汪浩?馮志勇

摘要：工業(yè)測量中測量回轉體內徑時，傳統(tǒng)的接觸式測量精度不夠并且可能會損壞待測物，而采用三坐標測量機測量又面臨著機器高昂的造價，針對以上問題提出了一種利用回轉體檢測儀配合輪廓儀使用收集待測物點云信息，并利用參數坐標轉換將點云信息轉換到直角坐標系中進行擬合，利用LM算法對圓柱面參數進行求解，進而得到回轉體內徑的方法。在MATLAB中對該方法進行仿真實驗，實驗結果也證明了該方法的可行性。

關鍵詞：回轉體內徑；坐標轉換；LM算法；圓柱面參數

一、前言

測量回轉體內徑是工業(yè)測量中比較常見的問題，回轉體工件被廣泛應用于農業(yè)、工業(yè)、國防等領域，隨著現(xiàn)代加工和設計技術的不斷進步，工業(yè)生產對回轉體的測量精度及速度也提出了越來越高的要求。

回轉體內徑的測量方法包括接觸式測量和非接觸式測量。早期常見的接觸式測量方法是利用外徑千分尺或者游標卡尺等量具來測量，這些方法在讀數時會有一定的誤差。影像測量法也是常用的接觸式測量方法之一，適用于測量外螺紋的中徑、牙型角、牙距等參數，但是其對于檢測螺紋中徑等單一參數操作復雜，效率低，不利于大批量檢測。隨著三坐標測量機的出現(xiàn)，接觸式檢測迎來了飛速發(fā)展，天津大學的趙紅巖等人研制出一臺用于回轉體零件內外表面測量的三坐標測量機，解決了螺紋作用中徑自動測量的難題[1]。近些年，接觸式檢測內螺紋多參數已經取得了較大的進展，想要精確測得內螺紋的各項參數，接觸式檢測內螺紋一般需要通過精密的金屬探頭來掃描螺紋輪廓軸向截面上的點，通過獲取的輪廓點云數據計算出螺紋工件的各項參數，雖然這種方法能夠準確測量出螺紋的作用中徑，但三坐標測量機的價格昂貴，測量的速率不高，并且接觸式測量可能會對待測的零件有一定的磨損。因而非接觸式測量回轉體內徑成為研究的熱點。陸軍工程大學的胡備等人提出了一種測量火炮內徑的算法，該方法利用激光位移傳感器和根據弦長計算直徑的原理實現(xiàn)了火炮內徑的非接觸測量，但是其測量效率不高，不利于大批量炮管的檢測。Zhang H等人利用CCD相機采集螺紋圖像并處理圖像得到點集信息，利用SVM對點集分類，通過數據分析得到螺紋參數[1]。Lee YC等人基于機器視覺開發(fā)了一套螺紋測量系統(tǒng)[2]。上海工程技術大學的劉瑞媛設計了一套回轉體全外觀視覺檢測系統(tǒng)能夠彌補回轉體檢測的缺陷[3]。機器視覺的檢測方法雖然速度快，但是其檢測結果的準確性依賴于成像的質量，因此這種方法的使用有一定的局限性。

針對以上回轉體內徑測量的問題，本文提出了一種非接觸收集點云擬合圓柱面方法求回轉體內徑。這種方法在測量過程中無需接觸待測回轉體，故避免了對待測零件的磨損，使用的儀器相較于三坐標測量機也低廉很多，利用點云進行圓柱面擬合這種方法來求回轉體的內徑參數也避免了回轉體傾斜放置對結果的影響，提高了精度，大大提高了測量的效率。

二、擬合原理

空間圓柱面是三維空間到定直線l的距離等于定長r的所有點組成空間幾何圖形為圓柱面，其中r為圓柱半徑。根據上述圓柱面的幾何定義，假設P點是圓柱上的任意一點，P0為該圓柱面軸線上的一點，坐標為（x0，y0，z0），（a，b，c）為該圓柱面軸線的向量，r0為該圓柱面的半徑，則可以確定圓柱面的方程為：

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2-[a（x-x0）+b（y-y0）+c（z-z0）]2=r02（1）[4]

根據（1）式構建算法模型：

由于該算法模型為非線性方程，只能通過非線性最小二乘法來求解未知參數。非線性最小二乘法主要有梯度下降法、牛頓法和LM法，三者都是以迭代的方式對參數進行求解，梯度下降法在距離極值點較遠的時候收斂速度會較快，靠近極小值時收斂速度減慢，求解需要很多次的迭代，其貪心算法的本質可能會導致它的求解路徑呈鋸齒下降，無法求解。

牛頓法每一步計算都需要求解目標函數的海森矩陣，收斂速度快，但是計算過于復雜，且牛頓法是局部收斂的，因此對于初始值的選取有一定的要求，并且需要求解的海森矩陣必須可逆。高斯-牛頓法利用近似海森矩陣代替了海森矩陣，相比于牛頓法減小了計算量。但是近似海森矩陣要求是可逆且正定的，但實際計算中近似海森矩陣可能為奇異矩陣或者為病態(tài)的，如果步長過大甚至會導致不收斂，從而無法得到方程組的解。LM算法通過調節(jié)阻尼因子自適應調整達到收斂特性，減小近似海森矩陣的病態(tài)問題，兼顧了另外兩種算法的優(yōu)點，相比于梯度下降法，收斂速度要快很多，相比于牛頓法，LM算法擁有良好的魯棒性，即使在初始值距離局部最優(yōu)解非常遠，也可以成功求解。所以在此選用LM算法進行擬合[5]。

