高遠(yuǎn)東 李華龍 王小華 陳端兵 梁義娟 溫濤 周濤 陶勇

摘要： 傳染病代際間隔τ對(duì)于探究病毒傳播規(guī)律具有重要的理論與實(shí)用價(jià)值，而通常其概率分布函數(shù)是未知的。因此，嘗試?yán)米畲箪胤椒ㄍ茢啻H間隔分布函數(shù)的最概然形式，詳細(xì)分析了全球20個(gè)國家4 986個(gè)新型冠狀病毒病例信息，在充分考慮樣本多樣性的基礎(chǔ)上估計(jì)了該病毒代際間隔的總體均值和方差，然后基于此方法推定了全球新型冠狀病毒代際間隔分布函數(shù)并以此計(jì)算了中國的基本再生數(shù)。研究結(jié)論有助于進(jìn)一步客觀地分析病毒傳播特征，為制定常態(tài)化疫情防控對(duì)策和相關(guān)領(lǐng)域研究提供重要的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞： 新型冠狀病毒；最大熵原理；代際間隔；分布函數(shù)；階矩信息

中圖分類號(hào)： R181.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

收稿日期： 2021-12-07；修回日期：2022-01-24

基金項(xiàng)目： 國家社會(huì)科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（19AJY015） ；國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（61673085）

第一作者： 高遠(yuǎn)東（1979-），男，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

通信作者： 陶勇（1981-），男，重慶人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)。

Maximum Entropy Method for Estimating the Generation Interval Distribution of COVID-19

GAO Yuandong， LI Hualong， WANG Xiaohua， CHEN Duanbing， LIANG Yijuan， WEN Tao， ZHOU Tao， TAO Yong

（1.College of Economics and Management， Southwest University， Chongqing 400715， China;2. Big Data Research Center， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 611731， China）

Abstract：The intergenerational τ has important theoretical and practical value to explore the law of virus transmission， but the probability distribution function is unknown. Therefore， this paper tries to infer the most probable form of the intergenerational interval distribution function? by using the maximum entropy method， and analyzes the information of 4 986 cases of novel coronavirus from 20 countries in the world in detail， and estimates the mean and variance of the intergenerational interval of the virus on the basis of fully considering the diversity of samples. Then， based on this method， the global intergenerational interval distribution function of novel coronavirus was deduced and the basic reproduction number of China is calculated. The conclusion of this study is helpful for further objective analysis of the transmission characteristics of the virus， and provides important reference value for the formulation of regular epidemic prevention and control countermeasures and related research.

Key words： COVID-19; maximum entropy method; generation interval; distribution function; moment information

0 引言

新型冠狀病毒是一種全球流行的傳染病，其未知的傳播動(dòng)力學(xué)特征使疫情防控變得復(fù)雜。其中，代際間隔（generation interval）τ是表征流行病傳播動(dòng)態(tài)的關(guān)鍵參數(shù)之一，被定義為由上一代病例所引發(fā)的下一代病例出現(xiàn)的時(shí)間間隔，這需要通過調(diào)查感染者和繼發(fā)感染者癥狀出現(xiàn)的日期來獲取［1］。從任何個(gè)體和群體角度來看，病毒傳播的信息總是有缺失和不準(zhǔn)確的［2］。實(shí)際上，很難統(tǒng)計(jì)一個(gè)個(gè)體感染另一個(gè)個(gè)體的時(shí)間，所以通常用序列間隔（serial interval）對(duì)代際間隔進(jìn)行近似，本文也使用序列間隔進(jìn)行近似。已有的研究主要使用傳統(tǒng)的傳染病模型來分析和預(yù)測(cè)疫情的發(fā)展，而代際間隔τ又是目前主流傳染病模型Susceptible-Infectious-Recovered （SIR）的重要參數(shù)［3］。

dStdt=－StNRtτIt（1）

dItdt=StNRtτIt－Itτ（2）

dH（t）dt=I（t）τ（3）

其中，Rt為新型冠狀病毒在t時(shí)刻的再生數(shù)。St、It和Ht分別為t時(shí)刻社會(huì)中易感染者、感染者和康復(fù)者的個(gè)體數(shù)目。令全社會(huì)的總?cè)藬?shù)為N，則有

