梁穎利

摘 ?要：將指數(shù)冪的拓展過程放在數(shù)系擴充的大背景下，類比初中正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪再到實數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，建立拓展指數(shù)冪的整體架構(gòu)，理解數(shù)學(xué)運算的一致性.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；無理數(shù)指數(shù)冪；指數(shù)冪的拓展；教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的含義，指數(shù)冪的運算性質(zhì).

2. 內(nèi)容解析

數(shù)及其運算的產(chǎn)生和發(fā)展是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的重要源泉和動力，數(shù)、式、方程、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)是數(shù)及其運算，函數(shù)是數(shù)及其運算的延伸和發(fā)展.

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”第一節(jié)“指數(shù)”的部分內(nèi)容. 指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類函數(shù)，其定義域為實數(shù)集. 為研究指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步拓展. 類似于先把整數(shù)拓展到有理數(shù)，再把有理數(shù)拓展到實數(shù)，本節(jié)課將指數(shù)冪由整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理數(shù)指數(shù)冪，然后拓展到實數(shù)指數(shù)冪，進而為指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 為了讓學(xué)生完整地體驗指數(shù)冪的拓展過程，將“指數(shù)”內(nèi)容分為兩個課時，本節(jié)課是第2課時，主要內(nèi)容是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪的含義和運算性質(zhì)，以及指數(shù)冪的拓展過程.

在指數(shù)冪運算的拓展過程中，“整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪中仍然成立”是核心思想. 對此，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)整數(shù)指數(shù)冪時，在由正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程中已經(jīng)有所體會，本節(jié)課要讓學(xué)生進一步體會.

學(xué)習(xí)指數(shù)冪的運算，必須解決無理數(shù)指數(shù)冪的問題. 但是冪的指數(shù)由有理數(shù)拓展到實數(shù)，指數(shù)變?yōu)闊o理數(shù)，很難有實際背景，這完全是數(shù)學(xué)理性思維的結(jié)果. 因此，對無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課教學(xué)的難點. 可以類比初中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的經(jīng)驗，從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪，并在數(shù)軸上表示對應(yīng)的點，從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪的意義，并體會其中的極限思想.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為實數(shù)指數(shù)冪的運算及其性質(zhì)，教學(xué)難點為用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）認(rèn)識有理數(shù)指數(shù)冪[amn]（[a>0]，[m，n]為整數(shù)，[n>1]）和無理數(shù)指數(shù)冪的含義.

（2）了解指數(shù)冪的拓展過程.

（3）掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).

2. 目標(biāo)解析

達成上述目標(biāo)的標(biāo)志如下.

（1）認(rèn)識正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義[amn=amn]（[a>0]，[m，n]為正整數(shù)，[n>1]）和正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義[a-mn=1amn]（[a>0]，[m，n]為正整數(shù)，[n>1]），知道分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另外一種表達形式，并能將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式互相轉(zhuǎn)化. 無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課的難點，只需要讓學(xué)生知道任何正數(shù)的實數(shù)指數(shù)冪都是確定的實數(shù)，能通過逼近的方法直觀認(rèn)識它，并體會其中的極限思想.

（2）通過回憶，類比初中由正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，經(jīng)歷由整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，體會其拓展過程的核心思想是“使冪的運算性質(zhì)仍然成立”，了解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入不僅消除了運算性質(zhì)中的一些限制，還實現(xiàn)了乘方與開方運算的統(tǒng)一. 而有理數(shù)指數(shù)冪拓展到無理數(shù)指數(shù)冪的過程是有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程.

（3）實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)完全因襲了整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，在操作層面上與整數(shù)指數(shù)冪的運算沒有區(qū)別，學(xué)生有一定的基礎(chǔ)，通過練習(xí)鞏固即可掌握.

三、教學(xué)問題診斷

本節(jié)課是“指數(shù)函數(shù)”的前一節(jié)課. 指數(shù)函數(shù)是以指數(shù)為自變量的一類函數(shù)，其定義域為實數(shù)集. 為了研究指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)冪運算的范圍進一步拓展. 教材從已知的平方根、立方根的意義入手，先學(xué)習(xí)[n]次方根，再由幾個特殊的例子歸納發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與[n]次方根概念的聯(lián)系，規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義. 在教學(xué)實踐中，這個過程學(xué)生會比較容易接受，但是學(xué)生會感覺不知道為什么要先學(xué)習(xí)根式，而是被教師牽著走. 因此，本節(jié)課從學(xué)生初中已經(jīng)熟悉的整數(shù)指數(shù)冪的定義及運算性質(zhì)入手，采用在初中引入零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義過程，在“使整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍然成立”思想的指引下，將整數(shù)指數(shù)冪拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，建立分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與[n]次方根的聯(lián)系，得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義. 既讓學(xué)生認(rèn)識到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，又使學(xué)生體會到指數(shù)冪運算的拓展過程的核心思想是“使原有的運算性質(zhì)仍然成立”.

