邵軍艦

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)活動注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考。本文取材于中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中拋物線與三角形的面積問題，層層遞進，學(xué)生經(jīng)歷動手操作、計算、猜想、推理、驗證等活動過程，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)怎么學(xué)習(xí)，讓自己做數(shù)學(xué)的思考者。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動? 拋物線? 三角形面積

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2023）03-0139-03

學(xué)生的學(xué)習(xí)“應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”。而這些目標(biāo)任務(wù)的實施就落到了教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者——教師的身上。

當(dāng)下初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀是時間更緊了，數(shù)學(xué)作業(yè)的量更大了，留給學(xué)生思考的時間、空間更少了。學(xué)生見識面比較狹窄，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上只有通過大量的刷題、做題，以期能在數(shù)學(xué)考試中取得好成績。其本質(zhì)又回歸了“題海”戰(zhàn)術(shù)，并不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。我們期望通過自己的課堂活動努力改變當(dāng)前的現(xiàn)狀，使數(shù)學(xué)課堂面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性的發(fā)展。

一、低起點，旨在激活原有知識

在初三中考的復(fù)習(xí)中拋物線與三角形的面積是一類常見的問題，特別是動態(tài)中研究三角形的面積是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，通過數(shù)學(xué)課堂活動的設(shè)計，讓學(xué)生做懂一道題，知一類，會一片，也讓教師的數(shù)學(xué)課堂活動有一個方向，有一點思考。

三角形的面積是平面幾何面積中一個重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素——邊與角。當(dāng)三角形融入到坐標(biāo)平面中的時候，三角形的頂點、邊就更加活躍了，學(xué)生解決問題的難度相應(yīng)地也增加了。下面的問題是我們在學(xué)習(xí)中常見的經(jīng)典問題：

已知：如圖1，二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點，頂點為D。（1）直接寫出A，B，C，D各點坐標(biāo)及直線BC表達(dá)式；（2）任取A，B，C，D，O中的三個點，求出能夠組成三角形的面積。

題干先是給出了函數(shù)圖形拋物線上的四個特殊點，要求學(xué)生求出四個特殊點的坐標(biāo)，這些特殊點是三角形構(gòu)成的基點，平面坐標(biāo)系是三角形面積變化的平臺，也考查了學(xué)生對函數(shù)拋物線圖形的把控能力。對于第（2）題的解決學(xué)生表現(xiàn)出了強烈的求解欲和信心，可能學(xué)生不能找全所有的三角形，即使能找到三角形也不一定能求出它的面積。但是我們相信：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，是靠問題解決過程中的成功的體驗來激發(fā)的。各個層次的學(xué)生都能動起手來，比如△AOC、△BOC、△ABC、△AOD、△BOD、△ABD、△OCD的面積學(xué)生都比較容易求出。為什么呢？要求學(xué)生及時地反思總結(jié)：因為這些三角形的底都在坐標(biāo)軸上，底上的高根據(jù)點的坐標(biāo)就可以表示出來。

學(xué)習(xí)能力比較強的學(xué)生在求△ACD與△BCD的面積時，表現(xiàn)出了解法的多樣性，思維的發(fā)散性。先補后割的方法，學(xué)生求△BCD的面積給出了三種不同的方法如圖2、圖3、圖4。學(xué)生通過補上的圖形，使新的圖形的邊落在坐標(biāo)軸上，從而便于求出圖形的面積。特別是學(xué)生能從三角形的特殊性入手（如圖5），發(fā)現(xiàn)△BCD是直角三角形，利用坐標(biāo)平面中兩點的距離公式求得三邊長，進而求得三角形的面積。

二、鋪臺階，構(gòu)建知識之間的鏈接

教學(xué)時問題并沒有結(jié)束，你還可以用什么方法來解決這個問題呢？馬上引導(dǎo)學(xué)生閱讀下面的材料，并根據(jù)閱讀材料再求△BCD的面積。

通過閱讀材料的鋪墊，又喚起了學(xué)生求解坐標(biāo)平面中三角形面積的欲望。問題的給出其實是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的過程，根據(jù)已經(jīng)得出的結(jié)論學(xué)生能緊緊地抓住問題的關(guān)鍵點：鉛垂高（h）和水平寬（a）。通過這個數(shù)學(xué)活動，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動了學(xué)生的積極性。學(xué)生掌握了一種新的方法求面積，又引發(fā)了學(xué)生進一步對問題的思考。你能用同樣的方法求△BCD的面積嗎？

問題的解決簡明扼要，給學(xué)生足夠的時間、空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、模仿、計算、推理、驗證等數(shù)學(xué)行為形成數(shù)學(xué)結(jié)論。通過學(xué)生的閱讀理解創(chuàng)造一類求圖形面積的新方法。學(xué)生類比遷移可以利用這個模型貫通這一類問題。

