胡典順　駱仁軒

胡典順 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育教研室主任，湖北省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)副主任委員；《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)通訊》編委，鄂教版高中數(shù)學(xué)教材（2019年版）副主編，中國(guó)國(guó)際文化交流基金會(huì)第三屆“明德教師獎(jiǎng)”獲得者；曾以訪問學(xué)者的身份，由國(guó)家留學(xué)基金委公派訪問美國(guó)特拉華大學(xué)；在《課程·教材·教法》《中國(guó)教育學(xué)刊》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《教育科學(xué)研究》等期刊上發(fā)表論文270余篇，出版《基于數(shù)學(xué)意義的數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究》《整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識(shí)：從教師專業(yè)素養(yǎng)到教師教學(xué)實(shí)踐》《中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)的模型建構(gòu)與實(shí)證研究》等專著，主持多項(xiàng)全國(guó)教育科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目和教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目。

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析有三個(gè)層次：描述性統(tǒng)計(jì)、差異性分析和統(tǒng)計(jì)模型。本文基于“WJ市義務(wù)教育核心素養(yǎng)監(jiān)測(cè)”項(xiàng)目，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)調(diào)查問卷結(jié)果的描述性統(tǒng)計(jì)內(nèi)容、相關(guān)分析內(nèi)容以及如何利用統(tǒng)計(jì)分析軟件如SPSS 26.0進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)、差異性分析和相關(guān)分析，做具體闡述。

一、描述性統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容

描述性統(tǒng)計(jì)主要包括數(shù)據(jù)的頻數(shù)分析、集中趨勢(shì)分析、離散程度分析，以及繪制基本的統(tǒng)計(jì)圖等。本項(xiàng)目中，筆者通過制作表格、繪制統(tǒng)計(jì)圖等可視化形式，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品格等調(diào)查維度得分的頻數(shù)、集中趨勢(shì)和離散程度等進(jìn)行分析。

1.頻數(shù)分析

頻數(shù)分析是對(duì)一組數(shù)據(jù)不同取值的頻數(shù)或者取值落入指定區(qū)域內(nèi)的頻數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。頻數(shù)分析能夠幫助我們了解數(shù)據(jù)的分布特征。實(shí)際運(yùn)用中，一般也會(huì)計(jì)算出每個(gè)頻數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率。例如，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值觀”維度有一個(gè)問題為“數(shù)學(xué)知識(shí)與我們的生活聯(lián)系緊密，數(shù)學(xué)是很有用的學(xué)科”，此題采用7級(jí)量表測(cè)量，可以通過統(tǒng)計(jì)第1～7項(xiàng)得分的頻數(shù)和頻率，了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的態(tài)度的分布情況。

2.集中趨勢(shì)分析

集中趨勢(shì)分析是對(duì)反映數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。常用的統(tǒng)計(jì)量有算術(shù)平均值（以下簡(jiǎn)稱“均值”）、眾數(shù)和中位數(shù)等。例如，“學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)參與情況”維度有一個(gè)問題為“我經(jīng)常和同學(xué)一起討論數(shù)學(xué)題”，此題采用7級(jí)量表測(cè)量，計(jì)算學(xué)生得分的均值，可以了解學(xué)生和同學(xué)討論數(shù)學(xué)題的集中趨勢(shì)。此均值越高，說明有越多學(xué)生傾向于和同學(xué)一起討論數(shù)學(xué)題。

3.離散程度分析

離散程度分析是對(duì)數(shù)據(jù)之間的差異程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。常用的統(tǒng)計(jì)量有方差、標(biāo)準(zhǔn)差、平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差、極差等。例如，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)”維度有一個(gè)問題為“學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，我感到很快樂”，此題采用7級(jí)量表測(cè)量，計(jì)算學(xué)生得分的標(biāo)準(zhǔn)差、平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差、最大值以及最小值等，可以了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂程度是否分散。

4.常用統(tǒng)計(jì)圖

描述性統(tǒng)計(jì)常用的統(tǒng)計(jì)圖有條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、雷達(dá)圖、箱圖等，研究者可以根據(jù)需要選擇。在調(diào)查問卷的描述性統(tǒng)計(jì)中，一般分別對(duì)調(diào)查的各個(gè)維度進(jìn)行分析。以“數(shù)學(xué)教師情況”維度的描述性統(tǒng)計(jì)為例。如果研究者想了解學(xué)生問卷得分的均值和頻數(shù)以及對(duì)應(yīng)的頻率，就可以在統(tǒng)計(jì)出相應(yīng)數(shù)據(jù)之后列出表格。為了更直觀地研究數(shù)據(jù)的變化情況，研究者可以根據(jù)需要基于列出的表格繪制統(tǒng)計(jì)圖，并結(jié)合表格和統(tǒng)計(jì)圖對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行解釋。

