張怡文 趙健瀅 (南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 210023)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程性質(zhì)中指出:“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象,基于抽象結(jié)構(gòu),通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等,理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律．”[1]數(shù)學(xué)課程中抽象的內(nèi)容和表現(xiàn)形式,容易成為學(xué)生構(gòu)建新的數(shù)學(xué)認(rèn)知的難點(diǎn)．基礎(chǔ)隱喻能以來(lái)自生活實(shí)物中的經(jīng)驗(yàn)為來(lái)源,依據(jù)具體經(jīng)驗(yàn)與抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的某種相似性,建構(gòu)相關(guān)內(nèi)容的隱喻投射,幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵．本文以基礎(chǔ)隱喻為理論基礎(chǔ),創(chuàng)設(shè)以生產(chǎn)線、配制酒精溶液為背景的系列化基礎(chǔ)隱喻,推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)生活化、形象化發(fā)展．

1 概念界定

隱喻,是語(yǔ)言學(xué)中的一種修辭手法,以兩物之間的相似性進(jìn)行間接暗示的比喻,從而傳遞出更富意蘊(yùn)的內(nèi)在表達(dá)．同時(shí),它也是一種認(rèn)知現(xiàn)象,用個(gè)體對(duì)某一實(shí)物的經(jīng)驗(yàn)去理解另一類實(shí)物的概念．隱喻認(rèn)知就是利用在源域中形成的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)靶域進(jìn)行認(rèn)識(shí)[2]．

在隱喻的觀點(diǎn)下,數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)[3]．基礎(chǔ)隱喻是數(shù)學(xué)隱喻網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要組成部分．Lakoff和Núez根據(jù)隱喻與數(shù)學(xué)的關(guān)系,認(rèn)為基礎(chǔ)隱喻將數(shù)學(xué)外的源域(如實(shí)物)同數(shù)學(xué)中的靶域(數(shù)學(xué)概念或意義)相聯(lián)系[4]．

“定義域是盛著點(diǎn)的容器”是一個(gè)經(jīng)典的基礎(chǔ)隱喻的例子,以容器作為數(shù)學(xué)外的實(shí)物源域,去理解數(shù)學(xué)中抽象的定義域的概念．容器內(nèi)能放物體是學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),助力學(xué)生構(gòu)建對(duì)定義域內(nèi)能放點(diǎn)的認(rèn)識(shí),將生活實(shí)踐中的具體經(jīng)驗(yàn)用于認(rèn)知抽象的數(shù)學(xué)概念．

2 相關(guān)研究

文[4]根據(jù)隱喻與數(shù)學(xué)的關(guān)系,區(qū)分了基礎(chǔ)隱喻和連接隱喻．文[3]從認(rèn)知心理學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀三方面剖析數(shù)學(xué)教育中的隱喻．文[5][6]分別以專家型、熟手型教師作為研究對(duì)象,研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的隱喻語(yǔ)言．文[7]挖掘隱喻本質(zhì),得出具身認(rèn)知、人際交往、情境場(chǎng)域這三種教師學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的隱喻表征路徑．文[8]利用具身認(rèn)知理論,發(fā)現(xiàn)隱喻思維有益于對(duì)數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容的理解．

現(xiàn)有研究以思辨研究為主,聚焦在隱喻本質(zhì)內(nèi)容,包括結(jié)構(gòu)隱喻、方位隱喻及本體隱喻,鮮少有學(xué)者研究隱喻的課堂落實(shí)案例．故本文以數(shù)學(xué)隱喻網(wǎng)絡(luò)下的基礎(chǔ)隱喻為出發(fā)點(diǎn),來(lái)設(shè)計(jì)能真正落到實(shí)處的教學(xué)案例．

