李松

[摘? 要] 初三復(fù)習課是統(tǒng)領(lǐng)初中所學內(nèi)容，建構(gòu)知識體系，提升應(yīng)用知識技能的關(guān)鍵手段. 在復(fù)習課中教師要以問題激發(fā)學生思考，以聯(lián)想啟發(fā)學生思維，提高學生綜合能力，催生初三復(fù)習課新的生長點.

[關(guān)鍵詞] 問題引領(lǐng);聯(lián)想啟發(fā);專題復(fù)習

初三復(fù)習課是提高學生綜合應(yīng)用知識能力的重要途徑，也是建構(gòu)知識體系，深化數(shù)學本質(zhì)認識的重要手段. 復(fù)習的過程不是簡單地重復(fù)和記憶，是利用頭腦中已有的知識經(jīng)驗，去提取信息、建構(gòu)體系、發(fā)現(xiàn)和更新問題，產(chǎn)生新的知識結(jié)構(gòu). 初三復(fù)習課的有效性直接影響著學生在中考中的發(fā)揮，其重要性顯而易見.

如何才能上好初三復(fù)習課，提高上課的效率，使學生在復(fù)習課中收獲新的知識、總結(jié)思想方法、觸發(fā)新的生長點，從而提高綜合素養(yǎng). 復(fù)習課必須規(guī)避原有的“炒冷飯”或“習題課”的誤區(qū)，復(fù)習課上出新意，激發(fā)學習興趣，才能使學生避免“聽起來懂、看起來會、做起來錯”的現(xiàn)狀. 一直以來數(shù)學教師都在探索初三復(fù)習課的教學模式和教學方法，筆者認為初三復(fù)習課不能上成“新課重教”，要以問題串的形式引領(lǐng)學生將知識進行串聯(lián)，啟發(fā)學生進行聯(lián)想，拓寬學生的視野，發(fā)展思維品質(zhì).

筆者以“相似三角形專題復(fù)習課”為例，談一談如何在復(fù)習課中激發(fā)學生的想象力，主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并能調(diào)動思維積極尋找解題的路徑，以供大家互相交流學習.

教學過程

1. 故事導入，點燃學習激情

2021年第62屆國際數(shù)學奧林匹克（IMO）競賽中，中國國家隊再創(chuàng)輝煌，以208分的總成績獲得團隊總分第一名. 6名國家隊隊員全部獲得金牌，再次登上IMO頂峰，獲得第22次世界第一. 在歷屆國際數(shù)學競賽中，中國的學生表現(xiàn)十分優(yōu)異，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，這些獲獎學生都有一個通性，即在學習中善于發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，但是反觀日常的學習中，很少有學生能夠主動提出問題.

師：同學們，你們怎樣看待這種現(xiàn)象？

生1：我覺得我們每天的作業(yè)太多了，忙著寫作業(yè)都來不及了，還要應(yīng)付各種考試，根本沒有什么時間去思考什么問題.

生2：也不是說我們只喜歡解題，是因為我們?nèi)鄙偃グl(fā)現(xiàn)和提出問題的機會，日常學習中沒有給我們創(chuàng)造這樣的環(huán)境.

師：從科學的發(fā)展過程來看，發(fā)現(xiàn)和提出問題比解決問題更重要，聽了同學們的發(fā)言，老師的感觸也非常深，在課堂上應(yīng)把更多的空間留給你們. 今天我們這節(jié)課希望同學們能夠多多發(fā)揮創(chuàng)造性，主動發(fā)現(xiàn)和提出問題.

設(shè)計評價 課前以中國學生在國際奧林匹克數(shù)學競賽中取得的優(yōu)異成績的故事開場，看似與課程無關(guān)，實則在思想上振奮了學生，創(chuàng)造了一個積極的氛圍. 這樣的開場讓人眼前一亮，也讓學生意識到本課的主題，激發(fā)了學生的積極性，在接下來的學習中學生都能踴躍發(fā)言，積極開動腦筋，全身心投入學習的狀態(tài)中去.

