廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院2021級電信1班(541004) 李天

以橢圓的中心為圓心,分別以橢圓的長軸和短軸的長為直徑的圓叫做橢圓的大輔助圓和小輔助圓.顯然,橢圓與其大、小輔助圓是不可分割的統(tǒng)一體,因而它們之間必然存在某些共同性質(zhì).筆者經(jīng)過探究初步發(fā)現(xiàn)橢圓與其大輔助圓的四個共同性質(zhì).

共同性質(zhì)一

大輔助圓性質(zhì)1如圖1(1),過橢圓0)右焦點F的直線交橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點A,B),右準(zhǔn)線為L.則

(1)以P,Q為切點的⊙O的兩切線的交點M在右準(zhǔn)線L上;反之,過右準(zhǔn)線L上任意一點M作⊙O的切線MP,MQ,P,Q為切點,則直線PQ過橢圓的右焦點F;

(2)直線AP與直線BQ的交點N在右準(zhǔn)線L上.

橢圓性質(zhì)1如圖1(2),過橢圓右焦點F的直線交橢圓于P,Q兩點(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點A,B),右準(zhǔn)線為L.則

(1)以P,Q為切點的橢圓的兩切線的交點M在右準(zhǔn)線L上;反之,過右準(zhǔn)線L上任意一點M作橢圓的切線MP,MQ,P,Q為切點,則直線PQ過橢圓的右焦點F;

(2)直線AP與直線BQ的交點N在右準(zhǔn)線L上.

證明大輔助圓性質(zhì)1

(1)設(shè)直線PQ的方程為x=ky+c,P(x1,y1),Q(x2,y2),切線PM的方程為x1x+y1y=a2,切線QM的方程為x2x+y2y=a2,聯(lián)立消去y,整理得

因為P,F,Q三點共線,所以,整理得x2y1?x1y2=c(y1?y2),代入①得c(y1?y2)x=a2(y1?y2),因為y12,所以,所以點M在右準(zhǔn)線L上.反之,設(shè)因為以P,Q為切點的切線方程分別為x1x+y1y=a2,x2x+y2y=a2,又點M在兩切線上,所以由此知點P,Q在直線上.因為過點P,Q的直線有且僅有一條,所以為直線PQ的方程.將點F(c,0)的坐標(biāo)代入方程左邊得所以直線PQ過橢圓右焦點F.

(2)直線AP的方程為直線BQ的方程為聯(lián)立消去y,整理得

將方程x=ky+c與方程x2+y2=a2聯(lián)立消去x,整理得代入②整理得.

橢圓性質(zhì)1 可仿上述方法證明.(略)

共同性質(zhì)二

大輔助圓性質(zhì)2如圖2(1),已知AB為橢圓1(a>b>0)的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2的直徑,F為橢圓的右焦點,直線AF,BF分別交⊙O于另外一點G,E.則直線AE與直線BG的交點M在橢圓的右準(zhǔn)線上.

橢圓性質(zhì)2如圖2(2),已知AB為橢圓1(a >b >0)的直徑,F為橢圓的右焦點,直線AF,BF分別交橢圓于另外一點G,E.則直線AE與直線BG的交點M在橢圓的右準(zhǔn)線上.

證明橢圓性質(zhì)2

設(shè)A(x1,y1),則B(?x1,?y1),直線AF的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去y,得b2x2+整理,得

代入AF的方程,得

將①中x1換成?x1,y1換成?y1,得直線AE的方程為

聯(lián)立①,②消去y,得所以點M在右準(zhǔn)線上.

大輔助圓性質(zhì)2 可仿上述方法證明.(略)

注進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),大輔助圓性質(zhì)2 中,直線AE,BG均與橢圓相切,設(shè)切點分別為P,Q,不僅直線PQ過右焦點F,且PQ//AB.(見以下試題3,4)

共同性質(zhì)三

大輔助圓性質(zhì)3如圖3,已知橢圓1(a >b >0)和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2,P為⊙O上異于橢圓左、右頂點A,B的任意一個點,連接AP交橢圓于點Q,直線L:x=a,⊙O過點P的切線交L于點M,則MQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)3如圖3,已知橢圓和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2,Q為橢圓上異于左、右頂點A,B的任意一個點,連接AQ交⊙O于點P,直線L:x=a,橢圓過點Q的切線交L于點M,則MP與大輔助圓相切.

證明設(shè)P(x0,y0),則⊙O在點P處的切線方程為x0x+y0y=a2.設(shè)切線與直線L的交點為M,令x=a,得因為所以所以.

設(shè)Q(x1,y1),則橢圓在點Q處的切線方程為設(shè)切線與直線L的交點為M′,令x=a,得所以因為點A,P,Q共線,所以

所以點M′與點M重合.所以MP與⊙O相切時,MQ與橢圓相切;反之,MQ與橢圓相切時,MP與⊙O相切.

