劉宏英 (廣東省惠州市第一中學(xué) 516001)

王海青 (惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 516007)

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出,高中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)是使學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的“四基” “四能”,發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]8.課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)有賴于數(shù)學(xué)概念課與原理課的教學(xué),而習(xí)題課與復(fù)習(xí)課的教學(xué)則是對(duì)數(shù)學(xué)概念課與原理課的延續(xù),通過對(duì)相應(yīng)題型的訓(xùn)練來鞏固所學(xué),深化理解.波利亞的著作《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》[2]27-30中關(guān)于解題的四階段理論,能為教師的解題教學(xué)提供有益指導(dǎo),并幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考,促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移.四階段理論是指數(shù)學(xué)解題教學(xué)要通過有效的啟發(fā)提問,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“理解題目→擬定方案→執(zhí)行方案→回顧”四個(gè)步驟,鼓勵(lì)一題多解,并在多題一解的過程中將解題的思維過程顯性化.下面以2020年全國I卷第20題為例,運(yùn)用波利亞的解題理論,開展多輪循環(huán)上升、層層遞進(jìn)的深入探究,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的一般性規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的解題反思能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn)．

評(píng)析2019年、2020年、2022年的高考數(shù)學(xué)卷中都出現(xiàn)了直線與圓錐曲線相交背景下動(dòng)直線過定點(diǎn)的問題.此類問題有助于學(xué)生理解圓錐曲線的幾何特征,理解借助代數(shù)方法解決幾何問題的算理和算法,鞏固整體知識(shí)體系和思想方法,促進(jìn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)向更高層次的水平發(fā)展.橢圓在圓錐曲線中處于基礎(chǔ)性地位,因此這道題具有代表性.下面重點(diǎn)探討第(2)問.

1 第一輪探究

本環(huán)節(jié)在明確研究對(duì)象及其問題、熟悉基本研究方法的基礎(chǔ)上,通過啟發(fā)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算方法來培養(yǎng)解題反思能力,發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1.1 理解題目

提問:題目中有哪些研究對(duì)象?定量有哪些?變量有哪些?它們之間有什么關(guān)系?求解的目標(biāo)是什么?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生明確題目的關(guān)鍵信息:(1)研究對(duì)象——橢圓、直線、點(diǎn);(2)定量——橢圓E以及左、右頂點(diǎn)A,B,直線x=6;(3)變量——直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)P,橢圓上的動(dòng)點(diǎn)C,D;(4)點(diǎn)C,D分別是動(dòng)直線PA,PB與橢圓E的交點(diǎn);(5)要求解的目標(biāo)是動(dòng)直線CD過定點(diǎn).

提問:將例題和你解決過的問題聯(lián)系一下,能聯(lián)想到哪些知識(shí)和方法?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生回憶與本題相關(guān)的兩個(gè)知識(shí)和方法:一是直線與橢圓相交問題的常規(guī)解法,即聯(lián)立直線與橢圓的方程解出交點(diǎn)坐標(biāo);二是動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的常規(guī)解法,即寫出含參數(shù)的直線方程y-y0=k(x-x0),從而判斷出直線過定點(diǎn)(x0,y0).

1.2 擬定方案

提問:能否根據(jù)以上分析,借助思維導(dǎo)圖的形式繪制出解法1(思路一)的基本解題過程?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生明晰解題思路(圖2),鞏固直線與圓錐曲線相交問題和直線過定點(diǎn)問題的通性通法,提高對(duì)知識(shí)和方法的整體理解.

圖2 解法1的思維導(dǎo)圖

1.3 執(zhí)行方案

提問:能根據(jù)解法1的思維導(dǎo)圖寫出詳細(xì)的解答過程嗎?

