□陳 蒨 徐文彬

歸納思維是數(shù)學(xué)思維的基本方法之一，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著豐富且獨(dú)特的應(yīng)用。高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，運(yùn)用歸納思維可以萌發(fā)出極漂亮的新的真理［1］?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)部分強(qiáng)調(diào)了要“能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論”。由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納思維至關(guān)重要。本文將從理論的角度對(duì)歸納思維進(jìn)行深度剖析，并基于教學(xué)實(shí)踐探析歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

一、問(wèn)題的提出

引例：仔細(xì)觀察下面的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

……

分析：觀察這些等式，這些等式左邊都是偶數(shù)，右邊都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)的和，這就是著名的“哥德巴赫猜想”。1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫就是運(yùn)用歸納思維提出了這個(gè)著名的猜想：任何一個(gè)大于4的偶數(shù)都是兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。

通過(guò)“哥德巴赫猜想”這一引例，我們可以看到歸納思維的重要性。其實(shí)，數(shù)學(xué)史上很多假說(shuō)和猜想都是運(yùn)用歸納思維提出的，比如著名的“四色猜想”“費(fèi)馬猜想”“梅森猜想”等。那么歸納思維的內(nèi)涵究竟是什么？歸納思維有哪些類別？歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中又有哪些應(yīng)用呢？下面將對(duì)歸納思維進(jìn)行理論剖析，并通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐對(duì)歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探析。

二、歸納思維的理論探析

歸納思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基本方法，同時(shí)又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法。下面將從歸納思維的內(nèi)涵和歸納思維的類別兩方面展開(kāi)對(duì)歸納思維的理論探析。

（一）歸納思維的內(nèi)涵

歸納思維是通過(guò)對(duì)某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方法。歸納思維的認(rèn)識(shí)依據(jù)在于同類事物的各種特殊情形中蘊(yùn)含的同一性和相似性。［2］116歸納思維具有以下特征：一是歸納思維必須把實(shí)踐歸入思維的過(guò)程，以各種感性的、具體的材料作為思維的前提，要從具體的、個(gè)別的事物中概括出一般；二是歸納思維推出的結(jié)論具有或然性，要使之成為可靠的結(jié)論需要嚴(yán)格的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn)；三是歸納思維是個(gè)體從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的工具，個(gè)體在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納思維獲得新概念、新判斷或新理論。［3］

（二）歸納思維的類別

歸納思維有多種分類方法，根據(jù)考查對(duì)象的范圍是涉及了某類事物的一部分還是全體，可把歸納思維分為兩種類別：不完全歸納和完全歸納。

1.不完全歸納

不完全歸納是根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有（或不具有）某種屬性而得出該事物的全體也具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］117其推理形式如圖1。不完全歸納又稱經(jīng)驗(yàn)歸納，由于僅根據(jù)所考查的部分對(duì)象就得出一般性的結(jié)論，因此，常常帶有想象、猜測(cè)等主觀臆斷的成分，所以得出的結(jié)論具有或然性。

圖1 “不完全歸納”的推理形式

不完全歸納是激發(fā)創(chuàng)造性思維的基本方法，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。古往今來(lái)，很多數(shù)學(xué)家都是運(yùn)用不完全歸納的思維方法來(lái)提出猜想的，比如引例中的“哥德巴赫猜想”。小學(xué)數(shù)學(xué)中也經(jīng)常用到不完全歸納，常見(jiàn)的“找規(guī)律填數(shù)”就是根據(jù)有限項(xiàng)（部分對(duì)象）具有的某種共同的屬性，從而運(yùn)用不完全歸納得出規(guī)律，再把得出的規(guī)律用到未知項(xiàng)（未知對(duì)象）中。此外，不完全歸納在“探索規(guī)律（如間隔排列、釘子板上的多邊形等）”“2、3、5 的倍數(shù)特征”“運(yùn)算律”“字母表示數(shù)”“圖形的性質(zhì)與特征（三角形/多邊形內(nèi)角和、三角形三邊關(guān)系等）”“可能性”等相關(guān)內(nèi)容中有著廣泛的應(yīng)用。