首先，通過（2）式構建目標函數：

其中m是參數向量， 表示有效點的個數，為了減少后續(xù)迭代過程中可能出現(xiàn)奇異矩陣的情況，將收集到的圓柱面上的點進行重心化處理，處理公式如式（4）所示：

要使f（X）取得最小值，應滿足f（X）的導數為0。

根據（4）式，可以求出雅可比行列式：

J（X）=F'（X）（6）

為了求解式（5）所示的非線性方程組，將其進行泰勒級數展開，通過對參數向量逐次迭代實現(xiàn)求解。設參數向量的初值X0，第k次迭代和第k+1次迭代后的值分別為Xk和Xk+1，令： Xk=Xk+1-Xk，

則有算式：

J（Xk）Xk=-F（Xk）（7）

引入阻尼因子 ，如式（8）所示：

[J（Xk）+μkI]Xk=-F（Xk）（8）

進而得到增量的計算公式如式（9）所示：

Xk=-[J（Xk）+μkI]-1F（Xk）（9）

由上式可以求得第 次迭代后的參數向量如式（10）所示：

Xk+1=Xk-[J（Xk）+μkI]-1F（Xk）（10）

設定收斂精度 0，若參數向量X滿足精度要求，則有X*=Xk+1，并結束迭代過程。通過以上方法便能夠得到圓柱面的參數X。

三、仿真實驗

（一）實驗裝置

本次研究以實驗室現(xiàn)有的激光位移傳感器為核心器件構建了一套非接觸式內螺紋檢測設備。應用以直射式激光三角法測距的激光位移傳感器作為非接觸式掃描測針，通過PLC控制伺服電機，實現(xiàn)激光位移傳感器的移動和轉動控制，配合螺紋測量框架和夾具等附件，構建一套實現(xiàn)非接觸檢測內螺紋多參數的技術方案。

本次實驗用到的實驗裝置是實驗室經過改進的輪廓儀配合回轉體檢測儀來獲取點云數據。該裝置在激光位移傳感器下方添加了一個反射鏡，當輪廓儀無法進入到回轉體內部掃描時，掃描激光通過該反射鏡來實現(xiàn)回轉體內部的掃描。實驗裝置圖如圖1所示。

（二）測量流程

此次仿真實驗圓柱面擬合的具體流程主要分為以下幾步：

1.利用實驗室的回轉體檢測儀配合輪廓儀獲取點云信息，獲得的點云信息坐標記為（x，z），其中x表示軸上坐標值，z表示傳感器發(fā)出激光到待測物的距離，為激光發(fā)出點到反射鏡與反射鏡到待測環(huán)規(guī)內壁的距離之和，將z值減去傳感器到反射鏡的距離R0，得到點云極坐標。首先需要對點云極坐標信息進行坐標轉換，轉換到直角坐標系中。

2.將收集的點云進行降噪處理有利于后續(xù)圓柱面擬合得到精確的圓柱面參數，因此首先對收集到的點云信息進行小波濾波降噪處理。一般情況下，小波分解的層數越多，去噪的效果就越好，但是，隨著分解層數的增加，相應的計算量也會大大增加，為了保證工作效率，一般情況下，分解層數為3到5層。因此，在實驗的時候分解層數選擇了4層。小波去噪的基本問題分解成三個層面的問題：小波基的選擇、閾值的選擇和閾值函數的選擇。對于閾值函數的選擇，最常用的選擇有硬閾值和軟閾值。硬閾值函數可以很好地保留信號邊緣等局部特征，軟閾值方法相對比較平滑，但會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，傳統(tǒng)的閾值函數不具備高階可導性。我們使用改進的半軟閾值函數進行降噪處理。改進的半軟閾值函數如式11所示：

目前常見的閾值選擇有固定閾值、啟發(fā)式閾值、無偏似然估計閾值和極值閾值，閾值的選擇不同，小波濾波去噪的效果也有所差異。對此，我們對不同的小波基以及閾值進行實驗，最終發(fā)現(xiàn)haar小波和固定閾值時，均方根誤差最小，小波濾波的效果最好。

3.確定出圓柱面擬合的初始值，該圓柱面擬合算法有著至關重要的作用，一般來說，初值越接近實際值，收斂得越快。圓柱面擬合的7個參數中，x0，y0，z0是相關的，a，b，c也是相關的，故為了保證起始點的坐標以及軸向量具有唯一性，我們需要對其添加一些約束關系，約定方向向量為單位向量且指向正方向，對此，我們可以得到下面的條件方程：a2+b2+c2=1[6]；根據以往經驗，在此次擬合算法中，我們可以取a=0，b=0，c=1；由于實驗中的環(huán)規(guī)都是正放在儀器，故其圓柱面均可認為是正圓柱，因此，我們可以任取軸上一點確定x0，y0，z0，r0取所有輪廓點的z值的平均值，以上本次擬合圓柱面算法的初值都已確定。

