范文豹

初中教育階段作為國民教育的重要組成部分，每一個科目對學(xué)生而言都具有重要的意義，不僅可以為學(xué)生將來的深度學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時還是學(xué)生將來參與工作的文化知識儲備來源。數(shù)學(xué)科目是學(xué)生認(rèn)識世界了解世界的基礎(chǔ)科目，教師的教學(xué)方法要與學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)互相融合，有效發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的千變?nèi)f化，以及對生活的具體影響。教師也要不斷反思和總結(jié)，持續(xù)優(yōu)化教學(xué)模式，為學(xué)生構(gòu)建高效的初中數(shù)學(xué)課堂。本文將從不同角度詳細(xì)闡述初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何采取數(shù)形結(jié)合思想的具體措施，希望能夠?yàn)橄嚓P(guān)教師帶來幫助。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想的意義

（一）有助于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

雖然初中階段的學(xué)生在智力發(fā)展上已經(jīng)和成人基本相同，但是在學(xué)習(xí)知識時，興趣依然占主導(dǎo)地位，有較高的興趣牽引，學(xué)習(xí)效果也會得到有效提升。而使用數(shù)形結(jié)合思想，就能達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的，這是由于數(shù)學(xué)知識往往有著復(fù)雜性和邏輯性的特點(diǎn)，在學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系、集合問題、數(shù)列問題等知識時，不少學(xué)生也會出現(xiàn)畏難心理，采用數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生在短時間內(nèi)快速找到解題思路，從而增強(qiáng)學(xué)生的自信心。

（二）有助于加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維

正確的數(shù)學(xué)思維是學(xué)生能夠快速學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，有效消化數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合思想就是學(xué)生從數(shù)學(xué)思維角度出發(fā)，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生將形象思維轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄筮壿嬎季S，這樣才能適應(yīng)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。不管是將數(shù)字轉(zhuǎn)換成圖形，還是將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)字，都能夠鍛煉學(xué)生大腦的靈活反應(yīng)能力，并且，學(xué)生還可以對所有知識進(jìn)行篩選和整合，從而形成良好的數(shù)學(xué)思維。教師也會借助各種各樣的教學(xué)方法，組織豐富多彩的教學(xué)活動，不斷體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢。

（三）有助于降低數(shù)學(xué)難度

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有很多概念性知識，公式以及定理性知識，學(xué)生要想靈活使用，首先就要對這些知識進(jìn)行全面了解，知道它們的推導(dǎo)方式以及應(yīng)用變式。但這些內(nèi)容無疑會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)難度，很多學(xué)生會產(chǎn)生畏難心理，甚至放棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。針對這樣的現(xiàn)象，教師就可以借助數(shù)形結(jié)合思想，用各種幾何圖形幫助學(xué)生了解公式的具體使用方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路，逐步讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。如果學(xué)生能夠?qū)W會熟練使用數(shù)形結(jié)合思想全面思考問題，就會減少出錯率。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原則

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)形結(jié)合思想，也要遵循一定的原則，這是由于數(shù)字和圖像都有各自的特點(diǎn)，只有將二者特點(diǎn)互相融合，才能夠更好地方便學(xué)生理解。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想并不是可以應(yīng)用在每個地方，應(yīng)當(dāng)針對數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率為主，避免過分使用數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生產(chǎn)生心理負(fù)擔(dān)，為此，教師在使用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)時，應(yīng)遵循以下三個原則：