N=St+It+Ht（4）

對(duì)于一次傳染病疫情，模擬疫情的演化趨勢(shì)需要掌握傳染病模型中的基本再生數(shù)R0，而基本再生數(shù)R0的計(jì)算需要知道代際間隔τ的概率分布函數(shù)p（τ）。如何從有限的疫情觀測(cè)數(shù)據(jù)去推測(cè)背后潛藏的普遍性法則，擬合相關(guān)的已知事實(shí)來準(zhǔn)確估計(jì)代際間隔τ的概率分布函數(shù)p（τ），對(duì)于掌握新冠疫情的流行病學(xué)特征，進(jìn)行疫情防控以及相關(guān)領(lǐng)域的研究至關(guān)重要。

新冠疫情暴發(fā)以來，對(duì)新型冠狀病毒的研究也呈爆發(fā)式增長(zhǎng)，學(xué)者們?cè)诠烙?jì)流行病學(xué)參數(shù)、疫情數(shù)據(jù)挖掘、疫情實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)等方面展開了大量研究［2］。部分研究使用蒙特卡洛模擬［4］與貝葉斯估計(jì)［5］進(jìn)行代際間隔分布p（τ）的后驗(yàn)推斷，但在實(shí)際的應(yīng)用中，代際間隔的估計(jì)需要盡可能完備的病例信息。由于總體信息缺乏，使得推斷結(jié)果依賴于樣本量的大小。在現(xiàn)實(shí)世界中，真實(shí)病毒傳播過程十分復(fù)雜，特別是在疫情早期傳播中，超級(jí)傳播事件使得繼發(fā)感染數(shù)龐雜［6］。與其他傳染病一樣，新型冠狀病毒流行病學(xué)參數(shù)估計(jì)通常面臨著數(shù)據(jù)質(zhì)量和可用性問題以及數(shù)據(jù)詳實(shí)程度與覆蓋范圍間的權(quán)衡。面對(duì)這樣的困難，早期的估計(jì)借鑒了SARS的參數(shù)［78］，最近的估計(jì)利用了新型冠狀病毒早期病例的信息［910］，而且人們往往事先假定概率分布函數(shù)p（τ）為正態(tài)分布［911］、Weibull分布［1213］或者Gamma分布［8，1417］等，還沒有一個(gè)原理性的方案來確定概率分布。這樣先驗(yàn)地假定代際間隔服從某種分布具有較大的主觀性，并且大部分研究是一種小子樣不確定分析。更重要的是，假定不同函數(shù)類型的p（τ）分布，可能為疫情防控給出不一致的參考標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)政策制定者評(píng)估疫情的發(fā)展趨勢(shì)帶來極大的不確定性。

理論上，一組樣本數(shù)據(jù)的分布形態(tài)特點(diǎn)可以用各個(gè)階矩刻畫，例如一階矩是數(shù)據(jù)的均值，二階矩為方差，三階矩為偏度，四階矩為峰度。假如有樣本量為n的數(shù)據(jù)，1至n階矩都是已知的，那么聯(lián)立n個(gè)階矩方程就可以求出n個(gè)樣本的具體數(shù)值，從而獲取樣本的所有信息。但是，現(xiàn)在很大一部分國家僅公布了新型冠狀病毒代際間隔τ的一階矩（均值）與二階矩（方差），并沒有完整的樣本信息。這使得蒙特卡洛模擬與貝葉斯估計(jì)等方法很難用于準(zhǔn)確估計(jì)代際間隔分布。最大熵方法的內(nèi)在優(yōu)越性則在于先驗(yàn)假定總體信息缺失，最大效率地利用已知的樣本信息對(duì)代際間隔的未知高階矩進(jìn)行非零外推，使得代際間隔的概率分布估計(jì)最概然。鑒于在不完全信息下推斷概率分布的巨大優(yōu)勢(shì)，最大熵原理已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于人工智能、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域。最近，最大熵原理也被應(yīng)用于傳染病領(lǐng)域［7］，但利用最大熵方法估計(jì)新型冠狀病毒COVID-19的研究還比較缺乏［2，7］。因此，本文利用收集的4 986例全球新型冠狀病毒一階矩與二階矩樣本信息，利用最大熵方法刻畫了涵蓋20個(gè)國家代際間隔的概率分布函數(shù)，從而最概然地還原原始代際間隔的分布。其中，在使用樣本的階矩信息時(shí)，本文通過加權(quán)統(tǒng)計(jì)減少組間的系統(tǒng)性誤差，以此來近似原始總體病例的對(duì)應(yīng)階矩信息。利用該分布函數(shù)，本文估算了新型冠狀病毒的基本再生數(shù)。

