胡維漢
【摘要】解答幾何題要注意對(duì)習(xí)題之間的聯(lián)系,聯(lián)想已解決的數(shù)學(xué)問題,聯(lián)想圖形結(jié)構(gòu),作出合適的輔助線,再進(jìn)行推理、運(yùn)算、解答.同時(shí)應(yīng)進(jìn)一步挖掘題目的變式,將數(shù)學(xué)思想方法與基本經(jīng)驗(yàn)合理應(yīng)用.這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力,發(fā)展學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí).
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);幾何填空題;解題
1題目呈現(xiàn)
例如圖1,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,延長BD至E,若DE=AD,∠ABC=82°,∠BAC=79°,則∠BEC的度數(shù)為 .
2試題解答
分析利用角平分線和60°及DE=AD,將△ABC沿BD翻折得到△HBD,進(jìn)一步得到∠HDC=60°=∠CDE,再證△CDH≌△CDE.
解析截長法
如圖2,在BC上截取BH=AB,連接DH.
在△ABD和△HBD中,BH=AB,∠ABD=∠HBD,BD=BD,
所以△ABD≌△HBD(SAS),
則∠BHD=∠BAC=79°,DH=DA=DE,∠BDH=∠BDA=60°,
所以∠HDC=60°=∠CDE,
因?yàn)镃D是公共邊,得△CDH≌△CDE(SAS),
所以∠BEC=∠CHD=180°-∠BHD=180°-79°=101°.
3變式探究
訓(xùn)練1如圖3-①,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,點(diǎn)P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別為∠BAC,∠ABC的角平分線.求證:BQ+AQ=AB+BP.
法1如圖3-①,設(shè)BQ和AP相交于點(diǎn)M,易知BM=BP.分析結(jié)論需證AB+BP=BQ+AQ,即證AB=AQ+MQ,這是常見題型.在AB上截取AD=AQ,易證△ADM≌△AQM,所以AQ=AD,故需再證MQ=BD.而MQ=MD,所以只需證BD=DM,即證∠DBM=∠DMB=40°,這是不難的.
法2如圖3-②,易證BQ=QC,所以需證AB+BP=AC.延長AB到點(diǎn)D,使BP=BD.連接DP,再證△DAP≌△CAP即可.
法3如圖3-③,因需證AB+BP=AC,故延長CB到點(diǎn)D,使DB=BA,連接DA,故需證DP=AC.事實(shí)上,DP=DA且DA=AC.
讀者不妨自己試試寫出具體證明過程.
訓(xùn)練2如圖4-①,在△ABC中,∠ABC=120°,∠ABC的平分線B從交AC于點(diǎn)M,∠BCA的鄰補(bǔ)角的平分線CP交AB的延長線于點(diǎn)P,連接MP交BC于點(diǎn)K,求∠AKM的度數(shù).
分析本題圖形復(fù)雜,隱藏有多個(gè)角平分線的結(jié)論,由條件逐一分解圖形.
如圖4-②,延長MB得到射線MQ,由∠ABC=120°可得∠ABM=∠MBC=∠CBP=∠QBP=60°.
可知BP、CP是△BMC的兩外角平分線,交點(diǎn)是P,又“三角形的兩外角的平分線與第三個(gè)內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)”,連接PM,在圖4-③中∠BMP=∠CMP.
觀察圖4-④,△ABM的兩外角平分線交于點(diǎn)K,得∠BAK=∠KAM.
觀察圖4-⑤隱藏有“一內(nèi)角與一外角平分線的夾角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半”結(jié)構(gòu)圖,易知∠AKM=12∠ABM =30°.
解如圖4-⑥,過點(diǎn)P作PD⊥BM于點(diǎn)D,PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥AC于點(diǎn)F.
因?yàn)椤螪BP=∠ABM=120°×12=60°,
∠PBC=180°-120°=60°.
所以∠DBP=∠PBC,所以DP=PE.
因?yàn)椤螧CP=∠FCP,
所以PE=PF,
所以∠BMK=∠CMK.
又過點(diǎn)K作KG⊥AB于點(diǎn)G,KH⊥BM于點(diǎn)H,KI⊥AC于點(diǎn)I,
所以KH=KI.
因?yàn)椤螹BC=∠CBP=60°,
所以KH=KG,
所以KI=KG,
所以∠BAK=∠KAM.
因?yàn)椤螧MC=∠ABM+∠BAM,
所以2∠KMI=∠ABM+2∠KAM.
所以∠ABM=2(∠KMI-∠KAM).
而∠AKM=∠KMI-∠KAM,
所以∠AKM=12∠ABM=12×60°=30°.
4結(jié)語
在平時(shí)的課堂教學(xué)中,教師要善于利用解題經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,恰當(dāng)?shù)匾搿拜o助問題”,通過一個(gè)簡單問題的解答,對(duì)涉及的知識(shí)和方法進(jìn)行歸納和提煉,并與當(dāng)前問題進(jìn)行對(duì)比,這些基本圖形以何種形式對(duì)接,有效接洽,某條線段或某個(gè)角是哪些圖形的公共元素,用什么方法解出,這樣不斷比較類比,直至問題解決.這樣,在解答問題中,學(xué)生經(jīng)歷分析過程、思考過程、運(yùn)算過程、推理過程,積累經(jīng)驗(yàn),感悟數(shù)學(xué)思想和解題策略.讓學(xué)生在知識(shí)與技能的實(shí)際環(huán)境中加以應(yīng)用,交流共享,進(jìn)而形成能力,為學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).