□劉加霞 馬曉丹 陶安慧

統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)、物理學(xué)等自然科學(xué)相比，最大的不同是統(tǒng)計學(xué)具有“容錯性”，其依據(jù)的理論、采用的方法、思維的形式，在很多情況下并不是為了尋求永恒不變的定律和準(zhǔn)確無誤的定值（也許不存在定律和定值），而是為了從瞬息萬變的混沌世界中抽象出社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的本質(zhì)特點(diǎn)進(jìn)行推斷和估計。

“統(tǒng)計意義”是指人們無法確定未來社會經(jīng)濟(jì)等方面的具體發(fā)展結(jié)果，只能作出概率的估計與推斷。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）中有11次提及“統(tǒng)計意義”，除2次談到“平均數(shù)的統(tǒng)計意義”、1次談到“數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義”外，其他幾次主要說的是“百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”?！袄斫獍俜?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”是2022年版課標(biāo)的重要修改之處。

那么，百分?jǐn)?shù)的“意義”指什么？何謂百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計意義”？統(tǒng)計意義的具體表現(xiàn)是什么？學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的價值是什么？教學(xué)中如何處理百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計與非統(tǒng)計意義？理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的教學(xué)建議有哪些？

一、當(dāng)用百分?jǐn)?shù)描述隨機(jī)數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系時才具有“統(tǒng)計意義”

百分?jǐn)?shù)的起源可以追溯到早期的商業(yè)活動中，涉及利息、納稅和貨幣兌換等。最初百分?jǐn)?shù)是作為一個具體的數(shù)量出現(xiàn)的，是“每一百個單位”對應(yīng)的具體數(shù)量。例如，百分?jǐn)?shù)的意大利語為“per centro”，意思是“每一百中有多少”，后來演變?yōu)榈抡Z“procentro”，之后又演變?yōu)楝F(xiàn)代的詞語“procent”。百分?jǐn)?shù)的現(xiàn)代英語單詞是“percent”，其含義愈加抽象，表示部分與整體、一個量與另一個量的倍數(shù)關(guān)系或者是兩個度量對象之間的相對大小。百分號“%”來源于15世紀(jì)的意大利商人，當(dāng)貨物降價時，他們會使用一種特定的縮寫符號“PC0”，之后逐步演化為“per”，直至現(xiàn)代的“%”，才不再具有“量”的含義。也有研究者［1］舍棄百分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義，從“數(shù)”的角度將其定義為“繁分?jǐn)?shù)（兩個分?jǐn)?shù)的商）”，但這樣的定義不適用于小學(xué)階段。

百分?jǐn)?shù)主要用于描述一種關(guān)系或進(jìn)行比較，這里的比較既可以發(fā)生在部分與整體之間，也可以發(fā)生在不相交的兩個量之間。［2］因此，把百分?jǐn)?shù)稱為百分率或百分比更能凸顯其表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系?！皟蓚€量”既可以是確定數(shù)據(jù)，也可以是隨機(jī)數(shù)據(jù)。其中，用百分?jǐn)?shù)描述兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系可以稱為百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”。例如，某人某月工資是1000 元，其中包括獎金200 元，則獎金占工資總額的20%。又如，將5mL 蜂蜜放到95mL 的溫水中，蜂蜜占整杯蜂蜜水的5%，配相同濃度的1000mL 蜂蜜水就“百分之百”地需要50mL蜂蜜。此時的百分?jǐn)?shù)（濃度）不具有“統(tǒng)計意義”，它只描述蜂蜜與蜂蜜水的倍數(shù)關(guān)系，用它可以衡量蜂蜜水的甜度或濃度。這種對不具有隨機(jī)性數(shù)據(jù)的分析稱為描述性分析（描述統(tǒng)計），這里的信息是數(shù)據(jù)“自身攜帶”的，只需要描述出來，不需要進(jìn)行推斷、估計等思維活動。