與既有的研究相比，本文的貢獻(xiàn)在于：1）充分利用全球已知代際間隔信息，并在新型冠狀病毒代際間隔估計(jì)中考慮了信息不完整這一要素；2）將“熵最大”作為判定依據(jù)，使得代際間隔的估計(jì)唯一給定，不再需要通過對(duì)未知部分作出先驗(yàn)假定，減少了主觀假設(shè)；3）利用較大的樣本數(shù)量刻畫了全球代際間隔分布函數(shù)的最概然形式，并估計(jì)了中國基本再生數(shù)R0，對(duì)后疫情階段具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

1 最大熵原理下的代際間隔分布函數(shù)

最大熵原理起源于信息論和統(tǒng)計(jì)力學(xué)，是基于有限的已知信息對(duì)未知分布進(jìn)行無偏推斷的一種數(shù)學(xué)方法。最近的研究表明該原理也可以用來確定流行病學(xué)參數(shù)和傳播動(dòng)力學(xué)特征［7］。對(duì)于一次疫情，盡管代際間隔的分布形式p（τ）是未知的，但人們卻可以測(cè)定代際間隔均值和方差，這就為最大熵原理的使用提供了基本信息來源。

2 代際間隔的估計(jì)

2.1 數(shù)據(jù)獲取與處理

為了加大樣本的地區(qū)多樣性，從而更可靠地估計(jì)代際間隔的概率分布函數(shù)，本文盡可能收集了多個(gè)不同國家的代際間隔信息。在排除了部分重復(fù)率較高的數(shù)據(jù)后，最終獲得了2019年12月到2020年8月期間，來自中國、美國、日本、新加坡、瑞士、越南、泰國、馬來西亞、法國、巴西、阿根廷、意大利、伊朗、文萊、德國、澳大利亞、尼泊爾、斯里蘭卡、韓國、印度20個(gè)國家的4 986個(gè)病例信息，具體見表1。

其中，“混合/病例數(shù)量”代表數(shù)據(jù)集包含了多個(gè)國家，細(xì)化程度低且難以剝離，因此將含有多個(gè)國家代際間隔的混合數(shù)據(jù)作為一個(gè)獨(dú)立單元。采用這樣的數(shù)據(jù)粒度劃分策略，有效地解決了代際間隔估計(jì)中面臨的數(shù)據(jù)信息多樣化問題。

從表1收集的數(shù)據(jù)來看，我們能掌握的代際間隔信息有著如下特征：1）樣本數(shù)量少，能夠獲得超過30個(gè)樣本信息的國家較少，并且大部分國家只公布了均值與方差；2）覆蓋的地區(qū)、包含的數(shù)量相對(duì)有限，信息不完整并且零散；3）系統(tǒng)性誤差高，并且存在部分代際間隔為負(fù)值的情況。這些現(xiàn)實(shí)情況使得利用其它統(tǒng)計(jì)推斷方法估計(jì)代際間隔分布非常困難。相比之下，最大熵方法可以將擁有的樣本均值與方差的信息客觀地編入特定概率分布中，來描述代際間隔的最佳近似分布。

此外，本論文對(duì)上述數(shù)據(jù)作如下處理：1）收集擁有第一代癥狀出現(xiàn)、第一代確診時(shí)間、第二代癥狀出現(xiàn)時(shí)間的新加坡50例證據(jù)，近似僅包括精確的癥狀出現(xiàn)和確診時(shí)間的代際間隔值；2）代際間隔是從上一代病例癥狀出現(xiàn)的日期開始計(jì)算的，這表明負(fù)值可能是由于個(gè)體之間的潛伏期長(zhǎng)短不同造成的。借鑒文獻(xiàn)［20］對(duì)擁有代際間隔詳細(xì)信息的病例，將負(fù)值重置為零來實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的校正。

