陶彬 梁宇

【摘要】本文采用鮑建生的習(xí)題綜合難度模型，從習(xí)題的探究、背景、運(yùn)算、推理、知識(shí)點(diǎn)含量五個(gè)難度因素入手，對(duì)人教版、北師大版教材中“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題進(jìn)行比較研究，從中發(fā)現(xiàn)不同版本教材在習(xí)題難度設(shè)置中的規(guī)律及異同，為教師進(jìn)行習(xí)題設(shè)計(jì)提供建議。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 運(yùn)算定律 習(xí)題難度 教材研究

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）01-0047-04

習(xí)題是一門課程或教材編者為學(xué)習(xí)者復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，鞏固、記憶知識(shí)或提高知識(shí)運(yùn)用能力而設(shè)計(jì)的題目。習(xí)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中重要的教學(xué)內(nèi)容，習(xí)題的難度對(duì)教師選擇教學(xué)方法、檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握程度等有重要影響。我國現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材遵循“一標(biāo)多本”政策，遵循的是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題難度在不同版本教材中有不同的表現(xiàn)。本文以“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題為研究對(duì)象，基于鮑建生教授的習(xí)題綜合難度模型，對(duì)在全國范圍內(nèi)使用較為廣泛的人教版（人民教育出版社出版的簡稱）、北師大版（北京師范大學(xué)出版社出版的簡稱）教材中的有關(guān)習(xí)題進(jìn)行比較研究，分析其難度設(shè)計(jì)規(guī)律，找出其異同點(diǎn)，為教師結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》進(jìn)行核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)改革，在教學(xué)中合理選擇和設(shè)計(jì)習(xí)題的難度提供參考。

一、研究方法與研究對(duì)象

（一）研究方法

本研究使用鮑建生教授提出的習(xí)題綜合難度模型對(duì)人教版和北師大版教材中“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題進(jìn)行量化描述和比較研究。如表1所示，鮑教授的習(xí)題綜合難度模型涉及習(xí)題在探究、背景、運(yùn)算、推理、知識(shí)點(diǎn)含量五個(gè)方面的難度因素，每個(gè)因素又進(jìn)一步劃分為3—4個(gè)不等的水平層級(jí)，是研究習(xí)題難度時(shí)使用較為廣泛的一種研究模型。

（二）研究對(duì)象

本文以人教版、北師大版教材中“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題為研究對(duì)象。一般來說，學(xué)生完成練習(xí)時(shí)的思維難度不僅與練習(xí)文本的理解難度有關(guān)，還與學(xué)生自身的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、完成練習(xí)的環(huán)境、教師的教學(xué)方法等有關(guān)。本文僅對(duì)教材中例題之外的習(xí)題文本的難度進(jìn)行研究，包括人教版教材中的“做一做”“練習(xí)五”“練習(xí)六”“練習(xí)七”“練習(xí)八”中的習(xí)題，北師大版教材中的“試一試”“練一練”“練習(xí)四”中的習(xí)題。在統(tǒng)計(jì)習(xí)題的總數(shù)量時(shí)，均按第一層級(jí)統(tǒng)計(jì)：若1個(gè)大題中包含多個(gè)小題，仍記為1題。

二、研究結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

在人教版和北師大版教材中，“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題總量存在較大差異：人教版教材中共有46道習(xí)題，北師大版教材中僅有29道習(xí)題。本文從5個(gè)難度因素的角度對(duì)兩個(gè)版本教材中“運(yùn)算定律”模塊的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，首先對(duì)每個(gè)難度因素的難度水平進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，計(jì)算每個(gè)難度水平占習(xí)題總量的比例（保留兩位小數(shù)），得出五個(gè)難度因素的差異，再對(duì)每個(gè)難度因素的加權(quán)平均值進(jìn)行計(jì)算，從而推斷出習(xí)題的綜合難度，結(jié)果如表2所示。

