【摘?要】?“大容量、快節(jié)奏、高密度、滿堂灌、滿堂問”的數(shù)學課堂催生了大批跟不上、聽不懂、學不會的學生，數(shù)學課堂留白由此應運而生，近年來更是越來越受到廣大研究者們的青睞.梳理數(shù)學課堂留白的相關研究有助于我們正確認識和把握其研究方向，以期日后研究更加趨于完善.以數(shù)學課堂留白為研究對象，通過對“中國知網(wǎng)”關于中小學數(shù)學課堂留白文獻的分析，研究總結了中小學數(shù)學課堂留白的內涵、研究價值、教學策略以及教學原則，并對未來發(fā)展進行展望，以期把握中小學數(shù)學課堂留白的發(fā)展脈絡，更好地促進數(shù)學課堂留白的進一步研究.

【關鍵詞】?數(shù)學課堂留白;回顧;展望

1?研究緣起

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》基本理念的第3條指出，把握數(shù)學本質，啟發(fā)思考，改進教學[1].那么，如何才能啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質？數(shù)學課堂留白正是落實這個基本理念的重要且有效手段.“三教”教育理念也呼吁數(shù)學課堂要“教思考、教表達、教體驗”，而對于怎么才能教會學生思考、表達和體驗，以及在何處教等問題，課堂留白無疑是回答這些問題的最佳答案之一.隨著教育現(xiàn)代化的發(fā)展，教育教學也逐漸追求藝術化.近些年關于數(shù)學課堂留白的研究也是越來越豐富，但目前幾乎沒有對數(shù)學課堂留白的研究進行系統(tǒng)地梳理的，因此，對課堂留白進行文獻綜述是必要的.一方面，梳理近二十年的數(shù)學課堂留白相關研究，本身就具有重要意義，另一方面，可為后續(xù)研究提供一定理論參考.

2?研究設計

2.1?研究對象

為總結我國中小學數(shù)學課堂留白的研究狀況和主要觀點，在知網(wǎng)上，以檢索條件為：（（（（題名=‘留白）OR（題名=‘空白））OR（題名=‘布白））AND（題名=‘數(shù)學））進行檢索，共搜索到313篇文獻.對發(fā)文年限限定為2000年1月1日至2022年9月27日，再剔除無關文獻后共得到307條記錄.本研究以這307篇文獻作為研究對象.

2.2?研究方法

研究運用文獻研究法對我國中小學數(shù)學課堂留白進行研究，通過內容分析法對其進行質性分析.內容分析法主要是對研究文獻的內容進行分析，透過現(xiàn)象看本質的一種方法，其目的是為了揭示數(shù)學課堂留白研究的隱性內容，最終歸納出研究聚焦點并對未來研究趨勢給出一定展望.

3?我國中小學數(shù)學課堂留白研究的回顧

對前述307篇文獻進行梳理分析，不難得出21世紀以來我國中小學數(shù)學課堂留白研究主要聚焦于其概念界定、研究價值、教學策略、留白原則等方面.

3.1?關于中小學數(shù)學課堂留白的概念界定

對數(shù)學課堂留白進行概念界定，是多數(shù)學者在進行中小學數(shù)學課堂留白研究都不可避免的話題，因為對概念界定的結果影響了其后續(xù)的研究.只有明晰了其本身概念，才有可能做好整個研究，由于數(shù)學課堂留白沒有一個屬于自己的權威界定，所以，對數(shù)學課堂留白是什么進行探討日漸成為首要的問題.

3.1.1?從教學藝術角度進行界定

“留白”雅稱“余玉”，是藝術作品中一種高妙的表現(xiàn)手法.“留白”一詞多與藝術結合在一起使用，被稱為“留白藝術”，是指創(chuàng)作者在作品中有意預留空白之處，為觀者、讀者或聆聽者留下自主想象的空間[2].國內學者對數(shù)學課堂留白的界定多數(shù)是從“留白”出發(fā)，再結合數(shù)學教學中的作用或意義進行的.他們認為教學是一門藝術，數(shù)學教學也應該同其他藝術一樣具有一定藝術性，因此，像留白這樣的藝術手法也適用于數(shù)學課堂教學，所以數(shù)學課堂留白由此而來.國內最早的一篇關于數(shù)學課堂留白研究的是四川省巴中師范附小教師茍宗榮1988年發(fā)表在《小學教學研究》上的數(shù)學教學中的“空白藝術”，該篇文章旨在呼吁數(shù)學教學應該效法運用文學、藝術領域內的“空白藝術”[3].蔡甜甜等認為，數(shù)學課堂留白，是指數(shù)學教師在課堂教學的某些環(huán)節(jié)中，有意留出一定的時間和空間讓學生自主思考、感悟，為學生構建屬于自己的數(shù)學認知結構，從事數(shù)學探究活動，表達對數(shù)學的理解提供機會[2]29.馬茂年等認為，課堂留白是指教師在一定的時空中，針對某一目標，有意留出相當?shù)臅r間和空間讓學生思考，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，讓學生自己構建對數(shù)學的理解[4].

