摘要 數(shù)學(xué)的基本原則包括簡(jiǎn)單性、精確性、連貫性、一致性和完美性,它們相互關(guān)聯(lián),是數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中顯露的特征、方法與追求。只有在充分理解這些原則的基礎(chǔ)上,教材編寫(xiě)者才能貫徹課標(biāo)精神,教師才能合理用好教材,學(xué)生也才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。
關(guān)? 鍵? 詞 新課標(biāo) 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)原則
引用格式 吉智深.從新課標(biāo)的“一致性”談數(shù)學(xué)的基本原則[J].教學(xué)與管理,2023(17):31-33+38.
隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《2022年版課標(biāo)》)的頒布,數(shù)學(xué)的一致性成為這次數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的一個(gè)新要求、新亮點(diǎn),也成為大家研討的熱門(mén)話題之一。一致性其實(shí)是數(shù)學(xué)的基本原則之一,數(shù)學(xué)的基本原則還包括簡(jiǎn)單性、精確性、連貫性、完美性,它們都是數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中所遵循的一般原則?!?022年版課標(biāo)》提醒我們要關(guān)注數(shù)學(xué)的這些基本原則,希望呈現(xiàn)在學(xué)生面前的數(shù)學(xué)是精確的、一致的、連貫的,能夠展示數(shù)學(xué)對(duì)簡(jiǎn)單性與完美性的追求。這就要求即將使用的新教材在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容時(shí)不違背這些原則,也要求教師真正理解這些數(shù)學(xué)基本原則,努力遵循這些原則,教好數(shù)學(xué),也讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)。
一、簡(jiǎn)單性
“從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之時(shí),一個(gè)最基本、最顯著的特征和方法就顯露出來(lái)了,就是簡(jiǎn)單化?!盵1]數(shù)學(xué)是如何顯露簡(jiǎn)單性呢?讓數(shù)學(xué)研究對(duì)象抽象化,抽象是把復(fù)雜事物簡(jiǎn)單化的過(guò)程。5個(gè)人、5只羊、5個(gè)石塊、5根手指,數(shù)學(xué)把這些有限集合的共同特征標(biāo)記為數(shù)字“5”,其他如直線、射線、線段、平面、三角形等數(shù)學(xué)概念都是抽象的結(jié)果。
不僅數(shù)學(xué)概念是抽象的,數(shù)學(xué)的表達(dá)、數(shù)學(xué)的方法也是抽象的。數(shù)學(xué)追求用簡(jiǎn)單符號(hào)表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律與自然規(guī)律,如數(shù)學(xué)的公式、定理以及物理學(xué)中的公式等。數(shù)學(xué)方法抽象的目的也是為了簡(jiǎn)單,這在小學(xué)數(shù)學(xué)的算法中體現(xiàn)得很明顯。如前一段時(shí)間爭(zhēng)論比較多的話題“豎式重要,還是橫式重要?”如果從數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性原則看,豎式也是重要的,雖然橫式能夠說(shuō)清楚算理,但設(shè)想一下:如果用橫式來(lái)計(jì)算四位數(shù)乘以四位數(shù),雖然借助于乘法的運(yùn)算法則也可以求出結(jié)果,但與豎式比較,豎式的簡(jiǎn)便性不必多說(shuō)。如果讓學(xué)生用橫式來(lái)計(jì)算三位小數(shù)乘以兩位小數(shù),估計(jì)很多學(xué)生都做不了。不能因?yàn)闄M式表達(dá)的是計(jì)算算理,就說(shuō)豎式不重要。豎式不僅簡(jiǎn)單,而且也可以表征算理,比如用豎式計(jì)算24×12時(shí),為什么把240后面的0省略,因?yàn)槭÷?以后,就把兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以一位數(shù)的問(wèn)題,把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題,這也是追求簡(jiǎn)單的表現(xiàn)。
數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性無(wú)處不在,有了長(zhǎng)度單位1厘米以后,我們可以用1厘米的線段測(cè)量物體的長(zhǎng)度,有幾個(gè)1厘米,它的長(zhǎng)度就是幾厘米,但是這樣一段一段量太麻煩,于是就有了帶刻度的尺。角的開(kāi)口方向不同,于是就有了量角器的內(nèi)圈與外圈之分。長(zhǎng)方形的面積開(kāi)始是通過(guò)“數(shù)小方格”得到的,但麻煩,于是想辦法用簡(jiǎn)單的公式來(lái)計(jì)算。數(shù)學(xué)根據(jù)問(wèn)題的不同,總結(jié)出不同的模型,如歸一問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題等,也體現(xiàn)了解決問(wèn)題的簡(jiǎn)單化。
數(shù)學(xué)教師要看到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性,理解數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性,通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的比較與反思,讓學(xué)生體會(huì)與理解數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性。
