楊馳航，符弘嵐，張皓

1．中國(guó)科學(xué)院 空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心 太空應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094

2．中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

通過(guò)多個(gè)航天器之間的協(xié)同合作，編隊(duì)飛行技術(shù)可以完成很多單個(gè)航天器難以完成的任務(wù)。特別是近距離編隊(duì)飛行，已經(jīng)深入應(yīng)用至多種航天任務(wù)場(chǎng)景，包括交會(huì)對(duì)接、伴飛衛(wèi)星、近距離操控等。實(shí)際上，近距離編隊(duì)飛行即起源于Clohessy 和Wiltshire［1］對(duì) 航 天 器 交 會(huì) 對(duì) 接 的 研究，它為交會(huì)對(duì)接過(guò)程提供了相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，而交會(huì)對(duì)接是實(shí)現(xiàn)空間站搭建與維持、載人登月等大型空間任務(wù)的基礎(chǔ)技術(shù)之一［2］。對(duì)于這些大型空間任務(wù)，常常設(shè)計(jì)伴飛衛(wèi)星用于艙外觀測(cè)、空間科學(xué)研究等，中國(guó)空間站的伴飛巡天空間望遠(yuǎn)鏡是其中的典型代表［3］。另外，隨著在軌補(bǔ)給與維修技術(shù)的發(fā)展，近距離操控也逐漸成為編隊(duì)飛行技術(shù)的重要應(yīng)用場(chǎng)景，2019年，ViviSat公司成功發(fā)射了MEV-1，用于在軌衛(wèi)星的位置校正，以延長(zhǎng)衛(wèi)星壽命［4］。

受限于航天事業(yè)的發(fā)展，目前近距離航天器編隊(duì)的研究主要集中于地球軌道［5-6］。而由于地球軌道較為擁擠的軌道資源以及一些天然的動(dòng)力學(xué)限制，地月空間的重要性逐漸凸顯。作為深空與近地空間的交界區(qū)域，地月空間軌道具有獨(dú)特的位置優(yōu)勢(shì)。遠(yuǎn)距離逆行軌道（Distant Retrograde Orbit，DRO）是地月空間中一族大尺度、繞月逆行的周期軌道［7］，具有良好的軌道穩(wěn)定性，不需要頻繁的位置保持。距離地球及月球距離適中，便于實(shí)現(xiàn)去地球軌道及月球軌道的轉(zhuǎn)移，適用于深空空間站［8］、小行星預(yù)警與防護(hù)［9］等長(zhǎng)期空間任務(wù)。因此有必要研究DRO 上的近距離編隊(duì)飛行，以為DRO 主任務(wù)提供必要的輔助。

目前，地月空間的近距離編隊(duì)研究主要集中于Halo 軌道。Halo 軌道由于其不穩(wěn)定性，其上的研究多偏重控制設(shè)計(jì)。大多數(shù)研究采用連續(xù)控制的方式使Halo 軌道上的近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)保持穩(wěn)定，或維持期望的構(gòu)型，常用的控制方法包括哈密爾頓結(jié)構(gòu)保持控制［10-11］、線性反饋控制［12-13］、非線性最優(yōu)控制［14-15］等。也有學(xué)者采用脈沖控制維持Halo 軌道上的近距離編隊(duì)［16-17］。除此之外，為設(shè)計(jì)自然編隊(duì)或減小控制燃耗，有少數(shù)學(xué)者研究了Halo 軌道附近的近距離自然相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)。 Gómez［18］和Héritier［19］等分析了Halo軌道附近的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)，得到了發(fā)散速度較慢、適宜于設(shè)計(jì)編隊(duì)的區(qū)域。Howell 和Marchand［20］基 于Floquet 理 論 給出了Halo 軌道線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的不同模態(tài)，Simanjuntak［21］和周敬［22］等對(duì)每個(gè)模態(tài)做了進(jìn)一步的具體分析，并據(jù)此給出了線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的半解析解。

相比于Halo 軌道，DRO 上的近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究非常少，目前僅有少數(shù)學(xué)者做了相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型相關(guān)的研究。Franzini 和Innocenti［23］相 對(duì)于三體動(dòng)力學(xué)中的周期軌道建立了通用的線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，可用于DRO 上的近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)研究。 另 外，Conte 和Spencer［24］，以 及Ueda［25］等簡(jiǎn)單分析了DRO 上的線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的誤差。

