)“兩組對邊分別平行”來證明.

證法3：連接DE，BF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD = BC，AD[?]BC，∠BAD = ∠BCD.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AE = AB = CD = CF = DF，∠EAB = ∠DCF = 60°.

∵∠EAD = 360° - ∠EAB - ∠BAD，∠FCB = 360° - ∠DCF - ∠BCD，

∴∠EAD = ∠FCB.

∵AE = CF，AD = BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE = BF.

∵BE = DF，DE = BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學(xué)法指導(dǎo)4：從特殊線的角度證明平行四邊形，需要根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明.

思考：你能類比上面的推理思路和過程，得到其他證法嗎？你認(rèn)為哪種證明思路更簡捷？

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE = CF，求證：四邊形DEBF為平行四邊形.（請同學(xué)們從多角度思考，答案略）

〔作者單位：遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)（初中部）〕