安愷凱 (江蘇省天一中學(xué) 214101)

1 教學(xué)現(xiàn)象

教育部考試中心的趙軒和任子朝教授在文獻(xiàn)[1]中指出:“高考立足于培育學(xué)生支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時代要求的能力.”同時西方學(xué)者H.R.韋爾斯也曾說過:“統(tǒng)計思維總有一天會像讀和寫一樣成為一個有效率公民的必備能力.”由此便不難理解為何隨著課程改革的推進(jìn),統(tǒng)計內(nèi)容在新教材中的比重大幅增加,統(tǒng)計問題在新高考中的地位日益顯著,這符合人的發(fā)展、社會的發(fā)展,以及數(shù)學(xué)自身的發(fā)展.然而統(tǒng)計問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科與生產(chǎn)生活實際聯(lián)系的主要渠道之一,卻在日常教學(xué)與命題中遇到了不小的困境.

1.1 命題困境

縱觀新高考實施以來各地?？荚囶},雖然統(tǒng)計類試題的命題情境能較好地聯(lián)系自然社會實際,但試題考查角度較為單一,一般都以計算回歸直線方程或卡方值為固定考查方向,缺乏多樣性與創(chuàng)新性.又由于相關(guān)公式都由試題附帶,統(tǒng)計試題變成了單純的套用公式、機(jī)械計算題,喪失了對學(xué)生統(tǒng)計思維和核心素養(yǎng)的考查與選拔區(qū)分功能.

1.2 教學(xué)困境

在統(tǒng)計內(nèi)容的日常教學(xué)中也普遍存在表面化、公式化、套路化等現(xiàn)象,原因主要有三點:首先,如章建躍教授在文獻(xiàn)[2]中指出,“教師的知識儲備不夠,許多教師在大學(xué)沒有學(xué)多少概率、統(tǒng)計知識,對這一內(nèi)容不熟悉,把握不準(zhǔn)確,他們不習(xí)慣不確定性的教學(xué)”.其次,教學(xué)現(xiàn)象與命題現(xiàn)象之間相互影響,形成“惡性反饋循環(huán)”,由于試題只考查單純計算,所以教學(xué)只教解題步驟.又由于教學(xué)只教解題步驟,所以命題只命制單純計算.第三,以回歸直線方程系數(shù)和卡方表達(dá)式為例,教材中核心統(tǒng)計量在初等數(shù)學(xué)方法上的推導(dǎo)過程較為復(fù)雜,與課堂容量和學(xué)生學(xué)情之間有一定的矛盾性,教師因此不愿意在化解這類矛盾性上多下功夫,而傾向于采用更為功利性的灌輸記憶與機(jī)械訓(xùn)練的教學(xué)方式.

要想打破統(tǒng)計教學(xué)與命題所面臨的困境,急需新高考真題的一聲“驚雷”.2022年全國新高考I卷統(tǒng)計試題標(biāo)新立異,通過引入新的統(tǒng)計量,致使套路失效,但又不脫離獨立性檢驗原理,有效地考查了學(xué)生對列聯(lián)表與獨立性檢驗本質(zhì)的深層理解,促使教師在統(tǒng)計內(nèi)容教學(xué)過程中重視公式的生成、原理的辨析、思維的培養(yǎng).

2 問題呈現(xiàn)

問題1(2022年全國新高考I卷第20題)一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

表1

表2

本題第(1)問考查內(nèi)容延用“列聯(lián)表與獨立性檢驗”中的主干知識——卡方檢驗,只要教師在平時教學(xué)活動中確切立足于“四基”,即引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗,同時學(xué)生具備一定的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),便不難在高考考場上作出正確解答.

本題第(2)問引入新的統(tǒng)計量,要求學(xué)生通過條件概率公式證明新統(tǒng)計量兩個表達(dá)式之間的等價關(guān)系,一方面更深層地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng),另一方面讓一味地“刷題”訓(xùn)練的模式在高考考場中失速失效,突出了對學(xué)生現(xiàn)場理解、獨立思考、創(chuàng)新意識的考查,有效地增強(qiáng)了試題在學(xué)生思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力上的甄別功能.然而第(2)問引入的新統(tǒng)計量對于很多教師而言都較為陌生,不知所名,不知出處,不知有何實際統(tǒng)計意義.筆者在下文中對該新統(tǒng)計量逐本溯源,以期能幫助同行加深對本題的理解.

