繆海斌, 劉鴻瑾, 呂權修, 邵立珍

1. 北京科技大學, 北京 100083 2. 北京控制工程研究所, 北京 100094

0 引 言

空間技術的發(fā)展已經(jīng)過去半個多世紀,隨著航天科學技術的進步,衛(wèi)星的種類和功能也呈現(xiàn)出多元化的發(fā)展趨勢,目前大量應用于通訊、導航定位、資源勘查及空間科學探測.而為了探索未知世界、進行新的科學研究以及觀測新的現(xiàn)象,航天任務變得日益復雜,同時對衛(wèi)星的姿態(tài)機動、跟蹤與穩(wěn)定控制的能力提出了更高的要求,傳統(tǒng)的大衛(wèi)星在一些方面已經(jīng)不能滿足任務的需要.微納衛(wèi)星具有研制周期短、成本低、響應快速、易于組網(wǎng)應用的顯著特點,所以微納衛(wèi)星成為了衛(wèi)星發(fā)展的熱點,而且技術日趨成熟[1].雖然單個微納衛(wèi)星在性能上不如傳統(tǒng)的大衛(wèi)星,但是,微納衛(wèi)星群通過系統(tǒng)內(nèi)個體之間的通信交流保證群內(nèi)個體能夠獲取外界信息,使得整個微納衛(wèi)星群系統(tǒng)對環(huán)境的適應能力得到大幅度提升,從而能夠完成極為復雜的太空任務[2].

微納衛(wèi)星控制的關鍵技術之一是姿態(tài)系統(tǒng)控制,設計有效的控制策略以實現(xiàn)對微納衛(wèi)星的姿態(tài)控制,已成為航天領域廣泛關注的熱門課題.對于衛(wèi)星群姿態(tài)控制問題,主從控制方式較為成熟,目前很多衛(wèi)星姿態(tài)控制的相關研究都是基于這一控制策略展開的,最早主從式控制策略出現(xiàn)在機器人編隊控制中[3],隨后WANG等[4]將該控制策略運用于衛(wèi)星姿態(tài)中.與此同時,國內(nèi)外其他專家也對主從方式的衛(wèi)星編隊展開了研究,文獻[5-7]應用了反饋控制算法求解控制律用于衛(wèi)星姿態(tài)控制;SUN等[8-10]針對存在輸入約束和參數(shù)不確定性的衛(wèi)星群姿態(tài)控制問題,研究了魯棒控制在衛(wèi)星群姿態(tài)控制中的應用;文獻[11]中,提出了軌道LQR協(xié)同控制律方法,驗證了存在干擾的情況下,從星相對主星姿態(tài)跟隨的穩(wěn)定性;文獻[12]中,針對衛(wèi)星群在飛行過程中轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變導致從衛(wèi)星無法精確跟隨的情況,提出了狀態(tài)反饋非線性自適應控制方法;劉春生等[13]提出了一種將滑?？刂评碚撆c狀態(tài)相關的黎卡提方程 (SDRE)相結(jié)合的魯棒最優(yōu)控制設計方法.這種方法首先考慮能耗性能指標,利用SDRE方法得到了飛行器姿態(tài)的最優(yōu)控制律;然后將滑?？刂评碚撆cSDRE相結(jié)合,實現(xiàn)了飛行器姿態(tài)控制,并證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.上述方法大多數(shù)是傳統(tǒng)的控制方法,沒有考慮時間和能耗等性能指標,或者僅考慮了能耗這一單一性能指標,本文針對微納衛(wèi)星群姿態(tài)控制問題,以姿態(tài)誤差函數(shù)和能耗函數(shù)作為2個性能指標函數(shù),建立了其多目標優(yōu)化模型.進一步采用彈性約束法求解2個性能指標函數(shù)的帕累托前沿,實現(xiàn)了微納衛(wèi)星群姿態(tài)機動控制和姿態(tài)協(xié)同控制,同時和文獻[13]提出的基于SDRE的飛行器姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制算法進行比較,驗證了本文提出方法的有效性.

1 衛(wèi)星姿態(tài)動力學和運動學模型

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)動力學模型

衛(wèi)星的動力學模型由單剛體的歐拉動力學方程描述如下:

式中,u=[uxuyuz]T表示作用于剛體質(zhì)心上的控制力矩,本文沒有考慮干擾力矩,ω=[ωxωyωz]T為剛體的姿態(tài)角速度.

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)運動學模型

本文主要研究微小衛(wèi)星群在小角度下的姿態(tài)控制,由于在小角度情況下[14],姿態(tài)角和角速度之間是準積分關系,為了簡化控制系統(tǒng)設計,假設姿態(tài)角和角速度之間是簡單的積分關系,即

其中:ω0為衛(wèi)星軌道角速度,單位為rad/s;φ為滾角;θ為俯仰角;φ為航偏角,單位為rad.