用百分?jǐn)?shù)描述隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系則是百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計意義”。例如，小明一共投了20 個球，投中了12個，投球命中率是60%，但不能說，投10個一定命中6個，投100個一定命中60個。類似地，出勤率、合格率、發(fā)芽率等概念的獲得都要涉及抽樣或通過調(diào)查得到隨機(jī)數(shù)據(jù)，此時利用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行分析、判斷或者作預(yù)測所得到的結(jié)論不能“百分之百”地成立，要考慮其具有“隨機(jī)性”。這種對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的概率估計和抽樣推斷都是百分?jǐn)?shù)“統(tǒng)計意義”的具體體現(xiàn)。

百分?jǐn)?shù)體現(xiàn)“倍數(shù)關(guān)系”、體現(xiàn)“程度”（百分?jǐn)?shù)的“度量”含義，有統(tǒng)計含義，也有非統(tǒng)計含義），利用百分?jǐn)?shù)制定“標(biāo)準(zhǔn)”（誤差程度、隨機(jī)性大?。┑榷际?022年版課標(biāo)要求的內(nèi)容。尤其是學(xué)會制定標(biāo)準(zhǔn)和基于標(biāo)準(zhǔn)作出判斷，都涉及重要的數(shù)學(xué)思維，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的較高目標(biāo)。例如，根據(jù)投籃的命中率決定誰參加比賽，如比賽獲勝的可能性大小；根據(jù)科學(xué)抽樣所得到的樣本情況來推斷總體的情況，如確定某年級學(xué)生跳繩的合格標(biāo)準(zhǔn)。

制定標(biāo)準(zhǔn)與按標(biāo)準(zhǔn)做事是非常重要的兩件事，既涉及能力問題，也涉及情感態(tài)度甚至是價值觀的問題。因此，學(xué)生認(rèn)識百分?jǐn)?shù)要經(jīng)歷“從低到高”的三個階段，具體包括：每一百個單位所對應(yīng)的“具體量”、兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)意義）、兩個隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關(guān)系（統(tǒng)計意義）。讓學(xué)生“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”對他們的思維水平要求較高，需要具有一定水平的隨機(jī)思維（或者稱為統(tǒng)計思維）能力。無論是自然現(xiàn)象還是社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，時時處處都充滿著因個體的差異性而引起的不確定性，在大多數(shù)情況下，我們?nèi)狈ψ銐虻男畔⒒蛑R去利用有效信息。但是，人們總是期望通過量化事物的不確定性去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、揭示真相，認(rèn)識不確定性背后的必然性。由此就產(chǎn)生了“統(tǒng)計學(xué)”，其根本任務(wù)是探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)關(guān)系、推斷未知（由于不確定性，人們在一定概率下作出判斷）。

如果說數(shù)學(xué)給出的是唯一正確的答案，那么統(tǒng)計學(xué)給出的只是多個可選擇的答案中最有可能接近實(shí)際的結(jié)果。因此，人們需要具備統(tǒng)計思維，這是一種在獲取數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息、論證結(jié)論可靠性等過程中表現(xiàn)出來的思維模式［3］，具有辯證性、批判性等特點(diǎn)，比傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維要求更高。統(tǒng)計思維是一種由經(jīng)驗(yàn)到理性的認(rèn)識，一種運(yùn)用偶然發(fā)現(xiàn)規(guī)律的科學(xué)思維。它既是一種方法和技術(shù)，又含有世界觀的成分——認(rèn)識世界的一種方式。2022 年版課標(biāo)將百分?jǐn)?shù)的內(nèi)容調(diào)整到“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，并增加理解它的統(tǒng)計意義的要求，目的就是試圖提高學(xué)生的統(tǒng)計思維水平，但這在小學(xué)階段的難度很大。