二、精確性
精確性也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一,具體表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念要有精確的定義,數(shù)學(xué)命題要有無(wú)誤的判斷,數(shù)學(xué)推理要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程。
小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)定義有著很嚴(yán)重的排斥心理,認(rèn)為定義只不過(guò)是“多了一個(gè)需要死記硬背的東西”。我們要淡化形式,注重實(shí)質(zhì),注重?cái)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)。但凡事不能絕對(duì),不能從一個(gè)極端到另一個(gè)極端,如方程的定義有其特殊性,能夠從本質(zhì)上給出方程的概念,也不失為一種好做法。有些定義是會(huì)參與到今后的邏輯推理過(guò)程之中的,如平行四邊形的定義等。雖然小學(xué)教材給出了平行四邊的定義,但這個(gè)定義是通過(guò)“用兩把三角尺研究一下,平行四邊形的邊有什么特點(diǎn)”得出的,用兩把三角尺就能研究出它的對(duì)邊平行?即使研究出來(lái),也不夠準(zhǔn)確。與其這樣,不如直接用兩組平行線相交,得到一個(gè)四邊形,我們把這樣的四邊形稱為平行四邊形。這樣定義平行四邊形就水到渠成。數(shù)學(xué)定義的得到,不要處處從實(shí)際生活出發(fā),這樣既不準(zhǔn)確,也容易割斷數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。對(duì)邊相等也不能僅僅通過(guò)測(cè)量得到,而應(yīng)通過(guò)“把平行四邊形剪成兩個(gè)三角形,發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形能夠完全重合”得到,學(xué)生的理性精神得益于幾何推理,而不是簡(jiǎn)單測(cè)量。
如蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”單元,在探究“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí),教材用了“分果汁”這樣一個(gè)問(wèn)題情境:“量杯里有9/10升果汁,玻璃杯的容量是3/10升。量杯里的果汁倒入玻璃杯,能倒?jié)M幾杯?”并且提問(wèn):“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù),也可以用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算嗎?先試著算一算,再在圖中分一分,看結(jié)果是否相同。”通過(guò)算一算、分一分,很容易得出結(jié)論,也容易看出這是驗(yàn)證“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)”這一分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則,但并沒(méi)有說(shuō)清楚分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算理。
數(shù)學(xué)的精確思維讓人類能夠客觀地、定量地思考并描述世界,也才使得數(shù)學(xué)成為解決很多問(wèn)題的強(qiáng)有力工具與模型。因此,我們都要從精確性的角度考慮如何準(zhǔn)確地定義數(shù)學(xué)概念、有邏輯地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。
三、一致性
《2022年版課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)的概念本質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性,這也提示教材編寫(xiě)者及廣大教師要更多地關(guān)注數(shù)學(xué)的一致性,如數(shù)學(xué)度量本質(zhì)的一致性、度量教學(xué)環(huán)節(jié)的一致性以及數(shù)學(xué)問(wèn)題解決所執(zhí)行計(jì)劃的一致性等。
度量的本質(zhì)是將待度量與公認(rèn)的基準(zhǔn)進(jìn)行比較,具體來(lái)說(shuō)是指用一個(gè)帶單位的數(shù)值描述可度量物體或現(xiàn)象的某一個(gè)屬性,從而形成某個(gè)具有特殊含義的“量”[2],如長(zhǎng)度、面積、容積、體積、角度、質(zhì)量、方位、溫度、時(shí)間、貨幣等。度量的核心要素有兩個(gè):度量單位和度量值。從概念上來(lái)看,度量是用一個(gè)數(shù)值來(lái)表示物體的某一屬性;從行為上看,度量是一個(gè)待測(cè)量和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量(單位)進(jìn)行比較,“標(biāo)準(zhǔn)”的個(gè)數(shù)就是度量的結(jié)果。同一量不同“標(biāo)準(zhǔn)”單位之間的進(jìn)率是一致的,如相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率通常是10,厘米、分米、米后面應(yīng)該是十米、百米、千米,只不過(guò)十米、百米不常用,比米大的常用的長(zhǎng)度單位就成了千米,這與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中“滿十進(jìn)一”是一致的。此外,度量中單位與單位的乘積形成新的度量單位,如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)(厘米)乘以寬(厘米)得到它的面積,同時(shí)得到新的面積單位“平方厘米”,這與數(shù)的運(yùn)算中“計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位,得到新的計(jì)數(shù)單位”是一致的。