2. 操作實踐，導入課題

師：（多媒體進行展示）教師進行提問示范，現(xiàn)在需要在一個銳角△ABC中畫一個矩形，并且這個矩形需要滿足它的四個頂點都在三角形的三條邊上. （教師同時也進行操作）

（學生思考并動手操作）

師：同學們可以前后觀察比較一下，你們畫的矩形都一樣大嗎？

生（眾）：不一樣.

師：剛才我看了一下，同學們和我畫的差不多（多媒體展示），但是也出現(xiàn)了一些和老師畫的不一樣的圖形，總體上老師概括了一下有五種（多媒體展示五種情況）. 你們覺得可以進行分類嗎？

生3：可以分為一類是矩形一條邊在BC上，如圖1、圖2、圖3，另外一類矩形的一條邊可以在AB或者AC上，如圖4、圖5.

師：你歸納的非常好，觀察的也很仔細.

現(xiàn)在我們來觀察一下這些矩形，從位置上看它們有什么共同的特點？

生4：矩形四個頂點都在三角形的邊上，而且都在三角形的內(nèi)部.

師：你們能給這些矩形取一個名字嗎？

生4：我們可以仿照曾經(jīng)學過的圓的內(nèi)接三角形取一個名字，叫三角形的內(nèi)接矩形.

師：太貼切了，而且仿照圓的內(nèi)接三角形來命名，反映出你非常會類比聯(lián)想，這也給我們發(fā)現(xiàn)和提出問題做出了很好的示范. 同學們同意這樣的命名方式么？

生（眾）：同意.

師：下面我們將以這個三角形的內(nèi)接矩形來展開聯(lián)想. （板書課題）

問題：如圖6，已知△ABC的面積是48，BC的長度為12.

師：同學們想一想，根據(jù)已知條件可以求三角形的哪些未知要素呢？請你計算一下.

生：我們可以求三角形的高，如圖7，高AH的長度為8.

繼續(xù)展示：△ABC的內(nèi)接矩形PQMN.

師：同學們觀察這個三角形的內(nèi)接矩形，你能根據(jù)已有的知識想到什么結(jié)論嗎？

生5：我想到了△APQ和△ABC是相似三角形.

師：所以這里利用了相似三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的性質(zhì).

師：對于矩形來說，我們需要研究矩形的長和寬，你能確定如圖6所示中矩形PQMN的兩條邊長嗎？

生（眾）：不能.

師：看來單單有三角形的面積和邊長還不能確定矩形的邊長，所以剛剛同學們畫出的矩形有大有小，那么我們還需要再添加一些條件.

（1）如果PQ的長度為9，你能不能根據(jù)相似三角形的知識求出這時矩形的另一條邊PN的長度.

師：請同學們自己列式并進行計算.

生6：=，即=，所以PN的長度等于2.

師：你的解題過程中應(yīng)用了什么定理？

生6：應(yīng)用了相似三角形對應(yīng)的高的比等于相似比的性質(zhì).

設(shè)計評價 老師先提出問題進行示范，學生一邊動手操作畫矩形一邊思考問題，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維. 通過學生聯(lián)想三角形的內(nèi)接圓給內(nèi)接矩形取名字，聯(lián)系了已學知識，又讓學生感受到學習的趣味性，滲透了數(shù)學的知識遷移和類比思想. 這樣的教學設(shè)計讓人眼前一亮，獨具特色. 接下來教師繼續(xù)引導學生回顧三角形的一些性質(zhì)和定理，為啟發(fā)學生提問題做好鋪墊. 在教學過程中從學生熟悉的問題導入，讓學生由易到難、由淺入深的開展學習，使學生提高了解題的能力，總結(jié)解題方法，為接下來進一步的深入學習奠定堅實的基礎(chǔ).

3. 提出問題，引導探究

師：經(jīng)過上面的研究我們知道了只要確定矩形的一條邊，那么矩形的其他相關(guān)條件也就確定了. 因此接下來我們將條件進行一些改動：

（2）如果設(shè)PQ為x，請同學們發(fā)揮你的想象，可以根據(jù)已知條件提一些問題嗎？

師：同學們在小組內(nèi)進行交流，并組織好語言將問題寫下來.