二、相關(guān)分析的內(nèi)容

相關(guān)分析是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，以確定相關(guān)關(guān)系的存在、相關(guān)關(guān)系呈現(xiàn)的形態(tài)和方向、相關(guān)關(guān)系的密切程度，主要方法有繪制相關(guān)表、相關(guān)散點(diǎn)圖和計(jì)算相關(guān)系數(shù)。研究者常用計(jì)算相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)分析。相關(guān)系數(shù)有很多種，如皮爾遜相關(guān)系數(shù)、肯德爾相關(guān)系數(shù)和斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)等。其中，皮爾遜相關(guān)系數(shù)r被廣泛應(yīng)用于度量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)的程度。r的取值范圍是[-1，1]。r越接近1，兩個(gè)變量的正線性相關(guān)程度越強(qiáng)；r越接近-1，兩個(gè)變量的負(fù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)；r越接近0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱。在根據(jù)r的取值判定相關(guān)關(guān)系的密切程度時(shí)，通常的劃分標(biāo)準(zhǔn)為：|r|<0.3，視為無線性相關(guān)；|r|在0.3～0.5間，視為低度線性相關(guān)；|r|在0.5～0.8間，視為中度線性相關(guān)；|r|>0.8，則是高度線性相關(guān)。線性相關(guān)關(guān)系只能反映兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性，不能反映因果性。例如，有研究表明學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)有線性相關(guān)關(guān)系，但這不一定說明它們之間有因果關(guān)系，因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)可能還會(huì)受到教師的教學(xué)水平、學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備等的影響。

研究者如果想研究“數(shù)學(xué)教師情況”和“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況”的線性相關(guān)程度，就可以將每名學(xué)生在兩個(gè)維度的得分視為代表相應(yīng)維度的兩組變量，計(jì)算這兩組變量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)，最后根據(jù)所得的皮爾遜相關(guān)系數(shù)判斷這兩個(gè)維度之間的線性相關(guān)程度。對(duì)涉及某個(gè)維度整體的分析，可將學(xué)生在此維度所有題目的總分或者得分均值作為學(xué)生在此維度的得分。

三、描述性統(tǒng)計(jì)、差異性分析及相關(guān)分析舉隅

參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生有4134人，其中有效問卷4014份。以“數(shù)學(xué)教師情況”維度的5道題目（下列是關(guān)于你的數(shù)學(xué)老師的說法，請(qǐng)?jiān)诜夏銓?shí)際情況的選項(xiàng)下打“√”：①教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富；②性格開朗；③與我們關(guān)系融洽；④上課能吸引我的注意力；⑤促進(jìn)了我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）為例。該部分題目以7級(jí)量表呈現(xiàn)，按照越符合得分越高的規(guī)則賦分，即從“完全符合”到“完全不符合”依次從賦7分到賦1分。

1.頻數(shù)分析

用SPSS 26.0對(duì)這5道題目進(jìn)行頻數(shù)分析，要先根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)建構(gòu)數(shù)據(jù)文件，再執(zhí)行如下操作：①選擇【分析】→【描述統(tǒng)計(jì)】→【頻率】，將這5道題放入【變量】對(duì)話框，選中【顯示頻率表】，點(diǎn)擊【確定】運(yùn)行。這樣就可得出每道題每個(gè)選項(xiàng)的得分頻數(shù)和百分比。為了更直觀地反映統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可將反映百分比的數(shù)據(jù)用條形統(tǒng)計(jì)圖（如下圖）顯示。

以第①題為例分析，由圖可知，選擇“比較符合”“符合”和“完全符合”的比重總和為88.6%，表明大部分學(xué)生都認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)老師教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富。

