謝春艷 黃娜娜 潘禹辰 徐文彬

【摘?要】?支持代數(shù)推理能力發(fā)展的基礎(chǔ)性與連貫性，是國(guó)外中小學(xué)代數(shù)推理研究的基本特征.具體而言，其代數(shù)推理研究從算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別與聯(lián)系出發(fā)，提出“早期代數(shù)”的可行性，繼而從代數(shù)推理的認(rèn)知分析與發(fā)展策略兩個(gè)方面展開(kāi)深入研究，呈現(xiàn)出理論與實(shí)踐互相補(bǔ)充的大致發(fā)展趨勢(shì).由此，我國(guó)中小學(xué)代數(shù)推理研究應(yīng)該提高對(duì)概念理解的重視程度，考慮代數(shù)推理任務(wù)的連貫性，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展，以改善算術(shù)與代數(shù)教學(xué)割裂的現(xiàn)實(shí)狀況.

【關(guān)鍵詞】?代數(shù)推理；代數(shù)思維；認(rèn)知分析；發(fā)展策略

代數(shù)在不同國(guó)家的現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中基本都處于核心地位，而真正關(guān)注到（低年級(jí)）代數(shù)教學(xué)的重要性是在2000年之后.代數(shù)作為一種解決問(wèn)題的工具，為分析數(shù)量之間的關(guān)系、建立模型以及說(shuō)明和證明提供了一般化的語(yǔ)言和結(jié)構(gòu)，而代數(shù)思維中代數(shù)推理能力的培養(yǎng)是代數(shù)教學(xué)的核心問(wèn)題.國(guó)外代數(shù)推理研究要早于國(guó)內(nèi)，研究成果也較為成熟.本研究試總結(jié)國(guó)外代數(shù)推理研究的主要成果，并為國(guó)內(nèi)相關(guān)研究的開(kāi)展提出若干啟示.

1?研究概貌

在“Web of Science”中以“Algebraic Reasoning”為標(biāo)題進(jìn)行檢索，數(shù)據(jù)庫(kù)選擇SCI-Expanded、SSCI、CPCI-S和CPCI-SSH，截至2022年8月，共檢索到77篇文獻(xiàn)，經(jīng)篩選得到相關(guān)性較高的文獻(xiàn)16篇.同時(shí)在“ERIC”中以“Algebraic Reasoning”為主題詞進(jìn)行檢索，共檢索到419篇文獻(xiàn)，經(jīng)閱讀排除無(wú)關(guān)或低相關(guān)文獻(xiàn)，得到文獻(xiàn)74篇.在相關(guān)中文文獻(xiàn)閱讀過(guò)程中補(bǔ)充了12篇外文文獻(xiàn)，最終以102篇代數(shù)推理研究文獻(xiàn)作為分析對(duì)象，其中，期刊論文64篇，會(huì)議論文30篇，研究報(bào)告8篇.

1.1?年度分布

如圖1所示，國(guó)外的中小學(xué)代數(shù)推理研究自2000年后表現(xiàn)出小幅波動(dòng)的發(fā)展態(tài)勢(shì).期刊論文與會(huì)議論文數(shù)量相差不大，2010年之前以會(huì)議論文及研究報(bào)告居多，這類研究常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育研究、數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究等國(guó)際會(huì)議上；2010年之后期刊論文數(shù)量逐步增加，會(huì)議論文數(shù)量基本持平，“代數(shù)推理”仍然是國(guó)際會(huì)議中關(guān)心的問(wèn)題.與此同時(shí)，更多數(shù)學(xué)教育者對(duì)“代數(shù)推理”的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐展開(kāi)行動(dòng)干預(yù)，給出調(diào)查結(jié)論.

