姚星宇

(中國民用航空飛行學(xué)院 航空工程學(xué)院，廣漢 618307)

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)故障中，整機(jī)振動(dòng)問題[1]一直是制約發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)展的關(guān)鍵故障問題。研究表明，大量整機(jī)振動(dòng)問題都與連接結(jié)構(gòu)特征參數(shù)的公差過于敏感有關(guān)[2]。而在連接結(jié)構(gòu)中，螺栓連接結(jié)構(gòu)因其具有構(gòu)造簡單、可操作性好等特點(diǎn)而廣泛存在于航空發(fā)動(dòng)機(jī)中[3]。但是，螺栓連接在幾何上存在突變以及連續(xù)性遭破壞，在外載荷作用下，連接處的應(yīng)力和變形會(huì)分布不均，接觸和摩擦更是結(jié)構(gòu)阻尼、非線性和能量耗散的主要來源[4]。近年來，航空發(fā)動(dòng)機(jī)不斷向高轉(zhuǎn)速、高推重比、高使用性、高可靠性和高耐久性發(fā)展，使得螺栓連接結(jié)構(gòu)對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力特性的影響越來越大。

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)階段或理想工作狀態(tài)時(shí)，每個(gè)螺栓沿法蘭邊周向均勻分布且預(yù)緊力相同，此時(shí)螺栓連接結(jié)構(gòu)是諧調(diào)的[5]。但是，對(duì)于實(shí)際的航空發(fā)動(dòng)機(jī)螺栓連接結(jié)構(gòu)，由于每個(gè)螺栓安裝和裝配的差異，螺栓之間的預(yù)緊力會(huì)不同；航空發(fā)動(dòng)機(jī)長時(shí)間工作在較惡劣的環(huán)境中，隨著運(yùn)行時(shí)間的累積，結(jié)構(gòu)中的螺栓連接必然會(huì)受到環(huán)境的影響。研究表明，疲勞、蠕變、腐蝕、磨損等因素會(huì)引起螺栓連接結(jié)構(gòu)的性能退化[6]，其主要表現(xiàn)有：①螺栓預(yù)緊力的降低導(dǎo)致連接結(jié)構(gòu)軸向、彎曲剛度的非對(duì)稱，引起結(jié)構(gòu)的預(yù)緊失諧[7]，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的改變；②螺栓預(yù)緊力的降低導(dǎo)致連接處剛度下降[8]，從而影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)損傷累積到一定程度，必將影響結(jié)構(gòu)之間的正常連接和運(yùn)轉(zhuǎn)，所以螺栓連接結(jié)構(gòu)的性能退化[9]是航空發(fā)動(dòng)機(jī)安全運(yùn)行必須考慮的問題。本文將安裝引起的螺栓預(yù)緊力差異和環(huán)境因素引起的螺栓性能退化，統(tǒng)稱為失諧螺栓連接結(jié)構(gòu)。

為了研究螺栓連接對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，研究人員建立了不同的螺栓連接結(jié)構(gòu)參數(shù)化模型。精細(xì)有限元模型[3,10]最大程度地保留了螺栓連接的幾何特征，能夠考慮螺栓預(yù)緊力及對(duì)接面的接觸和摩擦作用，因此其模型自由度數(shù)龐大，接觸非線性會(huì)大大增加計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)建模中存在局限性，但是在缺少試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，可以將該模型的計(jì)算結(jié)果當(dāng)作螺栓連接結(jié)構(gòu)等效簡化模型參數(shù)修正的依據(jù)。彈簧阻尼單元[11-12]將螺栓連接簡化為彈簧單元（線性或非線性）和阻尼單元，用剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)來表征連接結(jié)構(gòu)的連接特性，從而降低了模型的自由度數(shù)，但是該模型將對(duì)接面的面-面接觸變成了點(diǎn)-點(diǎn)接觸，相應(yīng)的參數(shù)一般需要試驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正，也不能考慮螺栓連接結(jié)構(gòu)的橫向移動(dòng)，因此難以應(yīng)用在航空發(fā)動(dòng)機(jī)建模中。