討論過后，每個小組都展示了自己的問題.

第一小組：可以求矩形另一邊的長度.

師：這時矩形的另一邊的長度固定嗎？問題可以直接解答？同學們看一看有沒有方法可以改進？

第二小組：這時矩形另一邊的長度是不固定的，所以我們經(jīng)過討論，用x的代數(shù)式表示矩形PQMN的另一條邊PN的長度.

師：同學們注意提出問題需要考慮嚴謹性和周密性.

第二小組：設(shè)矩形PQMN的面積為S，周長為C，請寫出S和C關(guān)于PQ的長度x的函數(shù)解析式.

師：很好，同學們已經(jīng)在建立模型了，我們的提問又上升了一個層次.

第二小組：還可以求x的取值范圍是什么？

學生紛紛笑起來.

師：大家笑是因為問題太簡單了嗎？這個問題雖然不難，但是卻非常重要，因為他恰好彌補了剛才函數(shù)解析式的不足，我們不應(yīng)該嘲笑這樣的問題，我們應(yīng)該給他鼓鼓掌.

第三小組：用含有x的代數(shù)式表示矩形PQMN的對角線PM. 當x為多少時，矩形PQMN是一個正方形？

師：你們是怎么想到的呢？

第三小組：因為要提出和矩形有關(guān)的問題，矩形有一種特殊情況就是正方形，所以我們組想到在什么情況下矩形會變成正方形，就提出了這個問題.

師：很好，這是一種從一般到特殊的研究方法，看來你們的數(shù)學研究理論已經(jīng)掌握的非常好了，可以進行聯(lián)想提出問題，讓我們再來聽一聽其他小組還有問題嗎？

第四小組：當x的值為多少時，矩形PQMN的面積最大呢？最大的面積是多少？

師：你們緊接著第二小組的問題，求函數(shù)的最值問題，將函數(shù)的知識進行了靈活地應(yīng)用.

第四小組：當x的值為多少時，矩形PQMN的面積恰好是△ABC面積的一半？

第五小組：當矩形的一條邊在三角形的邊上時，P、Q分別在什么位置，矩形PQMN的面積最大？

師：很好，你們小組進一步研究了面積的問題. 同學們講得都太好了，提出了這么多精彩的問題，讓我們再為自己鼓鼓掌. （學生集體鼓掌.）

師：下面我們把大家提出的問題按照邏輯順序進行重新排序.

學生交流討論，得到了如下的排序結(jié)果：

①用含有x的代數(shù)式表示矩形PQMN的另一條邊PN;②用x的代數(shù)式表示矩形對角線;③求x的值為多少時，矩形四條邊相等;④求矩形PQMN周長C和面積S關(guān)于PQ的長度x的函數(shù)解析式;⑤求x的取值范圍，并且解答矩形面積最大時，x的值;⑥當x的值為多少時，矩形PQMN的面積恰好是△ABC的一半;⑦當矩形的一條邊在三角形的邊上時，那么P、Q分別在什么位置可以讓正方形的面積最大.

師：考慮到課堂時間有限，問題①和④由同學們自己解決，將問題③和⑥的答案寫在作業(yè)紙上，在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)都利用了相似三角形對應(yīng)高線之比等于相似比的性質(zhì).

設(shè)計評價 教師引導學生進行提問，首先設(shè)定了條件，設(shè)PQ為x，體現(xiàn)了教師對課堂的組織和指導作用，同時又尊重了學生的主體地位，將課堂還給學生，給學生思考的空間. 在整個教學活動過程中，教師提出的問題具有開放性，但同時又能把控課堂節(jié)奏，既放得開又能收得住，使學生能夠跟隨教師充分調(diào)動自己學習的積極性. 這樣的設(shè)計過程使學生的思維得到了拓展，回憶了舊知，同時將新舊知識相聯(lián)系，對解決問題的方法有了新的感悟.