2.完全歸納

完全歸納是根據(jù)某類事物的每個(gè)對(duì)象都具有（或不具有）某種屬性而推出該類事物的全體具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］118完全歸納的推理形式如圖2。由于這一思維方法考查了某類事物的所有對(duì)象或一切特殊情況，所以得出的結(jié)論必定是正確的，因而是一種嚴(yán)格推理。

圖2 “完全歸納”的推理形式

完全歸納有助于概括和證明，能得到正確的結(jié)論。上面提到的“四色猜想”就是運(yùn)用完全歸納證明的。［4］小學(xué)數(shù)學(xué)中用到的完全歸納比較少，主要與分類討論相結(jié)合。比如，要得出“兩個(gè)加數(shù)奇偶性相同，和一定是偶數(shù)”這一結(jié)論，便可以分為兩類分別討論，一類是“兩個(gè)加數(shù)均為奇數(shù)，和一定是偶數(shù)”，另一類是“兩個(gè)加數(shù)均為偶數(shù)，和一定為偶數(shù)”，如此便可運(yùn)用完全歸納得出結(jié)論。

特別要指出的是，不完全歸納和完全歸納都屬于歸納推理，只是推理的強(qiáng)度不同。而“數(shù)學(xué)歸納法”雖然名字里面有歸納，但它并不屬于歸納推理，而屬于演繹推理。原因有二：其一，完全歸納不能用于無(wú)窮集合；其二，數(shù)學(xué)歸納法是典型的三段論，其基礎(chǔ)是自然數(shù)列的性質(zhì)，也就是皮亞諾公理中提到的自然數(shù)的后繼性［5］。

三、歸納思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)家舒爾指出，在數(shù)學(xué)研究中，歸納思維起著重要的作用。［6］波利亞也提出，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)歸納思維最合適的材料。［7］由此可見(jiàn)，歸納思維能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也能推動(dòng)個(gè)體歸納思維的發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透著很多有關(guān)歸納思維的內(nèi)容，下面將從數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的角度，討論歸納思維在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”和“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用。

（一）“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中很多內(nèi)容都滲透著歸納思維，較為典型的有“探索規(guī)律（如找規(guī)律填數(shù)、間隔排列、有趣的乘法計(jì)算等）”“運(yùn)算律”“2、3、5的倍數(shù)特征”“用字母表示數(shù)”等相關(guān)內(nèi)容。下面以“間隔排列”為例進(jìn)行分析說(shuō)明。

課例1：間隔排列

蘇教版教材三年級(jí)上冊(cè)《間隔排列》是一節(jié)探索規(guī)律的課。圖3 呈現(xiàn)了小兔與蘑菇、木樁與籬笆、夾子與手帕的排列。觀察每排兩種物體的排列，它們有什么特點(diǎn)？比較每排兩種物體的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖3 《間隔排列》主題圖

【教學(xué)片段1】

師：請(qǐng)大家說(shuō)一說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生：小兔的只數(shù)比蘑菇的個(gè)數(shù)多1，木樁的根數(shù)比籬笆的塊數(shù)多1，夾子的個(gè)數(shù)比手帕的塊數(shù)多1。

