阮 欣， 趙鑫瑩， 金澤人

（同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

中小跨徑橋梁跨度小、橋面寬度窄，加載范圍內(nèi)車流場景較單一［1］。對于這類由單一加載車流產(chǎn)生的荷載效應(yīng)，傳統(tǒng)的極值計算方法有較好的適用性［2-4］。隨著跨徑的增長和橋面寬度的增加，橋上車輛荷載的分布趨于復(fù)雜，多個車流加載事件的混合逐漸成為車輛荷載效應(yīng)極值的主要控制因素。多事件混合影響下的車輛荷載效應(yīng)呈現(xiàn)非同一分布特征，采用單一極值分布無法準確擬合混合車流下荷載效應(yīng)的底分布，從而引起極值外推結(jié)果的較大誤差。針對這種復(fù)雜情況，組合極值推定方法被提出。

組合極值方法將復(fù)雜樣本劃分為多個符合單一極值分布的子樣本的組合，通過組合概率理論計算復(fù)雜樣本的分布模型，并由此外推極值。組合極值方法能夠很好的解決傳統(tǒng)極值理論不適用于非同一底分布樣本的問題［5-11］。Caprani等［8］結(jié)合若干理論實例，驗證了組合廣義極值法（combined generalized extreme value method，CGEV）方法對混合車流下中小跨橋車載效應(yīng)極值計算的適用性，但是缺乏對長加載長度情況的討論。Zhou等［9］提出組合廣義帕累托分布法（combined generalized pareto distribution，CGPD），結(jié)合理論算例和實際車輛荷載效應(yīng)對比不同的極值分布參數(shù)估計方法對結(jié)果準確性的影響，但研究僅與傳統(tǒng)超閾值方法進行了比較。周軍勇等［10-11］通過具有理論解的數(shù)值算例證明，兩種組合極值方法均能很好地適應(yīng)多事件混合影響下的車輛荷載效應(yīng)極值推定，并且相比于傳統(tǒng)方法誤差更小，但其未針對極值推定影響因素等方面進行深入探討。

綜上研究，目前國內(nèi)外相關(guān)研究尚缺少對考慮加載長度影響的組合極值方法適用范圍的討論。本文針對組合極值方法在大跨徑橋梁中的應(yīng)用問題進行研究，首先對組合廣義極值法和組合廣義帕累托方法進行回顧，對其理論基礎(chǔ)和應(yīng)用到大跨徑橋梁時的核心問題進行討論。以某懸索橋為例，計算得到不同加載長度下兩種組合方法的極值推定結(jié)果，考慮影響結(jié)果準確性的主要因素，并基于理論探究和結(jié)果比較分析兩種方法的適用性。

1 研究背景

1.1 組合極值推定方法回顧

組合廣義極值法和組合廣義帕累托方法是兩種基本的組合極值推定方法，“組合”體現(xiàn)在：對于某一荷載效應(yīng)樣本Xi，可認為其由k個加載事件組成，其中k=1，2，...，nt，nt表示最多的可能加載事件數(shù)量。所有加載事件作用下效應(yīng)樣本Xi不超過某一分位值s的概率P[Xi≤s]可根據(jù)全概率公式計算如下：

式中：Fk(·)表示第k個加載事件效應(yīng)樣本的累積分布函數(shù)，?k為第k個事件在總體中所占的比重。

兩種組合方法均要求所劃分的加載事件相互獨立且滿足同分布假定，但方法針對的樣本及其擬合分布存在差異。CGEV 方法以效應(yīng)的區(qū)間最大值S?為樣本，以經(jīng)典極值理論［11］為基礎(chǔ)，組合分布模型依賴于各事件對應(yīng)的廣義極值分布Gk(s)。而CGPD方法以大于某一固定大值u的效應(yīng)超出量X?為樣本，以超閾值理論為基礎(chǔ)，組合分布模型依賴于各事件對應(yīng)的廣義帕累托分布Hk(x)。式（2）～式（3）分別為Gk(s)、Hk(x)的表達式。式中：s和x分別為區(qū)間最大值樣本S?、超出量樣本X?對應(yīng)的某一分位值；u為樣本閾值；μk、σk、ξk依次為位置參數(shù)、比例參數(shù)和形狀參數(shù)，由第k個加載事件對應(yīng)的樣本擬合確定。

