李兵科,于延波,王蜀泉,譚永華,岳文龍

1. 北京航天動(dòng)力研究所, 北京 100076 2. 中國(guó)科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心, 北京 100094 3. 航天推進(jìn)技術(shù)研究院, 西安 710100

0 引 言

在航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域,控制力矩陀螺(control momentum gyroscope,CMG)是一種高效的執(zhí)行機(jī)構(gòu)[1-2].與反作用輪相比,CMG利用扭矩放大的陀螺效應(yīng)能顯著提高姿態(tài)控制輸出力矩;但是,CMG組的控制規(guī)律非常復(fù)雜,存在構(gòu)型奇異導(dǎo)致輸出無(wú)效問(wèn)題.變速控制力矩陀螺(variable speed control moment gyroscopes,VSCMG)可以采用反作用輪控制模式在構(gòu)型奇異時(shí)產(chǎn)生有效輸出,從而避免奇異狀態(tài)[3-8].

許多文獻(xiàn)[3-16]研究了CMG及VSCMG,其中大部分文獻(xiàn)[3-10]的關(guān)注重點(diǎn)為航天器控制的精度、穩(wěn)定性及其控制與能量的復(fù)合設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[14]提出了一種基于交叉反饋控制方案的章動(dòng)模式跟蹤補(bǔ)償方法,文獻(xiàn)[15]提出了一種分析裝有控制力矩陀螺的航天器機(jī)動(dòng)性的方法.文獻(xiàn)[16]介紹了在拋物線飛行產(chǎn)生的微重力環(huán)境下使用控制力矩陀螺儀進(jìn)行視線(LOS)姿態(tài)控制的結(jié)果.文獻(xiàn)[17]研究了單框架控制力矩陀螺群的奇異問(wèn)題.關(guān)于姿態(tài)控制系統(tǒng)功率優(yōu)化的研究較少[11-17].

航天器姿態(tài)控制消耗的功率占總消耗功率很大比重,因此,如何以更有效的控制方式來(lái)降低航天器姿態(tài)控制中的功率消耗是非常值得研究的.文獻(xiàn)[11]研究了利用反應(yīng)輪裝置控制航天器的局部最優(yōu)姿態(tài)控制,利用冗余反應(yīng)輪的零子空間,開(kāi)發(fā)了一種局部最優(yōu)的姿態(tài)控制算法.仿真結(jié)果表明,新的控制方法相比于傳統(tǒng)控制方法可以降低約10%的功率消耗[11].

本文研究基于CMG的航天器姿態(tài)控制的功率優(yōu)化問(wèn)題.對(duì)一個(gè)包含4個(gè)控制力矩陀螺(4-CMG)的組合,存在一維的零運(yùn)動(dòng).通過(guò)恰當(dāng)定義關(guān)于功率的代價(jià)函數(shù),利用此零運(yùn)動(dòng)空間,根據(jù)最優(yōu)化算法,原理上可以獲得功率最優(yōu)解.為驗(yàn)證航天器姿態(tài)控制功率優(yōu)化算法的有效性,設(shè)置了測(cè)試模型參數(shù),進(jìn)行數(shù)值仿真,對(duì)基礎(chǔ)控制律與功率優(yōu)化控制律戶進(jìn)行了對(duì)比分析.

1 基于CMG的航天器姿態(tài)控制動(dòng)力學(xué)方程

一個(gè)CMG由一個(gè)固定的旋轉(zhuǎn)輪和一個(gè)框架組成.對(duì)于由多個(gè)控制力矩陀螺(N-CMG)組合控制的航天器,系統(tǒng)可以分為3個(gè)部分:航天器本體、框架和CMG的轉(zhuǎn)子.推導(dǎo)此系統(tǒng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程,最常用的方法是分別對(duì)這3部分建模,然后綜合各種因素,獲得最終的動(dòng)力學(xué)方程.

從基本歐拉角動(dòng)量方程出發(fā)

(1)

式中,H是系統(tǒng)的總的角動(dòng)量,L是系統(tǒng)的外部力矩.

在此,假定沒(méi)有外部力矩作用于系統(tǒng).因而有

L=0

(2)

(3)

為了單獨(dú)研究系統(tǒng)中各部分,將總角動(dòng)量分為3個(gè)部分角動(dòng)量之和

H=Hs+Hg+Hω

(4)

式中,Hs是航天器自身的角動(dòng)量,Hg是框架的角動(dòng)量,Hω是轉(zhuǎn)子的總角動(dòng)量.