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，在“運(yùn)算定律”模塊：兩個(gè)版本教材的習(xí)題在五個(gè)難度因素上的難度水平都相對(duì)較低，只有少量難度水平較高的習(xí)題，而北師大版教材中的習(xí)題難度總體高于人教版教材中的習(xí)題難度；二者的難度表現(xiàn)既有相同點(diǎn)也有不同點(diǎn)，北師大版教材側(cè)重綜合運(yùn)用的探索性習(xí)題，人教版教材側(cè)重鞏固練習(xí)的遷移性習(xí)題。從統(tǒng)計(jì)過程來看，我們一共經(jīng)歷了5個(gè)難度因素的分類，每次分類都涉及3—4次的難度水平判斷。

（一）探究難度因素對(duì)比

探究難度因素反映的是習(xí)題的思維深度和難度。兩個(gè)版本教材在“運(yùn)算定律”習(xí)題中，探究因素難度對(duì)比的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表3所示。

從總體上看，北師大版教材中的習(xí)題探究難度因素在識(shí)記、理解、探究三個(gè)水平層次上的習(xí)題占比相對(duì)均衡，而人教版教材中的習(xí)題探究難度因素更加注重理解、識(shí)記兩個(gè)水平層次，也就是更加注重基礎(chǔ)知識(shí)的考察和練習(xí)。兩個(gè)版本教材中的習(xí)題在探究難度水平上的占比都相對(duì)較低，北師大版有6道題，而人教版的題量僅為1道題。適當(dāng)增加探究難度水平的習(xí)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，引導(dǎo)學(xué)生在思考不同算法之間關(guān)系的過程中學(xué)會(huì)使計(jì)算變得簡便，從而提高運(yùn)算效率。因此，使用兩個(gè)版本教材的教師在日常教學(xué)中，除了要教授課本上的習(xí)題，都可適當(dāng)增加一些探究難度水平的習(xí)題作為課本練習(xí)的補(bǔ)充，以利于引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)的練習(xí)上升到對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納。

兩個(gè)版本教材中的習(xí)題探究難度因素存在較大差異的表現(xiàn)集中在理解水平層次：人教版教材在這個(gè)水平層次上的習(xí)題占比明顯高于北師大版教材，高出27.29%，可見人教版教材的習(xí)題提供了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)鋪墊，有助于學(xué)生構(gòu)建完整的運(yùn)算性質(zhì)知識(shí)結(jié)構(gòu)。建議使用北師大版教材的教師在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)要充分考慮不同學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)補(bǔ)充不同難度水平的題目，更好地促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)遷移。

（二）背景難度因素對(duì)比

背景難度因素會(huì)影響學(xué)生完成習(xí)題的過程是否順利。不同模塊的知識(shí)對(duì)背景材料的呈現(xiàn)有不同的要求。兩個(gè)版本教材在“運(yùn)算定律”習(xí)題中，背景難度因素的相關(guān)數(shù)據(jù)如表4所示。

由表4可知，人教版和北師大版教材中習(xí)題背景難度因素的難度水平分配大致相當(dāng)：都缺乏對(duì)科學(xué)情境、公共常識(shí)難度水平的習(xí)題設(shè)置，個(gè)人生活難度水平和無背景難度水平的習(xí)題占更大比重，表現(xiàn)出兩個(gè)版本教材都更加重視對(duì)縱向基礎(chǔ)知識(shí)的考查與練習(xí)。因?yàn)檫\(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算是“運(yùn)算定律”模塊的教學(xué)目標(biāo)之一，無背景的難度水平更有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的計(jì)算訓(xùn)練，方便專注于計(jì)算量的積累，并通過量變的積累達(dá)到發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律的質(zhì)變的效果。設(shè)置個(gè)人生活難度水平的習(xí)題，有助于學(xué)生基于熟悉的生活情景理解習(xí)題的內(nèi)容要求，從而降低對(duì)習(xí)題的理解難度。設(shè)置公共常識(shí)和科學(xué)情境的背景，則有助于學(xué)生在知識(shí)面上的橫向拓展，拓展學(xué)生對(duì)習(xí)題理解的深度和廣度。總之，無論教師如何設(shè)置和選擇習(xí)題的背景，保持動(dòng)態(tài)平衡是教師在教學(xué)中需要重視的首要問題。