設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生鞏固直線與圓錐曲線相交問題和直線過定點(diǎn)問題的通性通法中的運(yùn)算步驟,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

1.4 回顧

提問:回顧解法1的步驟,解答過程中有沒有需要補(bǔ)充和改進(jìn)的地方?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)檢查關(guān)鍵步驟,如:直線與橢圓聯(lián)立后所得方程是否正確?直線方程斜率是否存在?確保推理和運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

提問:解法1中最難的環(huán)節(jié)是什么?為什么?

設(shè)計(jì)意圖“怎么算”是直線與圓錐曲線相交問題中一個(gè)普遍的難點(diǎn),通過這個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生在通性通法的基礎(chǔ)上,結(jié)合具體問題優(yōu)化運(yùn)算思路,樹立從一般到特殊的意識(shí).可啟發(fā)學(xué)生從以下兩個(gè)方向?qū)夥ㄟM(jìn)行優(yōu)化.

(1)聯(lián)立直線PA與橢圓的方程后,因?yàn)榻稽c(diǎn)A的坐標(biāo)是已知的,所以可以借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)(解法2,思路如圖3).

圖3 解法2的思維導(dǎo)圖

(2)采用設(shè)而不求的方法,不求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo),直接得到含有參數(shù)t的直線CD的方程(解法3,思路如圖4).

圖4 解法3的思維導(dǎo)圖

評(píng)析數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過:“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”波利亞也提出:“好的思路來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識(shí).”[2]7因此求解出問題的答案并不是解題教學(xué)的終點(diǎn),而是一個(gè)新的起點(diǎn).反思“怎么算?為什么這樣算?”是提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一種特殊的邏輯推理——演繹推理,是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段[3].通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程,促使其在孤立的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間建立有機(jī)聯(lián)系,構(gòu)建牢固的知識(shí)方法體系.借助思維導(dǎo)圖反思解題過程十分有效,通過比較不同方法的思維路線、計(jì)算策略,學(xué)生不斷優(yōu)化解題思路,理解算法算理,提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

2 第二輪探究

本環(huán)節(jié)運(yùn)用“從特殊到一般再到特殊”的思想改變例題中定直線的方程,探索例題中蘊(yùn)含的“直線與橢圓相交背景下,一類動(dòng)直線過定點(diǎn)”的規(guī)律,進(jìn)一步培養(yǎng)解題反思能力,發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.1 理解題目

提問:如果改變例題中定橢圓、定直線的方程,動(dòng)直線CD還過定點(diǎn)嗎?借助幾何畫板進(jìn)行探究.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)例題中動(dòng)直線CD之所以過定點(diǎn),是因?yàn)楫a(chǎn)生動(dòng)直線的源頭是定橢圓和定直線,進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生思考:動(dòng)直線CD所過的定點(diǎn)坐標(biāo)與定橢圓和定直線有關(guān).

2.2 擬定方案

提問:如果把例題中定橢圓、定直線的方程換成更一般的形式,你能得到什么結(jié)論?

2.3 執(zhí)行方案

提問:回顧一下例題的不同解法,你能選擇一種來證明你得到的結(jié)論嗎?

設(shè)計(jì)意圖鞏固解決同一類問題的通性通法,發(fā)展更高層次的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).

2.4 回顧

提問:通過對(duì)例題中定橢圓、定直線方程的一般化,得到了一個(gè)關(guān)于橢圓的一般性結(jié)論.而橢圓的準(zhǔn)線是一條特殊的直線,如果這條定直線恰好是橢圓的準(zhǔn)線,那么直線CD所過的定點(diǎn)是什么?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用例題中蘊(yùn)含的一般性規(guī)律解決特殊問題,發(fā)現(xiàn)如果定直線是橢圓的準(zhǔn)線,那么定點(diǎn)恰為與準(zhǔn)線相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn).

3 第三輪探究

本環(huán)節(jié)運(yùn)用“從特殊到特殊”的方法改變例題中圓錐曲線的類型,通過培養(yǎng)解題反思能力,探索圓和雙曲線是否也具備與橢圓類似的結(jié)論,從而探索出例題中蘊(yùn)含的圓錐曲線的一般性規(guī)律,由此進(jìn)一步發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),夯實(shí)“四基”,提高“四能”.