薄層單元模型[13]克服彈簧阻尼單元模型的局限性，在螺栓連接對(duì)接面之間定義了一層能夠模擬接觸力學(xué)特征的虛擬材料，以界面虛擬材料的材料參數(shù)來等效模擬實(shí)際的界面接觸剛度。這些薄層單元是具有參數(shù)特性的六面體或四面體單元，能夠較為準(zhǔn)確地表征連接處的剛度特性，并且能和實(shí)體單元相結(jié)合建立高保真的整機(jī)模型，只是單元的材料參數(shù)需要試驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正[14]。對(duì)于某些復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)，由于條件的限制，很多試驗(yàn)難以實(shí)施或者根本無法獲得合適的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并且薄層單元法無法考慮螺栓連接接觸面應(yīng)力分布不均的問題。因此，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)建模和動(dòng)力特性分析過程中存在一定的局限性和不足。

為了克服薄層單元法的局限性，Yao 等[15]提出了改進(jìn)薄層單元法，該方法能夠考慮對(duì)接面應(yīng)力分布不均的特點(diǎn)，對(duì)薄層單元進(jìn)行分塊處理，不同塊的單元的材料參數(shù)可以通過螺栓連接的載荷、結(jié)構(gòu)參數(shù)來確定，而不需要試驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正。因此，螺栓連接的載荷、結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取將直接決定航空發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)力特性。

本文將改進(jìn)薄層單元法應(yīng)用到失諧螺栓連接結(jié)構(gòu)中，研究失諧螺栓連接對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)靜子薄壁圓筒結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響規(guī)律。首先，提出螺栓連接預(yù)緊失諧的相關(guān)概念，包括預(yù)緊失諧量和預(yù)緊失諧比例；然后，將航空發(fā)動(dòng)機(jī)靜子結(jié)構(gòu)簡化為薄壁圓筒，研究失諧螺栓連接對(duì)薄壁圓筒結(jié)構(gòu)的確定性動(dòng)力特性分析，包括固有特性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；其次，將失諧螺栓連接的相關(guān)參數(shù)概率化，對(duì)考慮螺栓預(yù)緊失諧的薄壁圓筒穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行概率分析。

1 螺栓連接預(yù)緊失諧相關(guān)概念

螺栓連接結(jié)構(gòu)改進(jìn)薄層單元法的基本理論在文獻(xiàn)[5,15]中有詳細(xì)描述，本文僅作簡單闡述。圖1為改進(jìn)薄層單元法的示意圖，其特點(diǎn)為：①可以考慮螺栓對(duì)接面應(yīng)力非均勻分布的特點(diǎn)，薄層單元分塊，其中圓形區(qū)域?yàn)槁菟ㄟB接區(qū)域，其他區(qū)域?yàn)榉ㄌm邊接觸區(qū)域，不同區(qū)域的薄層單元具有不同的材料參數(shù)；②不同區(qū)域薄層單元的材料參數(shù)可通過螺栓載荷、結(jié)構(gòu)參數(shù)來理論表達(dá)，不需要依靠試驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正，這對(duì)研究人員來說，可以在航空發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)階段初期預(yù)估結(jié)構(gòu)的固有特性和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

圖1 改進(jìn)薄層單元法Fig.1 Improved thin-layer element method

圖2 為某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的靜子結(jié)構(gòu)，從中可以看出，機(jī)匣之間大都通過螺栓進(jìn)行連接，雖然在結(jié)構(gòu)形式上不同，但是靜子結(jié)構(gòu)的螺栓連接具有以下共同點(diǎn)：①螺栓連接結(jié)構(gòu)幾乎均具有法蘭邊；②在大多數(shù)情況下連接件都可認(rèn)為是薄壁圓筒結(jié)構(gòu)；③所承受的載荷大多為軸向力、彎矩、剪切力和扭矩；④螺栓大多沿法蘭邊周向均布，且數(shù)目眾多。因此，航空發(fā)動(dòng)機(jī)靜子結(jié)構(gòu)可簡化為由螺栓連接起來的短粗薄壁圓筒結(jié)構(gòu)，如圖3 所示。

