鄧穎 袁曉

根據(jù)分形分抗逼近電路的電路結(jié)構(gòu)特征，利用一種新方法——簡略分析法，對分形分抗逼近電路的運算特征和性能進行定性研究.針對未經(jīng)拓展前的Oldham分形鏈分抗逼近電路，建立簡略分析法的理論基礎(chǔ)，確定該理論研究的組成內(nèi)容，并驗證該種方法內(nèi)容構(gòu)成的可靠性.在此基礎(chǔ)上，利用簡略分析法實現(xiàn)標(biāo)度拓展后的分形分抗逼近電路在運算特征與性能方面的應(yīng)用研究.利用典型的數(shù)值求解方法進行仿真來驗證應(yīng)用結(jié)果.總結(jié)性提出簡略分析法使用過程中應(yīng)當(dāng)遵循的法則，為分形分抗逼近電路運算性能和特征的研究提供理論指導(dǎo).

分抗逼近電路； 簡略分析法； 特征頻率； 近似求解； 運算有效性

TP211+5A2023.013002

收稿日期： 2022-04-27

作者簡介： 鄧穎（1998-）， 女， 四川資陽人， 碩士研究生， 研究方向為信號與信息處理.

通訊作者： 袁曉. E-mail： yuanxiao@scu.edu.com

Theoretical basis and application of fractal fractance approximation circuit

brief analysis method

DENG Ying， YUAN Xiao

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

According to the circuit structure characteristics of fractal fractance approximation circuit， a new method， brief analysis， is used to qualitatively research the operation characteristics and performance of fractal fractance approximation circuit. Aiming at Oldham fractal chain fractance approximation circuit before expansion， the theoretical basis of brief analysis method is established， the content of the theoretical study is determined， and the reliability of the content composition of this method is verified. On this basis， the application research of scale-extended fractal fractance approximation circuit in computing characteristics and performance is realized by using brief analysis method.A typical numerical method is used to verify the application results. In conclusion， this paper puts forward some rules that should be followed in the application of the brief analysis method， and provides theoretical guidance for the study of the performance and characteristics of fractal fractance approximation circuit.

Fractance approximation circuit; Brief analysis method; Eigenfrequency; Approximate solution; Operational effectiveness

1 引 言

分抗逼近電路理論研究的內(nèi)容首先是根據(jù)電路結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)描述分析其運算特征和性能［1］.由于分抗的分?jǐn)?shù)階微積分運算性能，使用分?jǐn)?shù)階電路與系統(tǒng)對許多自然現(xiàn)象的物理建模，使得對問題的分析更加精準(zhǔn)可靠.比如分?jǐn)?shù)階信號處理［2，3］，分?jǐn)?shù)階擴散過程［4，5］及分?jǐn)?shù)階電路與系統(tǒng)［6，7］等.

對于未經(jīng)標(biāo)度拓展的分形分抗逼近電路進行歸一化后，可獲得其歸一化迭代電路以及對應(yīng)的歸一化迭代方程.對于標(biāo)度拓展［8］后的任意階標(biāo)度分形分抗逼近電路，其有理阻抗函數(shù)的代數(shù)迭代方程都是典型的非正則標(biāo)度方程，該類方程目前還無法解析求解.歸一化迭代方程與非正則標(biāo)度方程作為數(shù)學(xué)描述分別蘊含標(biāo)度拓展前的分形分抗與任意階標(biāo)度分形分抗的運算性能［9］，然而分析分形分抗逼近電路的運算特征與性能需要借助數(shù)值求解的方法獲得.Oldham Ⅰ型分形鏈分抗與標(biāo)度拓展后的Liu-Kaplan Ⅰ型分形鏈分抗數(shù)值仿真的運算性能曲線如圖1所示.

根據(jù)數(shù)值仿真定量分析的結(jié)果可知，Oldham Ⅰ型分形鏈分抗具有低頻有效的負(fù)半階運算特性，且其本征K指標(biāo)即為lg4.標(biāo)度拓展后的Liu-Kaplan Ⅰ型分形鏈分抗任意負(fù)分?jǐn)?shù)階算子的有理逼近且運算階為Liu氏階，且具有固定的振蕩周期W=lgσ.即數(shù)值求解可以實現(xiàn)對分形分抗逼近電路的運算特征與性能的定量研究［10，11］.而數(shù)值求解往往需要借助仿真工具編程實現(xiàn)，如何實現(xiàn)在數(shù)值仿真分析之前，簡單快速并且相對精確地根據(jù)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)從理論上定性分析分形分抗逼近電路的運算特性是一個值得探尋的問題.如分形分抗逼近電路的運算階與運算有效性判斷問題，逼近帶寬與特征頻率的求解問題，頻段劃分的問題等.對于Oldham Ⅰ型分形鏈分抗逼近電路，K指標(biāo)為什么是lg4的問題在理論上還未得到解決.對于標(biāo)度分形分抗，其固有振蕩周期W=lgσ的理論驗證問題，且由于標(biāo)度分形分抗的數(shù)學(xué)描述為非正則標(biāo)度方程無法解析求解，尋找理論分析標(biāo)度分形分抗運算特性與性能的方法也是很有必要的.