師：還有補(bǔ)充嗎？這三組數(shù)據(jù)有沒(méi)有什么共同點(diǎn)？

生：每排第一種物體都比第二種物體多1。

師：是啊，反過(guò)來(lái)，每排第二種物體都比第一種物體少1。也可以說(shuō)，每排兩種物體的數(shù)量相差1。

師：每排兩種物體的數(shù)量為什么會(huì)相差1 呢？

……

教學(xué)分析：教學(xué)片段1 呈現(xiàn)了“探索間隔排列規(guī)律”的學(xué)習(xí)過(guò)程?？梢钥吹剑g隔排列規(guī)律的初步得出需要學(xué)生對(duì)三組數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察、分析，基于三組數(shù)據(jù)的共同屬性，運(yùn)用不完全歸納來(lái)思考?！堕g隔排列》這節(jié)課體現(xiàn)了歸納思維和演繹思維的結(jié)合。在教學(xué)片段中，僅根據(jù)三組數(shù)據(jù)運(yùn)用不完全歸納得出的“每排兩種物體的數(shù)量相差1”這一結(jié)論不一定是正確的，還需要通過(guò)演繹思維來(lái)驗(yàn)證或證明。于是教師及時(shí)追問(wèn)“為什么兩種物體的數(shù)量會(huì)相差1”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，并讓他們用圈一圈、連一連等操作把兩個(gè)相鄰的不同物體看成一組，結(jié)果最后有1 個(gè)多余，從而證明了這一結(jié)論的正確性。這節(jié)課的教學(xué)就是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)歸納思維來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再通過(guò)演繹思維來(lái)證明規(guī)律，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的重要方法。

（二）“圖形與幾何”領(lǐng)域的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)中，“圖形與幾何”領(lǐng)域也有很多內(nèi)容的教與學(xué)都需要運(yùn)用歸納思維，比較典型的有“圖形與幾何”中的“規(guī)律（如釘子板上的多邊形、表面涂色的正方體等）”“圖形的特征與性質(zhì)（如三角形三邊關(guān)系、三角形/多邊形的內(nèi)角和）”等相關(guān)內(nèi)容。下面以“三角形的內(nèi)角和”為例進(jìn)行分析說(shuō)明。

課例2：三角形的內(nèi)角和

蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”中，教材呈現(xiàn)了一個(gè)例題的主題圖（如圖4）。這個(gè)內(nèi)容旨在引導(dǎo)學(xué)生探究三角形的內(nèi)角和。

圖4 “三角形的內(nèi)角和”主題圖

【教學(xué)片段2】

師：今天我們一起來(lái)研究三角形的內(nèi)角和。我們可不可能研究完所有三角形的內(nèi)角和是多少？你認(rèn)為要研究三角形的內(nèi)角和，只需要研究哪幾種三角形的內(nèi)角和就可以了？

生：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

（教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)量一量、算一算等活動(dòng)，分別研究提供的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和。）

（生提出猜想：三角形的內(nèi)角和都是180°。）

師：怎樣驗(yàn)證大家的猜想？

（小組合作，運(yùn)用不同的方法驗(yàn)證并交流。學(xué)生提出度量驗(yàn)證、剪拼驗(yàn)證、折拼驗(yàn)證等方法。）

師：剛才大家驗(yàn)證了那么多不同的三角形，有沒(méi)有窮盡所有不同的三角形？

生：沒(méi)有。

（教師借助幾何畫板演示，任意變化三角形驗(yàn)證其內(nèi)角和。最后，教師介紹帕斯卡的證明方法。）

教學(xué)分析：“三角形的內(nèi)角和”這一內(nèi)容充分體現(xiàn)了歸納思維的應(yīng)用。第一，把三角形分成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形來(lái)研究體現(xiàn)了完全歸納的思維。第二，在量一量、算一算等活動(dòng)中提出猜想“三角形的內(nèi)角和是180°”，這個(gè)過(guò)程充分運(yùn)用了不完全歸納的思維。第三，全班通過(guò)度量、剪拼、折拼等方法驗(yàn)證不同的三角形，雖然驗(yàn)證了四五十個(gè)不同的三角形，但仍然是極其有限的，對(duì)猜想的驗(yàn)證仍然屬于不完全歸納。第四，利用幾何畫板任意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)改變其形狀、大小，不管如何變化，三角形的內(nèi)角和始終為180°，這樣驗(yàn)證的不同三角形的個(gè)數(shù)從有限趨向于無(wú)限，歸納思維的運(yùn)用也從不完全歸納趨向于完全歸納，因此更加有說(shuō)服力。第五，帕斯卡的證明是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，屬于演繹推理，能完全證明猜想的正確性。這一內(nèi)容的教學(xué)，既滲透了歸納思維，又滲透了演繹思維，歸納思維用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹思維用于證明結(jié)論的正確性。