3 逐本溯源

獨立性檢驗是檢驗分類變量之間關(guān)聯(lián)性強(qiáng)弱的統(tǒng)計方法[3].分類變量(categorical variable),又可譯為屬性變量,定義為由類的集合組成的度量量表,不同于連續(xù)變量,屬性變量的觀測值僅表明結(jié)果所屬類別.近年來,針對屬性數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法的應(yīng)用日益廣泛,尤其是在生物醫(yī)學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域.

問題1中的度量指標(biāo)R涉及到兩個屬性數(shù)據(jù)分析中的統(tǒng)計概念——優(yōu)勢(odds)與優(yōu)勢比(odds ratio).

表3

基于以上的認(rèn)識,我們可以得到問題1第(2)問中優(yōu)勢比兩個表達(dá)式之間等價關(guān)系的直觀理解.當(dāng)列聯(lián)表的行和列顛倒后,優(yōu)勢比并不變化.所以表的行可以作為列,列可以作為行.不論我們是把列當(dāng)作響應(yīng)變量而把行當(dāng)作解釋變量,還是把列當(dāng)作解釋變量而把行當(dāng)作響應(yīng)變量,我們都會得到相同的優(yōu)勢比,所以我們在估計R時并不需要去設(shè)定某個變量為響應(yīng)變量.

梳理清楚了度量指標(biāo)R的“源頭”,能否由此延伸出更多有關(guān)度量指標(biāo)R的思考“流向”,以供學(xué)生繼續(xù)深入探究,發(fā)展高階創(chuàng)新思維呢?

思考流向1 問題1類比卡方K2表達(dá)式的生成過程,從條件概率的角度出發(fā),雖然很好地考查了優(yōu)勢比R與分類變量之間的聯(lián)系,但未能像卡方K2一樣生成由具體頻數(shù)a,b,c,d表示的表達(dá)式,不妨要求學(xué)生繼續(xù)嘗試公式推導(dǎo).

思考流向2 獨立性檢驗的零假設(shè)H0為事件A與B獨立,我們已經(jīng)知道若H0成立,則卡方K2值為0,此時優(yōu)勢比R值必然也具有一定的特殊性,可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究.

4 問題新編

基于以上兩個“流向”的思考方向,筆者嘗試進(jìn)行如下問題新編.

問題2試用表3中的頻數(shù)a,b,c,d給出R的估計值.

可見,優(yōu)勢比R在本質(zhì)上是比較ad與bc,與卡方K2是類似的.

問題3當(dāng)事件A與B獨立時,求R的值.

解析1因為事件A與B獨立,所以K2=0,即|ad-bc|=0,亦即ad=bc,故R=1.

獨立值R=1是兩組比較的基準(zhǔn)[3].當(dāng)優(yōu)勢比處于1的兩側(cè),它分別代表了不同類型的關(guān)聯(lián)性.如在表3中,當(dāng)R>1,第一行中事件A發(fā)生的優(yōu)勢比第二行大;當(dāng)R<1,第一行中事件A發(fā)生的優(yōu)勢比第二行小.R的值在給定方向離1越遠(yuǎn),代表了關(guān)聯(lián)性越強(qiáng).當(dāng)一個R值是另一個值的倒數(shù)時,它們具有相同的關(guān)聯(lián)程度,只是方向相反.例如,問題1第(2)問中計算得R的估計值為6,從統(tǒng)計的角度說明病例組中事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”發(fā)生的優(yōu)勢是對照組中事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”發(fā)生的優(yōu)勢的6倍.

5 教材導(dǎo)向

問題1本質(zhì)上考查了學(xué)生對列聯(lián)表的認(rèn)識程度,即列聯(lián)表行列變化對統(tǒng)計量的影響,該命題角度是否是出卷人憑空而生的呢?認(rèn)真閱讀教材與教參,便會發(fā)現(xiàn)該考查方向并非無跡可尋.文獻(xiàn)[4]在“列聯(lián)表與獨立性檢驗”章節(jié)的例3(檢驗甲、乙兩種療法對小兒消化不良的治療效果是否有差異)中,特地設(shè)置了觀察欄目,要求學(xué)生觀察并思考:“在列聯(lián)表4中,若對調(diào)兩種療效的位置,則K2的表達(dá)式中a,b,c,d的賦值都會相應(yīng)地改變,這樣做會影響K2取值的計算結(jié)果嗎?”