（一）等價原則

等價原則是數(shù)形結(jié)合思想使用的基本原則，這是由于數(shù)形結(jié)合思想方法的使用需要滿足一定的條件，即在某個數(shù)學(xué)問題中，既有數(shù)字的形式，這一數(shù)字形式也可以轉(zhuǎn)化成圖形的形式，此時才可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將代數(shù)轉(zhuǎn)化成幾何或者將幾何轉(zhuǎn)換成代數(shù)，二者需要具有某一條件的等價性。如果不相等，二者是不可以轉(zhuǎn)化的。為此，教師在引導(dǎo)學(xué)生分析問題時，也要從嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性等多個角度入手，思考數(shù)字是否能夠真正轉(zhuǎn)化成圖形信息。例如，在講授數(shù)軸的相關(guān)內(nèi)容時，就可以初步引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想，教師可以放慢講解速度，讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用條件，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都代表著不同的數(shù)字，數(shù)字和點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系就是數(shù)與形之間的等價關(guān)系。每次使用數(shù)形結(jié)合思想時，教師都可以讓學(xué)生先思考數(shù)字和圖形之間是否有等價關(guān)系，只有滿足這一關(guān)系，才能夠進(jìn)行下一步的計(jì)算，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性。

（二）雙向原則

雙向性原則是指很多初中數(shù)學(xué)問題不僅可以從數(shù)字轉(zhuǎn)換成圖形，也可以從圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)字，二者是互相聯(lián)系的，也因此數(shù)形結(jié)合思想可以借助雙向原則達(dá)到互相轉(zhuǎn)換。有些數(shù)學(xué)問題可以通過將數(shù)字轉(zhuǎn)換成圖形，繼而得到答案，而有些數(shù)學(xué)問題不僅需要把數(shù)字轉(zhuǎn)化成圖形，還需要把圖形轉(zhuǎn)換成數(shù)字，在具體使用時，教師要讓學(xué)生真正把握好數(shù)量之間的關(guān)系。例如在平方差與完全平方公式的推導(dǎo)過程中，就可以使用代數(shù)法則的多項(xiàng)式乘法法則，也可以使用四邊形面積的變化，讓學(xué)生理解每個數(shù)值之間的邏輯關(guān)系，當(dāng)學(xué)生了解了雙向原則后，在使用數(shù)形結(jié)合思想時也會更加容易。

（三）簡潔原則

學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想最根本的目的是簡化解題思路，快速找到解題方向，如果使用數(shù)形結(jié)合思想會為學(xué)生帶來負(fù)擔(dān)，那么這一思想的使用就會出現(xiàn)問題。教師要使學(xué)生明白，不同的問題會有很多種方法解決，要從多種方法中找出最有效的一種，這一種可能是數(shù)形結(jié)合思想，也可能是其他思想。例如，在講解二元一次方程組時，從代數(shù)的角度可以用加減消元法或者代入消元法，從幾何的角度可以畫出方程的一次函數(shù)圖像，再找到交點(diǎn)或者坐標(biāo)，學(xué)生使用哪種方法都可以，按照自己的興趣和愛好，只要能夠快速解答題目即可。教師也應(yīng)當(dāng)根據(jù)每個學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)或者學(xué)習(xí)能力，有針對性地為學(xué)生講解各種學(xué)習(xí)方法。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)有策略

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念形成

初中數(shù)學(xué)在最初學(xué)習(xí)時有很多概念知識，在講解這些知識時，如果學(xué)生只采用死記硬背的形式，難以形成深刻的理解，并且作為起點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師也要教授學(xué)生必要的方法，避免學(xué)生產(chǎn)生畏難心理。為此教師可以充分借助數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生從多個角度了解數(shù)學(xué)概念的具體形成和使用時的具體特征，這樣不僅可以把數(shù)學(xué)概念變得更加簡單和形象，同時還能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