2.2 各樣本代際間隔概率分布

由于樣本信息抽取于不同的數(shù)據(jù)集，數(shù)據(jù)類型有所差異，例如中國武漢71例僅能獲取代際間隔的階矩信息，而中國3 650例則需要近似生成代際間隔信息。但在所有的樣本信息中，均可獲取生成間隔的均值和方差，這就為最大熵方法包容性地利用多元化的數(shù)據(jù)提供了信息基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)來源以及各組新型冠狀病毒的代際間隔的均值和方差，參見文獻(xiàn)［8-9］、［11］、［13］、［15-17］、［20-29］。利用式（13），求解出p（τ）的待定參數(shù)α、β和γ以及代際間隔τ的概率分布函數(shù)如表2所示。

其中，具有詳細(xì)頻數(shù)分布的代際間隔概率分布函數(shù)如圖1～7所示。在不同地區(qū)，由于防控舉措以及疫情階段的不同，新型冠狀病毒代際間隔的概率分布差異較大。

2.3 全球代際間隔概率分布

本節(jié)采用收集的樣本均值與方差估計(jì)全球代際間隔概率分布。為了增強(qiáng)統(tǒng)計(jì)推斷的可靠性，對(duì)全球代際間隔的均值和方差均采用樣本不平等加權(quán)與平等加權(quán)分別進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算公式分別表達(dá)為

τa=n11+n22+…+nmmn1+n2+…+nm（14）

σ2a=n1－1σ21+n2－1σ22+…+nm－1σ2mn1－1+n2－1+…+nm－1（15）

b=1+2+…+mm（16）

σ2b=σ21+σ22+…+σ2mm（17）

其中，a和σ2a充分考慮了系統(tǒng)性誤差的不平等加權(quán)統(tǒng)計(jì)量，b和σ2b為平等加權(quán)統(tǒng)計(jì)量，n為各組的病例數(shù)量，為各組的均值，m為組數(shù)。這里需要特別注意的是，利用最大熵方法求出的代際間隔分布函數(shù)（11）是在假定總體均值和總體方差σ2已知的情況下進(jìn)行的，但實(shí)際上并不能掌握總體均值與方差的精確值。

但由于本研究收集了全球20個(gè)國家4 986例大樣本數(shù)據(jù)，因此可以嘗試?yán)脴颖揪蹬c方差來近似總體均值與方差。這個(gè)近似成立的前提是：構(gòu)造的樣本均值與方差滿足一致性，各組之間的系統(tǒng)性誤差應(yīng)該非常小，使得不平等加權(quán)統(tǒng)計(jì)量a和σ2a與平等加權(quán)統(tǒng)計(jì)量b和σ2b分別近似相等。因此，本文基于最大熵方法，利用樣本

均值與樣本方差，分別求出α、β、γ的值（見表3）。

從代際間隔的參數(shù)來看，一方面，由4 986個(gè)病例樣本計(jì)算得到的樣本方差與樣本均值滿足一致性，a與b、σ2a與σ2b分別近似相等。另一方面，所估計(jì)的樣本均值與樣本方差可以較好地反映總體特征。文獻(xiàn)［22］中采用中國武漢6例病例時(shí)，平均代際間隔為7.5 d，而文獻(xiàn)［8］中用中國香港21例時(shí)，平均代際間隔為4.4 d。本文采用20個(gè)國家數(shù)據(jù)近似代際間隔總體均值為5.05和5.14，一定程度上削弱了小子樣不確定分析對(duì)估計(jì)分布函數(shù)造成的影響。

綜上，不平等加權(quán)和平等加權(quán)代際間隔概率分布函數(shù)pu（τ）和peτ分別為

puτ=0.171 4exp［－0.116 1τ－0.015 3τ－5.052］peτ=0.166 1exp［－0.097 7τ－0.020 1τ－5.142］（18）

為了更加直觀地觀察代際間隔概率分布，本文利用式（18）刻畫出代際間隔概率分布圖如圖8～9所示，并且展示了盡可能收集到的新型冠狀病毒全球4 370例詳細(xì)代際間隔的頻數(shù)分布。其存在著如下特征：1）代際間隔概率分布函數(shù)與頻數(shù)分布相吻合，證明了上述概率分布函數(shù)的可靠性；2）不平等加權(quán)和平等加權(quán)代際間隔概率分布函數(shù)pu（τ）和peτ在圖中形態(tài)相似，反映了上文計(jì)算的代際間隔階矩信息的一致性。