（三）運(yùn)算難度因素對(duì)比

運(yùn)算難度因素對(duì)習(xí)題的整體難度有較大影響。在“運(yùn)算定律”模塊中，兩個(gè)版本的教材都安排了許多計(jì)算的實(shí)例，讓學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，相關(guān)難度水平的數(shù)據(jù)如表5所示。

由表5可知，在運(yùn)算難度因素方面，數(shù)值運(yùn)算水平的習(xí)題占比最高，人教版教材與北師大版教材的占比分別為69.57%和79.31%。大量的數(shù)值運(yùn)算習(xí)題，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解整數(shù)四則運(yùn)算的意義。

此外，難度水平較高的符號(hào)運(yùn)算習(xí)題，無論是簡單符號(hào)運(yùn)算還是復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算，在兩個(gè)版本教材習(xí)題中的占比都很低，人教版教材僅有1題涉及簡單符號(hào)運(yùn)算，北師大版教材則完全沒有符號(hào)運(yùn)算習(xí)題。學(xué)生在低年級(jí)已經(jīng)進(jìn)行過大量的數(shù)值運(yùn)算知識(shí)積累，比如加法的驗(yàn)算、連加口算等，已經(jīng)掌握了運(yùn)算的基本依據(jù)，將簡單符號(hào)運(yùn)算水平的習(xí)題適當(dāng)加入練習(xí)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生以符號(hào)或字母的方式對(duì)規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，可有效培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生不斷感受符號(hào)的簡潔性，體會(huì)數(shù)學(xué)語言的魅力。

（四）推理難度因素對(duì)比

“運(yùn)算定律”模塊的學(xué)習(xí)更多體現(xiàn)的是歸納推理的思想，推理難度因素在一定程度上影響學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的發(fā)展。兩個(gè)版本教材關(guān)于“運(yùn)算定律”的習(xí)題，在推理難度因素中的難度水平表現(xiàn)如表6所示。

由表6可知，兩個(gè)版本教材中的習(xí)題在推理難度因素上表現(xiàn)出較大差異：北師大版教材無推理水平的習(xí)題占比僅為31.03%，而人教版教材相應(yīng)習(xí)題的占比為63.04%，可以看出北師大版教材的推理難度水平稍高，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。

林崇德教授在兒童數(shù)概念與運(yùn)算能力發(fā)展的研究中根據(jù)推理的范圍、步驟、正確性、抽象概括性四項(xiàng)指標(biāo)對(duì)兒童運(yùn)算歸納推理能力劃分出了四個(gè)等級(jí)，包括算術(shù)運(yùn)算中的直接歸納推理、簡單文字運(yùn)算中的直接歸納推理、算術(shù)運(yùn)算中的間接歸納推理、初步代數(shù)式的間接歸納推理，等級(jí)越高，意味著運(yùn)算歸納推理的能力越高。經(jīng)過對(duì)比試驗(yàn)，林教授發(fā)現(xiàn)：五年級(jí)時(shí)能達(dá)到以上三級(jí)水平的學(xué)生占比高達(dá)83.3%。兩個(gè)版本教材都將“運(yùn)算定律”模塊安排在了四年級(jí)下冊，在這個(gè)階段，能力較強(qiáng)的學(xué)生思維水平已經(jīng)有了質(zhì)的提升，因此，在“運(yùn)算定律”模塊適時(shí)、適當(dāng)?shù)卦黾油评黼y度不僅是必要的，也是可行的。