3 教學(xué)案例

3.1 求復(fù)合函數(shù)的解析式

兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x))．

求復(fù)合函數(shù)的解析式,其本質(zhì)是對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的深度理解．在函數(shù)概念從初中的“變量說(shuō)”拓展到高中的“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的過(guò)程中,“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的概念就像“函”字所表示的未知盒子,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)仍是陌生的．代入法、配湊法和換元法是解決此類問(wèn)題的常見(jiàn)方法．但是,學(xué)生缺乏對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的深度理解,在解題過(guò)程中往往面臨知其然而不知其所以然的窘境．因此,本文以基礎(chǔ)隱喻為理論支撐,創(chuàng)造性地引入原料、生產(chǎn)線、產(chǎn)品等一系列基礎(chǔ)隱喻,借助生活中的生產(chǎn)線問(wèn)題形象化地闡釋計(jì)算中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵(表1)．

表1 生產(chǎn)線問(wèn)題的基礎(chǔ)隱喻

例1設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1,則函數(shù)f(x+1)=,f(f(x))=．

分析教師引導(dǎo)學(xué)生將f想象成一條生產(chǎn)線,原料A在生產(chǎn)線f的作用下變成原來(lái)的兩倍減一,得到一個(gè)2A-1的產(chǎn)品．當(dāng)學(xué)生對(duì)以生產(chǎn)線為源域的基礎(chǔ)隱喻有了初步了解,教師再次引導(dǎo)學(xué)生考慮原料為x,x+1,f(x)的情況．

例2設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2x+1,則函數(shù)f(x)=．

分析教師通過(guò)基礎(chǔ)隱喻啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題,將抽象的求解對(duì)應(yīng)關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形象的生產(chǎn)線對(duì)原料x(chóng)+1的操作過(guò)程．通過(guò)配湊法,將原式改寫(xiě)為f(x+1)=2(x+1)-1,使學(xué)生能直觀地看出生產(chǎn)線f的操作過(guò)程是將原料變成了原來(lái)的兩倍減1,那么以x為原料得到的產(chǎn)品即2x-1．

3.2 求復(fù)合函數(shù)的定義域

學(xué)生初學(xué)復(fù)合函數(shù)時(shí)容易混淆定義域的范圍與內(nèi)函數(shù)的范圍,而教師在講解時(shí)往往難以用形象的語(yǔ)言解釋解法的緣由．文[9]以映射、管制的語(yǔ)言解釋解法過(guò)程,但這樣的解釋對(duì)學(xué)生而言仍然略顯抽象．為了更形象化地解釋這一問(wèn)題,本文創(chuàng)造性地引入預(yù)加工過(guò)程、原料、原料規(guī)格、生產(chǎn)線、產(chǎn)品等一系列基礎(chǔ)隱喻,以原料規(guī)格作為問(wèn)題突破口,幫助學(xué)生理解求復(fù)合函數(shù)定義域的整個(gè)計(jì)算過(guò)程(表2)．

表2 原料規(guī)格問(wèn)題的基礎(chǔ)隱喻

例3已知函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)閇-2,3],求函數(shù)f(2x+1)的定義域．

分析教師首先需要提醒學(xué)生,定義域[-2,3]指的是函數(shù)f(x-1)中x的范圍,引導(dǎo)學(xué)生借助整體思想將圓括號(hào)中的內(nèi)函數(shù)x-1視作原料,其范圍即原料的規(guī)格．原料規(guī)格這一基礎(chǔ)隱喻便是連接前后兩個(gè)定義域范圍的橋梁．解題過(guò)程分為四步:

第一步 預(yù)加工過(guò)程,即從x的范圍得到x-1的范圍為[-3,2]．

第二步 明確原料規(guī)格,原料規(guī)格即 [-3,2]．

第三步 確定新原料并列式,2x+1作為原料需要符合原料規(guī)格,即-3≤2x+1≤2．

3.3 平面向量基本定理

在學(xué)習(xí)平面向量基本定理之前,學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)共線向量基本定理,初步體驗(yàn)了用“少”來(lái)表示“多”的思想．但是,由“一維直線”上升到“二維平面”,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)思維的跨越．

在平面向量基本定理的學(xué)習(xí)中,對(duì)于基底的理解,學(xué)生可能會(huì)存在困惑．實(shí)際上,基底暗含了數(shù)學(xué)中基本量的思想．“基本量思想是數(shù)學(xué)思想,我們?cè)谟龅揭淮康臅r(shí)候,首先想到能不能從中選出幾個(gè)量作為基本量,而其余的量都可以用基本量來(lái)表示或計(jì)算．”[10]