1.2?關(guān)鍵詞分布

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)關(guān)鍵詞的統(tǒng)計(jì)分析（有些文獻(xiàn)資料未寫明關(guān)鍵詞，則根據(jù)摘要與文章內(nèi)容提取關(guān)鍵詞），可將研究主要分為代數(shù)推理的理論研究、代數(shù)推理的認(rèn)知分析以及代數(shù)推理的發(fā)展策略三個(gè)部分.代數(shù)推理的理論研究中，以對(duì)算術(shù)與代數(shù)的基本了解為基礎(chǔ)，進(jìn)一步區(qū)分算術(shù)思維與代數(shù)思維（算術(shù)推理與代數(shù)推理），并提出“早期代數(shù)”的想法.代數(shù)推理的認(rèn)知分析中，可以將關(guān)鍵詞歸為認(rèn)知內(nèi)容、認(rèn)知層次和認(rèn)知困境三類.認(rèn)知內(nèi)容方面，“概念理解”“概念教學(xué)”“乘法思維”“方程”“代數(shù)表達(dá)式”等詞出現(xiàn)頻次較高，是學(xué)生代數(shù)推理思考的重要部分.認(rèn)知層次方面，主要是“評(píng)估”類研究，相對(duì)較少.認(rèn)知困境主要體現(xiàn)在問(wèn)題解決中不同類型問(wèn)題的設(shè)置，語(yǔ)言表達(dá)方式和知識(shí)類型對(duì)學(xué)生理解并完成代數(shù)任務(wù)的影響.代數(shù)推理的發(fā)展策略中，主要關(guān)注教師在代數(shù)推理教學(xué)中所發(fā)揮的關(guān)鍵作用，兼顧教師的教學(xué)觀念、專業(yè)知識(shí)以及教學(xué)技能.

1.3?研究方法

教育研究主要包括理論研究、實(shí)證研究、實(shí)踐研究三種方法.其中，理論研究又可分為演繹研究（先驗(yàn)推理論證）、歸納研究（經(jīng)驗(yàn)推理論證）與類比研究；實(shí)證研究可分為歷史研究、調(diào)查研究與實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)證研究報(bào)告具有完整的問(wèn)題假設(shè)、過(guò)程與方法、結(jié)果與討論；實(shí)踐研究主要表現(xiàn)為日常的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和策略分析.

基于上述分類統(tǒng)計(jì)國(guó)外代數(shù)推理研究的研究方法，發(fā)現(xiàn)其以實(shí)證研究為主（82篇），其次是理論研究（16篇）和實(shí)踐研究（4篇）.實(shí)證研究大多基于已有研究成果的基本觀點(diǎn)進(jìn)一步分析測(cè)試結(jié)果與訪談?dòng)涗?，其中以定性研究居多，因?yàn)榇鷶?shù)推理相比算術(shù)推理更具動(dòng)態(tài)性，需要對(duì)學(xué)生的概念理解、程序技能及問(wèn)題解決展開(kāi)連續(xù)的觀察.另外，實(shí)驗(yàn)研究也是關(guān)注代數(shù)推理能力動(dòng)態(tài)發(fā)展的重要研究方法，尤其在培養(yǎng)教師代數(shù)推理教學(xué)能力的過(guò)程中，研究往往通過(guò)課程干預(yù)的方式，發(fā)展教師的“教學(xué)敏感性”.

2?研究?jī)?nèi)容

根據(jù)前述對(duì)關(guān)鍵詞分析所確定的三大研究?jī)?nèi)容，下面將作具體分析.

2.1?代數(shù)推理的理論研究

與國(guó)內(nèi)研究從邏輯學(xué)角度出發(fā)理解代數(shù)推理不同，國(guó)外研究者多從代數(shù)意義進(jìn)行理解，因此在探究代數(shù)推理的本質(zhì)意義之前，對(duì)算術(shù)與代數(shù)的基本理解在研究中受到重視，而且由此可發(fā)現(xiàn)算術(shù)思維與代數(shù)思維的密切聯(lián)系.

2.1.1?算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

算術(shù)的基本對(duì)象是數(shù)，包括數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算等，而代數(shù)的基本對(duì)象除了數(shù)以外，還有更具廣泛意義的符號(hào)，主要體現(xiàn)為數(shù)的關(guān)系.出于代數(shù)的本體意義和功能意義兩種不同的視角，研究者對(duì)代數(shù)的理解有所不同（詳見(jiàn)表1）.本體意義上，代數(shù)主要包括算術(shù)的一般化、關(guān)系、結(jié)構(gòu)、函數(shù)、模型等；功能意義上，代數(shù)主要在概括描述、規(guī)則操作、問(wèn)題解決程序中體現(xiàn)出特殊的代數(shù)思想和方法.以上雖有不同，但這些理解也體現(xiàn)出，從算術(shù)到代數(shù)的學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為從具體到一般的運(yùn)算，而且學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中也更要懂得代數(shù)的符號(hào)化、形式化、結(jié)構(gòu)化與操作化的特點(diǎn).