不同于Halo 軌道，DRO 軌道不僅支持近距離受控編隊(duì)，還支持近距離自然編隊(duì)。因此，本文對(duì)DRO 上的自然與受控2 種編隊(duì)一起，做了較為詳細(xì)的分析與設(shè)計(jì)。為設(shè)計(jì)編隊(duì)，首先基于Floquet 理論得到了DRO 附近線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的通解，并對(duì)解做了分類(lèi)與分析。并以相對(duì)運(yùn)動(dòng)通解中的周期解為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了自然伴飛編隊(duì)。為打破自然編隊(duì)的動(dòng)力學(xué)限制，引入了脈沖控制，設(shè)計(jì)了圓形繞飛受控編隊(duì)，并分析了不同參考軌跡對(duì)應(yīng)的燃耗，另外還針對(duì)兩點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)移問(wèn)題設(shè)計(jì)了參考軌跡，實(shí)現(xiàn)了兩點(diǎn)之間的安全轉(zhuǎn)移。

1 圓型限制性三體問(wèn)題與DRO

圓型限制性三體問(wèn)題是研究地月空間軌道的常用模型。在圓型限制性三體問(wèn)題中，假設(shè)地球與月球繞二者的共同質(zhì)心沿圓軌道相互旋轉(zhuǎn)。為研究一個(gè)相比于地球及月球質(zhì)量可忽略的衛(wèi)星在二者引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，建立以月球質(zhì)心為原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系M：X軸由地心指向月心；Z軸沿月球相對(duì)于地球的角動(dòng)量方向；Y軸與前兩者構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，如圖1 所示。月心慣性系I的3 個(gè)坐標(biāo)軸X'、Y'及Z'的定義與月心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系M類(lèi)似，但其依據(jù)的并非實(shí)時(shí)的地月位置，而是某個(gè)固定時(shí)刻的地月位置。

圖1 月心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Fig.1 Moon-centered rotating coordinate system

為方便起見(jiàn)，采用無(wú)量綱的歸一化單位進(jìn)行分析，歸一化的質(zhì)量、位置與時(shí)間單位分別為

式中：REM為地月距離；G為引力常數(shù)；mE及mM分別為地球及月球的質(zhì)量。

在月心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型為［23］

式中：X、Y、Z分別為衛(wèi)星的位置；RE及RM分別為衛(wèi)星至地球與月球的距離；μ為

DRO 為圓型限制性三體問(wèn)題中的一類(lèi)平面周期軌道，其繞月逆行，軌道穩(wěn)定，適用于地月空間長(zhǎng)期任務(wù)。通過(guò)龐加萊界面選取初值，再采用打靶算法優(yōu)化迭代［26］，可得到平面DRO。

定義在坐標(biāo)系M中DRO 附近的一個(gè)微小擾動(dòng)從0 時(shí)刻至t時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為ΦM(t)，則其從0 時(shí)刻至一個(gè)周期之后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ΦM(T)為單值矩陣。單值矩陣的特征值可以彰顯出周期軌道的穩(wěn)定性。通常，采用如式（4）所示的穩(wěn)定性指數(shù)來(lái)表征DRO 的穩(wěn)定性［26］：

式中：λi表示ΦM(T)的第i個(gè)特征值，且若所有特征值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性指數(shù)均等于1，則周期軌道是線性穩(wěn)定的；當(dāng)存在模大于1 的穩(wěn)定性指數(shù)時(shí)，周期軌道是不穩(wěn)定的，且模越大，周期軌道不穩(wěn)定性越強(qiáng)。

不同周期的DRO 對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定性指數(shù)s如圖2所示?？梢钥吹?，除周期非常大的少部分DRO的穩(wěn)定性指數(shù)略大于1 之外，其余DRO 均是穩(wěn)定的。

圖2 DRO 穩(wěn)定性指數(shù)Fig.2 Stability indexes of DRO

在眾多的DRO 中，周期位于10～20 d 左右的DRO 距離地球和月球均距離適中，穩(wěn)定性強(qiáng)，可工程化應(yīng)用。這里以周期為日月會(huì)合周期（29.5 d）一半，也即14.75 d 的DRO 為例，其軌道如圖3 所示。

圖3 2∶1 DROFig.3 2∶1 DRO

圖3（b）中，月球位于坐標(biāo)原點(diǎn)，可見(jiàn)DRO 是一種大尺度的月球周期軌道。由于該DRO 的周期為14.75 d，與月球公轉(zhuǎn)周期（27.28 d）不共振，因此其在地月質(zhì)心慣性坐標(biāo)系中存在進(jìn)動(dòng)，不是閉合的周期軌道。