（三）“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的應(yīng)用

邏輯學(xué)指出，概率通常是指應(yīng)用于推理的歸納概率。［8］賴欣巴哈關(guān)于概率基礎(chǔ)的描述指出，概率被定義為無(wú)限一般事件序列的性質(zhì)，由于不知道無(wú)限事件序列的極限，所以只能根據(jù)這些序列的有限初始段進(jìn)行歸納推理，從有限推斷無(wú)限。［9］所以概率中體現(xiàn)著歸納思維。小學(xué)數(shù)學(xué)中，“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域中“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”這部分內(nèi)容中滲透著概率，同樣也滲透著歸納思維。下面以《可能性》為例分析歸納思維的應(yīng)用。

課例3：可能性

蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)《可能性》中，教材呈現(xiàn)了兩道例題的主題圖（如圖5）?！犊赡苄浴愤@一課引導(dǎo)學(xué)生在摸球、摸牌等游戲中認(rèn)識(shí)可能性，感受可能性有大有小。

圖5 《可能性》主題圖

【教學(xué)片段3】

（教師組織全班學(xué)生分小組進(jìn)行摸牌游戲，學(xué)生匯報(bào)后用表格呈現(xiàn)各小組數(shù)據(jù)。）

師：仔細(xì)觀察每個(gè)小組的摸牌結(jié)果，結(jié)合你們組摸牌的情況，說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：每個(gè)小組都是摸到紅桃的次數(shù)多，說(shuō)明摸到紅桃的可能性大。

生：每個(gè)小組摸到紅桃的次數(shù)都差不多是摸到黑桃次數(shù)的3倍，所以摸到紅桃的可能性是摸到黑桃可能性的3倍。

師：為什么摸到紅桃的可能性會(huì)比摸到黑桃的可能性大呢？

……

教學(xué)分析：《可能性》一課體現(xiàn)了歸納思維的應(yīng)用。教學(xué)片段3中呈現(xiàn)的是摸牌游戲的教學(xué)過(guò)程。在全班學(xué)生參與摸牌游戲后，得到每個(gè)小組摸到紅桃、黑桃的數(shù)據(jù)并以表格的形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)再說(shuō)想法，這一過(guò)程其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各小組的數(shù)據(jù)，通過(guò)歸納思維得出關(guān)于可能性大小的判斷。要注意的是，這種根據(jù)歸納思維得出的結(jié)論只是學(xué)生對(duì)可能性大小的一種初步的感知，所以教師一定要追問(wèn)“為什么摸到紅桃的可能性比摸到黑桃的可能性大”，以此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步說(shuō)理。這種歸納思維與演繹思維的結(jié)合能讓學(xué)生對(duì)可能性有更加清晰的認(rèn)識(shí)，也為后續(xù)概率的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中歸納思維的應(yīng)用是比較淺層次的，大多是不完全歸納。盡管如此，歸納思維仍然發(fā)揮著巨大的作用，學(xué)生通過(guò)觀察、歸納去探索、發(fā)現(xiàn)甚至創(chuàng)造。數(shù)學(xué)課堂中歸納思維的應(yīng)用還進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生歸納思維的發(fā)展，同時(shí)結(jié)合演繹思維對(duì)歸納結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證、證明，還發(fā)展了學(xué)生的理性精神和科學(xué)精神。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展應(yīng)貫穿于個(gè)體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程、全階段，甚至人的一生。希望本文對(duì)歸納思維的理論分析和實(shí)踐探索能給廣大數(shù)學(xué)教育工作者帶來(lái)一些啟發(fā)。