要說(shuō)清算術(shù)與代數(shù)的區(qū)別是相對(duì)較難的.從符號(hào)意義來(lái)看，算術(shù)與代數(shù)存在許多相同的符號(hào)，但意義卻大相徑庭，比如對(duì)“等號(hào)”的理解是計(jì)算結(jié)果還是等價(jià)關(guān)系、對(duì)“字符”的理解是傳統(tǒng)的未知數(shù)還是任意一個(gè)數(shù)；從解題活動(dòng)來(lái)看，算術(shù)是面向解決問(wèn)題的答案，而非解決問(wèn)題本身，代數(shù)的解題活動(dòng)重在發(fā)現(xiàn)關(guān)系，操作代數(shù)規(guī)則[6]328.由此可知，兒童在算術(shù)中對(duì)“符號(hào)”“關(guān)系”“關(guān)系的轉(zhuǎn)換”的理解，可能會(huì)影響代數(shù)學(xué)習(xí)，因?yàn)樗阈g(shù)與代數(shù)是緊密聯(lián)系的.兩者的聯(lián)系可以用數(shù)學(xué)概念的二重性理論解釋.抽象數(shù)學(xué)符號(hào)必須基于兩種不同的方法來(lái)思考，一是結(jié)構(gòu)性（視為對(duì)象），二是操作性（視為過(guò)程），而算術(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系，就需經(jīng)歷操作—結(jié)構(gòu)（過(guò)程—對(duì)象）的轉(zhuǎn)換，包括內(nèi)化、壓縮與客體化的過(guò)程，代數(shù)思維與代數(shù)推理體現(xiàn)其中[7]，需要將概念理解、程序技能和解決問(wèn)題的能力融入學(xué)生的早期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)[8].

2.1.2?算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別與聯(lián)系

算術(shù)思維注重利用數(shù)量的計(jì)算得出結(jié)果，聯(lián)結(jié)題目與答案，這個(gè)過(guò)程是程序性的、含情境的，具有特殊性、計(jì)算性的特點(diǎn)；而代數(shù)思維倚重的是關(guān)系的符號(hào)化及其運(yùn)算，聯(lián)結(jié)量與量之間的關(guān)系，這個(gè)運(yùn)算是結(jié)構(gòu)性的、去情境的，具有一般性、形式化的特點(diǎn)[6]327.在算術(shù)思維到代數(shù)思維的過(guò)渡中，兩者可能基于同一套符號(hào)體系，是轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)，但是需意識(shí)到兩者對(duì)符號(hào)的解釋有所不同，對(duì)符號(hào)的使用也存在不同的操作，更涉及觀念的轉(zhuǎn)變.

具體而言，代數(shù)思維的特征主要包括五個(gè)方面.首先，代數(shù)思維的核心是一般化的思想.Kaput認(rèn)為“代數(shù)是算術(shù)推理和定量推理的一般化，代數(shù)是一種句法導(dǎo)向的形式操作”是代數(shù)最關(guān)鍵的基本特征，代數(shù)思維體現(xiàn)一般化與形式化[2]4；Harel和Tall進(jìn)一步指明代數(shù)的一般化主要有擴(kuò)展性一般化、重構(gòu)性一般化與分離性一般化三種類型[9].其次，代數(shù)思維是一種形式的符號(hào)操作，“成功地操作代數(shù)符號(hào)的能力要求我們首先能理解數(shù)學(xué)運(yùn)算和關(guān)系的結(jié)構(gòu)屬性……代數(shù)表征和符號(hào)操作的本質(zhì)特征是它應(yīng)該來(lái)自于對(duì)語(yǔ)義或它所指意義的理解”[10].第三，代數(shù)思維是一種基于規(guī)則的推理，“代數(shù)是一種句法導(dǎo)向的形式操作，此種句法是指代數(shù)規(guī)則”[3]10.第四，代數(shù)思維是一種建?；顒?dòng)，在代數(shù)思維中可通過(guò)模式反映對(duì)象之間的某種規(guī)律，Berlin等人認(rèn)為，從模式入手的課程能夠提升學(xué)生的思考與理解能力，學(xué)生需要從實(shí)際情境中選取素材，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再回到實(shí)際情境以評(píng)價(jià)結(jié)果，從而提升數(shù)學(xué)的真實(shí)感[11].最后，代數(shù)思維是多種推理能力的重要預(yù)測(cè)指標(biāo).有研究指出代數(shù)思維的多面性及其與認(rèn)知能力的關(guān)系，除了類比和歸納等推理形式外，空間推理也是學(xué)生代數(shù)思維能力的重要預(yù)測(cè)指標(biāo)[12].代數(shù)思維的以上五個(gè)特征，就一般思維的意義而言，學(xué)生將發(fā)展抽象概括、概念理解、理性分析、聯(lián)系實(shí)踐和推理能力的思考方法.