2 線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)及其解

2.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

考慮DRO 上2 個(gè)衛(wèi)星，其中主星（Chief satellite）位于一條DRO 周期軌道上，副星（Deputy satellite）位于主星附近。為研究DRO上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，定義以主星為質(zhì)心的LVLH（Local-Vertical-Local-Horizontal）相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系L：x軸由月球指向主星；z軸沿主星相對(duì)于月球的角動(dòng)量方向；y與前兩者構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

在坐標(biāo)系L中，線性化的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為［23］

式中：x=[rTvT]T=xrel=xd-xc為副星相對(duì)于主星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，下標(biāo)d 與c 分別表示副星與主星。且有：

式中：rc與rEM分別為主星位置矢量以及地月矢量；ΩL/I為由坐標(biāo)系L至慣性系I的角速度矩陣，即

其中：ωL/I為從坐標(biāo)系L相對(duì)于慣性系I的角速度；ML/I則為從坐標(biāo)系L到慣性系I的矢量轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的解

由于主星軌道在月心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中為周期軌道，且式（5）中的系數(shù)矩陣A由主星軌道決定，因此矩陣A為周期矩陣，表示為

式中：T為主星所在DRO 的周期。

定義在坐標(biāo)系L中DRO 附近從0 時(shí)刻至t時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為ΦL(t)，則從0 時(shí)刻至一個(gè)周期之后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ΦL(T) 為單值矩陣。Floquet 理論可根據(jù)周期系數(shù)線性化方程的單值矩陣的特征值分析方程解族的情況［27］，2∶1 DRO的單值矩陣的特征值包括2 對(duì)互為共軛的特征值與1 對(duì)單位特征值，當(dāng)初始時(shí)刻選取為DRO 與坐標(biāo)系M的X軸負(fù)向的交點(diǎn)時(shí)（如圖3（b）所示），特征值如式（9）所示：

設(shè)：

則根據(jù)Floquet 理論，系統(tǒng)的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解集為［27］

其中：p1、p3、p5分別為λ1、λ3、λ5對(duì)應(yīng)的特征向量；p4則為λ3對(duì)應(yīng)的廣義特征向量；Re 和Im 分別表示取實(shí)部和虛部算子。

在式（11）中，?(t)(k=1，2，…，6)的周期為T(mén)，cos(α1t/T) 與sin(α1t/T) 周期為2πT/α1，cos(α5t/T) 與sin(α5t/T)周期為2πT/α5。因此x1(t)、x2(t)、x5(t)、x6(t)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)擬周期解，x3(t)為周期解，而x4(t)則為發(fā)散解。當(dāng)初始時(shí)刻選取為DRO 與坐標(biāo)系M的X軸負(fù)向的交點(diǎn)時(shí)（如 圖3（b）所 示），?(0)(k=1，2，…，6)的具體值為

可以看到，?(0)(k=1，2，3，4)對(duì)應(yīng)的是地月平面內(nèi)的解，而?(0)與(0)則對(duì)應(yīng)地月平面法向的解。且相對(duì)運(yùn)動(dòng)保持有界的充分必要條件為：初始時(shí)刻的副星相對(duì)于主星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)r(0)為的線性組合，也即xrel(0)=-2.042 4(0)。

當(dāng)初值選取為1×10-5?(0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)解xk(t)在5 個(gè)周期內(nèi)的軌道如圖4 所示?？梢钥吹剑抡娼Y(jié)果與分析結(jié)果相符。2∶1 DRO 附近的相對(duì)運(yùn)動(dòng)解可以分為以下4 類(lèi)：

1）x1(t)與x2(t)為地月平面內(nèi)的擬周期運(yùn)動(dòng)，二者均保持有界，且會(huì)自然規(guī)避開(kāi)主星，在非線性動(dòng)力學(xué)上對(duì)應(yīng)于附近的平面擬周期軌道。

2）x3(t)為周期解，在非線性動(dòng)力學(xué)中對(duì)應(yīng)于同一條DRO 上的前后編隊(duì)，因此副星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道可以保持周期有界，如圖4（c）所示。

3）x4(t) 為發(fā)散解，在動(dòng)力學(xué)上對(duì)應(yīng)于該DRO 附近的另一條平面DRO，由于二者周期不同，因此會(huì)存在長(zhǎng)期漂移，如圖4（d）所示，在坐標(biāo)系L中主要表現(xiàn)為沿切向的單向漂移，以及沿徑向的振幅越來(lái)越大的振動(dòng)。