3 估計(jì)結(jié)果比較

3.1 代際間隔分布函數(shù)比較

從圖8，圖9觀察到平等加權(quán)的概率分布圖與真實(shí)數(shù)據(jù)擬合程度更高，本文則利用平等加權(quán)的代際間隔分布圖與文獻(xiàn)［10］，［21］，［30］中擬合的Gamma分布、正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行比較，進(jìn)而可視化地比較分析最大熵方法相對(duì)于不同先驗(yàn)假設(shè)方法擬合真實(shí)數(shù)據(jù)的情況。

從圖10可以直接觀察到Gamma分布、正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布與本文收集的4 370例全球真實(shí)數(shù)據(jù)擬合情況。相對(duì)于最大熵方法，對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Gamma分布未能捕捉到代際間隔在零點(diǎn)的信息，這很容易低估新型冠狀病毒的傳染性。不過，相較于最大熵方法，對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)代際間隔偏度和峰度的信息捕捉較好，而Gamma分布也捕捉到偏度的信息。這是由于在現(xiàn)實(shí)中所能收集的代際間隔數(shù)據(jù)缺失了峰度（四階矩）和偏度（三階矩）等重要的高階矩信息，而只將均值（一階矩）與方差（二階矩）作為約束求解最大熵的分布函數(shù)。顯然，均值與方差只提供了代際間隔分布圖形的位置與寬度等信息，無法提供分布圖形的偏度和峰度信息。

雖然未能進(jìn)一步掌握更高階矩的信息，但最大熵方法所估計(jì)分布函數(shù)的綜合效果要優(yōu)于其他分布，先驗(yàn)假定代際間隔服從其他函數(shù)分布，雖然也考慮了代際間隔的統(tǒng)計(jì)特征，但增加了不相關(guān)的信息，影響了估計(jì)的準(zhǔn)確性。從這個(gè)意義上，利用最大熵方法估計(jì)新型冠狀病毒的代際間隔具有一定優(yōu)勢(shì)。更重要的是，倘若能夠掌握到更加完備的病例信息（比如獲取到峰度和偏度的估計(jì)值），則可進(jìn)一步利用最大熵方法更加準(zhǔn)確地估計(jì)代際間隔的分布函數(shù)，這是本文的客觀不足也是下一步的研究方向。

3.2 再生數(shù)R0

本節(jié)將基于最大熵方法得到的全球代際間隔概率分布用于新型冠狀病毒中國基本再生數(shù)的估計(jì)?；驹偕鷶?shù)R0的數(shù)學(xué)表達(dá)式為［7］

R0=It/∫SymboleB@0It－·peτdτ（19）

因?yàn)闀r(shí)間的單位是d，而我們只能收集到被感染者人數(shù)的離散值。為了通過方程（19）計(jì)算基本再生數(shù)R0，需要將積分（19）改寫為求和形式。圖8～9中分布函數(shù)p（τ）的分布規(guī)律暗示新型冠狀病毒一個(gè)傳染周期可以近似為14 d，即pτ=14≈0。這里采用14作為積分上限（與15得到結(jié)果的差值可以忽略不計(jì)），方程（19）可以被寫為

R0=Rt=14≈It=14/∑14τ=0I14－·peτ（20）

利用方程（20）可以以14 d為周期計(jì)算新型冠狀病毒的基本再生數(shù)R0。由于疫情傳染周期為14 d，因此需要確定一個(gè)周期的起點(diǎn)。根據(jù)中國衛(wèi)健委的數(shù)據(jù)報(bào)告（http：//www.nhc.gov.cn/），2020年1月8日是一個(gè)疫情周期的結(jié)束，我們將2020年1月9日記為周期的第一天，計(jì)算得到基本再生數(shù)R0為3.09。

此外，如表4所示，本文收集了新型冠狀病毒基本再生數(shù)的相關(guān)研究，利用在較長(zhǎng)的期間內(nèi)收集的樣本信息，本文所估計(jì)的基本再生數(shù)同中間值接近，并且符合現(xiàn)實(shí)傳播情況。