度量教學(xué)環(huán)節(jié)也基本遵循著一致性的原則:第一步,意識(shí)到物體與現(xiàn)象某些可測(cè)的屬性,如線段有長(zhǎng)與短之分,角度有大與小之分。第二步,為得到一個(gè)確定的、一致的結(jié)果,借助工具或者通過(guò)抽象制定出“標(biāo)準(zhǔn)”。第三步,直接用“標(biāo)準(zhǔn)”來(lái)度量待測(cè)量,如用1厘米的線段來(lái)測(cè)量一個(gè)線段,這個(gè)線段有3個(gè)1厘米,得到這條線段的長(zhǎng)度是3厘米。第四步,根據(jù)需要反思“標(biāo)準(zhǔn)”制定的合理性,隨著生活的需要和現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展需要引入更小的或者更大的長(zhǎng)度單位,如納米和光年等。第五步,嘗試用工具、公式或估測(cè)等方式得到待測(cè)量的結(jié)果。如測(cè)量物體的長(zhǎng)度可以用尺簡(jiǎn)單測(cè)量出來(lái),長(zhǎng)方形的面積可以通過(guò)公式計(jì)算得出,或者在精確度要求不高的情況下,通過(guò)估測(cè)活動(dòng)得到待測(cè)量的結(jié)果。
問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)之一,教材把解決問(wèn)題的策略作為必教內(nèi)容,只不過(guò)編寫(xiě)方式不同。如蘇教版數(shù)學(xué)教材設(shè)置關(guān)于“問(wèn)題解決的策略”的專門(mén)章節(jié),而人教版數(shù)學(xué)教材則把解決問(wèn)題的策略滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程之中,各個(gè)版本數(shù)學(xué)教材在解決問(wèn)題策略的編寫(xiě)上各有特色,教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)地探尋解決問(wèn)題方法,系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與使用。
“四能”(發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力、提出問(wèn)題能力、分析問(wèn)題能力與解決問(wèn)題能力)成為《2022年版課標(biāo)》的課程總目標(biāo)?!皢?wèn)題解決是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的基石。沒(méi)有問(wèn)題解決能力,數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和技能的作用和力量會(huì)是很有限的”[3]。數(shù)量關(guān)系在解決問(wèn)題中的重要性不言而喻,但它不能代表問(wèn)題解決的全部。所以,讓學(xué)生制定并執(zhí)行一個(gè)計(jì)劃去解決問(wèn)題,比單純利用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題要深入得多,也更有用途。
四、連貫性
如果說(shuō)數(shù)學(xué)的一致性是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的一致性,那么數(shù)學(xué)的連貫性則主要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的連貫性。每個(gè)概念、定義與性質(zhì)在學(xué)生初學(xué)時(shí)都是新知識(shí),但學(xué)生在繼續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問(wèn)題時(shí),它們又變成學(xué)生可以利用的舊知識(shí)?!皵?shù)學(xué)是一組相互關(guān)聯(lián)的紐帶,其中每個(gè)概念或技巧是某條紐帶中的一個(gè)結(jié)。”[4]這種連貫性應(yīng)在教材與教學(xué)中有明確的體現(xiàn),也應(yīng)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)是如何關(guān)聯(lián)的,從而深入理解并掌握新的知識(shí)與方法。
在教學(xué)5以內(nèi)數(shù)的加減法前,幾乎所有數(shù)學(xué)教材都先讓學(xué)生理解等于、大于與小于。采用對(duì)應(yīng)法讓小學(xué)生理解小猴與桃子一樣多時(shí),用“=”表示小猴與桃子兩者的數(shù)量;小猴比香蕉多時(shí),用“”表示小猴與香蕉兩者的數(shù)量關(guān)系,小猴比梨少時(shí),用“”表示小猴與梨兩者的數(shù)量關(guān)系。這樣做的目的是通過(guò)對(duì)應(yīng)法凸顯兩個(gè)事物之間數(shù)量的大小關(guān)系,特別是能夠揭示“=”的本質(zhì)。然而在后面講授加法時(shí),似乎看不到用對(duì)應(yīng)法得到兩側(cè)物體數(shù)量相等的例子。事實(shí)上如果在前面學(xué)習(xí)“相等、多與少”的基礎(chǔ)上,在少的那一側(cè)“添加”若干個(gè)物體,使得兩側(cè)的物體的數(shù)量一樣多,可以幫助學(xué)生理解加法的意義,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“=”本質(zhì)的理解,對(duì)學(xué)生將來(lái)理解方程的意義以及等價(jià)關(guān)系也有很大幫助。這應(yīng)該是《2022年版課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)要“引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體操作活動(dòng),利用對(duì)應(yīng)的方法理解加法的意義”的原因吧。