(5)

式中,[I]是整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,ω是航天器的角速度.注意,由于陀螺框架的運(yùn)動(dòng),[I]在航天器固定坐標(biāo)系內(nèi)不是恒定的.本文下標(biāo)“s”、“t”、“g”分別代表航天器本體、轉(zhuǎn)子、框架.[Gs]、[Gt]、[Gg]是3個(gè)3×N矩陣

(6)

圖1 第i個(gè)框架的三軸示意圖Fig.1 Triaxial diagram of of the i-th frame

τs、τt、τg為如下力矩組:

(7)

(8)

(9)

各個(gè)CMG的旋轉(zhuǎn)電機(jī)控制力矩usi和框架電機(jī)控制力矩ugi如以下方程:

(10)

(11)

2 CMG基礎(chǔ)控制律

本節(jié)給出基于速度的CMG控制法,將其作為進(jìn)一步開(kāi)展功率優(yōu)化前的基礎(chǔ)控制律.以姿態(tài)跟蹤問(wèn)題為例,采用修正羅德里格斯參數(shù)法(modified rodrigues parameters,MRP)描述航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性參考坐標(biāo)系的姿態(tài)(σB).用σBR表示姿態(tài)跟蹤誤差,為航天器相對(duì)參考姿態(tài)σR的姿態(tài)偏差

(12)

角速度跟蹤誤差

δω=ω-[BN]ωr

(13)

這里,[BN]表示從慣性坐標(biāo)系到航天器本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣.所有的向量運(yùn)算,在同一坐標(biāo)系中進(jìn)行.在此,使用航天器本體坐標(biāo)系.因參考角速度ωr通常表示在慣性坐標(biāo)系,所以通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣[BN]將ωr投影到航天器本體坐標(biāo)系.

采用非線性控制法進(jìn)行姿態(tài)控制律設(shè)計(jì),定義Lyapunov函數(shù)

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo),得到

(15)

設(shè)Lyapunov函數(shù)變化率為

(16)

將式(15)代入式(16),可得Lyapunov穩(wěn)定的條件為

(17)

將航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程組(EOM)式(5)代入Lyapunov穩(wěn)定條件式(17),就能得到滿足穩(wěn)定性要求的控制律.

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

應(yīng)用以上定義,并將式(5)代入穩(wěn)定性條件式(17),得到簡(jiǎn)潔的穩(wěn)定性約束條件

(24)

[D]=[D1]-[D2]+[D3]+[D4]

(25)

Lr是保證漸近穩(wěn)定的力矩矢量

(26)

(27)

注意到,Jsi>Jti、Jgi,Ωi>>ωsi,由式(25)即有

[D]=[D1]-[D2]+[D3]+[D4]≈[D1]

(28)

則保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的力矩矢量進(jìn)一步近似為

(29)

式中,[D1]是一個(gè)3×N矩陣,當(dāng)N>3時(shí),除非CMG組達(dá)到奇異狀態(tài),否則方程(29)有無(wú)窮多解.從最小范數(shù)解開(kāi)始,得到滿足穩(wěn)定性條件的控制律特解如下:

(30)

(31)

式中,α是當(dāng)矩陣[D1]接近奇點(diǎn)時(shí)引入的一個(gè)小擾動(dòng)量(當(dāng)矩陣[D1]接近奇異時(shí),令α為一個(gè)大于0的小值(例如取0.01),從而避免奇異性導(dǎo)致的求解問(wèn)題.當(dāng)矩陣[D1]遠(yuǎn)離奇異時(shí),再將α設(shè)置為0),[I3×3]是一個(gè)3×3單位矩陣.

方程(31)是CMG基礎(chǔ)控制律表達(dá)式,這是本文將要設(shè)計(jì)的CMG功率最優(yōu)控制律的基礎(chǔ).

3 CMG功率優(yōu)化控制律及求解

由于式(29)在穩(wěn)定性約束條件下有無(wú)窮多解,則存在自由度來(lái)改進(jìn)控制.本文設(shè)計(jì)了對(duì)于4-CMG姿態(tài)控制問(wèn)題的功率優(yōu)化算法.

首先,需要確定功率函數(shù)的表達(dá)式.在本文中,“功率最優(yōu)”是指姿態(tài)控制的功率(能量)最小化.功率函數(shù)定義為

(32)

式(32)表明,轉(zhuǎn)子與支架的加速和減速都會(huì)消耗能量.據(jù)此,定義代價(jià)函數(shù)Z為

(33)

功率優(yōu)化算法的思想是利用式(29)的自由度,尋找一個(gè)最優(yōu)解析解,使得代價(jià)函數(shù)Z最小.

本文考慮4-CMG進(jìn)行姿態(tài)控制,矩陣[D1]是一個(gè)3×4矩陣.因此,它具有一個(gè)自由度的零子空間,這個(gè)零子空間為1×4維度.在零子空間中的向量可以表示為βd,這里:β是一個(gè)標(biāo)量,d是系數(shù)矩陣[D1]的零子空間的基本向量.d表達(dá)式為

d=SD1ν={[E4]-[D1]T([D1][D1]T)-1[D1]}ν

(34)

在式(34)定義下,有[D1]d=0,即操縱律中的d不輸出三軸力矩,一般稱(chēng)為零運(yùn)動(dòng).