圖4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)解Fig.4 Fundamental solution of relative motion

4）x5(t)與x6(t)為地月平面法向的擬周期運(yùn)動(dòng)，在非線性動(dòng)力學(xué)上對(duì)應(yīng)于附近的法向擬周期軌道。

實(shí)際上，穩(wěn)定的平面DRO 族均具有相似的流形結(jié)構(gòu)，因此它們附近的相對(duì)運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)解集的結(jié)構(gòu)均與2：1 DRO 附近的相對(duì)運(yùn)動(dòng)相似。

3 近距離自然編隊(duì)

對(duì)DRO 的線性化相對(duì)運(yùn)動(dòng)解的分析表明，其周期解x3(t)可形成一條小范圍的局部伴飛軌道，因此適用于設(shè)計(jì)近距離的自然伴飛編隊(duì)。因此本部分針對(duì)該周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)解在做進(jìn)一步分析，以設(shè)計(jì)自然伴飛編隊(duì)。

在自然周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)中，副星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生一次交叉。圖5 展示了交叉點(diǎn)在坐標(biāo)系L以及坐標(biāo)系M中的位置。

圖5 相對(duì)運(yùn)動(dòng)自然周期軌道Fig.5 Natural periodic orbit of relative motion

在一個(gè)周期內(nèi)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡以交叉點(diǎn)為界，可分為內(nèi)圈與外圈2 個(gè)部分。圖6 展示了不同相對(duì)運(yùn)動(dòng)初值下副星經(jīng)過(guò)內(nèi)圈與外圈軌跡所需時(shí)間，二者的比例決定了交叉點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡中所處的相位。橫軸y（0）表示初始時(shí)刻副星在y方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)初始值。y（0）越大，表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)的尺度越大。可以看到，在近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)中，隨著相對(duì)運(yùn)動(dòng)尺度的變化，交叉點(diǎn)的相位恒定不變。副星經(jīng)過(guò)內(nèi)圈所需的時(shí)間比外圈略長(zhǎng)。但圖5（b）顯示，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的外圈的軌跡更長(zhǎng)，而內(nèi)圈的軌跡更短。實(shí)際上這是由于DRO本身的形狀對(duì)坐標(biāo)系L的扭曲造成的，從而使得副星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度在內(nèi)圈較慢，而在外圈較快。圖5（a）表明，當(dāng)副星位于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的外圈時(shí)，在坐標(biāo)系M中，主星位于DRO 的右半圈，相比于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)圈對(duì)應(yīng)的DRO 的左半圈而言，主星在DRO 的右半圈的運(yùn)動(dòng)軌跡更短。因此圖6 的分析結(jié)果與主星的運(yùn)動(dòng)是一致的。

圖6 副星經(jīng)過(guò)內(nèi)圈與外圈軌跡所需時(shí)間Fig.6 Duration time in inner and outer circles of deputy spacecraft

圖7 展示了副星距離主星的最大距離與最小距離，可以看到，副星距離主星的最大距離與最小距離均隨著初始相對(duì)位置的增大而增大，且與初始相對(duì)位置呈線性關(guān)系。圖7 表明，只要初始時(shí)刻副星與主星存在一定的相位差，則周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道可以避免二者的碰撞。且二者的相對(duì)距離可以通過(guò)選擇不同的相對(duì)運(yùn)動(dòng)初值而在線性化適用范圍內(nèi)適度調(diào)整。

圖7 副星與主星的最小與最大距離Fig.7 Maximal and minimal distance between chief spacecraft and deputy spacecraft

為了進(jìn)一步分析內(nèi)圈以及外圈的特性，圖8展示了內(nèi)圈與外圈在x軸及y軸方向的振幅。可以看到，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)圈與外圈的運(yùn)動(dòng)范圍隨運(yùn)動(dòng)尺度呈線性變化。y（0）越小，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的距離主星越近，相對(duì)運(yùn)動(dòng)范圍越小。而且相對(duì)于主星，副星具有相同的可視角度，如圖9 所示。因此該編隊(duì)適用于交會(huì)對(duì)接階段的停泊?？梢钥吹?，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀始終保持不變，這是由線性化的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型決定的。

圖8 內(nèi)圈與外圈振幅Fig.8 Amplitude of inner and outer circles

圖9 不同初值對(duì)應(yīng)的周期相對(duì)運(yùn)動(dòng)Fig.9 Natural periodic orbit with different scales