本文利用一種從電路結(jié)構(gòu)角度出發(fā)的新研究方法——簡略分析法，解決從理論上定性分析分抗逼近電路的運算特征與性能的問題.以O(shè)ldham分形鏈分抗逼近電路為例建立簡略分析法理論，確定簡略分析法的理研究內(nèi)容.在利用數(shù)值仿真驗證該方法合理的基礎(chǔ)上，運用該種方法實現(xiàn)對標(biāo)度分形分抗逼近電路關(guān)于運算特征與性能方面的應(yīng)用.

2 簡略分析法的理論基礎(chǔ)建立

簡略分析法以分形分抗逼近電路為研究對象，根據(jù)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，探究不同初始阻抗條件下，不同頻段電阻與電容的頻域特征，比較電阻阻抗與電容阻抗的相對大小關(guān)系，對電路中的電阻與電容進行短路或開路處理，得到簡略電路與對應(yīng)的阻抗函數(shù).通過繪制近似Bode圖等方式初步判定分形分抗逼近電路的運算有效性，進而分析運算特征及性能指標(biāo)參數(shù).

2.1 簡略分析法：歸一化處理與初步分析運算性能

Oldham等根據(jù)半積分電解分析的大量實驗及理論分析，引進一類負(fù)半階運算特征的RC分形鏈分抗逼近電路［12-14］，其原型電路如圖2a.

當(dāng)初始阻抗Z0（s）=∞時，根據(jù)電路結(jié)構(gòu)可得到其阻抗函數(shù)

4 簡略分析法的應(yīng)用驗證及近似求解的法則

4.1 簡略分析法應(yīng)用的驗證

對于標(biāo)度分抗逼近電路的數(shù)值求解算法的選取，由于B型標(biāo)度分形塔、2h型標(biāo)度分形樹等雙重標(biāo)度分抗電路本身的迭代結(jié)構(gòu)復(fù)雜，電路不能等效為雙口網(wǎng)絡(luò)，傳輸參量矩陣法難度較大不再適用.因此統(tǒng)一選用標(biāo)度矩陣迭代法和系數(shù)矢量迭代法兩種典型的數(shù)值求解方法對各標(biāo)度分抗逼近電路的應(yīng)用進行驗證.

在不同初始阻抗下，對標(biāo)度分抗逼近電路進行數(shù)值求解的系數(shù)矢量迭代法和標(biāo)度矩陣迭代法的初始迭代參數(shù)如表2.同樣以初始阻抗y0（w）=0時為例，數(shù)值仿真標(biāo)度分形格正比拓展與反比拓展的頻域特性曲線如圖14所示.

觀察圖14a和14b反映出簡略分析法近似求解可粗略分析標(biāo)度分形格的運算性能，與圖8中Oldham Ⅰ型分形鏈的幅頻特性對比曲線總體相比誤差較大，且特征頻率指數(shù)也存在一定的誤差，原因是標(biāo)度拓展后的分抗逼近電路引入標(biāo)度特征參量，隨著電路節(jié)數(shù)的增加，標(biāo)度特征參量隨指數(shù)的增加而大幅變化，由此帶來的簡略分析近似誤差相對更大.除此以外，當(dāng)在初始阻抗y0（w）=0時，在由電容起主要作用的頻段內(nèi)，利用簡略分析法求解轉(zhuǎn)折點幅頻特性時，需要在特征頻率指數(shù)與幅頻特性函數(shù)的求解時進行兩次簡略分析，從而增加誤差.圖14c和14d發(fā)現(xiàn)，標(biāo)度分形格分抗在低頻逼近帶或者高頻逼近帶具有分?jǐn)?shù)階運算性能，且運算階μ=-lgα/lgσ.驗證標(biāo)度分形格分抗逼近電路的振蕩周期為W=lgσ，即隨著迭代次數(shù)k的遞增，逼近帶寬增加lgσ.