（五）知識(shí)點(diǎn)含量難度因素對(duì)比

知識(shí)點(diǎn)含量的多少體現(xiàn)了習(xí)題綜合程度的高低。知識(shí)點(diǎn)含量多的習(xí)題要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確地把握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，因此，其難度水平也更高。兩個(gè)版本教材在“運(yùn)算定律”習(xí)題中，知識(shí)點(diǎn)含量難度因素的相關(guān)數(shù)據(jù)如表7所示。

由表7可知，在知識(shí)點(diǎn)含量難度因素上，兩個(gè)版本教材大部分習(xí)題的難度水平都處于單個(gè)知識(shí)點(diǎn)水平；知識(shí)點(diǎn)含量越多，占比越少。知識(shí)點(diǎn)含量難度因素中的以上設(shè)置，反映了習(xí)題難度逐級(jí)遞增的特點(diǎn)，符合小學(xué)生由易到難、由簡到繁的認(rèn)知規(guī)律。

兩個(gè)版本教材中的習(xí)題在知識(shí)點(diǎn)含量難度水平上的明顯差異在于單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的占比，人教版教材明顯高于北師大版教材，二者分別為65.22%和48.28%。人教版教材單個(gè)知識(shí)點(diǎn)難度水平的習(xí)題數(shù)量超過習(xí)題總量的一半，可見其對(duì)習(xí)題知識(shí)點(diǎn)細(xì)分的重視和習(xí)題的精細(xì)化程度，也可見其更加重視基本知識(shí)和基本技能。北師大版教材單個(gè)知識(shí)和兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)難度水平的習(xí)題數(shù)量分布較為均衡，說明其更加重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合辨識(shí)能力。綜上可知，有梯度的習(xí)題可以使不同層次的學(xué)生在各自能力的基礎(chǔ)上都得到最大限度的思維拓展和探究欲望的激發(fā)。

（六）綜合難度因素對(duì)比

根據(jù)鮑建生教授的習(xí)題綜合難度模型，我們對(duì)每個(gè)難度因素的加權(quán)平均值進(jìn)行了計(jì)算，從而推斷出習(xí)題的綜合難度，詳細(xì)數(shù)值如圖1所示。

由圖1可知：兩個(gè)版本教材的習(xí)題在運(yùn)算、背景兩個(gè)難度因素上的加權(quán)平均值較為接近，差異最明顯的是推理難度因素，知識(shí)點(diǎn)含量難度因素、探究難度因素次之?？梢姳睅煷蟀娼滩谋容^重視推理能力的訓(xùn)練和綜合知識(shí)的應(yīng)用，而人教版教材習(xí)題中的加權(quán)平均值各因素均低于北師大版教材，所以整體習(xí)題難度低于北師大版教材。

綜合各難度因素來看，北師大版教材“運(yùn)算定律”模塊習(xí)題的探究難度水平和運(yùn)算難度水平最高，人教版教材的兩個(gè)難度水平同樣處于高位。“運(yùn)算定律”模塊屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第二學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，兩個(gè)版本教材在習(xí)題難度上對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、計(jì)算方法等方面都有較高要求，這反映了我國數(shù)學(xué)教育界一直強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的傳統(tǒng)，因此運(yùn)算水平的習(xí)題綜合難度值更高。此外，探究難度水平的習(xí)題不僅注重計(jì)算練習(xí)，也注重思維的拓展訓(xùn)練。比如人教版四年級(jí)下冊第三單元“練習(xí)七”中的第5題用乘法分配律購買衣服的問題，衣服和褲子的價(jià)格不同，可以用不同的思路算出購買60套衣服的總價(jià)。學(xué)生在適度開放的習(xí)題中不僅可以進(jìn)一步加深對(duì)乘法分配律的認(rèn)識(shí)，也能體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)探究態(tài)度和能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