例如，在講解人教版七上“相反數(shù)”時，教師首先可以在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)邀請兩名學(xué)生上臺參與游戲，兩個學(xué)生分別站在教師的左右兩邊，距離教師兩步遠(yuǎn)，教師可以提出以下問題：現(xiàn)在規(guī)定向右為正，那么向右走兩步，向左走兩步分別記作什么？兩個學(xué)生沒有走路時所站立的點(diǎn)是原點(diǎn)，然后采用數(shù)軸知識將這一問題進(jìn)行標(biāo)注。然后教師可以讓學(xué)生觀察這一數(shù)軸，用2和-2分別表示出來。最后，教師讓學(xué)生用自己的話語說一說，這兩個數(shù)有什么特點(diǎn)？學(xué)生看到符號之后（圖1所示），會說兩個數(shù)字在數(shù)軸上的位置各不相同，并且相反。然后教師再為學(xué)生講解相反數(shù)這一概念，學(xué)生就會很容易理解，并且對這一概念也會形成深刻記憶。教師繼續(xù)讓學(xué)生在數(shù)軸上找出其他的相反數(shù)，例如3與-3，4與-4等。最后，教師可以提出以下三個問題：第一，數(shù)軸上每對數(shù)的點(diǎn)有什么相同之處和不同之處？第二，每對數(shù)有什么特點(diǎn)？第三，兩個點(diǎn)的位置有什么規(guī)律？當(dāng)學(xué)生回答完這些問題后，教師可以為學(xué)生總結(jié)出相反數(shù)的概念和特征。由此可見，借助數(shù)形結(jié)合思想，不僅可以降低學(xué)生的思考難度，同時還會讓課堂氛圍變得輕松愉悅，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果也會不斷提升。

圖1

（二）使用以數(shù)解形思想，代數(shù)解決幾何問題

用代數(shù)知識解決幾何問題，也是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用范圍。如果圖形太簡單，只通過肉眼觀察難以找到隱含信息或者找不到規(guī)律時，教師就可以將圖形知識轉(zhuǎn)化成數(shù)字，為學(xué)生進(jìn)行講解。例如，邊長的知識或者角度的知識等都可以使用數(shù)形結(jié)合思想，在用代數(shù)解決幾何問題時，學(xué)生也要在教師的引導(dǎo)下學(xué)習(xí)這一思想的精髓所在。

例如，在講授人教版八上“三角形”一課時，把三角形從代數(shù)轉(zhuǎn)化成幾何圖形，可以判斷出三角形的形狀，學(xué)生可以掌握三角形邊與邊之間，邊和角之間的相關(guān)關(guān)系，在理論知識學(xué)習(xí)完之后，教師可以出示如下題目：已知a、b、c是三角形ABC的三個邊（圖2所示），并且方程b（x2-1）-2ax+c（x2-1）=

0，不存在實(shí)數(shù)根，請判斷三角形ABC的形狀。在解答這一問題時，教師可以讓學(xué)生分析，本道題目只給出了一個方程這一個條件，如果只看方程難以找到解題思路，此時就可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形關(guān)系。具體解法如下：

首先，對原方程進(jìn)行整理，最后得出（c+b）x2-2ax+（c-b）=0，但這個方程沒有實(shí)數(shù)根，所以三角形=4a2-4（c+b）（c-b）=4（a2+b2-c2）小于零，因此可得出a2+b2-c2小于零，最后再整理得出a2+b2小于c2，由此可見，三角形ABC中A邊的平方和b邊的平方之和小于c邊的平方，則該三角形是鈍角三角形。整個解題過程，學(xué)生看似是在解方程，但方程最終是指向圖形的判斷，這樣就可以把代數(shù)知識和幾何知識互相融合，經(jīng)常進(jìn)行這樣的練習(xí)，學(xué)生也會在解答方程的過程中思考幾何圖形之間的關(guān)系，對三角形三個邊的相關(guān)內(nèi)容也能增加了解，加強(qiáng)記憶。

圖2

（三）通過數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生解題能力

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，學(xué)生要學(xué)習(xí)很多解題方法，并且達(dá)到逐步解題的目的，因此數(shù)形結(jié)合思想的使用，常常與解題有著緊密的聯(lián)系，教師在為學(xué)生講解例題時，可以為學(xué)生展示數(shù)形結(jié)合思想如何應(yīng)用，長期進(jìn)行這樣的練習(xí)，學(xué)生也會試著主動使用數(shù)形結(jié)合思想，從而掌握更多的解題技巧。例如，在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)內(nèi)容時，教師就可以借助數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生進(jìn)行講解。圓的相關(guān)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，常常在考試中作為壓軸題目出現(xiàn)。因此，教師在講解這部分內(nèi)容時，一定要重視學(xué)生的解題思路，首先，對學(xué)生進(jìn)行概念講述，然后利用多媒體幫助學(xué)生厘清整個解題過程的思路，教師可以為學(xué)生展示如下題目：