綜上可知，數(shù)值求解分形分抗逼近電路的運算特性與性能的結(jié)果與采用簡略分析法進行理論分析的結(jié)果基本相符，利用簡略分析法實現(xiàn)對分形分抗逼近電路關(guān)于運算特征與性能的應(yīng)用研究是合理的.

4.2 簡略分析法的使用法則

根據(jù)上述不同分形分抗逼近電路利用簡略分析法進行運算特征與性能的應(yīng)用研究，可實現(xiàn)在各種初始阻抗條件下的運算特征于性能的研究，分形分抗逼近電路使用簡略分析法的法則如下.

（1） “歸一處理”——對于原型電路及其阻抗函數(shù)可進行歸一化處理，從而便于利用數(shù)學(xué)描述反應(yīng)電路的特征與性能.

（2） “從簡出發(fā)”——對于迭代電路的性質(zhì)研究，選擇從迭代次數(shù)k=1出發(fā)依次遞增分析其幅頻特性，總結(jié)相關(guān)規(guī)律尋找共性.

（3） “優(yōu)先極限”——優(yōu)先考慮極限頻率時的頻域特性，此時得到極限頻段起主要作用的元件，實現(xiàn)對歸一化阻抗函數(shù)的簡化.

（4） “短小斷大”——在特定頻率條件下，分析電路中的電阻阻抗與電容阻抗的相對大小，阻抗較小的近似做短路處理，阻抗較大的近似做開路處理.

（5） “保持回路”——近似處理后的整個二端網(wǎng)絡(luò)要保證構(gòu)成回路.即將原電路中的電阻或電容近似處理后，整個電路不能被短路或開路.

（6） “阻抗最小”——近似處理后的電路在保證構(gòu)成回路的前提下，選擇阻抗最小的支路構(gòu)成回路.

（7） “優(yōu)先電容”——對于單重迭代分形分抗逼近電路，如果選擇處理電路中的電阻或電容都可滿足條件1）和2），此時應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇對電容做近似開路或短路處理.

（8） “以直代曲”——在初始阻抗y0（w）=0或y0（w）=∞條件下，對于逼近帶的幅頻特性可由極限頻段與逼近帶幅頻特征函數(shù)的近似漸進波特線得到.

（9） “注意量級”——在初始阻抗y0（w）=γ條件下，特征頻率指數(shù)與運算階都會隨γ的不同而存在不同的近似值.因此對于分形分抗需要注意初始阻抗值γ與剩余電阻值和的相對數(shù)量級.

根據(jù)以上分形分抗逼近電路簡略分析法的法則，可有效且可靠的從電路的角度，實現(xiàn)對分形分抗逼近電路關(guān)于分?jǐn)?shù)階運算性能與特征指標(biāo)參量方面的分析.

5 結(jié) 論

通過分析大量分形分抗逼近電路的電路結(jié)構(gòu)，提出一種從電路角度對分形分抗逼近電路的運算特征與性能進行定性研究的新方法——簡略分析法.建立該方法的理論研究內(nèi)容：對分形分抗逼近電路的運算頻率進行范圍劃分，粗略確定有效頻段；定義不同頻段分界轉(zhuǎn)折點處的特征頻率；驗證分形分抗逼近電路的本征K指標(biāo)與標(biāo)度分形分抗逼近電路的固有振蕩周期W；探索不同初始阻抗條件下分形分抗逼近電路的進行近似求解過程，對電路運算有效性進行判斷.在利用仿真驗證該方法合理的基礎(chǔ)上，運用該種方法實現(xiàn)對標(biāo)度分形分抗逼近電路關(guān)于運算特征與性能方面的應(yīng)用.利用典型數(shù)值求解方法進行合理性與可靠性的驗證，結(jié)果表明簡略分析法為分形分抗逼近電路運算特征與性能的定性研究提供一種行之有效的理論方法.

本文研究的簡略分析法的建立與應(yīng)用在理論上仍需完善.關(guān)于分析分抗逼近電路的運算特征與性能的研究還有以下需要深入研究的問題：

（1） 對于簡略分析法除去本文中的理論基礎(chǔ)與應(yīng)用，該方法在分形分抗逼近電路的領(lǐng)域中還存在哪些研究方向與應(yīng)用場景.