在目前的代數(shù)推理研究中，基本確定“代數(shù)推理是一個(gè)過(guò)程，學(xué)生通過(guò)這種過(guò)程來(lái)尋找某些數(shù)學(xué)問(wèn)題或情境的模式，在數(shù)量之間建立關(guān)系，并通過(guò)形式化的象征表征和操縱來(lái)進(jìn)行概括”[13].

2.2?代數(shù)推理的認(rèn)知分析

基于對(duì)算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維的分析，許多研究者繼而關(guān)注學(xué)生在代數(shù)推理方面的認(rèn)知情況.實(shí)際上，教師不僅要提供數(shù)學(xué)材料，還應(yīng)了解學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即他們的認(rèn)知過(guò)程（包括認(rèn)知內(nèi)容、認(rèn)知層次、認(rèn)知困境）[14]，所以關(guān)注這方面的研究很重要.

2.2.1?認(rèn)知內(nèi)容

在確定代數(shù)推理的認(rèn)知內(nèi)容時(shí)，研究者多關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程或軌跡，提出了代數(shù)的“大概念”以及相應(yīng)的“核心概念”，并以此作為代數(shù)思維實(shí)踐的教學(xué)任務(wù)序列.“大概念”主要有：等價(jià)、表達(dá)式、方程和不等式；廣義算術(shù)；泛函思維；變量；比例推理[15].譬如，“喬治亞數(shù)學(xué)與科學(xué)行動(dòng)”（Georgia Initiative in Mathematics and Science，簡(jiǎn)稱GIMS），按照學(xué)段給出了代數(shù)的“Big Ideas”（大概念），每階段代數(shù)推理學(xué)習(xí)的核心思想保持一致，本質(zhì)上都是理解一般化、關(guān)系、結(jié)構(gòu)，區(qū)別在于認(rèn)知對(duì)象范圍的擴(kuò)大以及認(rèn)知階段目標(biāo)的發(fā)展[6]310.結(jié)合其他研究來(lái)看，代數(shù)推理內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要以理解等價(jià)關(guān)系和乘法思維、發(fā)現(xiàn)乘法推理與加法推理的區(qū)別為主，這可能是因?yàn)榈葍r(jià)關(guān)系是代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的依據(jù)，而乘法是理解其他運(yùn)算規(guī)律的基本概念.熟悉以上代數(shù)課程的基本內(nèi)容，可以更好地建立起小學(xué)與初中代數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系，算術(shù)與代數(shù)并非完全割裂的兩部分，如何在算術(shù)中教代數(shù)，體現(xiàn)了對(duì)代數(shù)思維及代數(shù)推理的關(guān)注.

一些研究者從代數(shù)推理能力的要求出發(fā)，結(jié)合完整的代數(shù)推理過(guò)程確定認(rèn)知內(nèi)容.Harper在調(diào)查研究中業(yè)已證實(shí)學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)一些問(wèn)題的回答依次對(duì)應(yīng)每一階段的代數(shù)方法，即“修辭代數(shù)——半符號(hào)代數(shù)——符號(hào)代數(shù)”[16].有研究者提出“戰(zhàn)略代數(shù)推理”的概念，關(guān)注學(xué)生的戰(zhàn)略能力及自適應(yīng)推理，并提出五大能力的代數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容：閱讀和解釋文本，理解問(wèn)題陳述中的故事情節(jié)（背景）；確定數(shù)量和它們之間的關(guān)系（識(shí)別數(shù)量、發(fā)現(xiàn)關(guān)系）；使用數(shù)量之間關(guān)系的代數(shù)表示（生成表示、解釋表示）；精確執(zhí)行計(jì)算和程序并檢查結(jié)果的合理性；提供令人信服的解釋[17].Sarah R. Powell在研究中概括了代數(shù)推理過(guò)程所涉及的三種不同活動(dòng)：代表性的——學(xué)生將口頭信息翻譯成符號(hào)表達(dá)式和方程式，還努力理解數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算和關(guān)系的概念基礎(chǔ)；變革性的——學(xué)生學(xué)習(xí)基于規(guī)則的活動(dòng)，例如因式分解、擴(kuò)展、替換、求解方程和簡(jiǎn)化表達(dá)式；概括和證明——學(xué)生學(xué)習(xí)解決問(wèn)題、建模、注釋結(jié)構(gòu)、證明和預(yù)測(cè)[10]327.以上內(nèi)容也基本概括了多數(shù)研究中代數(shù)推理測(cè)試或代數(shù)推理教學(xué)的過(guò)程，代數(shù)推理支持學(xué)生有機(jī)會(huì)掌握一種代數(shù)的方法來(lái)解決問(wèn)題，在證明推理、使用多種表示的過(guò)程中識(shí)別結(jié)構(gòu)和關(guān)系.