除了通過頻數(shù)分析了解一組數(shù)據(jù)的基本分布情況，還可以利用箱圖深入描述一組數(shù)據(jù)的分布情況。介紹箱圖之前，要先了解第p百分位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中的第p百分位數(shù)指這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值。箱圖（如下圖）由中間的粗橫線、一個(gè)方框、外延出的兩條虛線（也可以為實(shí)線）和最外端可能存在的單獨(dú)散點(diǎn)組成，可以表述一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）、下四分位數(shù)（第25百分位數(shù)）、最小值（下邊緣）和最大值（上邊緣）等，可以反映數(shù)據(jù)是否具有對(duì)稱性、數(shù)據(jù)分布的分散程度等，尤其是可以用于對(duì)比幾個(gè)樣本的分布情況。

箱圖中，方框上端和下端分別表示上、下四分位數(shù)，上端與下端的距離為四分位差；與四分位數(shù)距離超過1.5倍四分位差的值被定義為異常值，處于1.5～3倍四分位差的異常值用空心圓表示，超過3倍四分位差的異常值用實(shí)心圓表示。統(tǒng)計(jì)軟件會(huì)在異常值對(duì)應(yīng)的圓旁邊標(biāo)上數(shù)字，以表示此異常值在數(shù)據(jù)集中的行數(shù)。

用SPSS 26.0對(duì)“數(shù)學(xué)教師情況”維度所得數(shù)據(jù)繪制箱圖，先根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)文件，再執(zhí)行如下操作：①選擇【轉(zhuǎn)換】→【計(jì)算變量】，在【目標(biāo)變量】中輸入“數(shù)學(xué)教師情況總分”，在【數(shù)學(xué)表達(dá)式】中將學(xué)生作答該維度5道題目的得分相加，點(diǎn)擊【確定】；②選擇【圖形】→【圖表建構(gòu)器】，點(diǎn)擊【確定】進(jìn)入主對(duì)話框；③在主對(duì)話框下方的【圖庫】→【選擇范圍】中點(diǎn)擊【箱圖】，雙擊“簡(jiǎn)單箱圖”，將【變量】中的“數(shù)學(xué)教師性別”拖入“x軸”（“x軸”中可以不拖入變量，也可以根據(jù)需要拖入其他變量）、“數(shù)學(xué)教師情況總分”拖入“y軸”，點(diǎn)擊【確定】運(yùn)行。所得的“不同性別的數(shù)學(xué)教師情況”箱圖（圖略）顯示，女教師得分的中位數(shù)比男教師高，男、女教師得分的四分位差比較接近且均較小，說明男、女教師得分分布都比較集中。同時(shí)，男、女教師得分都出現(xiàn)了一些異常值，值得研究者注意。

2.集中趨勢(shì)和離散程度分析

某個(gè)調(diào)查維度題目得分的頻數(shù)、集中趨勢(shì)和離散程度可以同時(shí)分析。用SPSS 26.0對(duì)“數(shù)學(xué)教師情況”維度的5道題目同時(shí)進(jìn)行集中趨勢(shì)分析和離散程度分析，先根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)文件，再執(zhí)行如下操作：①選擇【分析】→【描述統(tǒng)計(jì)】→【頻率】，將5道題目放入【變量】對(duì)話框；②點(diǎn)擊【統(tǒng)計(jì)】→選中【平均值】【標(biāo)準(zhǔn)差】【最小值】【最大值】【標(biāo)準(zhǔn)誤差平均值】（根據(jù)需要選擇），點(diǎn)擊【繼續(xù)】，回到主對(duì)話框，點(diǎn)擊【確定】運(yùn)行。所得結(jié)果如表1所示。

由表1可知，在滿分為7分的情況下，“數(shù)學(xué)教師情況”維度所有題目的得分均值都在5分以上，并且標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤都比較低，說明此維度數(shù)據(jù)測(cè)量比較準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)分散程度低，有比較多的學(xué)生認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)老師有較高的教育教學(xué)水平。

研究者往往會(huì)關(guān)心不同條件下某個(gè)維度得分均值的差異性，如男、女教師在“數(shù)學(xué)教師情況”維度得分均值的差異性。在研究該得分均值在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的差異性之前，研究者通常會(huì)先利用描述性統(tǒng)計(jì)“探路”。如用SPSS 26.0對(duì)不同性別的數(shù)學(xué)教師在此維度的調(diào)查結(jié)果進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示，女性數(shù)學(xué)教師的得分均值（29.125分）比男性（27.749分）高。描述性統(tǒng)計(jì)僅能說明男、女教師的得分均值在直覺上有一定差異，直覺不一定準(zhǔn)確，因此男、女教師得分均值是否存在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的差異仍需進(jìn)一步通過差異性分析來驗(yàn)證。