總體而言，DRO 上自然周期的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以使副星始終位于主星的前方或者后方的幾米至幾百千米的距離，沿一條周期的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌道進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在無(wú)控的自然動(dòng)力學(xué)作用下可以實(shí)現(xiàn)較為穩(wěn)定的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

4 近距離受控編隊(duì)

自然編隊(duì)雖然可以實(shí)現(xiàn)低燃耗的長(zhǎng)期伴飛，但受限于動(dòng)力學(xué)，僅能實(shí)現(xiàn)較慢的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且其自然構(gòu)型非常有限。為應(yīng)對(duì)快速轉(zhuǎn)移、快速繞飛等任務(wù)，需對(duì)副星施加控制。本節(jié)考慮對(duì)副星施加脈沖控制，首先對(duì)DRO 附近的近距離受控編隊(duì)的燃耗與構(gòu)型做了詳細(xì)的分析，其次實(shí)現(xiàn)了兩點(diǎn)之間的安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)設(shè)計(jì)。

4.1 受控繞飛編隊(duì)

為滿(mǎn)足編隊(duì)對(duì)主星進(jìn)行觀測(cè)的需求，需實(shí)現(xiàn)副星對(duì)主星的繞飛?？紤]繞飛的參考軌跡為空間圓，在空間圓上選定一定數(shù)量的變軌點(diǎn)，在每個(gè)變軌點(diǎn)采用脈沖變軌可控制副星沿參考軌跡繞飛。參考空間圓的法向量、圓心與半徑可以根據(jù)需求而定，示意圖如圖10 所示。

圖10 受控繞飛示意圖Fig.10 Schematic diagram of non-natural formation with circular trajectory

為分析不同的繞飛軌跡對(duì)燃耗的影響，這里具體分析了在不同變軌時(shí)間下，參考軌道法向量、圓心、尺度（半徑）對(duì)燃耗的影響。在分析過(guò)程中，在每條參考軌跡上均勻選擇10 個(gè)變軌點(diǎn)。相比于普通的繞月軌道，DRO 的周期與尺度均大1～2 個(gè)數(shù)量級(jí)，因此其上的受控編隊(duì)支持更大時(shí)間跨度、以及更大尺度的繞飛。故對(duì)每條參考軌跡，我們考慮了較大的時(shí)間跨度：從0.01T至2T，也即從3.54 h 至29.5 d；且在分析參考軌道的圓心與半徑時(shí)，考慮了1～100 km 尺度的繞飛。

4.1.1 參考軌道法向量對(duì)燃耗的影響

首先分析了參考軌道法向量法向?qū)θ己牡挠绊憽⒖架壍缊A心選定為原點(diǎn)，也即主星所在位置；半徑選為1 km。選擇4 個(gè)不同的法向量方向：［0，0，1］T、［0，1，0］T、［1，0，0］T、［0，1，1］T，分別對(duì)應(yīng)的于xy平面、xz平面、yz平面內(nèi)的軌道，以及一條傾斜的軌道。不同法向量對(duì)應(yīng)的參考軌跡的變軌燃耗如圖11 所示。

圖11 不同法向量對(duì)應(yīng)的參考軌跡變軌燃耗Fig.11 Fuel consumption of non-natural formations with different normal vectors

當(dāng)變軌時(shí)間較小時(shí)，各參考軌跡對(duì)應(yīng)的總脈沖均較大，且?guī)缀跸嗤ｋS著變軌時(shí)間的增大，各參考軌跡對(duì)應(yīng)的總脈沖均呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。這是因?yàn)楫?dāng)變軌時(shí)間較小時(shí)，變軌軌跡偏向于直線，故變軌脈沖較大。而當(dāng)變軌時(shí)間增大時(shí)，變軌軌跡會(huì)越來(lái)越多地受到動(dòng)力學(xué)的影響，從而變成越來(lái)越扭曲的曲線，如圖12 所示。

圖12 不同變軌時(shí)間對(duì)應(yīng)的受控編隊(duì)軌跡Fig.12 Trajectories of non-natural formations with different transfer time