圖2 某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)靜子結(jié)構(gòu)Fig.2 Stator structure of aero engine

圖3 薄壁圓筒螺栓連接結(jié)構(gòu)Fig.3 Bolted joints structure of thin-walled cylinder

設(shè)N為法蘭邊周向螺栓個(gè)數(shù)，F(xiàn)為每個(gè)螺栓預(yù)定的螺栓預(yù)緊力，當(dāng)螺栓連接結(jié)構(gòu)發(fā)生預(yù)緊失諧時(shí)，失諧的螺栓個(gè)數(shù)為p。

定義每個(gè)螺栓i的預(yù)緊失諧量（preload mistuning amplitude）?為

式中：Fi′為螺栓連接結(jié)構(gòu)第i個(gè)螺栓的實(shí)際預(yù)緊力；?i> 0 為預(yù)緊正失諧，?i< 0 為預(yù)緊負(fù)失諧，?i=0 為預(yù)緊諧調(diào)。對(duì)于安裝裝配原因引起的預(yù)緊失諧，可能出現(xiàn)正失諧和負(fù)失諧，而環(huán)境因素引起的螺栓性能退化，則會(huì)出現(xiàn)負(fù)失諧，本文只討論預(yù)緊負(fù)失諧。

定義螺栓連接結(jié)構(gòu)的預(yù)緊失諧比例（preload mistuning ratio）β為

本文將以這2 個(gè)參數(shù)來表征螺栓連接結(jié)構(gòu)的失諧狀況。

2 失諧螺栓對(duì)薄壁圓筒的確定性動(dòng)力特性影響

2.1 失諧螺栓連接薄壁圓筒結(jié)構(gòu)建模

該結(jié)構(gòu)是由2 個(gè)完全相同的帶法蘭邊的圓筒結(jié)構(gòu)通過12 個(gè)M20 的螺栓連接起來，其相關(guān)尺寸參數(shù)如圖4 所示，圓筒部分和螺栓的材料屬性相同，其材料參數(shù)如表1 所示。

表1 圓筒和螺栓的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of cylinder and bolts

圖4 帶螺栓的薄壁圓筒結(jié)構(gòu)Fig.4 Thin-walled cylinder structure with bolts

根據(jù)改進(jìn)薄層單元法[15]，得到了不同預(yù)緊力下薄層單元的材料參數(shù)，如表2 所示，其中G為剪切模量。假設(shè)預(yù)定的F為25 000 N，?分別為?20%、?40%、?60%和?80%，β分別為1/6、1/3、1/2 和2/3。螺栓連接處的有限元模型如圖5 所示，其中2 個(gè)橫向方向?yàn)閤向和y向，預(yù)緊失諧螺栓關(guān)于薄壁圓筒的x向?qū)ΨQ。

表2 薄層單元的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of thin-layer elements

圖5 螺栓連接處的有限元模型Fig.5 Finite element model of bolted joints area

2.2 固有特性影響

對(duì)預(yù)緊失諧的薄壁圓筒進(jìn)行固有特性分析，結(jié)構(gòu)的邊界條件為兩端自由，提取模型前6 階固有頻率，如表3 所示。

表3 不同 β和 ?下薄壁圓筒的前6 階固有頻率Table 3 The first 6-order natural frequencies of thin-walled cylinder under different β and ?