3.差異性分析

簡(jiǎn)而言之，差異性分析是對(duì)不同樣本組的某個(gè)指標(biāo)的差異進(jìn)行分析。若不同樣本組的某個(gè)指標(biāo)存在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的差異，則說明這些樣本來自具有差異的不同總體，即這些樣本組在某個(gè)指標(biāo)上存在顯著性差異。差異性分析常用的假設(shè)檢驗(yàn)方法有t檢驗(yàn)、方差分析等。對(duì)上述兩組數(shù)據(jù)均值的差異性分析，適合使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。若是涉及三組及三組以上數(shù)據(jù)均值的差異性分析，則要使用方差分析。

用SPSS 26.0對(duì)不同性別教師的“數(shù)學(xué)教師情況”維度得分均值進(jìn)行差異性統(tǒng)計(jì)分析，先根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)文件，再執(zhí)行如下操作：①選擇【分析】→【比較平均值】→【獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)】，將“數(shù)學(xué)教師情況總分”放入【檢驗(yàn)變量】對(duì)話框，將“教師性別”放入【分組變量】對(duì)話框；②點(diǎn)擊【定義組】，輸入組1、組2對(duì)應(yīng)的數(shù)字，即男、女教師在數(shù)據(jù)集中對(duì)應(yīng)的值，點(diǎn)擊【繼續(xù)】→【確定】運(yùn)行。所得結(jié)果如表2所示。

對(duì)表2中的檢驗(yàn)結(jié)果，首先觀察假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的顯著性：若假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的顯著性大于給定的顯著性水平（一般為0.05），則說明兩組數(shù)據(jù)的方差沒有顯著性差異，此后只需觀察假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)；若假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的顯著性小于給定的顯著性水平，則要觀察不假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)。無論觀察哪行數(shù)據(jù)，若P值<0.05，則說明兩組數(shù)據(jù)的均值存在顯著性差異；若P值>0.05，則說明兩組數(shù)據(jù)的均值不存在顯著性差異。表2中假定等方差對(duì)應(yīng)的顯著性是0.359，因?yàn)?.359大于0.05，所以觀察假定等方差所在行對(duì)應(yīng)的P值。P值小于0.05，說明男、女教師在“數(shù)學(xué)教師情況”維度的得分均值存在顯著性差異。

4.相關(guān)分析

由于皮爾遜相關(guān)系數(shù)表明的是兩個(gè)變量間的線性相關(guān)程度，所以除了“數(shù)學(xué)教師情況”維度，還需要一個(gè)維度。選擇“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況”維度，該部分題目（請(qǐng)?jiān)诜夏銓?shí)際情況的選項(xiàng)下打“√”：①我的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诎嗉?jí)中是優(yōu)秀的；②我目前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)好；③我目前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有困難；④我期望能學(xué)好數(shù)學(xué)；⑤我對(duì)自己能學(xué)好數(shù)學(xué)充滿信心）的呈現(xiàn)方式和賦分方式與“數(shù)學(xué)教師情況”維度相同。用SPSS 26.0對(duì)數(shù)學(xué)教師情況和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行相關(guān)分析，先根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)據(jù)文件，并計(jì)算學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況總分，再選擇【分析】→【相關(guān)】→【雙變量】，將“數(shù)學(xué)教師情況總分”和“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況總分”放入【變量】對(duì)話框，選擇【皮爾遜】，點(diǎn)擊【確定】運(yùn)行，所得結(jié)果如表3所示。

由表3可知，數(shù)學(xué)教師情況與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的皮爾遜相關(guān)系數(shù)約為0.535，可以認(rèn)為兩者中度正線性相關(guān)。

四、結(jié)語

描述性統(tǒng)計(jì)和相關(guān)分析是統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)工作。描述性統(tǒng)計(jì)中，對(duì)不同條件下變量均值的直觀比較是進(jìn)一步探究不同條件下變量均值之間是否存在顯著性差異的前提。相關(guān)分析表明了兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度，為探究不同變量之間如何相互影響指明了方向，為建立數(shù)據(jù)模型提供了依據(jù)。

（駱仁軒系華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院碩士研究生）

［專欄文章系教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目“中小學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)的模型建構(gòu)與實(shí)證研究（19YJA880012）”、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目“新高考分省市命題分學(xué)科質(zhì)量評(píng)價(jià)指標(biāo)體系研究（CCNUTEI2021-13）”的成果］

責(zé)任編輯? 劉佳