4.在MATLAB上進行仿真實驗，利用上述LM算法求解圓柱面參數。MATLAB中的多元非線性回歸函數便是利用了LM算法對參數進行求解，求解方程如式12所示：

beta=nlinfit（X，Y，modelfun，eta0，options）（12）

其中modelfun為擬合指定模型，即為（3）式，X，Y為預測變量和響應值，此處X即為點云信息轉換在直角坐標系的坐標值構成的xyz數組，Y初始化為長度為輪廓點數量，值均為0的一維數組，實驗中記為zeroes（count，0），count為點的數量，beta為此次擬合參數的初始值，實驗中記作P0，options為指定的評估算法，實驗中創(chuàng)建一個opts對象，并將其允許迭代的最大次數設為2000，即beta為此次多元非線性回歸后得到的圓柱面的參數值，記為P，將上述參數代入多元非線性回歸函數中，得到本次圓柱面擬合的參數P，進而得到待測環(huán)規(guī)的內徑。

（三）仿真結果

利用系統(tǒng)點云采集裝置對待測環(huán)規(guī)進行掃描，由伺服電機帶動輪廓儀旋轉一周，收集待測環(huán)規(guī)270條輪廓的點云信息，利用上文提到的基于LM算法的圓柱面擬合算法模型進行擬合，得出數據擬合的圓柱面的圓柱軸線的初始點（x0，y0，z0），圓柱面的軸線向量（a，b，c），圓柱面的半徑r0這7個參數如表 1所示。在MATLAB中畫出由上述圓柱面方程確定的唯一圓柱面，如圖2所示。綠色為原始點云數據，整個圓柱面為原始點云數據擬合的圓柱面。通過上述數據易得該環(huán)規(guī)的內徑為60.0044。繼續(xù)用另外兩組點云數據進行上述實驗，三次檢測結果與環(huán)規(guī)內徑相比較的結果如表 2所示。圓度是評價一個圓柱面擬合算法有效與否的重要參數，其定義為圓柱面表面上的點到圓柱中軸線的距離與圓柱面半徑之差。在此列出一條輪廓上的部分牙型上的點的圓度值，如表 3所示。根據表3對R進行統(tǒng)計分析，R的均值等于零，R的標準差為0.33mm，準確性很高。根據上述實驗結果可知，擬合柱面圓度準確性很高，測得的環(huán)規(guī)內徑結果均在實驗誤差的允許范圍值內，因此用基于LM算法的點云擬合柱面來求回轉體內徑的算法是可行的。

四、結語

本文介紹了一種利用LM算法來實現(xiàn)求解擬合圓柱面的參數進而得到待測環(huán)規(guī)內徑的方法，并在MATLAB上進行仿真實驗，最終畫出了該算法求解的參數所確定的圓柱面，并通過圓柱面參數求解了該環(huán)規(guī)的內徑，證明了該算法的可行性。該方法測量回轉體內徑需要對點云信息進行野值剔除，準確的點云信息對后續(xù)的擬合準確度有著至關重要的影響，因此后續(xù)的優(yōu)化可以從點云信息的野值剔除算法進行改進，提高測量回轉體內徑的精度。與傳統(tǒng)的測量回轉體的方法相比，這種方法避免了與回轉體的直接接觸，實現(xiàn)了非接觸式自動檢測，并且通過實驗結果證明了該方法測量的環(huán)規(guī)內徑結果精確度也很高，利用反射鏡配合線激光輪廓儀不僅大大提高了收集點云信息的效率，對測量較小的回轉體也有很好的實用性，擴大了該方法測量回轉體的使用范圍，從而大大提高了測量的效率，所以該方法測量回轉體內徑在工業(yè)測量中具有很高的實用價值。

參考文獻

[1]ZHANG H，JIN G，JIANG Y，et al. External screw thread parameters detection by machine vision based on SVM feature point classification[J]. Transducer and Microsystem Technologies， 2019.

[2]LEE Y C，YEH S S.Using Machine vision to develop an on-machine thread measurement system for computer numerical control lathe machines[C]//Lecture Notes in Engineering and Computer Science： Proceedings of The International MultiConference of Engineers and Computer Scientists. 2019： 13-15.

[3]劉瑞媛.回轉體零件全外觀視覺檢測系統(tǒng)設計與實現(xiàn)[D].上海：上海工程技術大學，2020.

[4]袁建剛，潘軼.一種圓柱面擬合方法[J].工程勘察，2017，45（12）：60-64.

[5]周小寧，王立權，朱偉華，等.基于LM算法的近似核FFT頻率擬合算法[J].艦船電子對抗，2020，43（05）：44-49.

[6]申旭，朱文芳，王偉峰，等.一種空間圓柱面擬合計算方法[J].測繪科學技術學報，2018，35（06）：601-604.