則能夠使得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制律通解可表示為

(35)

由式(32)～(33),功率優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)的β,使得(32)定義的代價(jià)函數(shù)J最小[19-20].

將N個(gè)CMG的軸向與框架電機(jī)輸出力矩寫(xiě)為矢量形式

(36)

ug=[…,ugi,…]T

(37)

(38)

本文功率優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型[15]為

最小化Z

符合條件β≥0.

對(duì)Z關(guān)于β求導(dǎo)數(shù),得到

(39)

(40)

β*是代價(jià)函數(shù)Z的一個(gè)極值點(diǎn).

對(duì)Z關(guān)于β求二階偏導(dǎo)數(shù),得到

(41)

這就證明了β*是最小化代價(jià)函數(shù)Z的最佳點(diǎn)[15].

(42)

4 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

為驗(yàn)證使用4-CMG的航天器姿態(tài)控制功率優(yōu)化算法的有效性,采用基本參數(shù)如表1所示的測(cè)試模型進(jìn)行數(shù)值仿真,數(shù)值積分方法采用龍格庫(kù)塔(runge-kutta)法.

表1 仿真參數(shù)設(shè)置[18]Tab.1 Simulation parameters setup[18]

圖2～4為這兩種控制算法在姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題中的仿真結(jié)果.

圖2所示為只應(yīng)用基礎(chǔ)4-CMG控制的仿真結(jié)果.圖3所示為應(yīng)用4-CMG功率最優(yōu)控制時(shí)的仿真結(jié)果.

比較圖2與圖3這兩組結(jié)果,可見(jiàn)功率最優(yōu)控制并沒(méi)有改變航天器的動(dòng)力學(xué)特性,但轉(zhuǎn)子電機(jī)的扭矩和支架電機(jī)力矩稍有變化,如圖2(d)、圖2(e)和圖3(d)、圖3(e)所示.

圖4所示為采用功率優(yōu)化算法后對(duì)比原控制律算法的姿態(tài)跟蹤控制過(guò)程的功率節(jié)省百分比的仿真結(jié)果,兩種控制方法的功率之差在1.5%以內(nèi),表明功率優(yōu)化控制算法在姿態(tài)跟蹤控制方面沒(méi)有大的改進(jìn).

圖5～7所示為這兩種控制算法在姿態(tài)穩(wěn)定控制問(wèn)題中的仿真效果.在這組仿真結(jié)果中,兩種控制算法在姿態(tài)穩(wěn)定控制中的最大功率消耗都大于在姿態(tài)跟蹤控制中的最大功率消耗.由圖7可知,功率優(yōu)化控制算法比基礎(chǔ)控制算法在姿態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題上的節(jié)能高達(dá)9%(在系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間42 s左右時(shí)),這表明功率優(yōu)化姿態(tài)控制算法在航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制方面的效果更好.

圖2 采用基于4-CMG的基本姿態(tài)跟蹤控制Fig.2 Baseline attitude stabilization control using 4-CMGs

圖3 采用基于4-CMG組功率優(yōu)化的姿態(tài)跟蹤控制Fig.3 Power optimized attitude stabilization control using 4-CMGs

圖4 采用功率優(yōu)化算法后姿態(tài)跟蹤控制過(guò)程的功率節(jié)省百分比Fig.4 Percentage of power saved due to power optimization during attitude tracking

圖5 采用基于4-CMG組的姿態(tài)穩(wěn)定控制Fig.5 Baseline attitude stabilization control using 4-CMGs

圖7應(yīng)用功率優(yōu)化的姿態(tài)穩(wěn)定功率節(jié)省百分比Fig.7 Percentage of power saved due to power optimized attitude stabilization

5 結(jié) 論

本文基于傳統(tǒng)CMG控制的速度定律,利用冗余CMG組零運(yùn)動(dòng)空間開(kāi)發(fā)了功率優(yōu)化姿態(tài)控制算法,以4-CMG為例獲得最優(yōu)解.對(duì)4-CMG,零運(yùn)動(dòng)空間只有一個(gè)自由度.使用恰當(dāng)定義的功率代價(jià)函數(shù),根據(jù)最優(yōu)化算法,求解到最優(yōu)解.對(duì)設(shè)置測(cè)試參數(shù)模型的仿真結(jié)果表明,這種功率最優(yōu)算法在航天器穩(wěn)定控制方面的功率優(yōu)化效果優(yōu)于姿態(tài)跟蹤控制方面的功率優(yōu)化效果.