（2） 簡略分析法可從電路角度驗證Oldham分形鏈逼近電路的本征K指標(biāo)，能否從其歸一化迭代方程出發(fā)，從數(shù)學(xué)解析的角度進行本征K指標(biāo)的探討與驗證.

（3） 對于運算有效性的判定是否可以從解析求解非正則標(biāo)度方程進行研究.如果能夠獲得非正則標(biāo)度方程解的解析表達式，或許可以從數(shù)學(xué)解析的角度探討電路的運算有效性.

（4） 對于標(biāo)度分形分抗數(shù)值仿真的幅頻特性曲線結(jié)果在轉(zhuǎn)折點處存在誤差，該誤差的來源除了近似求解是否存在其他的原因，又如何從理論上實現(xiàn)對誤差的修正.

參考文獻：

［1］ 袁曉.分抗逼近電路之?dāng)?shù)學(xué)原理［M］.北京： 科學(xué)出版社， 2015.

［2］ Magin R， Ortigueira M D， Podlubny I， et al.Fractional signals and systems ［J］.Signal Process， 2011， 91： 349.

［3］ Sheng H， Chen Y Q， Qiu T S. Fractional processes andfractional-order signal processing： techniques and applic-ations ［M］. Springer London： Springer Science & Business Media， 2011.

［4］ Wu G C， Baleanu D， Deng Z G， et al.Lattice fracti-onal diffusion equation in terms of a Riesz-Caputo diff-erence ［J］.Phys Stat Mech Appl， 2015， 438： 335.

［5］ Hamrouni W， Abdennadher A.Random walk's models for fractional diffusion equation ［J］.Discrete Cont Dyn： A， 2016， 21： 2509.

［6］ Elwakil A S.Fractional-order circuits and systems：? an emerging interdisciplinary research area ［J］.IEEE Circ Syst Mag， 2010， 10： 40.

［7］ Podlubny I.The Laplace transform method for linear d-ifferential equations of the fractional order ［J］.Physics， 1994， 2： 20.

［8］ 袁曉， 馮國英.粗糙界面電極的電路建模與 Liu-Kaplan 標(biāo)度方程［C］//中國電子學(xué)會電路與系統(tǒng)分會第二十六屆學(xué)術(shù)年會論文集.長沙： 中國電子學(xué)會電路與系統(tǒng)分會， 2015.

［9］ 余波， 何秋燕， 袁曉.任意階標(biāo)度分形格分抗與非正則格型標(biāo)度方程［J］.物理學(xué)報， 2018， 67： 16.

［10］ 張月榮， 袁曉， 郭釗汝.分形塔分抗逼近電路——標(biāo)度拓展與優(yōu)化設(shè)計原理［J］.四川大學(xué)學(xué)報： 自然科學(xué)版， 2021， 58： 023004.

［11］ 張月榮， 袁曉.任意階高運算恒定性分抗逼近電路——標(biāo)度格型級聯(lián)雙口網(wǎng)絡(luò)［J］.物理學(xué)報， 2021， 70： 355.

［12］ Grenness M， Oldham K B.Semi-integral electroanalysis： theory and verification ［J］.Anal Chem， 1972， 44： 112.

［13］ Oldham K B.Semiintegral electroanalysis： Analog imp-lementation ［J］.Anal Chem， 1973， 45： 39.

［14］ Oldham K B， SPANIER J.The fractional calculus：? theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order ［M］.New York： Academic Press， 1974.

［15］ 高小龍， 袁曉， 施卜椿.Oldham分形鏈與Liu-Kaplan 分形鏈分抗的阻納函數(shù)求解［J］.太赫茲科學(xué)與電子信息學(xué)報， 2019， 17： 474.

［16］ He Q Y， Pu Y F， Yu B， et al.A class of fractal cha-in fractance approximation circuit ［J］.Int J? Electron， 2020， 107： 1588.

［17］ Adhikary A， Choudhary S， Sen S. Optimal design for r-ealizing a grounded fractional order inductor using GIC ［J］. EEE T Circuits： I， 12018， 56： 2411.

［18］ Pu Y F， Yuan X， Yu B.Analog circuit implementation of fractional-order memristor： arbitrary-order lattice scaling fracmemristor［J］.IEEE T CASI， 2018， 65： 2903.

［19］ Nakagawa M， Sorimachi K.Basic characteristics of a fractance device［J］.IEICE T Fund Electr， 1992， 75： 814.

［20］ 何秋燕， 袁曉.Carlson迭代與任意階分?jǐn)?shù)微積分算子的有理逼近［J］.物理學(xué)報， 2016， 65： 29.