二、“百分?jǐn)?shù)”的重要育人價值在于提高學(xué)生的統(tǒng)計思維水平

百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)不是在傳遞如何把結(jié)果轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的孤立規(guī)則，而是把百分?jǐn)?shù)與更廣泛地理解數(shù)學(xué)思想或者自身的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來。［4］雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標(biāo)”）也強(qiáng)調(diào)了數(shù)據(jù)意識以及隨機(jī)性，但教材中有關(guān)“對數(shù)據(jù)的需要”和“變異”兩個維度的內(nèi)容所占的比例卻非常低，教學(xué)時，教師也更多地從習(xí)題的表層要求出發(fā)，而忽視了滲透其中的數(shù)據(jù)意識以及隨機(jī)性認(rèn)識。［5］小學(xué)階段的統(tǒng)計教學(xué)以統(tǒng)計知識與方法為基本內(nèi)容，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維甚至統(tǒng)計思想，2022 年版課標(biāo)在小學(xué)階段強(qiáng)調(diào)“數(shù)據(jù)、平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”即是為了實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)。然而，在初中階段卻沒有提及“統(tǒng)計意義”，其在“內(nèi)容要求”和“學(xué)業(yè)要求”中提到的都是統(tǒng)計知識與方法，反而小學(xué)階段的要求“更高”一些。因此，筆者認(rèn)為初中階段也應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計意義”的要求，而不只是學(xué)習(xí)統(tǒng)計知識與方法。

統(tǒng)計學(xué)家C.R.勞指出：“對統(tǒng)計學(xué)的一知半解，常常造成不必要的上當(dāng)受騙；對統(tǒng)計學(xué)的一概排斥，往往造成不必要的愚昧無知。統(tǒng)計學(xué)是人類探究真理時必不可少的工具?！保?］其基本邏輯就是統(tǒng)計學(xué)提供專門的方法幫助人們通過量化事物的不確定性去不斷產(chǎn)生新的知識，從而發(fā)現(xiàn)或接近真理。人們從經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中所獲取的知識是含有不確定性的，統(tǒng)計學(xué)關(guān)注的是這些知識當(dāng)中所含不確定性的度量問題。一旦能得到不確定性的度量，人們的知識就得到擴(kuò)充，對世界的認(rèn)知就朝前跨越。這個過程在人類知識積累的進(jìn)程中不斷重復(fù)。

克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中虛構(gòu)了“決定論先生”和“概率論先生”，以對話的方式探討“無序的宇宙：用統(tǒng)計觀點(diǎn)看世界”，最終得出結(jié)論：宇宙是無序的，科學(xué)、社會經(jīng)濟(jì)方面所得出的相關(guān)原理、定律等只不過在“統(tǒng)計學(xué)意義（通過數(shù)據(jù)而得到的規(guī)律）”上成立，唯一的真理就是“沒有絕對的真理”。從“統(tǒng)計的角度”看問題，可稱之為“統(tǒng)計思維”。它具有辯證性，即從偶然中發(fā)現(xiàn)必然但又不能“百分之百”地相信“必然”，屬于人類的高級思維。對小學(xué)生甚至初中生而言都較難形成，但又非常重要。我國歷次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對其“要求”也較為“糾結(jié)”。例如：《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中提出的是“統(tǒng)計觀念”；2011年版課標(biāo)將“統(tǒng)計觀念”改為了“數(shù)據(jù)分析觀念”；2022年版課標(biāo)在小學(xué)階段將其改為“數(shù)據(jù)意識”，并且特別強(qiáng)調(diào)“統(tǒng)計意義”，初中階段則采用“數(shù)據(jù)觀念”。這些修改反映了統(tǒng)計思維是一種非常重要卻又難以培養(yǎng)的思維能力。

統(tǒng)計思維比形象思維和邏輯思維更為復(fù)雜，它是人們自覺地運(yùn)用數(shù)據(jù)對客觀事物的數(shù)量特征和發(fā)展規(guī)律進(jìn)行描述、分析、判斷和推理的一種思維方式。數(shù)據(jù)要盡可能地排除人為干擾和系統(tǒng)誤差，這樣通過統(tǒng)計推斷所得到的結(jié)果才能“更好”，但所得出的結(jié)論并沒有“對錯”之分。這與數(shù)學(xué)結(jié)論具有唯一性、確定性等的特征不同，也是統(tǒng)計思維與數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)區(qū)別，由此也可以看出在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維非常有難度。但是，統(tǒng)計思維的習(xí)慣要從早期學(xué)習(xí)就開始培養(yǎng)［7］，即使有困難也要在日常教育教學(xué)中逐步滲透，否則成年后會更難。