1）與諧調(diào)螺栓連接的薄壁圓筒相比，預(yù)緊失諧薄壁圓筒的固有頻率均減小，這說明當(dāng)螺栓連接結(jié)構(gòu)存在預(yù)緊失諧且?<0 時(shí)，螺栓連接的連接剛度降低，從而使得結(jié)構(gòu)的彎曲固有頻率降低。

2）預(yù)緊失諧對(duì)薄壁圓筒各階橫向彎曲固有振動(dòng)的影響程度不同，圖6 為預(yù)緊失諧量 ?對(duì)薄壁圓筒固有頻率的影響曲線（β=1/3），隨著 ?的降低，第1 階振動(dòng)固有頻率的下降程度大于其他階振動(dòng)，這說明該薄壁圓筒的第1 階橫向彎曲振動(dòng)對(duì) ?最為敏感，這與諧調(diào)螺栓連接情況下螺栓預(yù)緊力F對(duì)薄壁圓筒固有頻率影響規(guī)律一致[5]。

圖6 ?對(duì)薄壁圓筒固有頻率的影響曲線( β=1/3)Fig.6 Influence of ? on natural frequency of thin-walled cylinder ( β=1/3)

3）當(dāng) β一 定、?<0 且逐漸減小時(shí)，2 個(gè)橫向方向的同階振動(dòng)固有頻率值會(huì)發(fā)生分離，并且分離程度會(huì)隨著 ?的逐漸減小而增大。圖7（a）為 ?對(duì)薄壁圓筒第1 階固有頻率分離程度影響曲線，當(dāng)?=0 時(shí)，2個(gè)橫向方向的第1 階固有頻率值相等，均為1 399.28 Hz，分離程度為0 Hz；當(dāng) β= 1/6、?逐漸減小時(shí)，2 個(gè)橫向方向的第1 階固有頻率值逐漸分離，并且分離程度越來越大，頻率差值從諧調(diào)時(shí)的0 Hz 變?yōu)?=?80%的26.97 Hz，這說明預(yù)緊失諧會(huì)使得薄壁圓筒周向螺栓連接結(jié)構(gòu)的剛度非對(duì)稱，并且非對(duì)稱的程度與?成正比。

圖7 ? 和 β對(duì)薄壁圓筒第1 階固有頻率分離程度的影響Fig.7 Influence of ? and β on the first order natural frequency separation of thin-walled cylinder

4）當(dāng) ?一 定、β逐漸增大時(shí)，2 個(gè)橫向方向的同階振動(dòng)固有頻率值的分離程度是先增大再減小，到β=1/2 時(shí)減到最小，然后又逐漸升高，升高到一定程度后又逐漸減小，當(dāng) β=1 時(shí)減為0，如圖7（b）所示。這說明，隨著 β的增大，周向螺栓連接剛度的非對(duì)稱程度是由0 開始增大，然后減小再增大，最后再減小到0 的過程，其中非對(duì)稱程度的極大值點(diǎn)在預(yù)緊失諧比例 β接近1/4 或3/4 時(shí)，極小值點(diǎn)是 β接近0、1/2 和1 時(shí)，呈現(xiàn)明顯的“雙峰”特點(diǎn)。

2.3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)影響

在實(shí)際的靜子結(jié)構(gòu)中（見圖2），載荷是由轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子部分（如葉片）通過軸-軸承-支承框架，傳遞到靜子結(jié)構(gòu)的機(jī)匣處，最終通過發(fā)動(dòng)機(jī)與機(jī)翼之間的安裝節(jié)傳遞到飛機(jī)機(jī)身上。由于靜子結(jié)構(gòu)的機(jī)匣（薄壁圓筒）大都通過螺栓一段一段地連接，相較于機(jī)匣的剛性，支承框架的剛度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于機(jī)匣，所以考慮薄壁圓筒的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析時(shí)，可將薄壁圓筒的一端固定（模擬支承框架的大剛度），另一端的y向接點(diǎn)處施加大小為100 N 的載荷（模擬從轉(zhuǎn)子部分傳遞過來的載荷），結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為0.000 2，應(yīng)用模態(tài)疊加法計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，計(jì)算范圍為0～1 500 Hz，計(jì)算載荷步為750 步，如圖8 所示。本節(jié)將從2 個(gè)方面討論失諧螺栓連接對(duì)薄壁圓筒響應(yīng)特性的影響：①預(yù)緊諧調(diào)結(jié)構(gòu)和預(yù)緊失諧結(jié)構(gòu)響應(yīng)的比較；②?和 β對(duì)薄壁圓筒響應(yīng)特性的影響。