3.1.2?從教學策略角度進行界定

除了把數(shù)學課堂留白當作一種豐富的教學藝術外，還有不少研究者把其看作是一種教學策略，如林建峰傾向把數(shù)學課堂教學留白定義為教師在教學中根據(jù)教學需要，通過提出問題、質疑釋疑、布置作業(yè)等方式給學生留下“空白”，激發(fā)學生主動思考與探究，引起學生的聯(lián)想與創(chuàng)新，引導學生自覺填補空白，從而更好地發(fā)揮學生主體作用的一種教學策略，他認為留白不是把學習內容直接講述給學生[5].也有學者把數(shù)學課堂留白理解為教師從教材內容和實際需要出發(fā)，通過言語激發(fā)、提出問題等方式留下空白，讓學生通過自主的實踐與操作、聯(lián)想與交流、思考與探究來掌握學習內容或解題思路，更好地發(fā)揮學生主觀能動性的一種教學策略[6].

數(shù)學課堂留白無論是作為一種教學策略還是教學藝術，其目的都是為了提高課堂效益，本質是使教師教得少、學生學得多.把數(shù)學課堂留白看成一種教學藝術的研究思想不難理解，一方面，是因為“留白”應用于數(shù)學教學之前本身就作為一種藝術手法而存在于其他領域，所以這是直接借鑒引用了其他學科領域的研究思路;另一方面，目前對于數(shù)學課堂留白進行的很大一部分研究者都是中小學數(shù)學在職教師，所以在他們看來在數(shù)學課堂中“留白”是有經(jīng)驗的老教師才會有的舉措，因為新手教師往往都不敢放手“留白”，所以“留白”是作為一種藝術存在而提高教學的藝術性.把其看作一種教學策略研究也有其合理性.究其原因，一是對“留白”運用于數(shù)學教學中進行了一定改編，而不是一味地生搬硬套;二是由于“留白”在數(shù)學教學中的作用，不僅提高了教學的藝術性，還與數(shù)學教學中的其他策略有著類似的作用.至于是作為教學藝術還是策略，是要根據(jù)實施者而言的.一般而言，對于新手教師，應該更多的把它當成一種策略；對于資深教師，更應把其看作是提高課堂藝術性的一種手法.基于此，研究對數(shù)學課堂留白做出概念界定如下：數(shù)學課堂留白是指在數(shù)學課堂教學過程中，為了引導學生更好地提升數(shù)學素養(yǎng)，教師有意或無意地留出一定的“空白”，促使學生對數(shù)學理解進行自我建構的一種策略或教學藝術.這里的“空白”包括時間、空間等的空白，目的是基于此學生可以形成一個認知缺口，主動補白，當然，補白的過程是在教師引導下進行.

3.2?關于中小學數(shù)學課堂留白的研究價值

數(shù)學課堂留白之所以能夠日漸被廣大研究者所青睞，不僅因為它有“蔡格尼克效應”、建構主義理論、格式塔完形理論、等待時間理論等作為其理論基礎，還因為它具有豐富的理論價值與實踐價值.

3.2.1?課堂留白促進學生的數(shù)學領悟、強化數(shù)學交流，利于學生主觀能動性的發(fā)展

教師在數(shù)學教學中運用留白策略，可以達到“教思考、教表達、教體驗”的目的，在此過程中學生可獲得更多的數(shù)學體驗，從而促進學生數(shù)學理解，也能增進學生的數(shù)學表達能力，進而有效的落實核心素養(yǎng).此外，學生在補白后，還能夠意識到數(shù)學問題是可以通過自己的逐步嘗試解決的，充分認識到“自我”價值，從而增強數(shù)學自信.這有助于激發(fā)學生的內在動力，從而將自己更好的投入課堂學習中，極大地激發(fā)和提升學生的主體意識[4]75.

3.2.2?課堂留白有助于“提質減負”、提高課堂效益，促進學生深度學習

“提質減負”是“雙減”的內在要求，而課堂留白正是落實提質減負的有效策略.課堂留白表面上看是在放慢教學進度，實則慢中有快，與“慢教育”理念不謀而合.它可為學生發(fā)現(xiàn)和提出問題及分析和解決問題創(chuàng)造條件、有效提高學生課堂參與度、有助于學生深度學習實現(xiàn)“少教多學”[2]30.還有助于激發(fā)學生求知欲，調節(jié)課堂節(jié)奏和教學氣氛；減少教師無效勞動，提高教學效率；培養(yǎng)學生獨立思維，提升自我效能感[6]255.