注該性質(zhì)可類比到雙曲線與其實輔助圓(以實軸長為直徑的圓).

雙曲線與實輔助圓共同性質(zhì)如圖3(1),已知雙曲線和雙曲線的實輔助圓⊙O:x2+y2=a2,P為⊙O上異于雙曲線左、右頂點A,B的任意一個點,連接AP交雙曲線于點Q,M為直線x=a上的點.若MP與⊙O相切,則MQ與雙曲線相切;反之,若MQ與雙曲線相切,則MP與⊙O相切.

共同性質(zhì)四

大輔助圓性質(zhì)4如圖4,已知橢圓b >0)和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2.P是⊙O上異于直徑A1A2端點的任意一個點,連接A1P,A2P分別交x軸于點M,N,⊙O過點P的切線交x軸于點E,連B1M交橢圓于點Q.則

(1)|OM|·|ON|=a2,|EM|=|EN|;

(2)直線B2Q過點N;

(3)直線EQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)4如圖4,已知橢圓和橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2.Q是橢圓上異于短軸B1B2端點的任意一個點,連接B1Q,B2Q分別交x軸于點M,N,橢圓過點Q的切線交x軸于點E,連A1M交⊙O于點P.則

(1)|OM|·|ON|=a2,|EM|=|EN|;

(2)直線A2P過點N;

(3)直線EP與⊙O相切.

證明大輔助圓性質(zhì)4

(1)設(shè)P(acosθ,asinθ),直線A1P的方程為令y=0,得所以直線A2P的方程為令y=0,得所以

⊙O過點P的切線方程為acosθ·x+asinθ·y=a2,令y=0,得因為所以|EM|=|EN|.

(2)直線B1M的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去y,得0,解得代入B1M的方程得,y=bsinθ,所以Q(acosθ,bsinθ).直線B2Q的方程為所以直線B2Q過點N.

(3)因為橢圓在點Q(acosθ,bsinθ)的切線方程為將點E的坐標(biāo)代入方程左邊,得所以切線過點E,即直線EQ與橢圓相切.

改用普通方程證明也很簡單.

橢圓性質(zhì)4 可仿上述方法證明.(略)

共同性質(zhì)四對橢圓與其小輔助圓也成立.

小輔助圓性質(zhì)如圖4(1),已知橢圓b >0)和橢圓小輔助圓⊙O:x2+y2=b2.P是⊙O上異于直徑A1A2端點的任意一個點,連接A1P,A2P分別交x軸于點M,N,⊙O過點P的切線交x軸于點E,連B1M交橢圓于點Q.則

(1)|OM|·|ON|=b2,|EM|=|EN|;

(2)直線B2Q過點N;

(3)直線EQ與橢圓相切.

橢圓性質(zhì)如圖4,已知橢圓和橢圓的小輔助圓⊙O:x2+y2=b2.Q是橢圓上異于長軸B1B2端點的任意一個點,連接B1Q,B2Q分別交x軸于點M,N,橢圓過點Q的切線交x軸于點E,連A1M交⊙O于點P.則

(1)|OM|·|ON|=b2,|EM|=|EN|;

(2)直線A2P過點N;

(3)直線EP與⊙O相切.

綜合橢圓與其輔助圓的共同性質(zhì),可設(shè)計如下一組題目.

題目1 過橢圓右焦點F的直線交橢圓的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(P,Q異于橢圓長軸的左、右端點A,B),以P,Q為切點的⊙O的兩切線的交點為M.

(1)求點M的軌跡C的方程;(軌跡為右準(zhǔn)線)

(2)N是C上任意一點,過點N作橢圓的切線ND,NG,D,G為切點.求證直線DG過橢圓右焦點F.

題目2 過橢圓右焦點F的直線交橢圓于D,G兩點,交大輔助圓⊙O:x2+y2=a2于P,Q兩點(D,G,P,Q異于橢圓長軸的左、右端點A,B),直線AD,BG交于點M,直線AP,BQ交于點N.求證:直線MN⊥x軸.(點M,N均在右準(zhǔn)線上)

題目3如圖5,已知AB為橢圓0)的大輔助圓⊙O:x2+y2=a2的直徑,F′,F為橢圓的左右焦點,直線AF,BF分別交⊙O于另外一點G,E,過F作AB的平行線分別交直線AE,BG于點P,Q.

求證:

(1)點P,Q在橢圓上;

(2)直線AE,BG均與橢圓相切,且切點分別為P,Q;

(3)直線AE與直線BG的交點M在橢圓的右準(zhǔn)線上,且FM⊥PQ.