2.2.2?認(rèn)知層次

大型測(cè)評(píng)項(xiàng)目中的研究者傾向于選擇構(gòu)建金字塔評(píng)價(jià)模型來(lái)測(cè)評(píng)代數(shù)推理的認(rèn)知層次，譬如，美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)科學(xué)教育研究中心開(kāi)展的基于情境中的數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)項(xiàng)目（MIC）[19]，但是這類模型對(duì)代數(shù)的內(nèi)容細(xì)化不夠，不足以充分反映代數(shù)推理的特征.還有研究者使用SOLO模型，將代數(shù)學(xué)習(xí)的四個(gè)重要方面（一般特征、模式、表征、變量）與SOLO模型中的四個(gè)水平（前結(jié)構(gòu)、單結(jié)構(gòu)、多結(jié)構(gòu)、關(guān)系）相結(jié)合，最終確定學(xué)生代數(shù)推理學(xué)習(xí)的具體表現(xiàn)，但是，同一個(gè)問(wèn)題情境中往往不止體現(xiàn)代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)方面，代數(shù)推理能力的層次應(yīng)該也體現(xiàn)在多個(gè)代數(shù)概念的聯(lián)結(jié)水平中.此外，澳大利亞RMF Ⅱ項(xiàng)目根據(jù)Rasch分析創(chuàng)建的項(xiàng)目層次結(jié)構(gòu)確定了八個(gè)區(qū)域來(lái)假設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，學(xué)生行為的描述源于對(duì)每個(gè)區(qū)域內(nèi)項(xiàng)目的認(rèn)知需求的考慮[20].這種方式既能細(xì)化代數(shù)內(nèi)容，確定代數(shù)推理的核心概念，又能基于核心概念的學(xué)習(xí)進(jìn)展給出每一階段的層次水平，有助于學(xué)習(xí)者識(shí)別出自己在代數(shù)推理學(xué)習(xí)進(jìn)程中的位置，并基于即時(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，在下一步的學(xué)習(xí)中找到聯(lián)系.

2.2.3?認(rèn)知困境

研究者多通過(guò)問(wèn)卷測(cè)試與訪談來(lái)分析并比較結(jié)果，從而發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致學(xué)生在代數(shù)推理上存在差異的因素，進(jìn)而判斷其認(rèn)知困境.從學(xué)生自身來(lái)說(shuō)，年齡、性別以及認(rèn)知風(fēng)格等方面都是可能的影響因素，所以學(xué)生的學(xué)習(xí)模式應(yīng)該有所不同[21].從代數(shù)問(wèn)題的設(shè)置來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的難易程度、問(wèn)題的類型、未知數(shù)量在問(wèn)題中的位置、問(wèn)題的語(yǔ)言表達(dá)以及有趣的問(wèn)題情境等都會(huì)影響代數(shù)推理的進(jìn)行[22][3]169.解題過(guò)程還會(huì)受到知識(shí)遷移、計(jì)算技巧的掌握、問(wèn)題的求解策略等方面的影響[23][24].究其根本，主要是學(xué)生對(duì)代數(shù)的抽象性和形式化不適應(yīng)，不能熟練運(yùn)用代數(shù)的符號(hào)表征系統(tǒng)和形式規(guī)則，數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)還存在口語(yǔ)挑戰(zhàn)、閱讀挑戰(zhàn)及書寫困難，需要在學(xué)習(xí)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，體會(huì)符號(hào)表達(dá)的重要性[6]339.再者，需要注意的是學(xué)生在代數(shù)推理過(guò)程中，最困難的是對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解.代數(shù)結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，對(duì)習(xí)慣于完成具體化操作的大多數(shù)學(xué)生而言是比較陌生的，因?yàn)樗麄儫o(wú)法觀察整體對(duì)象，如解方程時(shí)使用逆運(yùn)算而非先觀察到方程的整體平衡關(guān)系.

