劉家良

以矩形為載體，求線段或線段和最小值的問題，在中考試卷上多次“登場”. 現(xiàn)舉兩例簡要說明此類題的基本解題思路.

一、“鎖定”三角形法

將變量線段“鎖定”在一個有兩條邊為定長的三角形中.

例1（2022·山東·泰安）如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB = 3，BC = 4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM = ∠BAP，則BM的最小值為（）.

解析：如圖2，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM.

反思：由∠ADM = ∠BAP得△AMD為直角三角形，它是解題的啟動點(diǎn). 由動點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)、斜邊AD為定長，聯(lián)想到斜邊上的中線性質(zhì)，取斜邊AD的中點(diǎn)O，至此打開思維的閘門.

二、全等變換法

通過軸對稱法、平移法或二者的協(xié)同，將變量線段用與之相等的線段來替換.

例2 （2022·四川·自貢）如圖3，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF = 1，則GE + CF的最小值為____________.

解析：題中有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，怎樣使這兩個動點(diǎn)“合二為一”呢？可將兩條變量線段中的一條線段通過軸對稱法用與之相等的線段來替換，另一條變量線段通過平移法用與之相等的線段來替換，且使這兩個動點(diǎn)重合.

如圖4，作點(diǎn)G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G'，

則AG' = AG，GE = G'E.

在CD上截取CC' = 1，然后連接C'G'交AB于E，

在EB上截取EF = 1，此時GE + CF的值最小.

∵CC' = EF = 1，CC'[?]EF，

∴四邊形EFCC'是平行四邊形，

∴EC' = CF，∴G'C' = G'E + EC' = GE + CF.

∵CD = AB = 4，AD = BC = 2，G為AD的中點(diǎn)，

∴DG' = AD + AG' = 2 + 1 = 3，DC' = CD - CC' = 4 - 1 = 3.

反思：通過軸對稱、平移變換將變量線段用與之相等的線段替換，并使兩個動點(diǎn)合并為一個定點(diǎn)，最終轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問題，轉(zhuǎn)換思想孕育其中.

變式：求四邊形CGEF周長的最小值. （答案見本頁）

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）