姜露

【摘要】圖形折疊是中考考查的重點(diǎn)，通常從綜合視角命題，解析時(shí)需理清折疊過(guò)程，結(jié)合折疊特性來(lái)構(gòu)建模型，展開思路，同時(shí)合理處理其中的關(guān)聯(lián)知識(shí)，結(jié)合幾何性質(zhì)定理逐步剖析.本文以2022年江蘇省中考題為例，開展問(wèn)題探究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；圖形折疊；拋物線

折疊是幾何的三大運(yùn)動(dòng)形式之一，也是中考考查的重點(diǎn)，實(shí)際命題中并不單一考查折疊性質(zhì)，通常與其他知識(shí)相融合，如二次折疊與規(guī)律探究、折疊與動(dòng)點(diǎn)、折疊與函數(shù)曲線等，下面以江蘇省各市中考題為例，進(jìn)行圖形折疊考查探究.

1二次折疊特性探究

例1（2022年揚(yáng)州市中考卷第17題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).如圖1，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D；第2次折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)P.若BC=12，則MP+MN.

解三角形紙片ABC第1次折疊使得點(diǎn)B落在BC邊上的點(diǎn)B′處，折痕AD交BC于點(diǎn)D，

可推得BD=DB′=12BB′，且有AD⊥BC.

第2次折疊使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，折痕MN交AB′于點(diǎn)P，

可推得AM=DM，MN⊥AD，

所以MN⊥AD，則MN∥BC.

又知AM=DM，則MN為△ADC的中位線，

可得MP=12DB′，MN=12DC.

因?yàn)锽C=12，BD+DC=CB′+2BD=BC，

則MP+MN=12DB′+12DC

=12DB′+DB′+B′C=12BC=6，

即MP+MN=6.

評(píng)析上述考題的特殊之處在于以操作活動(dòng)的形式開展三角形二次折疊探究，關(guān)注折疊過(guò)程，總結(jié)圖形特性是重點(diǎn).具體探究時(shí)將兩次折疊的特性串聯(lián)，充分挖掘圖形性質(zhì)，提取其中的中位線.

2折疊與動(dòng)點(diǎn)探究

例2（2022年蘇州市中考卷第16題）如圖2所示，在矩形ABCD中ABBC=23.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN.動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為v1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且v1<v2.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N.若在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好與CD的中點(diǎn)重合，則v1v2的值為.

解在矩形ABCD中，已知ABBC=23，

可設(shè)AB=2a，BC=3a，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

則CD=AB=2a，AD=BC=3a，

BN=v2t，AM=v1t.

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到了四邊形MA′B′N，由折疊特性可得B′N=BN=v2t，A′M=AM=v1t.

在某一時(shí)刻，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好與CD的中點(diǎn)重合，則DB′=B′C=a.

在Rt△B′CN中，B′C=a，B′N=v2t，CN=3a－v2t，

分析可證△EDB′∽△B′CN，（E為A′B′與AD的交點(diǎn)）

結(jié)合相似性質(zhì)，由勾股定理可得DE=34a=A′E.

進(jìn)一步分析可證△A′EM≌△DEB′（ASA），

可推得A′M=B′D=a，即AM=v1t=a.

則v1v2=v1tv2t=AMBN=a53a=35.

評(píng)析上述將矩形折疊與動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合，雙動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行了矩形折疊.上述解析過(guò)程中將速度比值轉(zhuǎn)化為線段比值，并將運(yùn)動(dòng)條件轉(zhuǎn)化為線段條件，聯(lián)合折疊特性來(lái)構(gòu)建線段關(guān)系.對(duì)于折疊中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，設(shè)定時(shí)間條件化動(dòng)為靜是核心策略.

3折疊與拋物線探究

例3（2022年宿遷市中考卷第28題）如圖3，二次函數(shù)y=12x2+bx+c與x軸交于O （0，0），A（4，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC，若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，線段A′C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O、A點(diǎn)不重合.

（1）試求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證△OCD∽△A′BD；并求DBBA的最小值；

（3）當(dāng)S△OCD=8S△A′BD時(shí)，試求直線A′B與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

解（1）簡(jiǎn)答，二次函數(shù)表達(dá)式為y=12x2－2x.

（2）先由折疊特性可知△ABC≌△A′BC，再證△OCD∽△A′BD；

DBBA的最小值為22.

（3）因?yàn)镾△OCD=8S△A′BD，則S△OCDS△A′BD=8，

又知△OCD∽△A′BD，

則OCA′B=8=22，

其中OC=22，則A′B=AB=1，

可得點(diǎn)B（3，0），

求得直線BC的解析式為y＝2x-6.

設(shè)點(diǎn)A′（p，q），線段A′A的中點(diǎn)為（p+42，q2），中點(diǎn)在直線BC上，

故q2=2×p+42－6，可解得q=2p－4.

可推得A′B=（p－3）2+（2p－4）2=1，

整理可得（p－3）2+（2p－4）2=1，

可解得p=2或p=125.

當(dāng)p=2時(shí)，此時(shí)A′（2，0），顯然不符合題意；

當(dāng)p=125時(shí)，此時(shí)A′（125，45），符合題意，

求得直線A′B的解析式為y=－43x+4，與拋物線的解析式聯(lián)立，可求得直線A′B與的二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+2193或2－2193.

評(píng)析上述將拋物線與折疊相融合，考查學(xué)生綜合處理問(wèn)題的能力.對(duì)于函數(shù)曲線背景中的折疊問(wèn)題，核心解法為數(shù)形結(jié)合，同時(shí)需關(guān)注其中的兩點(diǎn)：一是折疊前后組合成軸對(duì)稱圖形，涉及相似、全等、中點(diǎn)特性；二是折疊圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于折痕對(duì)稱，且連線的中點(diǎn)必然位于折痕所在直線上.

4結(jié)語(yǔ)

上述問(wèn)題呈現(xiàn)了折疊知識(shí)綜合考查的常見形式，立足折疊過(guò)程與特性，與幾何、動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合構(gòu)建綜合性問(wèn)題.問(wèn)題突破需關(guān)注折疊過(guò)程，理清對(duì)應(yīng)點(diǎn)，把握對(duì)稱、全等特性來(lái)推導(dǎo)位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系.同時(shí)解題過(guò)程充分利用數(shù)形結(jié)合、模型構(gòu)建等思想方法，提升解題直觀性.