2.3?代數(shù)推理的發(fā)展策略

以上代數(shù)推理認(rèn)知維度的分析，表明了發(fā)展代數(shù)推理需要遵循學(xué)科的發(fā)展規(guī)律、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及教學(xué)規(guī)律，因此在發(fā)展代數(shù)推理的過(guò)程中，“早期代數(shù)”、教師專業(yè)發(fā)展、教學(xué)策略的提出可能有助于學(xué)生獲得較好的代數(shù)推理學(xué)習(xí)效果.

2.3.1?“早期代數(shù)”

經(jīng)過(guò)一定訓(xùn)練的學(xué)生要明顯比沒(méi)有提前滲透代數(shù)內(nèi)容和思想的學(xué)生能更合理地進(jìn)行推理，而在小學(xué)算術(shù)教學(xué)中有效滲透代數(shù)推理是“早期代數(shù)”研究的主要觀點(diǎn)，并在相關(guān)研究項(xiàng)目中得以證實(shí)[25].在“早期代數(shù)”中滲透代數(shù)推理，美國(guó)研究者建議教師可以利用四則運(yùn)算中的逆運(yùn)算和重復(fù)運(yùn)算，在小學(xué)課堂的算術(shù)推理中使用多種表征方式[26]；澳大利亞在小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)中提到了一種“皮特的算法”，是指在計(jì)算“32-5”這一等式時(shí)，不是直接計(jì)算得出答案，而是使用像“32+5-10”這樣的步驟來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)和培養(yǎng)推理能力[27]；新西蘭通過(guò)“學(xué)生數(shù)字運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)”的研究，給出像“47+25=47+3+25-3=50+22”這樣的算式例子，體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)數(shù)字間一般化關(guān)系的理解，不依靠字母或符號(hào)也可以實(shí)現(xiàn)一般化的策略，這種方法也被表示為“準(zhǔn)變量表達(dá)式”[28].不管是可逆性變換，還是借用多種語(yǔ)用表達(dá)或外部模型，都體現(xiàn)出教學(xué)支架的作用，可以幫助學(xué)生降低代數(shù)推理的學(xué)習(xí)難度.

2.3.2?教師專業(yè)發(fā)展

國(guó)外研究非常重視教師在代數(shù)教學(xué)過(guò)程中的影響，認(rèn)為教師應(yīng)改變對(duì)代數(shù)的看法和教學(xué)方式，并關(guān)注學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的看法[29].因此，代數(shù)推理的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生、教師與課程的整體聯(lián)系.基于Bair和Rich構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)框架[30]，對(duì)職前或在職教師的代數(shù)推理教學(xué)能力分析中，都會(huì)從教學(xué)內(nèi)容知識(shí)與學(xué)科關(guān)鍵知識(shí)出發(fā)進(jìn)行專業(yè)發(fā)展干預(yù)，教師在代數(shù)推理教學(xué)實(shí)踐中，需要經(jīng)歷“對(duì)代數(shù)概念的認(rèn)識(shí)與關(guān)注——制定修改任務(wù)——開(kāi)發(fā)課堂實(shí)踐提供推理機(jī)會(huì)——開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)踐支持代數(shù)推理”四個(gè)階段[31].除了對(duì)代數(shù)推理教學(xué)提出要求，多數(shù)研究中提及元認(rèn)知指導(dǎo)以幫助教師更好地把握課堂.有研究者提出教師可通過(guò)自我提問(wèn)來(lái)思考數(shù)學(xué)步驟，調(diào)節(jié)自身學(xué)習(xí)的能力，這會(huì)反過(guò)來(lái)影響代數(shù)推理.具體表現(xiàn)為：知道該做什么（理解問(wèn)題）；尋找全局（聯(lián)系問(wèn)題）；知道如何、何時(shí)和為什么做（戰(zhàn)略問(wèn)題）；監(jiān)測(cè)和評(píng)價(jià)這一進(jìn)程（反思問(wèn)題）[32].總之，既要關(guān)注對(duì)教師適應(yīng)知識(shí)內(nèi)容的有效性進(jìn)行分析與評(píng)估，又要通過(guò)提升教師的自我調(diào)節(jié)，優(yōu)化學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的參與.