總之，統(tǒng)計思維的基本思維方式是歸納推理。例如，所獲得的一些數(shù)據(jù)既有差異性，又有規(guī)律性。數(shù)據(jù)越多（不同樣本類別、樣本容量），其規(guī)律性越明顯，所獲得的規(guī)律也越“可靠”。所以，統(tǒng)計思維本質(zhì)上是證據(jù)思維，是辯證思維和邏輯思維的綜合體，但辯證思維的特征更明顯，而不是“非黑即白”的二元式邏輯性、因果性思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一直滲透“統(tǒng)計思維”，浸潤式地培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計思維是非常必要的，這對教師的數(shù)學(xué)專業(yè)能力、教學(xué)能力也提出了更高的要求。

三、“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”的教學(xué)建議

認(rèn)識“百分?jǐn)?shù)”重在讓學(xué)生感悟運(yùn)用百分?jǐn)?shù)衡量兩個量之間相對大小的必要性、理解百分?jǐn)?shù)的含義以及初步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。通常在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”時，教師會創(chuàng)設(shè)比較“絕對量（如投中球的數(shù)量、森林面積等）”與“程度量（如命中率、森林覆蓋率等）”等問題情境，幫助學(xué)生體會用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較的必要性。但在這些問題情境中，學(xué)生所理解的仍然是百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”，而不是它的統(tǒng)計意義。他們?nèi)匀皇前凑铡懊恳话賯€投中多少個”來理解用百分?jǐn)?shù)描述命中率，進(jìn)而理解百分?jǐn)?shù)可以表示投中的次數(shù)與所投總數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系的。雖然按這種方式教學(xué)，學(xué)生會“認(rèn)可”百分?jǐn)?shù)不是教師“告知的”，而是通過比較分母是20、100、200 等數(shù)時逐步感悟得到的。學(xué)生這樣理解的根本原因是“十進(jìn)制”思想在他們心目中“根深蒂固”，他們認(rèn)可用“百分?jǐn)?shù)表達(dá)倍數(shù)關(guān)系”便于比較、便于作判斷和下結(jié)論。但是這樣的教學(xué)并沒有讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。那么，如何讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義呢？

（一）在討論與辯論中感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性

“統(tǒng)計”的研究對象主要是隨機(jī)事件，并通過對隨機(jī)事件展開調(diào)查或試驗(yàn)得到隨機(jī)數(shù)據(jù)。隨機(jī)數(shù)據(jù)包括兩類：一是完全隨機(jī)狀態(tài)，即概率試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，例如拋硬幣、擲骰子試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)；二是來自現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)，具有一定的隨機(jī)性，但又不完全隨機(jī)，屬于半隨機(jī)狀態(tài)。完全隨機(jī)和完全不隨機(jī)的數(shù)據(jù)，屬于數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)闡釋的范疇，半隨機(jī)的數(shù)據(jù)則由于歷史原因歸于統(tǒng)計研究領(lǐng)域。隨機(jī)性與不確定性不一樣，當(dāng)然二者之間也有一定的關(guān)系，有的不確定性事件具有隨機(jī)性，有的則不具有隨機(jī)性。例如，本周日午餐“可能吃魚”，該事件具有不確定性，但它不具有隨機(jī)性，周日是否吃魚可以由“媽媽”決定。對數(shù)據(jù)隨機(jī)性的價值認(rèn)識較晚的原因是“對其研究的難度很大”，研究者很難對“數(shù)據(jù)隨機(jī)性”的內(nèi)涵給出操作性定義，而且很難弄清楚學(xué)生理解數(shù)據(jù)隨機(jī)性的過程。