考慮到直接運用式（1）計算所有事件作用下的樣本組合概率分布較繁瑣，部分學(xué)者結(jié)合不同樣本及其分布特性提出簡化的組合概率方法。Caprani等［8］將CGEV方法中組合最大值分布模型的計算簡化為式（4），前提是要滿足樣本符合極值分布或者區(qū)間內(nèi)樣本數(shù)足夠大的充要條件。Zhou等［10］將CGPD方法中組合超出量分布模型的計算簡化為式（5），但要求閾值足夠大表示。

通過上述分析可知，兩種方法在應(yīng)用時均有其適用條件。CGEV 方法對樣本數(shù)的要求，本質(zhì)上是對底分布擬合誤差的限制。加載事件單獨作用下樣本分布的擬合誤差會傳遞至組合分布模型中，因此有必要檢驗荷載效應(yīng)樣本，要求各加載事件下的樣本服從單峰分布且具有一定擬合優(yōu)度。CGPD方法對閾值選取有一定要求，較高的閾值能夠保證樣本獨立性，但樣本量減少使擬合誤差增大；較低的閾值雖然保證參數(shù)估計的穩(wěn)定性，但樣本獨立性降低，同樣會導(dǎo)致結(jié)果誤差。因此，研究閾值對外推極值的影響并選取合適的閾值，對CGPD 方法中極值的計算至關(guān)重要。

1.2 分析采用的車流特性

CGEV與CGPD方法中均要求所劃分的加載事件相互獨立，且各事件引起的荷載效應(yīng)滿足同分布假定。根據(jù)研究［10］：不同加載事件產(chǎn)生的荷載效應(yīng)有很大差異，大跨徑橋梁的加載事件可根據(jù)交通狀態(tài)確定。

橋梁在某一時段內(nèi)的交通流狀態(tài)可分為正常交通和高峰交通，本文參考珠三角、長三角等國內(nèi)8地實測WIM數(shù)據(jù)，基于車流、車輛信息統(tǒng)計，通過相關(guān)性分析與K均值聚類形成不同交通狀態(tài)對應(yīng)的車流參數(shù)體系。相關(guān)性分析可簡化參數(shù)量，得到用于聚類的特征參數(shù)；交通樣本聚類則為確定交通類型提供了可行的途徑。具體過程如下所述：

（1）針對統(tǒng)計得到的流量系列參數(shù)、車重系列參數(shù)以及車速系列參數(shù)，通過計算相關(guān)系數(shù)分析變量間的線性相關(guān)性。分析得知：同系列參數(shù)的相關(guān)性高，不同系列之間的相關(guān)性低，因此每個系列至少各選一項作為特征參數(shù)。但經(jīng)敏感性分析發(fā)現(xiàn)車速的影響較小，故以流量和車重作為聚類特征。

（2）根據(jù)相關(guān)性結(jié)果，同時考慮到車重應(yīng)兼顧平均水平和峰值水平，本文最終選擇流量、車重均值、車重0.95 分位值作為聚類特征。采用K均值方法將WIM數(shù)據(jù)聚為若干類，選取產(chǎn)生效應(yīng)最不利的一類進行分析。統(tǒng)計相應(yīng)的車流參數(shù)（如車重、車速分布等），并根據(jù)橋上實際情況確定正常和高峰狀態(tài)的交通量。