由動點而生成的三角形面積問題，是拋物線與直線結(jié)合的常見形式。解決這類問題上述的模型、方法，就體現(xiàn)了它的優(yōu)勢。

三、巧設(shè)問題，動靜搭配，碰撞思維的火花

問題1：如圖8，點P是直線BC下拋物線上的一個動點，是否存在點P，使△PBC與△DBC的面積相等？

中考的綜合題中，動點的運動既會影響圖形相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，又會改變圖形的位置及形狀。在點的運動中要洞悉動點的運動軌跡、路徑，關(guān)鍵是把圖形的幾何性質(zhì)與點的坐標(biāo)有機地結(jié)合起來。問題中△DBC是靜態(tài)的，點P的運動改變了△PBC的形狀和面積。首先要通過直觀的方法引導(dǎo)學(xué)生在直線BC下方的拋物線上找到點P，使△PBC與△DBC的面積相等。其本質(zhì)就是兩個三角形同底等高，這樣學(xué)生就能把動態(tài)變化的點轉(zhuǎn)為求圖中的定點。那就是過點D作直線BC的平行線，平行線與拋物線的交點就是所求的點P（如圖9），學(xué)生動手操作，加強了問題解決的直觀性，增加了學(xué)生思考的空間。

點的坐標(biāo)是綜合題的立足點（求函數(shù)表達(dá)式），又是綜合題的制高點（求滿足條件的點的坐標(biāo)或存在性探究），求點的坐標(biāo)一般要經(jīng)歷兩個關(guān)鍵的步驟：定位與計算，在明確了點P的位置后，如何求出點P的坐標(biāo)呢？通過圖10發(fā)現(xiàn)，鉛垂高和水平寬中的兩個量，水平寬不變還是3，而鉛垂高可以用動點的橫坐標(biāo)來表示，因為動點的路徑就在拋物線上。

問題2：在直線BC上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC與△DBC的面積相等？

由圖11可知，在直線BC上方的拋物線上必定存在這樣點：點P到直線BC的距離等于點D到直線BC的距離，利用三角形面積等底同高的的方法可以找到兩個點。如何確定這兩個點的坐標(biāo)呢？直接去求點D到直線BC的距離，可能行不通，能否換個角度去思考問題。如圖12可引導(dǎo)學(xué)生從直線DP與y軸的交點N入手，從而確定直線BC到直線DP向下平移了幾個單位。這樣只要把直線BC向上平移相應(yīng)的單位數(shù)就可以了。

黃東坡曾經(jīng)在數(shù)學(xué)問題的解決中指出要從分析出發(fā)，從數(shù)學(xué)知識方法出發(fā)，使得每步之間都是思維行動的自然進發(fā)，這也是提高解題能力的關(guān)鍵。由形定數(shù)，由形思數(shù)，由數(shù)解形，巧妙地進行“數(shù)”與“形”的結(jié)合。學(xué)生在解題的過程中無形地滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想，提高了學(xué)生解題的能力，獲得了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

問題3：點P是直線BC下拋物線上的一個動點，是否存在點P，使△PBC的面積取到最大值？

由圖9可知拋物線上點D、P到直線BC的距離相等，直線還可以向下平移，并且能夠做到直線與拋物線相交于一個點Q（如圖13），即直線與拋物線相切。此時在直線下方的拋物線上，點Q離直線BC的距離最大，點P只要移到Q點，△PBC的面積就能取到最大值。這樣動態(tài)的點就可以確定下來了，引導(dǎo)學(xué)生借助方程組解的唯一性求得直線的表達(dá)式，進而求得方程組的解，最后得到點P的坐標(biāo)。也可以讓學(xué)生動手在圖中找出使△PBC的面積達(dá)到最大值的點Q，那么如何求出確定的點坐標(biāo)呢？借助圖10求△PBC的面積的啟發(fā)，把動點P的坐標(biāo)設(shè)為動態(tài)的坐標(biāo)，借助二次函數(shù)的最大值求得相應(yīng)的x的值。

四、教學(xué)的反思

問題的設(shè)計摒棄了傳統(tǒng)的以題論題，由淺入深，由易到難。讓學(xué)生親自動手操作畫圖，通過精確的數(shù)據(jù)計算，進行合理的猜想，形成有效的數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生運用模型去解決問題，有力地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功樂趣。

層層變式，逐步深入，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。我們期望通過有效的數(shù)學(xué)課堂活動設(shè)計，讓我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)擺脫單純的“題海戰(zhàn)術(shù)”。這就需要我們結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考；并能充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃東坡.探究應(yīng)用新思維[M].湖北：湖北人民出版社出版，2005.

[2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.