以“命中率”為例，學(xué)生在理解百分?jǐn)?shù)便于比較、能夠刻畫兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系之后，還需要進(jìn)一步認(rèn)識投球所得到的數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性。為突破學(xué)生已有的確定性思維的定式，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從“統(tǒng)計”的角度認(rèn)識“百分?jǐn)?shù)”，即所得到的命中率只是“統(tǒng)計意義”上的命中率，不具有“確定的因果關(guān)系”。比如，命中率60%并不意味著“投10 個球一定命中6 個”。因此，在教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”的過程中，教師要激發(fā)學(xué)生展開討論與辯論：“假如再比賽一場，命中率一定是60%嗎？”“既然命中率不是確定的，那么推薦誰去參加比賽呢？”……這就要求學(xué)生“能夠根據(jù)情境，利用統(tǒng)計知識進(jìn)行批判性的質(zhì)疑，并用統(tǒng)計語言進(jìn)行表達(dá)與解釋”［8］。

教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”的統(tǒng)計意義時，要讓學(xué)生知道在現(xiàn)實(shí)世界中隨機(jī)現(xiàn)象普遍存在，感知隨機(jī)現(xiàn)象的基本特征：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；可能以這樣的程度發(fā)生，也可能以那樣的程度發(fā)生。還要讓學(xué)生感知許多隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小是可以預(yù)測的。統(tǒng)計思維就是用部分?jǐn)?shù)據(jù)推斷總體情況，不能保證“百分之百”正確，但要保證出錯的可能性盡可能小。這種根據(jù)數(shù)據(jù)作出推斷的方式就是統(tǒng)計的本質(zhì)。

（二）與已有的統(tǒng)計經(jīng)驗(yàn)建立鏈接，感悟“數(shù)據(jù)蘊(yùn)含信息”

一般而言，我們說“百分位數(shù)是一類統(tǒng)計量”，但不說“百分?jǐn)?shù)是統(tǒng)計量”。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等都可稱為“統(tǒng)計量”，能夠描述一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢（集中量數(shù)）”或“離散趨勢（差異量數(shù)或變異量數(shù)）”。百分位數(shù)是百分位所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，即將一列數(shù)據(jù)由小到大（或由大到小）排列，第一個數(shù)據(jù)就是第1百分位數(shù)，中位數(shù)就是第50 百分位數(shù)。要特別指出的是，第一個四分位數(shù)就是這組有順序數(shù)據(jù)中第25%所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，第二個四分位數(shù)就是中位數(shù)，第三個四分位數(shù)就是第75%所對應(yīng)的數(shù)據(jù)。

雖然不說“百分?jǐn)?shù)”是統(tǒng)計量，但是“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)能夠與統(tǒng)計量的教學(xué)建立聯(lián)系。二者都通過對原始數(shù)據(jù)進(jìn)一步加工獲得“新數(shù)據(jù)（即原始數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息）”，再根據(jù)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的信息作出合理的決策。比如，在“推薦參賽選手”的問題上，僅從投籃“命中次數(shù)”這一個量是不能獲得有效信息的?！懊写螖?shù)”僅在數(shù)量上具有可比性，但在統(tǒng)計意義上是不可比的。學(xué)生最直接的感受是“僅比較投中次數(shù)是不公平的，我們并不清楚他們各投籃多少次”?？梢姡瑢W(xué)生需要從兩個量建立的關(guān)系（“投籃次數(shù)”與“命中次數(shù)”的倍數(shù)關(guān)系）中挖掘數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息。