（3）基于上述參數(shù)采用元胞自動機方法［3］生成各交通狀態(tài)對應(yīng)的隨機車流。

兩種交通狀態(tài)下的車流統(tǒng)計特征見表1，表中的事件1對應(yīng)正常狀態(tài)車流，事件2對應(yīng)高峰狀態(tài)車流。兩類車流具有相同的車重比例，車流時長均為21d。在相同時段內(nèi)，高峰期的車輛荷載分布更加密集，其車流的平均密度和平均集度更大。隨機車流的生成綜合了多地實測數(shù)據(jù)以及橋梁自身交通量，并考慮到可能出現(xiàn)的正常和高峰兩種實際交通狀態(tài)，因此既能反映該橋交通特性，同時也具有代表性。

表1 不同交通狀態(tài)下隨機車流統(tǒng)計特征Tab.1 Statistical characteristics of random traffic flow in different traffic environments

1.3 分析采用的典型效應(yīng)

為了進一步說明組合極值推定方法對不同加載長度效應(yīng)的適用性，本文選擇某懸索橋中兩個加載長度差異較大的效應(yīng)分別進行加載，效應(yīng)影響線如圖1 所示。其中，主纜軸力效應(yīng)的影響線遍布全跨且較為平緩，在全加載區(qū)間內(nèi)對荷載敏感，其加載長度為1 208m；跨中吊桿軸力效應(yīng)的影響線具有突出的峰值，荷載只在構(gòu)件臨近區(qū)域內(nèi)對構(gòu)件效應(yīng)有較大影響，其加載長度約為250m。

圖1 不同加載長度荷載效應(yīng)影響線Fig.1 Influence lines of load effect with different loading lengths

根據(jù)模擬的隨機車流對影響線進行加載，生成車輛荷載效應(yīng)。觀察效應(yīng)概率密度分布，如圖2 所示。由圖可知，主纜軸力效應(yīng)和吊桿軸力效應(yīng)均呈現(xiàn)多峰分布特征，不符合經(jīng)典極值理論或超閾值理論假定，但各加載事件下的荷載效應(yīng)滿足單峰分布?？梢?，大跨徑橋梁車輛荷載效應(yīng)極值推定不適合用傳統(tǒng)的極值外推方法，需要采用組合極值方法進行極值外推。

圖2 車輛荷載效應(yīng)概率密度圖Fig.2 Probability density diagram of vehicle load effect

下面將以主纜軸力和吊桿軸力效應(yīng)為例比較分析兩種組合極值方法的外推結(jié)果和影響因素。

2 組合廣義極值法適用性分析

2.1 充分樣本量下的極值外推

首先采用CGEV方法進行充分樣本量情況下的極值推定。以h 為區(qū)間長度單位，經(jīng)檢驗：h 區(qū)間最大值樣本滿足獨立性假定。采用廣義極值（generalized extreme value，GEV）分布對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，其參數(shù)通過極大似然估計［12］計算。將所有加載事件k(k=1，2)對應(yīng)的GEV參數(shù)ξk，σk，μk代入式（2）和式（4），獲得多事件混合下的荷載效應(yīng)最大值分布P[S?≤s]，由此即可外推任意給定評估周期下的效應(yīng)極值公式如下：

式中：P—1(·)為混合事件下荷載效應(yīng)最大值分布的反函數(shù)；T為荷載效應(yīng)的重現(xiàn)期（單位為年）。

將各獨立加載事件以及混合事件的擬合曲線、外推極值繪制于Gumbel概率紙，如圖3所示?？梢钥闯鰧τ诖罂鐝綐蛄很囕v荷載效應(yīng)極值推定，經(jīng)典極值理論的計算結(jié)果較CGEV方法小。將組合外推極值與各事件單獨作用時的極值進行比較，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：主纜軸力效應(yīng)在各事件單獨作用下的GEV擬合曲線沒有交叉區(qū)域，其組合外推結(jié)果與事件2（高峰狀態(tài)）單獨作用下的結(jié)果相同，考慮多事件混合的主纜軸力效應(yīng)極值直接由控制性事件2產(chǎn)生的效應(yīng)決定。而吊桿軸力效應(yīng)在各事件單獨作用下的GEV擬合曲線之間可能存在相交，無法通過某一事件的GEV外推結(jié)果確定效應(yīng)極值。