在圖11 中，整體而言，xy平面參考軌跡對(duì)應(yīng)的燃耗最大，其次為傾斜軌跡，而2 條垂直于xy平面的參考軌跡對(duì)應(yīng)的燃耗則相對(duì)較小。實(shí)際上，z方向的運(yùn)動(dòng)與xy方向的運(yùn)動(dòng)是相互解耦的，而二者不同的動(dòng)力學(xué)特性帶來(lái)了不同的燃耗。以上結(jié)果說(shuō)明，在圓型限制性三體模型下，設(shè)計(jì)任務(wù)軌道時(shí)應(yīng)多考慮傾斜或垂直于xy平面的軌道，有助于減少繞飛軌跡的燃耗。

4.1.2 參考軌道圓心對(duì)燃耗的影響

為分析參考軌道圓心對(duì)燃耗的影響，選定參考軌道法向量為［0，1，1］T，半徑為1 km。選擇3 個(gè)不同方向的圓心：［1，0，0］T、［0，1，0］T、［0，0，1］T，分別對(duì)應(yīng)于x軸、y軸、及z軸方向的偏置。對(duì)每個(gè)方向的圓心偏置分別疊加0、 1、 10、100 km的大小，則可以得到不同方向、不同大小的圓心偏置對(duì)應(yīng)的燃耗，如圖13 所示。

圖13 不同圓心偏置對(duì)應(yīng)的參考軌跡的脈沖Fig.13 Fuel consumption of non-natural formations with different centers

可以看到，雖然不同方向的圓心偏置的燃耗不盡相同，但隨轉(zhuǎn)移時(shí)間的變化展現(xiàn)出相同的趨勢(shì)。當(dāng)圓心接近原點(diǎn)時(shí)，即對(duì)于沒(méi)有偏置或偏置為1 km 的軌跡，每條參考軌跡對(duì)應(yīng)的變軌燃耗均隨時(shí)間變化呈明顯的下降趨勢(shì)，而且，在同樣的變軌時(shí)間下，方位不同但大小相同的圓心偏置對(duì)應(yīng)的變軌燃耗均相差不大。但當(dāng)偏置的尺度明顯大于繞飛軌跡的尺度時(shí)，也即對(duì)于圖中偏置為10 km 及100 km 的軌跡，結(jié)果則完全不同。隨著時(shí)間的下降，最開(kāi)始燃耗呈下降趨勢(shì)，但在某個(gè)時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)激增。這是因?yàn)殡x原點(diǎn)越遠(yuǎn)，根據(jù)線性化近似的特性，動(dòng)力學(xué)帶來(lái)的加速度會(huì)越大，從而導(dǎo)致相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的增大，進(jìn)一步使得變軌點(diǎn)處所需的速度脈沖增大。而另一方面，2 個(gè)變軌點(diǎn)之間的直線距離是相同的，因此對(duì)于離原點(diǎn)更遠(yuǎn)的參考軌道，副星會(huì)走過(guò)更長(zhǎng)的路徑，從而呈現(xiàn)出更復(fù)雜的曲線，使變軌點(diǎn)處前后2 段曲線的速度方向更容易出現(xiàn)更大的角度差，這也進(jìn)一步增大了拼接速度脈沖。當(dāng)變軌時(shí)間很短時(shí)，變軌曲線以直線為主，該現(xiàn)象并不明顯，如圖14（a）所示。但隨著變軌時(shí)間的增大，每段的變軌軌跡受動(dòng)力學(xué)的影響逐漸增多，從而顯著增大了變軌點(diǎn)處所需要的變軌脈沖，且離原點(diǎn)更遠(yuǎn)的軌跡的轉(zhuǎn)移軌跡明顯更為復(fù)雜，如圖14（b）所示。

圖14 不同變軌時(shí)間對(duì)應(yīng)的軌跡Fig.14 Trajectories with different transfer time

因此，在做繞飛軌道設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量將圓心放在原點(diǎn)附近，避免圓心有較大偏置的繞飛。該現(xiàn)象也從側(cè)面增強(qiáng)了自然周期軌道的獨(dú)特性與難以替代性。

4.1.3 參考軌道尺度對(duì)燃耗的影響

為分析參考軌跡尺度對(duì)燃耗的影響，將參考軌道法向量選定為［0，1，1］T；圓心選定為［0，0，0］T。選擇3 個(gè)不同大小的半徑以得到不同尺度的參考軌道：1、 10、 100 km。燃耗結(jié)果如圖15所示。

圖15 不同半徑對(duì)應(yīng)的參考軌跡的脈沖Fig.15 Fuel consumption of non-natural formations with different radii