令狀態(tài)變量x=[φθφωxωyωz]T,可以將非線性系統(tǒng)狀態(tài)變量x寫成下式的形式

(1)

矩陣A和B都與狀態(tài)系統(tǒng)有關.

2 衛(wèi)星姿態(tài)控制中的優(yōu)化問題模型

2.1 圖論相關知識

本文考慮具有主從結(jié)構(gòu)的衛(wèi)星姿態(tài)控制問題.假設微納衛(wèi)星之間信息交換為有向的,即有向通訊拓撲[15].有向通訊拓撲圖g由若干個頂點v和若干個邊ε組成,頂點vi表示第i個衛(wèi)星,i=0,1,…,m,其中v0為主星,邊(vi,vj)表示衛(wèi)星j能夠獲取衛(wèi)星i的信息, 但并不能表示衛(wèi)星i也可以獲得衛(wèi)星j的信息,此關系表明各衛(wèi)星之間是單向聯(lián)通的.定義A=[aij]∈Rm×m表示有向圖的加權鄰接矩陣,如果(vi,vj)∈ε, 則aij>0, 反之a(chǎn)ij=0.一般情況下,假設頂點自身之間沒有連通性,即aij=0.本文中假定主衛(wèi)星不能獲取從衛(wèi)星的狀態(tài)信息, 即(vi,v0)?ε,?i=1,2,…,m,并且僅有一部分從衛(wèi)星可獲取主衛(wèi)星的狀態(tài),從衛(wèi)星之間可以進行部分通訊.

2.2 歐拉法

為了建立上述2個問題的優(yōu)化模型,本文首先將衛(wèi)星姿態(tài)控制的連續(xù)時間系統(tǒng)通過常微分數(shù)值方法——歐拉法進行離散化,轉(zhuǎn)換為離散系統(tǒng),然后再建立多目標優(yōu)化模型.

由于歐拉法算法簡單,離散模型變量之間不存在耦合,計算量比較小,數(shù)字化實現(xiàn)比較容易,是一種簡單實用的積分算法,本文采用歐拉法對式(1)進行離散化得到衛(wèi)星姿態(tài)的離散模型為

(1)

(2)

2.3 衛(wèi)星姿態(tài)機動控制優(yōu)化模型

在微納衛(wèi)星姿態(tài)控制控制過程中,不僅要考慮在最短時間內(nèi)衛(wèi)星達到期望的姿態(tài),還要考慮能耗的問題.因為是體積很小的微納衛(wèi)星,自身攜帶的能量或者采集能量的裝置就有限,如果不考慮能耗的問題,有可能在衛(wèi)星沒有達到期望姿態(tài)的情況下就因為能量耗盡導致任務失敗.所以本文建立的多目標優(yōu)化模型如下:

(3)

2.4 衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制優(yōu)化模型

微納衛(wèi)星群姿態(tài)協(xié)同控制過程中,因為沒有目標姿態(tài),衛(wèi)星之間通過姿態(tài)信息傳遞使得所有的衛(wèi)星姿態(tài)保持一致,本文希望所有衛(wèi)星狀態(tài)達到一致時,保持該時刻的姿態(tài)穩(wěn)定運行,所以在優(yōu)化目標函數(shù)中加入了角速度.本文建立的多目標優(yōu)化模型如下:

(4)

式中,ω=[ωxωyωz]T表示衛(wèi)星的角速度,α是一個權重因子,其余參數(shù)的含義與式(3)相同.

2.5 多目標優(yōu)化問題描述和彈性約束法

考慮具有如下p個目標,n個變量,m個約束的多目標優(yōu)化問題(MOP).

minf(x)=[f1(x) …fp(x)]T

s.t.x∈X={x∈Rn:

g(x)=[g1(x)g2(x) …gm(x)]T≤0}

(5)

其中;X是變量空間Rn的可行域,為非空.目標空間Rp的可行域Y被定義為Y={f(x):x∈X}.

在彈性約束法中,將一個目標函數(shù)當作優(yōu)化目標,其它目標函數(shù)當作約束條件,并將它們納入模型的約束部分[16],如式(6)所示.圖1是用彈性約束法求解2個目標函數(shù)得到的目標函數(shù)的可行域和在ε=3.7時彈性約束法求解得到的非支配點.

minf1(x)

(6)

圖1 彈性約束法示例圖Fig.1 Example diagram of elastic constraint method

3 實驗仿真

本節(jié)用圖2表示微納衛(wèi)星群拓撲圖來驗證衛(wèi)星姿態(tài)機動控制和衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制,2個衛(wèi)星姿態(tài)控制仿真中使用相同的拓撲圖和初始值.如圖所示,用0#表示主衛(wèi)星,1#,2#,3#分別表示從衛(wèi)星,只有1#衛(wèi)星能接收到0#主衛(wèi)星的信息,2#衛(wèi)星只能接受到1#衛(wèi)星的信息,3#衛(wèi)星可以同時接受到1#衛(wèi)星和2#衛(wèi)星的信息.這些衛(wèi)星通過求解其目標函數(shù)值時期最優(yōu),使得衛(wèi)星群在最短的時間內(nèi)達到目標姿態(tài)同時使能耗最小.