圖3 小時區(qū)間最大值樣本及其CGEV擬合外推Fig.3 Hourly maximal load effects and their CGEV models fitting on individual and mixed traffic flow

2.2 有限樣本量下的極值外推

為了進一步分析CGEV方法的適用范圍，對最大值樣本量進行調(diào)整。以日為區(qū)間長度單位，經(jīng)檢驗：日區(qū)間最大值樣本同樣滿足獨立性假定。與小時區(qū)間相比，日區(qū)間最大值樣本的樣本量顯著減少。為了能更直觀的觀察樣本量對極值結(jié)果的影響，分別下調(diào)2和4個樣本量作為兩組樣本對照。仍采用GEV分布對樣本數(shù)據(jù)進行擬合，通過極大似然估計［12］計算參數(shù)ξk，σk，μk并代入式（2）和式（4），根據(jù)得到的組合最大值分布即可外推任意給定評估周期下的效應(yīng)極值。

將各獨立加載事件以及混合事件的擬合曲線、外推極值繪制于Gumbel概率紙，如圖4所示。當以d為區(qū)間長度單位時，通過CGEV方法計算的主纜軸力極值與小時區(qū)間的外推極值有差異。此時樣本量的微小變動會立即引起各加載事件下GEV分布擬合結(jié)果的較大波動，甚至產(chǎn)生對控制性加載事件的誤導(dǎo)，體現(xiàn)出CGEV方法在有限樣本量下的局限性。

圖4 不同樣本量的日區(qū)間最大值樣本及其CGEV擬合外推Fig.4 Daily Maximal load effects and their CGEV models fitting under individual and mixed traffic flow

2.3 樣本量與底分布影響分析

以上采用CGEV方法對不同樣本量的效應(yīng)樣本進行極值推定，下面將從底分布的角度對樣本量變化引起極值結(jié)果變動的原因進行分析驗證。圖5為各事件作用下不同樣本量對應(yīng)的主纜軸力效應(yīng)底分布及其擬合，表2列出了相應(yīng)的均方誤差與CGEV外推結(jié)果。

圖5 不同區(qū)間最大值樣本底分布及擬合Fig.5 Bottom distribution and simulation of maximum samples in different blocks

表2 不同樣本量下的均方誤差與極值比較Tab.2 Simulation fitness and comparison of CGEV extrapolation results in different sample sizes

由表2數(shù)據(jù)可知，樣本量減少會明顯增大底分布的擬合誤差。結(jié)合圖5可分析造成這種差異的原因：在最大值樣本有限的情況下，底分布數(shù)據(jù)較零散，無法采用一種極值分布來描述數(shù)據(jù)的特征。考慮到CGEV方法本質(zhì)上不會改變極值特性，所以當用式（2）組合各效應(yīng)分布時，組合最大值分布仍會保留各事件底分布的擬合誤差，影響極值推定結(jié)果的準確性。

結(jié)合式（2）對不同加載長度效應(yīng)組合外推結(jié)果產(chǎn)生差異的原因進行分析，組合廣義極值方法中組合最大值分布模型是單獨加載事件下累積分布函數(shù)的乘積。累積分布函數(shù)具有單調(diào)遞增性，且區(qū)間范圍為［0，1］。只有在任意事件下累計分布函數(shù)值均處于區(qū)間（0，1）時，才能同時考慮到不同事件的影響。圖5 中這個重合段即為兩條虛線之間的區(qū)域。區(qū)域范圍越寬，CGEV 極值外推時不同事件單獨作用下擬合曲線相交的概率就越高。反之，區(qū)域范圍越窄，甚至區(qū)域不存在時，CGEV極值外推的結(jié)果將由其中的控制性事件所決定。