可以看到，參考軌跡尺度越大，所需燃耗越大。如同4.1.2 節(jié)所說(shuō)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，根據(jù)線性化近似的特性，副星的速度越大，因此變軌點(diǎn)處所需的燃耗越大。而且，對(duì)于不同尺度的軌道，燃耗幾乎呈現(xiàn)相同的波動(dòng)形式，這是因?yàn)楫?dāng)圓心位于原點(diǎn)時(shí)，不同尺度的參考軌跡實(shí)際上彼此之間只是線性化的放縮。而包括位置與速度在內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間同樣是線性放縮，故優(yōu)化得到的軌跡亦具有相同的形狀，如圖16 所示。

圖16 不同變軌半徑對(duì)應(yīng)的軌跡Fig.16 Trajectories with different radii

因此，可以?xún)H通過(guò)計(jì)算小尺度參考軌跡的燃耗來(lái)推算不同尺度參考軌跡所需的燃耗，如此可以減少燃耗分析所需的維度，從而大大減小計(jì)算量。需要注意的是對(duì)于圓心位于原點(diǎn)的參考軌跡，僅放大半徑即可實(shí)現(xiàn)線性放縮；但是對(duì)于圓心不位于原點(diǎn)的軌跡，需同時(shí)放大參考軌跡上點(diǎn)的三維坐標(biāo)，方能實(shí)現(xiàn)線性放縮。

4.2 安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)

除圓軌道繞飛之外，實(shí)現(xiàn)副星從某個(gè)初始點(diǎn)至預(yù)定目標(biāo)點(diǎn)之間的安全快速轉(zhuǎn)移也是一種重要的受控軌跡應(yīng)用場(chǎng)景。傳統(tǒng)的安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)，多采用最優(yōu)控制方法、人工勢(shì)場(chǎng)法等較為復(fù)雜的控制策略。在本節(jié)中，為考慮工程實(shí)用性，提出了一種解析方法，可直接設(shè)計(jì)出了安全轉(zhuǎn)移參考軌跡，相比于傳統(tǒng)方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、工程實(shí)用性更強(qiáng)。具體的，本節(jié)將安全轉(zhuǎn)移問(wèn)題歸結(jié)為從初始點(diǎn)至末端點(diǎn)的參考轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)，當(dāng)有了參考轉(zhuǎn)移軌跡之后，在其上選取合適數(shù)量的變軌點(diǎn)，在變軌點(diǎn)處施加脈沖，從而可通過(guò)多脈沖轉(zhuǎn)移沿參考軌跡抵達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。為了保證安全，需要使副星與主星（也即原點(diǎn)）之間保持足夠的距離。因此這里要求參考軌跡上的所有點(diǎn)距離原點(diǎn)的距離比初始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)中離原點(diǎn)最近的點(diǎn)更遠(yuǎn)。初始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的位置矢量分別用r0與rf表示，參考軌跡上的點(diǎn)則用矢量r1表示。

根據(jù)r0與rf是否同向共線將轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計(jì)分為2 種情況。首先考慮較為簡(jiǎn)單的情況，r0與rf同向共線時(shí)，也即rf=kr0，此時(shí)二者之間的夾角為0，參考軌跡可以直接設(shè)計(jì)為從初始點(diǎn)至末端點(diǎn)的直線。即

式中：p為參考軌跡上參數(shù)，決定了參考軌跡上點(diǎn)的位置：當(dāng)p=0 時(shí)，參考軌跡位于初始點(diǎn)；隨著p逐漸靠近1，參考軌跡逐漸逼近目標(biāo)點(diǎn)；當(dāng)p=1時(shí)，參考軌跡位于目標(biāo)點(diǎn)。通過(guò)選定合適的p，可以在參考軌跡上選取合適的變軌點(diǎn)。

對(duì)于更一般化的情況，也即r0與rf并非同向共線時(shí)，則需要設(shè)計(jì)一條從初始點(diǎn)至末端點(diǎn)的曲線作為參考軌跡。依次從長(zhǎng)度與方向2 個(gè)方面設(shè)計(jì)參考軌跡上的位置矢量r1，其長(zhǎng)度從‖r0‖逐漸逼近‖rf‖，這里‖r‖代表矢量r的長(zhǎng)度；方向則繞著r0與rf二者所構(gòu)成平面的法向量由旋轉(zhuǎn) 至，其 中表示矢量r的單位向量，該旋轉(zhuǎn)可以由羅德里戈旋轉(zhuǎn)公式實(shí)現(xiàn)。因此有：