在仿真過程中,狀態(tài)變量xi=[φθφωxωyωz]T,(i=0,1,2,3),節(jié)點的初始狀態(tài)分別為x0(0)=[0.2 -0.2 0.1 0 0 0]T,x1(0)=[0.3 -0.1 0.1 0 0 0]T,x2(0)=[0.4 -0.2 -0.1 0 0 0]T,x3(0)=[0.32 0.2 -0.1 0 0 0]T.

轉(zhuǎn)動慣量分別為Ix=0.004 kg·m2,Iy=0.005 kg·m2,Iz=0.006 kg ·m2,控制變量|ui|≤1.用歐拉法離散化過程中,取迭代步長h=0.01,總迭代步數(shù)為n=50,沒有考慮干擾力矩.

圖2 衛(wèi)星通信拓撲圖Fig.2 Satellite communication topology

3.1 基于彈性約束法的帕累托最優(yōu)解

本文中,目標函數(shù)由誤差函數(shù)f1(u)和能耗函數(shù)f2(u)兩部分組成,2個函數(shù)的表達式和前面優(yōu)化模型中的一樣,用彈性約束法求解帕累托前沿時,將誤差函數(shù)f1(u)當作目標函數(shù),能耗函數(shù)f2(u)加入約束條件,優(yōu)化模型變?yōu)?/p>

衛(wèi)星姿態(tài)機動控制中,ε取值方式為ε=0.5:0.5:4.5,取9個不同的值,求解在能耗函數(shù)f2(u)小于不同ε的約束條件下的解u*,再計算在解u*下對應的2個單目標值f1(u*)、f2(u*),以f1(u*)為橫坐標,f2(u*)為縱坐標繪制如圖3.

圖3 基于衛(wèi)星姿態(tài)機動制的帕累托前沿Fig.3 Pareto front based on satellite attitude maneuver control

圖4 基于衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)控同控制的帕累托前沿Fig.4 Pareto front based on satellite attitude coordination control

在衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制中,ε取值方式為ε=0.5∶0.5∶3.0,最后取一個比零大的數(shù)0.05,求解的帕累托前沿如圖4所示.其中,圖3和圖4是取不同的ε值得到的一組非支配點,然后用平滑的曲線連接這些點得到的帕累托前沿.圖1是用彈性約束法求解多目標優(yōu)化問題的一個示例圖,圖中的二維區(qū)域是2個目標函數(shù)的可行域,紅色的點表示ε=3.7時用彈性約束法求解得到的非支配點.

3.2 衛(wèi)星姿態(tài)機動控制仿真結(jié)果

在衛(wèi)星群姿態(tài)機動控制仿真中,設定期望的姿態(tài)角為0,設ε=1.5和ε=3.從圖5可以看出, 在ε=1.5時,迭代20步之后,所有的主衛(wèi)星和從衛(wèi)星都達到了期望的姿態(tài),在ε=3時,從圖6可以看出,在迭代到40步之后,所有的主衛(wèi)星和從衛(wèi)星的才達到期望的姿態(tài).對比圖5和圖6,發(fā)現(xiàn)ε取值越大,需要迭代更多步以后才能達到期望的姿態(tài),這是因為能耗函數(shù)值大,則誤差函數(shù)就小,所以需要迭代更多的步才能收斂.圖7和圖8角速度軌跡曲線在迭代20步和迭代40步以后所有衛(wèi)星的角速度都為零,達到了平衡狀態(tài),圖9和圖10表明所有的控制信號都被成功地限制在了預定的區(qū)間[-1,1]內(nèi),而且控制變量曲線變化比較平滑,是一種較為理想的狀態(tài).從圖5和圖6可以看出從主衛(wèi)星到各個從衛(wèi)星姿態(tài)角到達一致所用的時間越來越長.這是符合實際情況的,因為2#衛(wèi)星和3#衛(wèi)星只能接受1#衛(wèi)星的信息而無法接受到0#衛(wèi)星的信息,只有等1#衛(wèi)星與主衛(wèi)星姿態(tài)達到一致了之后,2#衛(wèi)星才能實現(xiàn)與主衛(wèi)星的同步.同樣地,只有當1#衛(wèi)星和 2#衛(wèi)星與主衛(wèi)星姿態(tài)達到一致后,3#衛(wèi)星才可能與主衛(wèi)星姿態(tài)一致.圖11～13是用基于SDRE的飛行器姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制得到的衛(wèi)星姿態(tài)機動軌跡圖,比較圖5和圖11,發(fā)現(xiàn)在迭代20步左右所有的衛(wèi)星都達到了期望的姿態(tài),但是可以發(fā)現(xiàn)本文所應用的優(yōu)化方法使衛(wèi)星從初始姿態(tài)到達目標姿態(tài)過程中運行軌跡更加平滑,說明衛(wèi)星在飛行過程中姿態(tài)沒有大幅度的變化,運行得更加平穩(wěn),可以減少衛(wèi)星在飛行過程中由于姿態(tài)的大幅度變化而引起運行故障,體現(xiàn)了本文運用的多目標優(yōu)化方法可以有效實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制.