3 組合廣義帕累托法適用性分析

3.1 較高閾值下的極值外推

首先采用CGPD方法進行較高閾值情況下的極值推定。由于不同加載事件下的閾值存在差異，在CGPD法中以各獨立加載事件閾值的最大值為其共同的閾值u。采用GPD 分布對樣本超出量進行擬合，其參數(shù)通過概率權(quán)重矩法［13］計算。將所有加載事件k(k=1，2)對應(yīng)的概率?k和GPD 參數(shù)ξk，σk，u代入式（3）和式（5），獲得多事件混合下的樣本超出量分布P[X?≤x]，由此即可外推任意給定評估周期下的效應(yīng)極值，表達如下：

式中：P—1(·)為混合事件下樣本超出量分布的反函數(shù)；nd為車輛荷載效應(yīng)時程的天數(shù)；nPOT為超閾值樣本總量；u為樣本閾值。

將各獨立加載事件以及混合事件的擬合曲線、外推極值繪制于Gumbel概率紙，如圖6所示。對于大跨徑橋梁的效應(yīng)極值推定，CGPD 法外推結(jié)果與傳統(tǒng)超閾值理論計算極值存在一定偏差，但其與充分樣本量下的CGEV外推極值相似。

圖6 較高閾值下的樣本及其CGPD擬合外推Fig.6 Samples with high threshold and their CGPD models fitting on individual and mixed traffic flow

3.2 較低閾值下的極值外推

為進一步分析CGPD 方法的適用范圍，基于KS檢驗方法對閾值進行調(diào)整。K-S檢驗通過比較擬合結(jié)果與實際結(jié)果的最極端差分值D與檢驗標準Ds，判斷分布函數(shù)擬合值與樣本真值的近似程度。當兩者誤差達到最小，即滿足|Ds-D|=min時，擬合值與真值最接近。D、Ds的表達式為

式中：Hk為超出量樣本所屬的帕累托分布；F為給定分布；n為樣本數(shù)量；α為置信度。

圖7 為事件1 作用下主纜軸力和跨中吊桿軸力效應(yīng)擬合的K-S檢驗結(jié)果。當D曲線與Ds曲線相交時，擬合累積分布函數(shù)曲線與實際的車輛荷載效應(yīng)經(jīng)驗累積分布之間的誤差最小，此時參數(shù)估計的穩(wěn)定性最優(yōu)。

圖7 不同閾值超出量樣本的K-S檢驗Fig.7 K-S test of different threshold samples

將各獨立加載事件以及混合事件的擬合曲線、外推極值繪制于Gumbel概率紙，如圖8所示。

圖8 較低閾值下的樣本及其CGPD擬合外推Fig.8 Samples with low threshold and their CGPD models fitting on individual and mixed traffic flow

對比圖6和圖8可以看出，不同閾值下通過CGPD方法計算的主纜軸力效應(yīng)極值僅存在約5%的偏差，吊桿軸力效應(yīng)極值存在約10%的偏差。綜合分析圖8和圖3發(fā)現(xiàn)，當面對不同加載長度的荷載效應(yīng)時，CGPD方法存在與CGEV方法相似的規(guī)律。

3.3 閾值影響分析

根據(jù)第1節(jié)中的分析，在選取超閾值樣本時，過高的閾值會減少樣本量，使擬合的準確性下降；而過低的閾值雖然保證了參數(shù)估計的穩(wěn)定性，但樣本的獨立性無法滿足。以上分別對較高閾值以及閾值選取使樣本滿足最佳穩(wěn)定性兩種情況下的效應(yīng)極值進行了計算，對其結(jié)果（見表3）進行比較。

表3 不同閾值對應(yīng)樣本的CGPD外推結(jié)果比較Tab.3 Comparison of CGPD extrapolation results of samples with different thresholds

隨著閾值上移，超閾值樣本量大幅減小，|Ds-D|值顯著增大，但CGPD 方法的外推極值變化幅度仍限制在10%范圍內(nèi)。因此，可推測CGPD方法對由閾值選取引起的樣本量變化敏感性小，適用于有限樣本量下的極值外推。