式中：θf(wàn)為與之間的夾角；pθf(wàn)則為與r1之間的夾角，如圖17 所示。同樣的，當(dāng)p=0 時(shí)，r1=r0；隨 著p的不斷增大，r1逐漸從r0靠近rf，直至p=1 時(shí)，r1=rf。且在整個(gè)過(guò)程中，r1的長(zhǎng)度‖r1‖的最小值為‖r0‖與‖rf‖之間的較小值，從而可以保證在轉(zhuǎn)移過(guò)程中主副星之間具有足夠的安全距離。

圖17 兩點(diǎn)安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)設(shè)計(jì)示意圖Fig.17 Schematic diagram of trajectory design of twopoint transfer formation with safety guaranteed

為驗(yàn)證安全轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)方法，這里給出一個(gè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)移的例子。初始點(diǎn)為［-3， 1， 2］Tkm，目標(biāo)點(diǎn)為［1， 2， -2］Tkm，根據(jù)式（15）可設(shè)計(jì)出轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計(jì)，如圖18 所示。

在轉(zhuǎn)移軌跡上沿式（15）中的p均勻選取4 個(gè)變軌點(diǎn)，總轉(zhuǎn)移時(shí)間設(shè)定為2 d，各段轉(zhuǎn)移時(shí)間相同，可以得到最終安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)如圖19 所示，耗費(fèi)總脈沖為0.097 m/s。可以看到，該方法可以實(shí)現(xiàn)從初始點(diǎn)至目標(biāo)點(diǎn)的安全轉(zhuǎn)移。

進(jìn)一步分析了圖18 中的安全轉(zhuǎn)移軌跡在不同轉(zhuǎn)移時(shí)間對(duì)應(yīng)的燃耗情況，如圖19 所示?？梢钥吹?，其與圓構(gòu)型編隊(duì)具有類(lèi)似的趨勢(shì)，且最小脈沖0.046 m/s 出現(xiàn)在總轉(zhuǎn)移時(shí)間為8 d 處。因此，對(duì)于任意兩點(diǎn)之間的安全轉(zhuǎn)移，可以通過(guò)分析轉(zhuǎn)移時(shí)間設(shè)計(jì)出較小的脈沖，如圖20 所示。另外，由線性化特點(diǎn)導(dǎo)致的放縮特性依舊存在，也即通過(guò)線性放縮可以直接得到不同尺度點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)移脈沖，從而可加速安全轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計(jì)。

圖18 兩點(diǎn)安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)參考軌跡Fig.18 Reference trajectory of two-point transfer formation with safety guaranteed

圖19 兩點(diǎn)安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)轉(zhuǎn)移軌跡Fig.19 Transfer trajectory of two-point transfer formation with safety guaranteed

圖20 不同轉(zhuǎn)移時(shí)間的兩點(diǎn)安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)脈沖Fig.20 Fuel consumption of two-point transfer formation with safety guaranteed with different transfer time

5 結(jié) 論

1）DRO 附近的近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)的通解由以下4 類(lèi)解構(gòu)成：地月平面內(nèi)擬周期解、地月平面內(nèi)周期解、地月平面內(nèi)發(fā)散解以及地月平面法向擬周期解。

2）基于地月平面內(nèi)周期解可以設(shè)計(jì)自然伴飛編隊(duì)， 從而實(shí)現(xiàn)副星位于主星的前方或者后方的幾米至幾百千米的距離，沿一條局部振動(dòng)的周期軌跡運(yùn)動(dòng)的伴飛。該編隊(duì)適用于交會(huì)對(duì)接停泊軌道等自然伴飛任務(wù)。

3）設(shè)計(jì)DRO 附近的受控圓編隊(duì)時(shí)，參考軌道方向應(yīng)多考慮傾斜或垂直于xy平面的情況，有助于減少繞飛軌跡的燃耗；圓心則應(yīng)設(shè)置在原點(diǎn)附近，以避免產(chǎn)生較大的燃耗；且由于線性化特性的存在，可以通過(guò)放縮某個(gè)尺度的轉(zhuǎn)移結(jié)果得到其他尺度參考軌跡以及所需的燃耗，如此可以大大減小分析過(guò)程中的計(jì)算量。

4）本文所提出的安全轉(zhuǎn)移編隊(duì)可以實(shí)現(xiàn)任意兩點(diǎn)之間的安全轉(zhuǎn)移，在轉(zhuǎn)移過(guò)程中可保證參考轉(zhuǎn)移軌道上每一點(diǎn)距離主星有足夠的安全距離。