從難度水平最低的來看，人教版教材“運(yùn)算定律”模塊習(xí)題推理難度因素的難度水平值最低，北師大版教材“運(yùn)算定律”模塊背景難度因素的難度水平值最低，它們和最高難度值之間都有較大差距，由此亦可見兩個(gè)版本教材習(xí)題的五個(gè)綜合難度因素的狀態(tài)是不均衡的。

三、思考與建議

（一）把握習(xí)題難度，提升思維空間

在探究難度因素中，探究難度水平的習(xí)題最能提升學(xué)生的思維層次；在知識(shí)點(diǎn)含量難度因素中，三個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)難度水平的習(xí)題最能提升學(xué)生的綜合知識(shí)運(yùn)用能力。當(dāng)然，這樣的“最能”，對(duì)學(xué)生的已有知識(shí)基礎(chǔ)和綜合知識(shí)運(yùn)用能力的要求也“最高”。教師在教學(xué)中若過度使用思考探究類習(xí)題和知識(shí)點(diǎn)含量過高的習(xí)題，對(duì)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不牢的普通學(xué)生來說，客觀上存在較大困難，不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。與此同時(shí)，四年級(jí)的學(xué)生正處于自信心形成的關(guān)鍵期，難度過高的習(xí)題會(huì)對(duì)他們產(chǎn)生消極影響，阻礙他們從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)學(xué)習(xí)的進(jìn)程。因此，教師在習(xí)題諸難度因素的難度水平設(shè)計(jì)上要綜合考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓不同層次的學(xué)生都能得到思維的發(fā)展，進(jìn)階到與自己能力水平相適應(yīng)的成長等級(jí)。

（二）豐富習(xí)題背景，拓寬知識(shí)視野

從孩童的七巧板到建筑師的摩天大樓，從探索浩瀚宇宙到發(fā)現(xiàn)微小粒子，從象棋的得失勝負(fù)到金融市場的千變?nèi)f化，這些事物貌似毫無聯(lián)系，但其實(shí)都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維的參與，由此可見數(shù)學(xué)應(yīng)用范圍之廣。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，習(xí)題不但能幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，而且能拓寬學(xué)生的視野，比如在題目中適時(shí)、適量融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化、社會(huì)公共信息、其他學(xué)科背景知識(shí)等。與此同時(shí)，教師也要避免走向另一個(gè)極端，勿使習(xí)題過于繁雜。一道好的數(shù)學(xué)習(xí)題，應(yīng)該能夠巧妙地平衡各難度因素的綜合難度值，比如在其他難度因素難度值偏低的時(shí)候，適當(dāng)提高背景難度因素的難度值，便會(huì)因習(xí)題背景更加多元化而有不一樣的表現(xiàn)。

（三）關(guān)注做題過程，著眼學(xué)生發(fā)展

在“運(yùn)算定律”模塊中，運(yùn)算難度因素的綜合難度值在兩個(gè)版本教材中都是最高的，表現(xiàn)為習(xí)題的計(jì)算量都比較大，學(xué)生在完成相應(yīng)的習(xí)題后，不同層次的學(xué)生得到的運(yùn)算結(jié)果會(huì)有較大差異。此時(shí)，教師需要關(guān)注學(xué)生完成習(xí)題的過程，幫助沒有得到正確答案的學(xué)生分析其出錯(cuò)的原因，同時(shí)為順利完成習(xí)題的學(xué)生提高運(yùn)算的難度，適當(dāng)增加符號(hào)運(yùn)算，發(fā)展其符號(hào)意識(shí)、模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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［3］林崇德.小學(xué)兒童數(shù)概念與運(yùn)算能力發(fā)展的研究［J］.心理學(xué)報(bào)，1981（3）：289-298.

作者簡介：陶彬（1994— ），廣西南寧人，碩士研究生在讀，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育；梁宇（1978— ），廣西賀州人，教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育及教師發(fā)展。

（責(zé)編 白聰敏）