2.3.3?教學(xué)策略

在代數(shù)推理的教與學(xué)過(guò)程中，研究者會(huì)從學(xué)習(xí)心理的角度，為增強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，提供一些教學(xué)建議.首先是確保學(xué)生具備學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)策略所必需的先驗(yàn)知識(shí)，在建模時(shí)教師可以使用“大聲思考”的技巧指導(dǎo)學(xué)生具體的技能[3]186.其次，研究者發(fā)現(xiàn)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的類型和他們形成的模式之間存在一定的聯(lián)系，學(xué)生通過(guò)使用這些模式對(duì)口頭表述和符號(hào)表征之間的關(guān)系進(jìn)行識(shí)別和擴(kuò)展[33]，圖式策略有助于學(xué)生建構(gòu)完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)其用結(jié)構(gòu)和模型的思想來(lái)解決代數(shù)推理問(wèn)題.第三，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，代數(shù)推理需要學(xué)生實(shí)現(xiàn)具體問(wèn)題情境與關(guān)系表達(dá)的轉(zhuǎn)化，符號(hào)意識(shí)體現(xiàn)的也是學(xué)生進(jìn)行分析、概括與推理的代數(shù)方法.第四，多元表征，即“文字的、表格的、圖形的和符號(hào)的以及各種表征之間的靈活轉(zhuǎn)換”[34]，能夠讓學(xué)生根據(jù)具體的代數(shù)內(nèi)容或自己的操作能力進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪x擇，有助于理解數(shù)學(xué)符號(hào)和抽象方程在具體層面上的運(yùn)行，尤其對(duì)小學(xué)生有益.最后，可以實(shí)施分階段的漸進(jìn)式教學(xué)，包括從具體到抽象的解釋，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的問(wèn)題的例子，或是始于簡(jiǎn)單概念的教學(xué)[14]101.

綜上可見(jiàn)，在早期代數(shù)中，因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣尚不完善，教師在代數(shù)推理教學(xué)中發(fā)揮著關(guān)鍵的引領(lǐng)作用，但是，仍需學(xué)生在代數(shù)推理教學(xué)中積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，尤其要營(yíng)造課堂“推測(cè)”氛圍.因此，代數(shù)推理教學(xué)，是一個(gè)充分交流、展示、互動(dòng)的教學(xué)過(guò)程.

3?結(jié)論與討論

綜合以上國(guó)外中小學(xué)代數(shù)推理研究的文獻(xiàn)分析，對(duì)國(guó)外研究的主要成果作如下總結(jié)，并結(jié)合我國(guó)研究現(xiàn)狀提出幾點(diǎn)啟示.

3.1?基本結(jié)論

首先，國(guó)外代數(shù)推理研究相對(duì)較為成熟，理論與實(shí)證研究相得益彰.對(duì)算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維的辨析與比較，是理解代數(shù)推理的奠基石；代數(shù)思維和代數(shù)推理的認(rèn)知分析與發(fā)展策略，則指向理論到實(shí)踐的過(guò)渡，最終是要發(fā)展中小學(xué)生的代數(shù)思維和代數(shù)推理能力，這是代數(shù)教學(xué)的發(fā)展目標(biāo)與方向.

其次，從研究對(duì)象與研究方法來(lái)看，研究者比較關(guān)注“早期代數(shù)”的影響，因此，對(duì)小學(xué)階段的代數(shù)思維和代數(shù)推理發(fā)展有較多的實(shí)證研究，用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)論證觀點(diǎn).

再者，從研究結(jié)果的預(yù)期發(fā)展而言，國(guó)外的代數(shù)思維與代數(shù)推理研究能夠較好地用于教學(xué)實(shí)踐，美國(guó)、俄羅斯、澳大利亞、新西蘭等國(guó)家都有相應(yīng)的教育報(bào)告或研究項(xiàng)目來(lái)支持中小學(xué)校中代數(shù)課程的發(fā)展，給予數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的培訓(xùn)機(jī)會(huì)，也促進(jìn)學(xué)生在代數(shù)思維和代數(shù)推理方面的提升.最后，在研究基礎(chǔ)上，國(guó)外的代數(shù)推理研究相對(duì)而言較為重視對(duì)學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究成果的借鑒，代數(shù)推理教學(xué)的發(fā)展策略也離不開(kāi)對(duì)學(xué)生心理的分析.