圖8 薄壁圓筒的邊界條件Fig.8 Boundary conditions of thin-walled cylinder

1 ）預(yù)緊諧調(diào)結(jié)構(gòu)和預(yù)緊失諧結(jié)構(gòu)的比較

圖9 預(yù)緊諧調(diào)與預(yù)緊失諧薄壁圓筒響應(yīng)曲線Fig.9 Response of thin-walled cylinder with tuning preload and mistuning preload

① 預(yù)緊失諧薄壁圓筒的峰值點(diǎn)較預(yù)緊諧調(diào)結(jié)構(gòu)的峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率減小，這是預(yù)緊負(fù)失諧使結(jié)構(gòu)的連接剛度降低造成的。

② 預(yù)緊負(fù)失諧對(duì)不同峰值所對(duì)應(yīng)的頻率減小幅度的影響程度不同。

③ 預(yù)緊負(fù)失諧的響應(yīng)最大幅值（31.52 mm）大于諧調(diào)結(jié)構(gòu)的最大幅值（30.95 mm），增幅約為2%。

2 ）? 和 β的影響

圖10 為 ?和 β對(duì)薄壁圓筒響應(yīng)的影響曲線，提取的仍是y向位移，從中可以看出：

圖10 ? 和 β對(duì)薄壁圓筒響應(yīng)的影響Fig.10 Influence of ? and β on response of structure

① 當(dāng) β一定時(shí)，隨著 ?的降低，響應(yīng)曲線的峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率減小，且同個(gè)峰值點(diǎn)的響應(yīng)幅值逐漸增大，這是螺栓連接處連接剛度降低導(dǎo)致。

② 當(dāng) ?一定時(shí)，隨著 β的增大，響應(yīng)曲線的峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率減小，同峰值點(diǎn)幅值逐漸增大。

以前我東奔西跑地，很少呆在車間里，現(xiàn)在有機(jī)會(huì)和員工們好好溝通交流了。員工們對(duì)我很尊重，一口一個(gè)廠長。我進(jìn)景花廠這么久了，仍不習(xí)慣被人叫做廠長。我不端廠長的架子，手把手地教他們拋光工藝，不煩不躁，耐心指導(dǎo)。不但培養(yǎng)他們的技術(shù)，還培養(yǎng)與他們的感情。只有和他們建立了情誼，才能留住人心。大發(fā)廠過去培養(yǎng)了我，我對(duì)大發(fā)廠至今仍有感情。但對(duì)林強(qiáng)信我沒有感情，他一進(jìn)車間，我們就像見了鬼。所以在權(quán)衡去留時(shí)，我為大發(fā)廠灑了幾滴清淚，但還是離開了，因?yàn)榱謴?qiáng)信在我心中沒有分量。

③ β和 ?對(duì)不同峰值所對(duì)應(yīng)的頻率減小幅度的影響程度有差異，對(duì)結(jié)構(gòu)橫向彎曲振動(dòng)的影響大于對(duì)結(jié)構(gòu)局部波形振動(dòng)的影響。

3 失諧螺栓連接對(duì)薄壁圓筒的概率性動(dòng)力特性影響

從第2 節(jié)分析看出，螺栓連接預(yù)緊失諧對(duì)薄壁圓筒的動(dòng)力特性有較大影響。在很多情況下，螺栓連接結(jié)構(gòu)周向每個(gè)螺栓的預(yù)緊情況有差異，預(yù)緊失諧存在隨機(jī)性，因此很難準(zhǔn)確預(yù)測薄壁圓筒的響應(yīng)狀態(tài)。本節(jié)將對(duì)考慮螺栓預(yù)緊失諧的薄壁圓筒的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行概率分析。

3.1 隨機(jī)輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)的確定

當(dāng)螺栓連接結(jié)構(gòu)發(fā)生預(yù)緊失諧后，薄壁圓筒隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程為（忽略預(yù)緊力變化對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的影響）