提問:與例題中的橢圓類似,圓(圓心在原點(diǎn))、雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)也有左、右兩個(gè)頂點(diǎn),對(duì)于這兩種圓錐曲線,是否也有類似于橢圓的上述結(jié)論呢?

設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力,引導(dǎo)學(xué)生以橢圓為代表,猜想結(jié)論并加以證明.由此可以給出以下兩個(gè)變式問題.

變式1 如圖5,已知A,B分別為圓O:x2+y2=r2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．P為直線x=m上的動(dòng)點(diǎn),PA與圓O的另一交點(diǎn)為C,PB與圓O的另一交點(diǎn)為D．證明:直線CD過定點(diǎn)．

圖5

變式2 如圖6,已知A,B分別為雙曲線M:

圖6

評(píng)析第三輪探究旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),深化對(duì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的理解.例題求解完成后設(shè)置開放性問題,啟發(fā)學(xué)生對(duì)所解決的問題進(jìn)行聯(lián)系、分析、比較、猜想、論證,找出與例題相關(guān)的圓錐曲線的統(tǒng)一性規(guī)律,最終幫助學(xué)生構(gòu)建出數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法融合的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)(圖7).

圖7

4 進(jìn)一步思考

可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際,啟發(fā)學(xué)生在本節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)新一輪的探究,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移意識(shí)和能力.

提問:通過改變圓錐曲線的類型,我們發(fā)現(xiàn) 圓和雙曲線也具有和橢圓類似的性質(zhì).而拋物線也是圓錐曲線的一種,為什么它不具備這種性質(zhì)呢?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到例題所體現(xiàn)的性質(zhì)建立在圓錐曲線與其對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)的前提下,而拋物線與其對(duì)稱軸只有一個(gè)交點(diǎn),因此無法出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的連線.進(jìn)而也啟發(fā)學(xué)生,如果把與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的直線(割線)變成只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(切線),兩個(gè)切點(diǎn)之間的連線是否會(huì)過定點(diǎn)?

探究練習(xí)2(教材選修2習(xí)題[4])“已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM與直線BM的斜率的差是2,求點(diǎn)M的軌跡方程.”仿照上面例題的探究過程進(jìn)行解答,將條件“斜率的差”分別改為“斜率的和、積、商”,軌跡又是什么?

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生熟練運(yùn)用“理解題目→擬定方案→執(zhí)行方案→回顧”進(jìn)行解題探究,促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)從知識(shí)、技能到數(shù)學(xué)思想方法的獲得,再到核心素養(yǎng)的提升,真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

5 小結(jié)

《課標(biāo)》提出:“既要重視教,更要重視學(xué),促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).”[1]83而波利亞《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》的四階段理論為數(shù)學(xué)教與學(xué)提供了一種研究數(shù)學(xué)問題的規(guī)范化路徑,使學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題是如何形成和發(fā)展的,以及數(shù)學(xué)中邏輯的連貫性和思想方法的一致性[5].運(yùn)用波利亞的解題理論指導(dǎo)教師教學(xué)和學(xué)生解題,至少有利于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用多種推理方式發(fā)現(xiàn)和解決問題,培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力和理性精神;有利于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì),學(xué)生在步步深入、層層遞進(jìn)的探索中體驗(yàn)通性通法、特性特法的適用范圍,在交流與反思中發(fā)現(xiàn)方法和規(guī)律的普適性,更好地理解問題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與思想方法的本質(zhì);有利于學(xué)生發(fā)展高階思維,學(xué)生在有指導(dǎo)的探究中經(jīng)歷由淺入深、由簡單到復(fù)雜的思維過程,逐步構(gòu)建和完善知識(shí)與方法體系,提升分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等高階思維能力.