基本量的思想在高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中都有著重要的作用,本節(jié)課為學(xué)生領(lǐng)悟這個(gè)思想提供了一個(gè)寶貴機(jī)會(huì),教學(xué)中應(yīng)抓住并利用好這個(gè)機(jī)會(huì)．對(duì)于基本量的教學(xué),本文引入以生活中的“配制酒精溶液”問(wèn)題為源域的基礎(chǔ)隱喻來(lái)幫助學(xué)生理解基本量的價(jià)值(表3)．

表3 配制酒精溶液?jiǎn)栴}的基礎(chǔ)隱喻

例4引入基本量的教學(xué)情境．

在生物實(shí)驗(yàn)室中,要用到不同含量的酒精．例如在鑒定脂肪的實(shí)驗(yàn)中,要用體積分?jǐn)?shù)為50%的酒精洗去浮色;滅菌消毒需要體積分?jǐn)?shù)為75%的酒精;觀察植物細(xì)胞的有絲分裂時(shí),需要體積分?jǐn)?shù)為95%的酒精．但是,無(wú)論體積分?jǐn)?shù)是多少的酒精,都可以由“乙醇(可以看作是100%的酒精)”和“水(可以看作是0%的酒精)”通過(guò)不同的比例混合后得到．“乙醇”和“水”就是酒精全體中的兩個(gè)基本量,可以由它們來(lái)產(chǎn)生任意含量的酒精．

教師引出了基本量后,需要引導(dǎo)學(xué)生思考:是否能用75%的酒精和水得到任意含量的酒精?答案是否定的,如95%的酒精就無(wú)法得到．因此對(duì)于基本量的選擇,是需要符合一定要求的．直觀來(lái)看,75%的酒精中含有水,因此75%的酒精和水之間是有交叉的,不是互不相關(guān)的．

類比于生活中的任意含量的酒精,在數(shù)學(xué)中,平面上有無(wú)數(shù)個(gè)向量,教師可啟發(fā)學(xué)生思考:能不能從中選基本量進(jìn)而生成任意的向量?

借助共線向量基本定理,即“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個(gè)非零向量表示”,教師提示學(xué)生將“一個(gè)非零向量”視作基本量,通過(guò)數(shù)乘運(yùn)算得到這條直線上的任意向量．由直線到平面,學(xué)生便自然猜想到平面上基本量的個(gè)數(shù)應(yīng)為2．

那么,怎樣的兩個(gè)向量能表示出平面上所有的向量呢?教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生根據(jù)前面例子中“乙醇”和“水”兩個(gè)基本量互不相關(guān)的特點(diǎn),猜想出作為基本量的兩個(gè)向量之間需要滿足的關(guān)系．

4 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)具有抽象性是普遍的共識(shí)．對(duì)學(xué)生而言,由于數(shù)學(xué)抽象能力還未達(dá)到一定高度,在初學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)容易遇到認(rèn)知壁壘．教學(xué)過(guò)程中的基礎(chǔ)隱喻能作為他們認(rèn)知抽象的數(shù)學(xué)概念的“腳手架”,幫助打破認(rèn)知壁壘,讓抽象的概念在具體經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得以生長(zhǎng)．

以生活化的生產(chǎn)線問(wèn)題創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)隱喻,能幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”概念的認(rèn)知困難,引導(dǎo)學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)的背景下去理解數(shù)學(xué)概念;以配制酒精溶液為背景的基礎(chǔ)隱喻,更能契合平面的二維特征,幫助學(xué)生理解找基本量的目的及基本量的特點(diǎn)．

基礎(chǔ)隱喻,以生活中熟悉的實(shí)物為切入點(diǎn),能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,為教師在教學(xué)過(guò)程中突破數(shù)學(xué)抽象性這一教學(xué)難點(diǎn)提供了思路．基礎(chǔ)隱喻在真實(shí)課堂中的運(yùn)用,是幫助學(xué)生更好地發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知的一次嘗試．以具體的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源作為源域,拉近了抽象的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)生活之間的距離．