陸求賜, 王學(xué)彬, 張宋傳, 徐瑞標(biāo)

( 1.武夷學(xué)院 人文與教師教育學(xué)院, 福建 武夷山 354300;2.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 福建 武夷山 354300 )

0 引言

由于分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon偏微分方程在流體力學(xué)、電學(xué)、信號處理、系統(tǒng)辨識以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2],因此尋求分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的解具有重要意義.本文考慮如下一類時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的孤立波解:

(1)

其中x∈Rn,n∈Z+,t>0, 0<α≤1,d,e∈R為參數(shù).

式(1)是一類重要的分?jǐn)?shù)階偏微分方程(薛定諤方程的一種相對論形式),最初是由瑞典理論物理學(xué)家O.Klein和德國物理學(xué)家W.Gordon分別獨(dú)立推導(dǎo)得出的[3].在式(1)中當(dāng)α=1時(shí),式(1)為整數(shù)階Klein-Gordon方程[4].目前,已經(jīng)有很多學(xué)者借助不同的求解方法對方程(1)或與其相關(guān)的整數(shù)階及時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程進(jìn)行了研究,并得到了豐富的精確行波解.這些研究采用的主要方法有橢圓方程輔助方法[4-5]、修正簡單方程法[6]、首次積分法[7]、G′/G展開法[8]、同倫攝動方法[9]、Jacobi譜配置方法[10]、平面動力系統(tǒng)分支理論方法[11]等.但目前大部分學(xué)者研究的多為時(shí)間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程[7-11],而對于時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程研究得較少:郭琳等利用修正的黎曼-劉維爾導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)以及一般橢圓方程(作為輔助方程)給出了方程(1)的部分精確解[5];M.Kaplan等利用一種修正的簡單方程法求得了方程(1)的諸多行波解[6].本文針對文獻(xiàn)[5]缺少圖形支撐和文獻(xiàn)[6]存在解法較為繁瑣的問題,利用保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和1/G展開法[12-13]對方程(1)進(jìn)行求解,得到了較為豐富的孤立波解和扭曲波解.

1 1/G展開法求解分?jǐn)?shù)階方程的應(yīng)用

1.1 預(yù)備知識

求解分?jǐn)?shù)階方程的方法通常是將其化為整數(shù)階方程后再求解.由于傳統(tǒng)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義[5]和Caputo[9]分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義均帶有積分形式,而保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義不帶有積分形式(應(yīng)用更為方便),因此本文采用保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)將方程(1)變換為整數(shù)階微分方程后再進(jìn)行求解.保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[11]為:

(2)

其中f:(0,∞)→R,t>0.

當(dāng)α= 1時(shí),保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為一階導(dǎo)數(shù).一般情況下,當(dāng)0<α≤1且f(t)為含變量t的單項(xiàng)式分?jǐn)?shù)階函數(shù)時(shí),保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為:

(3)

(4)

利用中值定理可證明式(4)成立,即:

1.2 G′/G展開法及其求解步驟

G′/G展開法[14]是一種借助輔助函數(shù)求解方程孤立波解的方法,其不僅具有求解步驟清晰的優(yōu)點(diǎn),而且得到的解的種類和數(shù)量較多.為了進(jìn)一步提高G′/G展開法的應(yīng)用,近年來一些學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn),如提出了修正的G′/G展開法[15]、擴(kuò)展的G′/G展開法[16]和1/G展開法[12-13]等.由于1/G展開法在求解非線性偏微分方程時(shí)具有求解步驟簡潔以及求解效果相對更好的優(yōu)點(diǎn),因此本文采用該方法來求解時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程(1)的解.

考慮如下具有變量x=(x1,x2,…,xl,t)的非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程:

(5)

(6)

其中m1,m2,…,ml∈R為任意常數(shù),c為波速.根據(jù)式(6)可將式(5)變換為如下常微分方程:

F1(φ,φ′ξ,φ″ξξ,…)= 0,

(7)

其中φ′ξ、φ″ξξ等分別表示對共同變量ξ的求導(dǎo).設(shè)方程(7)的解為1/G(ξ)的有限次冪級數(shù),即:

(8)

其中:系數(shù)ai(i= 0,1,2,…,n)為待定常數(shù),且an≠0,正整數(shù)n由平衡式(7)中含最高階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)和具支配地位的非線性項(xiàng)的次數(shù)來確定;G(ξ)由方程(9)來確定.