“百分?jǐn)?shù)”教學(xué)能否喚起學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計量時的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？在學(xué)習(xí)“平均數(shù)”時，學(xué)生曾有過質(zhì)疑“公平”的經(jīng)歷。而在比較兩個小組的投籃水平時，直接比較兩個小組“投中總數(shù)”的做法也是不公平的。所以，學(xué)生需要從“投中總數(shù)”與“人數(shù)”的等分關(guān)系里挖掘數(shù)據(jù)信息?！鞍俜?jǐn)?shù)”和“平均數(shù)”都不是根據(jù)一個量的大小判斷事物的程度的，而是通過相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系挖掘有效信息，進(jìn)而作出更加客觀的判斷。它們的共性是把統(tǒng)計意義下不可比的數(shù)據(jù)變得具有可比性，為合理決策提供重要依據(jù)。

（三）讓學(xué)生感悟“命中率的來源”決定其可信度

如前所述，學(xué)生已經(jīng)通過研討交流感受到，利用“投中的數(shù)量”不能做決策，利用“命中率”更科學(xué)，感悟到百分?jǐn)?shù)這一概念產(chǎn)生的必要性。此外，還需要讓學(xué)生初步了解怎樣求得的“命中率”更可信，利用其作出的決策更可靠。統(tǒng)計思維需要超越數(shù)據(jù)本身，并與數(shù)據(jù)的來源背景進(jìn)行連接。［9］

例如，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：從甲、乙、丙3 人中選1 人參加投籃比賽，甲的命中率是100%，乙的命中率是90%，丙的命中率是80%。從命中率高低來看，當(dāng)然選甲參加比賽，但是，甲參加比賽卻輸了。學(xué)生會很自然地反問：“命中率100%怎么會輸呢？”他們還會追問：“甲的命中率100%是怎么得來的？”教師告知學(xué)生選拔賽的過程：原來，選拔賽時，甲只投了1個球，結(jié)果投中了，命中率100%；乙投了10 個球，投中了9 個，命中率90%；丙投了50個球，投中了40個，命中率80%。這時教師提問：你會相信誰的“命中率”？學(xué)生可能會說：當(dāng)然是丙的。

前述教學(xué)情境的討論真正涉及事件發(fā)生的隨機(jī)性問題。隨機(jī)性主要體現(xiàn)在兩方面：一是對于同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同。如讓甲投籃1 次，投中1 次，命中率100%；另一次預(yù)賽，讓他投籃10 次，投中6 次，命中率60%。哪個“命中率”能代表他的水平呢？很難說。只有當(dāng)他投籃的次數(shù)更多一些，才能發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”。二是只有擁有足夠多的數(shù)據(jù)才可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如讓甲投籃50次，投中29 次；投200 次，投中122 次；投500 次，投中300次……乃至投更多的次數(shù)。這時可以說，他的投籃命中率大約是60%，此時的“命中率”才能代表他的投籃水平，使用這個“命中率”作判斷、作預(yù)測才能“更準(zhǔn)”。此外，還有一個基本假設(shè)：人的投籃水平基本是穩(wěn)定的，但也會受偶然因素的影響。因此，一個人的投籃命中率是60%，決不能說“投100 次肯定投中60 次”。然而，在真正比賽時，兩個人的命中率分別是50%和60%，仍會派命中率60%的人參加比賽，因?yàn)樗@勝的可能性更大。所以在理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義時，不要簡單地被百分?jǐn)?shù)所迷惑，而要考查百分?jǐn)?shù)背后的統(tǒng)計過程。

推斷統(tǒng)計的核心是通過已經(jīng)歷過的事件來推斷未經(jīng)歷過的事件，或者說通過樣本推斷總體。因此，抽樣問題至關(guān)重要，但小學(xué)階段的統(tǒng)計內(nèi)容中只是略有涉及，初中階段更應(yīng)該提出“理解統(tǒng)計意義”的要求。統(tǒng)計分析的過程是一個循序漸進(jìn)的過程，它既容忍誤差的存在，又在認(rèn)識過程中不斷控制和降低誤差，同時還及時對分析結(jié)論進(jìn)行評估。因此，“理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”很難，需要學(xué)生辯證地看待存在的“現(xiàn)象或事實(shí)”，從“統(tǒng)計角度”看待事件發(fā)生的過程與結(jié)果。