4 比較與討論

采用CGEV和CGPD兩種組合極值方法推定大跨徑橋梁中主纜軸力效應(yīng)和吊桿軸力效應(yīng)極值，與傳統(tǒng)極值理論計算的極值相比較，結(jié)果列于表4。

表4 組合極值方法與傳統(tǒng)極值方法結(jié)果比較Tab.4 Comparison between combined extreme value method and traditional extreme value method

對于大跨徑橋梁，采用不同的傳統(tǒng)極值推定方法計算極值，其結(jié)果具有較大差異；采用兩種組合極值方法計算極值，在充分樣本量情況下的極值推定結(jié)果一致。這說明大跨徑橋梁更適合用組合極值推定方法計算車輛荷載效應(yīng)極值。當樣本量大幅下降時，CGEV法的外推極值發(fā)生較大變化，而CGPD法的外推極值變化幅度基本小于10%，相對更為穩(wěn)定?？烧J為，在有限樣本量情況下適合采用CGPD 方法推定極值。

另一方面，根據(jù)前文分析歸納了以下規(guī)律：兩種組合極值推定方法在面對充分樣本量的長加載長度效應(yīng)時，各事件單獨作用下的分布擬合曲線一般不存在交叉區(qū)域，其組合外推結(jié)果直接由控制性事件（高峰狀態(tài)車流）產(chǎn)生的效應(yīng)決定。圖9通過主跨分別為700m和1 490m的懸索橋案例證明該規(guī)律對于不同大跨徑橋梁具有同樣的適用性。

圖9 不同跨徑懸索橋主纜軸力和效應(yīng)外推Fig.9 Extrapolation of axial force effect of main cable of suspension bridges with different span

5 結(jié)論

本文對目前橋梁汽車荷載效應(yīng)的組合極值外推方法進行了綜述，介紹了組合廣義極值法和組合廣義帕累托方法在大跨徑橋梁不同加載長度效應(yīng)極值推定中的應(yīng)用，并對影響外推結(jié)果的樣本量、底分布和閾值等關(guān)鍵參數(shù)以及方法適用范圍進行了分析。論文主要得到以下結(jié)論：

（1）傳統(tǒng)極值方法在大跨徑橋梁效應(yīng)極值分析中具有明顯局限性，大跨徑橋梁應(yīng)采用組合極值推定方法計算車輛荷載效應(yīng)極值。

（2）樣本量對CGEV 計算結(jié)果的影響本質(zhì)上是對底分布擬合誤差的反映。當樣本量較少時，底分布數(shù)據(jù)較零散，無法采用一種極值分布來描述數(shù)據(jù)的特征，故外推的極值準確性差。在CGPD方法中，隨著閾值的上移，超閾值樣本量大幅減小，|Ds-D|值顯著增大，但CGPD 法的外推極值變化幅度在10%范圍內(nèi)，計算結(jié)果更為穩(wěn)定。

（3）在有限樣本量情況下，推薦采用CGPD方法外推效應(yīng)極值。在充分樣本量情況下，CGEV 法與CGPD 法的外推極值基本一致，但CGPD 方法在閾值選取方面較復(fù)雜，故推薦采用CGEV方法。

（4）長加載長度效應(yīng)的極值推定具有規(guī)律性：當樣本量充足時，長加載長度效應(yīng)極值推定中各事件單獨作用下的分布擬合曲線不存在交叉區(qū)域，其在多事件混合情況下的組合外推極值直接由控制性事件（高峰狀態(tài)）產(chǎn)生的效應(yīng)決定。

作者貢獻聲明：

阮欣：方法構(gòu)思、模型設(shè)計、論文寫作與修改；

趙鑫瑩：模型推導(dǎo)、數(shù)據(jù)處理與分析，論文寫作與修改；

金澤人：車流仿真，論文修改。