小剛在紙上畫了一個三角形，這個三角形是直角三角形，頂點(diǎn)是C，已知AC長度為3cm，BC長度為4cm，畫完之后，小剛想用C做圓心，畫一個圓，半徑為r，請思考，這個圓與AB有什么關(guān)系？單看題目，學(xué)生會覺得非常繞口，但如果能夠把這些數(shù)量關(guān)系畫成圖形，相信就能夠一目了然。教師可以讓學(xué)生按照以下步驟作畫，首先在紙上畫出三角形ABC，AC的長度標(biāo)為3cm，BC的長度標(biāo)為4cm，然后使用圓規(guī)畫圓，學(xué)生把圓畫出之后就能感受到畫出的這個圓會與AB有三種關(guān)系，教師再引導(dǎo)學(xué)生對這三種關(guān)系進(jìn)行描述，選擇若干學(xué)生上臺進(jìn)行展示，學(xué)生就會如下進(jìn)行說明：

第一種情況，相交。如果畫出的圓半徑r大于2.4cm，則圓C與AB的位置是相交。

第二種情況，相切。如果畫出的圓半徑r等于2.4cm，則圓C與AB的位置是相切。

第三種情況，相離。如果畫出的圓半徑r小于2.4cm，則圓C與AB的位置是相離。

由此可見，學(xué)生可以有效借助數(shù)形結(jié)合思想，把題目中復(fù)雜的關(guān)系變得更加明朗，從而達(dá)到快速解題的目的。

（四）通過數(shù)形結(jié)合思想，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容

處于初中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)知識更加快速，在理解和消化時會有更高的求知欲，教師若只為學(xué)生講解教材中的內(nèi)容，難以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，甚至還會使學(xué)生感到枯燥。此時，教師就可以為學(xué)生拓展課外學(xué)習(xí)資源，讓數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用得更加廣泛，從而使學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的樂趣所在。

例如，在學(xué)習(xí)人教版八下“勾股定理”一課教學(xué)時，雖然教材中已經(jīng)講述了勾股定理的具體內(nèi)容，但學(xué)生并不了解如何具體使用，教師可以為學(xué)生講解各種例題，充分借助多媒體技術(shù)為學(xué)生展示各種圖片資料，文字資料和其他資料，輔助學(xué)生了解勾股定理的具體使用。首先為學(xué)生展示一個網(wǎng)格圖，在網(wǎng)格的一旁進(jìn)行標(biāo)注，網(wǎng)格的邊長為1厘米，正方形b的面積為1平方厘米，正方形a的面積為4平方厘米，問由正方形的對角線組成的正方形的面積是多少？針對這一問題教師可以鼓勵學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行猜測和計(jì)算。學(xué)生會想到三角形和正方形之間的關(guān)系，以及三角形三條邊之間的關(guān)系，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，正方形與三角形之間的聯(lián)系可以看作是勾股定理，借助這類例題，學(xué)生能夠在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下，快速掌握知識，拓展學(xué)習(xí)思維。

四、結(jié)語

綜上所述，作為初中數(shù)學(xué)教師，首先應(yīng)當(dāng)意識到，在課堂上為學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性，其次，要根據(jù)每個學(xué)生的具體學(xué)習(xí)狀態(tài)，學(xué)習(xí)能力，有針對性地將數(shù)形結(jié)合思想與教材內(nèi)容互相融合，從多個角度入手鍛煉學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生舉一反三，融會貫通，實(shí)現(xiàn)能力的提升。