3.2.3?課堂留白為數(shù)學教學提供生長點，更有利于教師的教和學生的學

課堂應該是動態(tài)生成的，不是一成不變的，所以教學不僅要注重預設，同時也不能忽視生成，而在課堂留白處，學生的思維是高度活躍的，為教學的生成提供了有利空間.此外，在留白環(huán)節(jié)中，改變了以往“一言堂”的現(xiàn)象，教師的作用更多的是引導，教學的主體是學生.學生不在是知識的被動接受者，而是主動獲取知識的學習者.

3.3?關于中小學數(shù)學課堂留白的教學策略

在明晰了課堂留白的概念和意義之后，多數(shù)學者會把目光聚焦在數(shù)學課堂留白的教學策略上.研究梳理有關文獻可知，國內關于數(shù)學課堂留白策略的研究是比較豐富的，此處的策略是指在數(shù)學教學中進行課堂留白的技巧.對策略的研究因其分析角度或課堂留白分類方式的不同，所得結果也不同，大部分研究者從課堂留白的形式、時機、內容、以及在教學過程出現(xiàn)的位置等角度進行分析.

3.3.1?數(shù)學課堂留白要有的放矢、因地制宜

數(shù)學教師既要敢于留白，又要有技巧有方法的進行留白.留白要掌握好度，處理好預設與生成、留白過多或過少、教師與學生，以及留白與補白的關系[7].不能僅僅為了留白而留白，還要體現(xiàn)學生主體地位和教師主導作用，考慮學生的數(shù)學現(xiàn)實，留白之后根據(jù)學生反饋情況，給予適當?shù)囊龑?應該是從教學內容、時間、空間出發(fā)，系統(tǒng)、全面、多層次、多角度地設置空白，可以在導入時、銜接時、高潮時、結尾時和板書時留白，創(chuàng)設知識上的、心理上的、板書時的空白[7]40，41[8].

3.3.2?數(shù)學課堂留白要注意留白時機，適時留白

在什么時候留白、在何處留白是研究者們共同關注的問題.從教學行為角度來看，教師可以在導入新課、設問、運算、板書設計、課堂評價、重難點、課堂小結、布置作業(yè)、探究拓展時留白[9][10].從數(shù)學課型的角度來看，概念課、原理課、習題課的留白應是不同的.可以在概念和定理法則引入與鞏固運用環(huán)節(jié)進行留白，在習題課難點、易錯點、一題多解處、一題多變處進行留白.但無論是概念課、原理課、還是習題課，在教學中要結合所教內容，適時留白[11].也有學者綜合了以上觀點，認為留白策略有概念留白、重難點處留白、拓展留白[12].

3.3.3?數(shù)學課堂留白要側重在主問題上留白，有效運用應答的反饋方式

無論是“問題解決”、“情境—問題”還是“問題串”教學，都離不開問題，因此提出好的問題往往成為了教學的關鍵.而一個好的問題應該是課堂上的主問題，即有利于數(shù)學教學中重難點的突破、能夠引起學生的思考、符合最近發(fā)展區(qū)原則的問題.因為一個留有適度空白的問題，更能激起學生靈動而活躍的思考，所以要舍得在這些“主問題”上多花時間，壓縮次要問題的時間，必要時需先作鋪墊，尊重課堂的自然生成，少些刻意雕刻[13][14].避免把時間花在一些無關緊要的問題上.在留白之后還要讓學生能有一個應答反饋，學生可以通過生生交流和師生交流的方式表達自己的困惑以及解決問題的思路、不能只留白，而對于留白后不了了之.

3.3.4?數(shù)學課堂留白要創(chuàng)設良好環(huán)境，適切運用不同留白方式

在進行留白內容的布設時，要創(chuàng)設符合內容的有意義情境，培植出一個靜默的環(huán)境，達到無聲勝有聲的效果[15].根據(jù)留白在講課中出現(xiàn)的形式，數(shù)學課堂留白可分為點睛式留白、遷移式留白、停頓式留白、存疑式留白、評價式留白[16].也有學者把留白方式分為了填補式留白、組合式留白和開放式留白[17].在進行數(shù)學留白教學時，在創(chuàng)設好一個情境后，教師要給學生時間去感悟數(shù)學情境、構建對數(shù)字知識的理解，真正發(fā)揮出數(shù)學情境的價值[18].在利用上述留白技巧時，還要吸收以往教學策略的優(yōu)點，彌補不足，真正讓學生學有所思和學有所獲.