G′(ξ)+λG(ξ)+1= 0,

(9)

其中λ是常數(shù)(λ≠0).

將式(8)代入式(7)后利用式(9)將式子左邊化為1/G(ξ)的多項(xiàng)式形式,再通過合并[1/G(ξ)]i的同類項(xiàng)(i= 1,2,…,n)和令1/G(ξ)的各次冪項(xiàng)的系數(shù)為0即可得a0,a1,a2,…,an,c,λ的代數(shù)方程組.解該代數(shù)方程組后,將其結(jié)果代入式(8)中即可得到用1/G(ξ)表示的方程(5)行波解的一般形式.

2 方程(1)的孤立波解

(10)

通過平衡式(10)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)φ″ξξ和最高階非線性項(xiàng)φ2的次數(shù)可知,式(8)中的n= 2.由此可知方程(10)的解等價(jià)于方程(1)的解,即:

(11)

于是再由式(9)可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由于a2≠0,λ≠0,因此通過求解由式(14)—(18)聯(lián)立的方程組可得如下幾組解:

(19)

(20)

(21)

(22)

其中:解(19)、(20)需d與c2-m2為同號且都不為0,解(21)、(22)需d與c2-m2為異號且都不為0.

將解(19)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得方程(1)的解為:

(23)

(24)

由于雙曲正切、雙曲余切函數(shù)是奇函數(shù),因此將解(20)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到與式(23)、(24)分別相同的方程(1)的2個(gè)解.將解(21)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到方程(1)的如下2個(gè)解:

(25)

(26)

類似于上述方法,將解(22)代入式(11)后再結(jié)合式(9)可得到方程(1)的如下2個(gè)解:

(27)

(28)

注1在解(23)、(24)中,x、t是變量,參數(shù)d、e、c、m為非0的任意常數(shù),d與c2-m2為同號;在解(25)—(28)中,參數(shù)d、e、c、m為非0的任意常數(shù),d與c2-m2為異號;0<α≤1.

3 解的相圖分析

由上述求解方程(1)的過程可知,本文利用1/G展開法得到了8個(gè)孤立波解.但由于雙曲正切、雙曲余切函數(shù)是奇函數(shù),因此使得其中的2個(gè)解(通過奇偶變換后所得的解)與式(23)、(24)所表示的解相同,所以在結(jié)果中只顯示了6個(gè)解.將本文所得的解與文獻(xiàn)[5-11]中的解進(jìn)行對比可知,其結(jié)果是不同的.為了驗(yàn)證本文所得解的有效性,本文給出了解的相圖.由于解(23)、(25)的圖形類似于解(27)的圖形,解(24)、(26)的圖形類似于解(28)的圖形,因此本文在此僅給出解(27)和(28)的圖形(見圖1和圖2).

(a) x∈(-3,3), t∈(0,3) (b) x∈(-10,10), t∈(0,10)圖1 參數(shù)d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時(shí)解(27)在不同區(qū)間下的三維圖像

(a) x∈(0,3), t∈(0,3) (b) x∈(0,30), t∈(0,30)圖2 參數(shù)d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時(shí)解(28)在不同區(qū)間下的三維圖像

由圖1(孤立波圖)可以看出,圖中的“孤立子”數(shù)量隨變量區(qū)間的增大而減少,其原因是當(dāng)區(qū)間變大時(shí)許多小的“孤立子”在高大的“孤立子”的襯托下不易顯現(xiàn)(但當(dāng)區(qū)間縮小和圖形放大時(shí),“孤立子”會明顯顯現(xiàn)).由圖2(扭曲波圖)可以看出,扭曲波并未隨變量區(qū)間的增大而發(fā)生明顯的變化(除圖形“變陡”外),其原因是扭曲波在傳播時(shí)具有較好的穩(wěn)定性.

4 結(jié)論

本文利用1/G展開法和保形分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義對一類時(shí)間-空間分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程進(jìn)行了求解,并得到了該方程的一些精確行波解(包含孤立波解和扭曲波解).利用Maple軟件對部分解的不同大小區(qū)間的三維圖進(jìn)行分析及數(shù)值模擬表明,所求得的這些解都是有效的.本文研究表明,1/G展開法是一種較為有效的求解非線性偏微分方程的方法,它可以求得方程的孤立波解和扭曲波解等行波解.