圖5 ε=1.5時衛(wèi)星角度軌跡圖Fig.5 Satellite angle trajectories with ε=1.5

圖6 ε=3時衛(wèi)星角度軌跡圖Fig.6 Satellite angle trajectories with ε=3

圖7 ε=1.5時衛(wèi)星角速度軌跡圖Fig.7 Satellite angular velocity trajectories with ε=1.5

圖8 ε=3時衛(wèi)星角速度軌跡圖Fig.8 Satellite angular velocity trajectories with ε=3

圖9 ε=1.5時控制變量響應曲線Fig.9 Response curves of control variables with ε=1.5

圖10 ε=3時控制變量響應曲線Fig.10 Response curves of control variables with ε=3

圖11 基于SDRE姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制的角度軌跡圖Fig.11 Satellite angle trajectories based on SDRE attitude optimal robust control

圖12 基于SDRE姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制的角速度軌跡圖Fig.12 Satellite angular velocity trajectories based on SDRE attitude optimal robust control

圖13 基于SDRE最優(yōu)控制的控制變量軌跡圖Fig.13 Trajectories of control variables based on SDRE optimal control

3.3 衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制仿真結(jié)果

在衛(wèi)星姿態(tài)協(xié)同控制當中,初始狀態(tài)的選取和衛(wèi)星姿態(tài)機動控制中相同.通過反復實驗,權重因子α取為0.01.本文同時優(yōu)化2個目標函數(shù),希望所有的衛(wèi)星從不同的初始姿態(tài)開始在最短時間姿態(tài)達到一致.如圖14所示,在ε=1時,迭代25步以后,所有衛(wèi)星的滾動角、俯仰角和航偏角都達到一致,當ε=2時,結(jié)果如圖15,需要迭代30步以后所有衛(wèi)星的角度才能達到一致,在實際情況中,可以根據(jù)需要能耗小還是收斂速度快選擇ε的值.圖16～19表明所有衛(wèi)星的控制力矩和角速度最后都達到了平衡狀態(tài),且狀態(tài)軌跡圖和控制力矩軌跡圖都比較平滑,是一種比較理想的狀態(tài).

圖14 ε=1時衛(wèi)星角度軌跡圖Fig.14 Satellite angle trajectories with ε=1

圖15 ε=2時衛(wèi)星角度軌跡圖Fig.15 Satellite angle trajectories with ε=2

圖16 ε=1時衛(wèi)星角速度軌跡圖Fig.16 Satellite angular velocity trajectories with ε=1

圖17 ε=2時衛(wèi)星角速度軌跡圖Fig.17 Satellite angular velocity trajectories with ε=2

圖18 ε=1時衛(wèi)星控制變量響應曲線Fig.18 Response curves of satellite control variables with ε=1

圖19 ε=2時衛(wèi)星控制變量響應曲線Fig.19 Response curves of satellite control variables with ε=2

4 結(jié) 論

本文基于衛(wèi)星姿態(tài)機動控制和姿態(tài)協(xié)同問題,建立了微納衛(wèi)星群姿態(tài)控制問題的多目標優(yōu)化模型,基于彈性約束法求解該多目標優(yōu)化模型的帕累托前沿,取不同的值進行仿真,并和基于SDRE的飛行器姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制算法進行仿真比較.仿真結(jié)果表明,對于微納衛(wèi)星群姿態(tài)機動控制和協(xié)同控制問題,用多目標優(yōu)化算法可以很好地控制衛(wèi)星群達到期望的目標姿態(tài),并和基于SDRE的飛行器姿態(tài)最優(yōu)魯棒控制算法進行仿真比較,發(fā)現(xiàn)在相同時間內(nèi)衛(wèi)星群姿態(tài)都達到了期望的目標,說明本文運用的多目標優(yōu)化方法可以有效實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制.