4 討論與結(jié)論

針對(duì)現(xiàn)有疫情樣本信息的缺失，為了更加準(zhǔn)確地估計(jì)代際間隔的最概然形式，本文提出了一種基于最大熵原理的估計(jì)方法，該方法能夠盡可能充分地利用有限樣本信息去挖掘數(shù)據(jù)特征。以新型冠狀病毒為例，本論文特別收集了全球20個(gè)國家4 986個(gè)病例的階矩信息，估計(jì)了全球新型冠狀病毒代際間隔的概率分布函數(shù)以及中國的基本再生數(shù)，從而為揭示全球新型冠狀病毒的傳播規(guī)律提供統(tǒng)計(jì)參考。

在傳播動(dòng)力學(xué)參數(shù)上，本文估計(jì)的新型冠狀病毒加權(quán)代際間隔均值為5.05 d，方差為13.561，與大部分文獻(xiàn)估計(jì)的4～8 d相符［43］，相比之下，新加坡SARS的平均代際間隔估計(jì)為8.4 d，傳播的代際間隔縮短了39.9%?；驹偕鷶?shù)R0為3.09，根據(jù)文獻(xiàn)［44］的估算，對(duì)于R0值為2.5至3.5之間，如果有40例初始病例，只有在癥狀出現(xiàn)前傳播率低于1%時(shí)，才有可能追蹤和隔離接觸者。這些傳播參數(shù)表明新型冠狀病毒需要采取更為嚴(yán)格的防控措施、作出更大的努力來減少傳播。并且現(xiàn)階段應(yīng)特別重視預(yù)防和控制超級(jí)傳播事件，降低由單個(gè)病例迅速建立持續(xù)傳播鏈的可能性。

在估計(jì)方法上，假如已掌握所有病例樣本的信息，那么則可以通過蒙特卡洛模擬與貝葉斯估計(jì)等方法近似推斷出總體的代際間隔分布。但是目前很大一部分國家只公布了新冠病毒代際間隔的一階矩（均值）和二階矩（方差），這使得蒙特卡洛模擬與貝葉斯估計(jì)等方法無法應(yīng)用到代際間隔的分布估計(jì)。相比之下，最大熵方法既可以將樣本的所有階矩信息作為其“約束條件”解決這一適定的數(shù)學(xué)問題，也可以在只有部分階矩已知的情況下估計(jì)總體代際間隔分布。理論上，只要樣本階矩值充分趨近于總體階矩值（即滿足統(tǒng)計(jì)量的一致性），那么最大熵方法就可以在已知部分樣本階矩的情況下做出總體分布的無偏估計(jì)。

本文將最大熵方法應(yīng)用于新型冠狀病毒代際間隔的估計(jì)，其優(yōu)勢(shì)一方面在于確定代際間隔分布不涉及過多的主觀假定，與其他方法相比具有較好的自洽性，不存在利用過多的假設(shè)去修改樣本數(shù)據(jù)的信息。另一方面，通過一階矩（均值）和二階矩（方差）即可給出代際間隔概率分布函數(shù)的最概然形式，充分利用疫情初期或者不同地區(qū)零散信息，盡可能客觀準(zhǔn)確地刻畫新冠疫情的代際間隔，并用于再生數(shù)等流行病參數(shù)的計(jì)算，有利于為掌握該流行病的傳播特征和趨勢(shì)提供統(tǒng)計(jì)參考。

最后需要指出，代際間隔估計(jì)精確程度與其分布函數(shù)的細(xì)節(jié)還受到階矩信息數(shù)目的影響。本文僅考慮了代際間隔樣本數(shù)據(jù)均值與方差。未來可進(jìn)一步結(jié)合更高階矩的信息優(yōu)化該方法還原原始數(shù)據(jù)，比如樣本數(shù)據(jù)三階矩和四階矩信息，以進(jìn)一步捕捉到代際間隔分布函數(shù)的偏度和峰度等圖形特征，對(duì)流行病傳播動(dòng)態(tài)等問題給出更加準(zhǔn)確的估計(jì)和預(yù)測(cè)。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯 耿金花）