4. 變式練習，生成智慧

師：同學們剛才我們提出了一系列三角形內(nèi)接矩形的問題，那么對于三角形內(nèi)接正方形，我們又可以提出怎樣的問題呢？

變式1：如圖8，已知△ABC的面積為48，BC的長度為12，如果△ABC內(nèi)有小正方形組成的矩形，小正方形一共有2個，那么可以求小正方形的邊長嗎？

師：老師作了一個示范，你還能提出一些相關(guān)的問題嗎？

生7：求并排放3個全等小正方形的邊長.

師：怎么解答呢？

生7：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形四條邊相等的性質(zhì)，兩個全等的正方形拼成的長方形長是寬的3倍，可以列出一元一次方程：3

8-x

=x. 解方程可得出長方形的長，進而求出正方形的邊長.

生8：如圖10，如果求并排放置n個全等小正方形的邊長，即可列出方程：n

8-x

=x.

師：說得太精彩了，這是一次成功的聯(lián)想和推理，現(xiàn)在我們把圖形作了如下改變.

變式2：如圖9，已知△ABC的面積為48，BC的長度為12，如果縱向放置2個全等的正方形組成的矩形內(nèi)接于△ABC，那么小正方形的邊長是多少？

師：怎么求這個邊長呢？

生9：設(shè)PQ的長度為x，則可利用方程8-x=2x求解.

生10：老師，可以拓展到n個正方形的縱向擺放，即可列出方程8-x=nx，進而求小正方形的邊長.

師：同學們的問題太精彩了，觀察圖11，我們改變每一層正方形的大小，我們還可以利用相似三角形的性質(zhì)來求小正方形的邊長.

設(shè)計評價 兩道變式訓練的難度不大，但是使學生從觀察過程中發(fā)現(xiàn)了基本的建模思想，突出了本課聯(lián)想的主題，學生提出問題的過程實際是調(diào)動所學知識進行綜合運用的過程，首先提出問題，進而解決問題，發(fā)揮了學生的創(chuàng)新思維[1].

5. 拓展延伸，開闊視野

師：我們還可以觀察內(nèi)接正方形的大小思考：

變式3：如圖12，在銳角△ABC中，BC的長度為12，△ABC的面積為48，點P和點Q分別是AB和AC邊上的兩個動點，并且PQ與BC平行，以DE為邊，在點A的異側(cè)，作正方形PQMN，你能提出什么問題嗎？

學生思考交流，展示自己的問題.

6. 小結(jié)提升，引導反思

引導學生進行小結(jié)和反思，歸納本課知識點.

總評

這是一節(jié)開放性的課堂，讓學生充分展開了想象的翅膀，但是課堂始終圍繞著教學目標展開，并沒有松散，這對教師的教學基本功和教學能力都是一次重大的考驗. 整節(jié)課流暢自然又生動有趣，充分激發(fā)了學生探索的欲望，讓課堂充滿創(chuàng)意性. 通過聯(lián)想的方法讓學生既將所學知識交織成知識面，起到了復(fù)習鞏固的作用，又啟發(fā)了學生的智慧，發(fā)展了學生的思維能力[2].

本課以問題承載課堂，充分發(fā)揮了教師的引導作用，落實了以學生為中心的理念，給學生創(chuàng)造了充分的思考空間，讓學生通過自己的發(fā)現(xiàn)提出問題并解決問題，經(jīng)過變式訓練進一步鞏固學生的認識. 從三角形內(nèi)接矩形進行聯(lián)想，由三角形內(nèi)接矩形再到三角形內(nèi)接正方形，從靜態(tài)拓展到動態(tài)，不斷升級問題，鍛煉學生的思維，學生的情感在師生的互動中產(chǎn)生碰撞，給復(fù)習課堂注入了新的活力.

總之，本節(jié)課思路清晰，獨特的教學設(shè)計，為學生思維的發(fā)展搭建了廣闊的平臺，學生在課堂學習中提升了綜合應(yīng)用知識的能力，點燃了學習數(shù)學的激情.

參考文獻：

[1] 鐘建林. 什么樣的三角形可以分成兩個等腰三角形[J]. 福建中學數(shù)學，2003（07）：24-26.

[2] 項志成. 初中數(shù)學德育實踐研究[J]. 數(shù)學教學通訊，2019（35）：41-42.