無理數(shù)指數(shù)冪的理解是本節(jié)課的難點，可以類比初中用有理數(shù)逼近無理數(shù)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程，然后在數(shù)軸上表示它們的對應(yīng)點，發(fā)現(xiàn)這些點逼近一個確定的點，其對應(yīng)的數(shù)就是這個無理數(shù)指數(shù)冪. 由此讓學(xué)生體會其中蘊含的極限思想，并從數(shù)和形兩個角度認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù). 不需要對學(xué)生要求更多.

四、教學(xué)支持條件

多媒體PPT輔助教學(xué)；利用計算工具，計算[52]的近似值，幫助學(xué)生體會有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的過程；利用信息技術(shù)作圖，在數(shù)軸上將[52]附近逐步放大，直觀展示逼近過程，加深學(xué)生對無理數(shù)指數(shù)冪的理解.

五、教學(xué)過程設(shè)計

1. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)

問題1：某景區(qū)統(tǒng)計了近幾個月的游客人次，發(fā)現(xiàn)在免門票政策的帶動下，每月的游客人次都是上一個月游客人次的1.1倍，如果按照此規(guī)律增長下去.

（1）2個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

（2）3個月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

（3）3個半月后的游客人次為現(xiàn)在的多少倍？

師生活動：學(xué)生回答. 回答后指出這是初中學(xué)過的冪運算[an]，當(dāng)指數(shù)為正整數(shù)時，其意義是[n]個[a]自乘. 當(dāng)指數(shù)為小數(shù)或分?jǐn)?shù)時不會計算，需要把冪的指數(shù)拓展.

【設(shè)計意圖】第（1）小題和第（2）小題從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，既是讓學(xué)生回顧初中指數(shù)冪及其運算的相關(guān)知識，又是搭建“腳手架”，為后面問題的提出作好鋪墊；第（3）小題是要激發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生認(rèn)識到拓展指數(shù)的必要性，從而引入本節(jié)課的課題和學(xué)習(xí)內(nèi)容.

追問：我們以前學(xué)習(xí)過數(shù)系的擴充過程，是否可以借鑒呢？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)系的擴充過程，從而得到指數(shù)的拓展路徑.

【設(shè)計意圖】指數(shù)的拓展過程與數(shù)及其運算的擴充過程有關(guān)聯(lián)，通過回憶將本節(jié)課的內(nèi)容放在數(shù)系擴充的大背景下進行，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的整體性.

問題2：回憶初中由正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，零指數(shù)冪[a0]和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪[a-n]是如何引入的？

師生活動：學(xué)生回答[a0]和[a-n]的意義，教師適當(dāng)引導(dǎo)，使學(xué)生體會指數(shù)的拓展是為了使正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)適用范圍得到擴充. 最后指出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的引入消除了運算性質(zhì)中的限制，擴大了運算性質(zhì)的適用范圍，簡化了運算性質(zhì). 其中，冪的乘法對應(yīng)指數(shù)的加法，冪的除法對應(yīng)指數(shù)的減法，引入負(fù)數(shù)后，加減運算統(tǒng)一，從而冪的乘除運算統(tǒng)一，運算性質(zhì)合并為三條.

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過回顧初中正整數(shù)指數(shù)冪到整數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，體會指數(shù)冪運算的拓展過程的核心思想是原有的運算性質(zhì)在新的范圍中仍然成立.

問題3：已知[x3=2]，求[x6]，[x9].

師生活動：學(xué)生思考并回答，[x6=x3×2=x32=22]，[x9=x3×3=x33=23]. 教師追問每一步的計算依據(jù)（即整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)）.

追問1：已知[x3=2]，求[x7].

師生活動：學(xué)生獨立思考并嘗試. 一是類比前面的問題利用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，但發(fā)現(xiàn)指數(shù)為分?jǐn)?shù)，不確定能否適用；二是通過開方運算求出[x]，利用根式的運算求解. 教師展示學(xué)生出現(xiàn)的各種不同的運算過程和結(jié)果，讓學(xué)生互相評價，最后使學(xué)生感受到[n]次方根和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間是存在聯(lián)系的.