3.4?關于中小學數(shù)學課堂留白的教學原則

課堂留白的價值無疑是相當豐富的，但數(shù)學課堂留白的實施不是隨意的，為保證留白的科學、合理、可行、有效，一些學者也關注到課堂留白應當遵循的如下一些必要的基本原則.

3.4.1?適度原則

教師設置教學空白要根據(jù)課型、知識內容和學生的接受能力靈活安排，適當?shù)亓舫鲆恍┛瞻譡19].教師在進行留白時，難度不宜太大，應當充分考慮學生的身心發(fā)展、學生的數(shù)學現(xiàn)實、知識點本身等因素，使所留之“白”落在學生的最近發(fā)展區(qū)內.當然留白難度不能過于簡單，留白前要考慮這個問題難度是否適宜，是否具有探索性、啟發(fā)性等.

3.4.2?適量原則

適量原則中的量，一方面是指留白的個數(shù)，另一方面是指對于每一處留白，時間的多少.對于留白個數(shù)來說，每一節(jié)課的留白不能一味的追求量，而無厘頭地留大量“白”.留白藝術的運用始終為了促進數(shù)學教學，所以留白設置頻度要恰當，不能為了留白而布白，而要有明確的目的適時、適地、適度地運用布白藝術[20].而就時間上的量而言，應該綜合考慮留白的難度等因素留出恰當時間的量，不宜過多，但也不應太少，最好使其符合“等待時間理論”.

3.4.3?適時原則

適時留白是為了解決教師在何處留白的問題.教師在留白時要注意時機，考慮是否此時留白有助于重難點的突破，是否有助于整個知識體系的建構，教師應當有意識地在數(shù)學課堂的恰當位置運用留白藝術，多給學生思考、探究、表達的機會[2]31.在學生思維逐漸集中階段，是適宜布白的，可以布白于心理空白時、語言空白時、知識空白時[21].

3.4.4?主體性與差異性原則

數(shù)學教師在進行留白時要始終明白學生才是學習的主體，因此在整個過程中教師不應該干涉過多.但同時也應注意，強化學生的主體地位，并非忽視教師的主導作用[22].學生不是空著腦袋進教室的，每一學生具有個體間差異性，因此，教師在進行留白時還要充分考慮學生的差異性，以及各自數(shù)學水平的不同，留白盡量多的滿足大部分學生的學習需求.

4?我國中小學數(shù)學課堂留白研究的展望

研究通過回顧21世紀以來我國中小學數(shù)學課堂留白研究，不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今對于課堂留白的含義、研究價值、留白類型、留白原則等方面的研究是比較豐富全面的，但仍存在許多有進一步待完善和研究的地方.筆者通過總結反思，以下研究方向是值得思考的.

4.1?數(shù)學課堂留白研究要多元化

數(shù)學課堂留白研究多元化，包括研究方法多元化，研究內容多樣化.已有的數(shù)學課堂留白多以文獻研究、訪談調查、錄像研究等方法，今后的研究可借鑒其他數(shù)學教育研究問題或者其他學科的研究方法進行.已有的有關研究內容大多比較單一化，今后的研究可考慮與數(shù)學教育領域的研究熱點或者問題等進行結合.

4.2?加強數(shù)學課堂留白中的“補白”研究

如果把數(shù)學課堂留白劃分為留白前、留白時和留白后三階段，無論是從其概念界定、研究價值，還是研究策略和原則來看，研究者更多關注的是課堂留白前和留白時，忽略了留白后.而留白后的“補白”是數(shù)學課堂留白的應有之意.所以在教學和研究中不僅要關注留白，更要關注補白，補白更有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成.

4.3?彌足數(shù)學課堂留白評價研究、加強實踐研究

研究者們對于數(shù)學課堂留白策略等的研究是豐富的，而對其評價的研究是相對欠缺的.但是對于教育教學過程而言，不能沒有評價，只有有了系統(tǒng)的、完善的評價，才可更好地以評促教、以評促學，使數(shù)學課堂留白發(fā)揮更大的作用.同時課堂留白評價應要從不同角度進行，如：數(shù)學教學中如何區(qū)分課堂留白的合理性，怎樣的課堂留白對學生是有益的[4]81.其評價形式可以把質性評價與量化評價相結合，還應注重過程性評價.現(xiàn)有數(shù)學課堂留白的有關研究大多集中在理論部分，缺乏系統(tǒng)性的實踐研究，所以，這也正是今后應重視的研究方向.

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作者簡介?尹超（1999—），男，貴州遵義人，碩士研究生;主要從事數(shù)學教育研究.