表4

文獻(xiàn)[5]對此作了解釋:“在教科書表4中,對調(diào)兩種療法或兩種療效的位置,不會影響K2值的計算結(jié)果.事實上.對調(diào)兩種療法的位置,相當(dāng)于對調(diào)a與c,b與d的位置,由K2的表達(dá)式可知,并不影響K2值的計算結(jié)果.同樣地,對調(diào)兩種療效的位置,相當(dāng)于對調(diào)a與b,c與d的位置,也不影響K2值的計算結(jié)果.”

綜合以上論述,可以歸納得如下結(jié)論:

結(jié)論1在列聯(lián)表中顛倒行列,卡方K2值不變,優(yōu)勢比R值也不變.

結(jié)論2在列聯(lián)表中對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列,卡方K2值不變,優(yōu)勢比R值變?yōu)樵档牡箶?shù).

由此可見,新高考中的問題創(chuàng)新仍是由教材導(dǎo)向的.高考真題極好地區(qū)分了“按照教材環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)公式生成、辨析統(tǒng)計思想”和“按照解題流程,訓(xùn)練學(xué)生記憶解題步驟、機(jī)械套用公式”兩種教學(xué)教法,有效考查了學(xué)生的真學(xué)真知.

6 教學(xué)啟示

6.1 注重問題情境設(shè)計,突出理論聯(lián)系實際

統(tǒng)計學(xué)是一門收集、整理和分析數(shù)據(jù)的科學(xué)和藝術(shù),用數(shù)據(jù)來解釋現(xiàn)象是統(tǒng)計的本質(zhì),故統(tǒng)計問題是脫離不開實際的生產(chǎn)、生活和科研情境的.無論是在教學(xué)還是命題中,都應(yīng)注重在社會實際中節(jié)選素材,使得試題情境更加真實和復(fù)雜,模型更加精細(xì)和完善,以此提高試題質(zhì)量和科學(xué)化水平,強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查,促使學(xué)生體會統(tǒng)計思想在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用范圍.

6.2 領(lǐng)悟教材設(shè)計思想,明確教材設(shè)計思路

人教版新教材的每個章節(jié)都設(shè)置了思考、探究、歸納、觀察四種欄目,在文獻(xiàn)[2]中章建躍教授對這四種欄目有如下評價:“教材中設(shè)置此類欄目,以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí),有效加強(qiáng)了‘問題性’;使用‘先行組織者’等手段,加強(qiáng)了學(xué)生類比、特殊化、推廣等邏輯思考方法的引導(dǎo),從而有效加強(qiáng)了‘思想性’;強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)應(yīng)用,從而有效加強(qiáng)了‘聯(lián)系性’”.表5統(tǒng)計了文獻(xiàn)[4]中每個章節(jié)的四種欄目數(shù),可見統(tǒng)計章節(jié)尤其注重數(shù)據(jù)觀察、思考分析能力的培養(yǎng).筆者認(rèn)為這四種欄目不僅是教學(xué)內(nèi)容的思維起點與延伸方向,也是高考試題的命題視角與創(chuàng)意源泉,正如羅增儒教授所言:“教材是課程的載體,所以高考命題最具體、最方便的依據(jù)就是教材”.

表5

6.3 汲取大學(xué)統(tǒng)計知識,增強(qiáng)統(tǒng)計思維含量

隨著科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展,國際競爭日益激烈,為了適應(yīng)社會發(fā)展的需要,教材內(nèi)容和高考試題的吐故納新是必需的.統(tǒng)計作為新高考革新的主要板塊,要體現(xiàn)出新高考由知識立意轉(zhuǎn)向能力立意的命題趨向,要肩負(fù)起為高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的創(chuàng)新人才的時代重任.以大學(xué)統(tǒng)計知識為背景編擬試題,并非要求教師向?qū)W生講授高等數(shù)學(xué)知識,而是讓教師以高觀點知識為路標(biāo)尋找命題方向,一要注意所編的問題必須能用初等數(shù)學(xué)方法解答,不能生搬硬套高等數(shù)學(xué)方法;二要注重新題背景要具有普遍意義,與高中統(tǒng)計知識之間具有“強(qiáng)聯(lián)系性”和“可類比性”.以此才能進(jìn)一步創(chuàng)新試題選材與設(shè)計方式,扭轉(zhuǎn)統(tǒng)計中長期存在的膚淺理解和機(jī)械刷題的現(xiàn)狀,進(jìn)一步提高學(xué)生作為未來公民所必備的統(tǒng)計思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng),以滿足個人發(fā)展與社會進(jìn)步的需求.