追問2：如果像求[x7]一樣，也通過開方運算，利用根式表示[x6]，[x9]，結(jié)果是什么呢？

師生活動：學(xué)生思考后回答，[x6=263=22]，[x9=][293=23]. 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察冪的指數(shù)與被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)的關(guān)系，歸納規(guī)律，自然地得出[273]可以寫成[273]，而且根據(jù)根式的性質(zhì)[2733=27=273×3]，指數(shù)冪的運算性質(zhì)（如[akn=akn]）仍然成立. 推廣到一般情況，規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義為[amn=amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數(shù)，[n>1]）.

追問3：本節(jié)課開頭的問題[1.13.5]可以計算了嗎？

師生活動：學(xué)生回答，[1.13.5=1.172=1.17≈1.396].

追問4：當(dāng)指數(shù)為負(fù)分?jǐn)?shù)時，[a- mn]的意義是什么？

師生活動：學(xué)生回答，[a- mn=1amn]（[a>0]，[m]，[n]為正整數(shù)，[n>1]）.

【設(shè)計意圖】從實例出發(fā)，將[n]次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪建立聯(lián)系，當(dāng)指數(shù)6和9都是3的整數(shù)倍時，可以利用已有的整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解. 當(dāng)指數(shù)7不是3的整數(shù)倍時，一方面可以利用已學(xué)過的[n]次方根的概念計算；另一方面，又迫切希望引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并且使得整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪適用. 將兩者自然地聯(lián)系起來，然后通過具體實例的歸納，從特殊到一般，從具體到抽象，建立分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與[n]次方根的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是[n]次方根的一種表現(xiàn)形式，兩者是統(tǒng)一的.

例1 ?求值：（1）[823]；（2）[1681-34].

師生活動：學(xué)生計算并回答. 之后學(xué)生指出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計算既可以利用概念轉(zhuǎn)化為根式計算，也可以利用運算性質(zhì)計算. 教師讓學(xué)生比較兩種運算方法的簡潔性.

【設(shè)計意圖】通過具體的運算，鞏固分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念、意義及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).

例2 ?用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示并計算下列各式（其中[a>0]）.

（1）[a2 ? a23]；

（2）[a ? a3].

師生活動：學(xué)生計算并回答. 之后學(xué)生指出把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算，可以簡化根式的運算.

【設(shè)計意圖】通過一般表達式的運算，鞏固分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和[n]次方根的互相轉(zhuǎn)化，特別是把[n]次方根轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進行運算，把結(jié)果表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.

2. 無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)

當(dāng)指數(shù)是無理數(shù)時，[ax]的意義是什么呢？如[52].

師：初中，我們通過[2]的不足近似值這一串有理數(shù)和[2]的過剩近似值這一串有理數(shù)逐步逼近認(rèn)識了[2]的意義. 那么，無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義是什么呢？

問題4：類比初中認(rèn)識無理數(shù)[2]的過程，能否探究無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義是什么？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中通過有理數(shù)認(rèn)識無理數(shù)的過程，類比思考無理數(shù)指數(shù)冪[52]的意義. 教師展示表1中的數(shù)據(jù)，并將相應(yīng)的數(shù)值在數(shù)軸（如圖1）上表示，讓學(xué)生理解逐漸逼近的過程.

【設(shè)計意圖】由于無理數(shù)指數(shù)冪沒有實際背景，完全是數(shù)學(xué)理性思維的結(jié)果，而且學(xué)生還沒有極限的概念，所以對逐步逼近理解起來比較困難. 這里通過表格和數(shù)軸兩種方式展示逐步逼近的過程，用表格展示數(shù)據(jù)呈現(xiàn)具體數(shù)值，用數(shù)軸表示數(shù)值直觀展示逼近過程，兩者結(jié)合，相得益彰，加深學(xué)生對無理數(shù)指數(shù)冪的理解.

師：類比[52]的探究過程，可以知道，無理數(shù)指數(shù)冪[aα]（[a>0]，[α]為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上有唯一的點與之對應(yīng). 這樣指數(shù)冪[ax]（[a>0]）中的指數(shù)就可以取任意實數(shù)，且原有的運算性質(zhì)也適用于實數(shù)指數(shù)冪.

3. 歸納小結(jié)

（1）指數(shù)冪的拓展過程如圖2所示.

（2）指數(shù)冪拓展的核心思想：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)在有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪中仍然成立.

【設(shè)計意圖】回顧本節(jié)課的主要知識和研究過程，總結(jié)指數(shù)冪拓展的核心思想和基本原則.

4. 布置作業(yè)

教材習(xí)題4.1第2 ～ 10題.

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

計算下列各式.

（1）[364932]；

（2）[23×31.53×126]；

（3）[23m323].

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對實數(shù)指數(shù)冪意義和運算性質(zhì)的理解.

參考文獻：

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