式中：N為螺栓個(gè)數(shù)；M、C分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼矩陣；KBTLi、KFTLi和KRTL分別為第i個(gè)螺栓連接區(qū)域、法蘭邊接觸區(qū)域的薄層單元?jiǎng)偠染仃嚭统ケ訂卧酝獾膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ㄏ鄳?yīng)的區(qū)域如圖5 所示）；j為抽樣次數(shù)，?KBTLj和 ?KFTLj分 別為第j次抽樣后第i個(gè)螺栓連接區(qū)域薄層單元的偏移剛度矩陣和第i個(gè)法蘭邊接觸區(qū)域薄層單元的偏移剛度矩陣；x¨、x˙、x和f分別為加速度向量、速度向量、位移向量和外載荷向量。

一般認(rèn)為，螺栓預(yù)緊力F由于安裝、裝配的差異以及螺栓性能退化等因素所產(chǎn)生的失諧服從指數(shù)分布[6]，但是螺栓預(yù)緊力不能作為隨機(jī)參數(shù)在薄壁圓筒有限元模型中體現(xiàn)，因此需要選取一個(gè)能夠表征螺栓預(yù)緊力F預(yù)緊失諧狀況的參數(shù)作為隨機(jī)輸入?yún)?shù)。

本節(jié)仍以前面所述的薄壁圓筒（見圖5）為例，假設(shè)螺栓連接結(jié)構(gòu)每個(gè)螺栓的預(yù)緊力F=25 000 N，當(dāng)F由于螺栓性能退化逐漸減小時(shí)，法蘭邊接觸區(qū)域薄層單元的彈性模量E1會(huì)逐漸減小，因此選取每個(gè)扇區(qū)的E1作 為隨機(jī)輸入?yún)?shù)。當(dāng)E1發(fā)生變化時(shí)，螺栓連接區(qū)域薄層單元的彈性模量E2也會(huì)跟著改變，所以首先需要確定E2與E1之間的關(guān)系。

由改進(jìn)薄層單元法可知[15]，E2的獲得需要每個(gè)螺栓扇區(qū)薄層單元的剛度KTL和 厚度L、法蘭邊接觸區(qū)域的面積A1和E1以 及螺栓連接區(qū)域的面積A2。在建模過程中，假設(shè)螺栓連接區(qū)域半徑是常數(shù)，不會(huì)隨著預(yù)緊力F的改變而改變，那么不同預(yù)緊力F條件下螺栓連接結(jié)構(gòu)處的相關(guān)數(shù)據(jù)如表4 所示，通過表中數(shù)據(jù)，擬合得到每個(gè)扇區(qū)的KTL與E1之間的關(guān)系（見圖11）表達(dá)式為

表4 不同預(yù)緊力F 下螺栓連接處的數(shù)據(jù)Table 4 Data of bolted joints under different preloads F

圖11 E1 與KTL 的關(guān)系Fig.11 Relationship between E1 and KTL

對(duì)于圖5 所示的螺栓連接區(qū)域，每個(gè)螺栓所在扇區(qū)的剛度表達(dá)為

因此，螺栓連接區(qū)域的彈性模量E2可表示為

對(duì)薄壁圓筒進(jìn)行有限元建模，將E1作為輸入?yún)?shù)，設(shè)置為指數(shù)分布（見圖12），其中初始值為1.98 GPa，衰減系數(shù)為0.00 371，最終得到薄壁圓筒的隨機(jī)有限元模型，其中螺栓連接處模型如圖13 所示，每個(gè)扇區(qū)不同區(qū)域的材料參數(shù)是不同的，從而模擬螺栓連接結(jié)構(gòu)的隨機(jī)預(yù)緊失諧。此時(shí)，對(duì)每個(gè)扇區(qū)的E1進(jìn) 行抽樣，便可得到第j次抽樣后第i個(gè)螺栓連接區(qū)域薄層單元和法蘭邊接觸區(qū)域薄層單元的偏移剛度矩陣。