3.2?研究討論

與國(guó)外相比，我國(guó)的代數(shù)推理研究還比較少，在理論與實(shí)踐的相互支持以及教師專業(yè)發(fā)展上都有所欠缺.我國(guó)代數(shù)推理研究具體可從以下幾個(gè)方面做出努力.

3.2.1?把握算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維的本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系

雖然有不少研究者明確提出“在算術(shù)中教代數(shù)”或者“從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維”，但在理解算術(shù)與代數(shù)、算術(shù)思維與代數(shù)思維時(shí)，會(huì)局限于體會(huì)數(shù)與符號(hào)的區(qū)別、程序與結(jié)構(gòu)的區(qū)別，教師仍需有意識(shí)地將區(qū)別與內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，具體地就一般化、結(jié)構(gòu)、關(guān)系、函數(shù)、變化、模型、問(wèn)題解決等做出細(xì)致辨別，由此，或許能對(duì)每一部分的內(nèi)容提出發(fā)展目標(biāo)，并在算術(shù)與代數(shù)中找到相對(duì)應(yīng)的聯(lián)系.

3.2.2?要在問(wèn)題解決中找到代數(shù)推理任務(wù)設(shè)計(jì)的思考性與連貫性

根據(jù)已有研究，代數(shù)推理任務(wù)設(shè)計(jì)有兩個(gè)基本條件，一是問(wèn)題解決的重點(diǎn)不在于得到事實(shí)性的答案，而是關(guān)注學(xué)生展開(kāi)關(guān)系轉(zhuǎn)化的思考過(guò)程；二是問(wèn)題解決的情境創(chuàng)設(shè)，可以是生活情境，聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，更要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)觀察、想象、描述與概括.在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程安排上，我國(guó)主要是以“數(shù)與代數(shù)”作為一個(gè)課程領(lǐng)域，數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系、數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行交叉學(xué)習(xí)，如何保持代數(shù)內(nèi)容的連貫性以及與算術(shù)內(nèi)容的聯(lián)系，是需要考慮的問(wèn)題.而且，在我國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)中可發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)推理主要強(qiáng)調(diào)合情推理與演繹推理能力的發(fā)展，對(duì)代數(shù)推理任務(wù)的設(shè)計(jì)也要遵循一般推理的規(guī)范.因此，為了在“數(shù)與代數(shù)”中促進(jìn)學(xué)生代數(shù)推理能力的發(fā)展，任務(wù)設(shè)計(jì)需要兼顧學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、代數(shù)知識(shí)特征、一般推理規(guī)范三個(gè)方面，以滿足學(xué)生展開(kāi)任務(wù)過(guò)程的心理邏輯與知識(shí)邏輯.

3.2.3?關(guān)注教師代數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的專業(yè)發(fā)展

一方面，考慮到過(guò)去常常以學(xué)生的測(cè)試成績(jī)作為評(píng)估教師教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，在代數(shù)推理教學(xué)中，學(xué)生與教師的評(píng)估方式和內(nèi)容都應(yīng)發(fā)生改變.代數(shù)推理作為一種思維方式，更多地表現(xiàn)為教師與學(xué)生的思考能力，而且代數(shù)推理中“關(guān)系的轉(zhuǎn)換”需要過(guò)程性的記錄，因此以定性描述來(lái)給予教師專業(yè)素養(yǎng)的判定是必要的.另一方面，基于社會(huì)文化的視角，代數(shù)推理教學(xué)應(yīng)該是一種集體實(shí)踐，教師與學(xué)生都要參與思考過(guò)程，教師才能依據(jù)對(duì)學(xué)生的“說(shuō)理”過(guò)程進(jìn)行思維判斷，抓住代數(shù)推理引導(dǎo)的契機(jī).這對(duì)教師而言，既要考慮其教學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的培養(yǎng)，也對(duì)其代數(shù)推理專業(yè)內(nèi)容知識(shí)的學(xué)習(xí)提出嚴(yán)格要求.

總之，國(guó)外中小學(xué)代數(shù)推理研究已經(jīng)獲得了較豐富的成果，并且關(guān)注到了早期階段代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，其研究關(guān)注點(diǎn)和研究方法等都可以為我國(guó)相關(guān)研究提供借鑒與啟發(fā).

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作者簡(jiǎn)介?謝春艷（1996—），女，湖南邵東人，教育學(xué)碩士;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

黃娜娜（1996—），女，內(nèi)蒙古通遼人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

潘禹辰（1998—），女，江蘇蘇州人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

徐文彬（1966—），男，安徽宣城人，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.