圖12 E1 的指數(shù)分布Fig.12 Exponential distribution of E1

圖13 失諧時(shí)螺栓連接處的有限元模型Fig.13 Finite element model of mistuning bolted joints

應(yīng)用完全法對(duì)式(3)進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，計(jì)算范圍為0～1 500 Hz，計(jì)算步長為0.5 Hz，加載方式與第2 節(jié)一樣，選取加載點(diǎn)y向、x向的響應(yīng)幅值作為輸出參數(shù)。

3.2 結(jié)果分析

運(yùn)用Monte Carlo 法進(jìn)行求解，抽樣次數(shù)為100 次，抽樣方法為拉丁超立方抽樣。薄壁圓筒加載點(diǎn)的y向、x向隨機(jī)響應(yīng)曲線分別如圖14 所示。從中可以看出：

圖14 薄壁圓筒加載點(diǎn)y 向和x 向的隨機(jī)響應(yīng)曲線Fig.14 Random response curves of load point in y and x direction of thin-walled cylinder

1）隨機(jī)預(yù)緊失諧會(huì)使結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值點(diǎn)的頻帶更寬，特別對(duì)于整體結(jié)構(gòu)的彎曲振動(dòng)影響更大。

2）當(dāng)加載方向?yàn)閥向時(shí)，x向響應(yīng)也會(huì)出現(xiàn)響應(yīng)峰值，說明預(yù)緊失諧會(huì)引起與加載方向垂直的橫向方向的振動(dòng)。

3）y向響應(yīng)曲線峰值點(diǎn)的幅值均不同，說明預(yù)緊失諧可能會(huì)使結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值放大。

輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)的概率密度函數(shù)如圖15所示，可以看出，輸入?yún)?shù)為不同區(qū)域的法蘭邊接觸區(qū)域彈性模量，符合指數(shù)分布，初始值為1.98 GPa，衰減系數(shù)為0.003 71，而對(duì)于輸出參數(shù)加載點(diǎn)y向某個(gè)頻率下的響應(yīng)幅值則大致符合威布爾分布，這說明在航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作過程中，螺栓連接結(jié)構(gòu)都會(huì)發(fā)生預(yù)緊力下降，從而發(fā)生預(yù)緊失諧，但是當(dāng)預(yù)緊力下降到一定程度時(shí)，螺栓連接結(jié)構(gòu)的預(yù)緊狀況呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)。

圖15 薄壁圓筒輸入、輸出參數(shù)的概率分布Fig.15 Probability distribution of input and output parameters of thin-walled cylinder

4 結(jié) 論

1）預(yù)緊失諧會(huì)使薄壁圓筒的每階固有頻率下降，但不同階的頻率下降程度不同，對(duì)第1 階彎曲振動(dòng)的影響最明顯。

2）β和 ?對(duì) 薄壁圓筒固有頻率影響不同，當(dāng) ?逐漸減小時(shí)，同階彎曲振動(dòng)的固有頻率值會(huì)發(fā)生分離，且分離程度隨著 ?的減小而增大；當(dāng) β逐漸增大時(shí)，同階彎曲振動(dòng)的固有頻率分離程度呈現(xiàn)明顯的“雙峰”特點(diǎn)。

3）預(yù)緊失諧使得薄壁圓筒響應(yīng)峰值所對(duì)應(yīng)的頻率減小且幅值增大，并且對(duì)整體結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的影響要大于圓筒結(jié)構(gòu)局部的波形振動(dòng)。

4）隨機(jī)預(yù)緊失諧使得薄壁圓筒的響應(yīng)峰值點(diǎn)的頻帶更寬，輸入?yún)?shù)E1為指數(shù)分布，初始參數(shù)為1.98 GPa，衰 減 系 數(shù) 為0.003 71，輸 出 參 數(shù) 加 載 點(diǎn)y向響應(yīng)大體符合威布爾分布，說明航空發(fā)動(dòng)機(jī)在工作過程中，螺栓預(yù)緊力均會(huì)發(fā)生預(yù)緊失諧，但失諧到一定程度之后，螺栓連接的預(yù)緊狀況呈現(xiàn)穩(wěn)定的狀態(tài)。