類似的問(wèn)題還有,對(duì)于自然數(shù)的加法,小學(xué)生一開(kāi)始是通過(guò)往后數(shù)數(shù)得出結(jié)果的,比如一堆粉筆有3支,另一堆粉筆有5支,一共有幾支粉筆?不管是放在一起數(shù),還是看出一堆的數(shù)量,從另一堆開(kāi)始往后數(shù),都是“往后數(shù)”。但現(xiàn)行教材中的分?jǐn)?shù)加法,沒(méi)有“往后數(shù)”的影子,我們的教材是否可以改為:“1/4米長(zhǎng)的線段加上1/2米長(zhǎng)的線段,拼接成的線段多長(zhǎng)?”已經(jīng)有了1/4米,往后數(shù),一共有幾個(gè)1/4米”[5],這與“自然數(shù)相加,往后數(shù),看看一共有幾個(gè)1”是一致的,這樣的連貫性,讓學(xué)生沒(méi)有陌生感,也不會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)加法產(chǎn)生學(xué)習(xí)恐懼。
當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了一些誤區(qū),過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè),過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,這些做法很容易割裂數(shù)學(xué)的連貫性,數(shù)學(xué)的連貫性不能因?yàn)閿?shù)學(xué)生活化而被打破。
五、完美性
數(shù)學(xué)不僅追求簡(jiǎn)單性,還追求完美性。數(shù)學(xué)的完美性首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上,世界各國(guó)的語(yǔ)言各異,但數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)符號(hào)卻是通用的。各國(guó)的數(shù)學(xué)家借助通用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,可以毫無(wú)障礙地交流與學(xué)習(xí),這促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,也促進(jìn)了科技的進(jìn)步與人類的發(fā)展。
數(shù)學(xué)推廣是數(shù)學(xué)追求完美性的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)推廣是“指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展,使之在更大范圍或更高層次上成立”[6]。一元二次、一元三次、一元四次方程都有公式解,那么一元五次方程、一元六次方程……是不是都有公式解呢?如果一次方程都有公式解,那么就是完美的結(jié)果。因此,數(shù)學(xué)家前赴后繼尋找一元五次、一元六次方程的解,雖然最后結(jié)果事與愿違,阿貝爾證明了一元四次方程以上沒(méi)有公式解,但數(shù)學(xué)這種追求完美的精神是值得贊頌的。
如果數(shù)學(xué)某個(gè)方面沒(méi)有完美性,怎么辦?想辦法讓它完美。函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集之間的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系,如何定義三角函數(shù)呢?角度不是實(shí)數(shù),怎么辦?引入弧度制,建立角度與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng),這樣,三角函數(shù)就定義在兩個(gè)數(shù)集之間。
數(shù)學(xué)的完美性還表現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題總想有一個(gè)完美的解答:為什么要研究這些數(shù)學(xué)概念?為什么對(duì)頂角相等?為什么數(shù)學(xué)猜想是正確的?……數(shù)學(xué)總是想方設(shè)法去證明每一個(gè)論斷,但這些證明過(guò)程很快就會(huì)被學(xué)生遺忘,那么數(shù)學(xué)證明的價(jià)值到底是什么呢?首先它培養(yǎng)學(xué)生的一種意識(shí),那就是應(yīng)用別人已獲得的結(jié)果時(shí),要去檢驗(yàn)它們,別讓自己用錯(cuò)了;其次在分析與學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)證明的過(guò)程中,培養(yǎng)與保持學(xué)生的洞察力;最后數(shù)學(xué)證明能夠培養(yǎng)學(xué)生條理化、系統(tǒng)化思考問(wèn)題的習(xí)慣??梢哉f(shuō),數(shù)學(xué)證明在培養(yǎng)學(xué)生追求真理、保持洞察力上的表現(xiàn)也是完美的。
小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該重視歸納推理,因?yàn)闆](méi)有具體例子就沒(méi)有一般化的結(jié)論與方法,但不對(duì)結(jié)論與方法進(jìn)行反思與推理,數(shù)學(xué)是不完美的。所以,小學(xué)數(shù)學(xué)也應(yīng)該根據(jù)需要,滲透與培養(yǎng)學(xué)生的證明意識(shí)與證明能力。利用基本事實(shí)證明自然數(shù)除法法則與分?jǐn)?shù)除法法則的一致性。
總之,教材編寫(xiě)者應(yīng)該關(guān)注并落實(shí)數(shù)學(xué)的基本原則,把數(shù)學(xué)的基本原則滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、方法的教學(xué)中;數(shù)學(xué)教師應(yīng)該理解數(shù)學(xué)的基本原則,在處理教材、閱讀文獻(xiàn)時(shí),能夠獨(dú)立思考,辯證地看待與處理爭(zhēng)議內(nèi)容,在數(shù)學(xué)基本原則的指導(dǎo)下,理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),挖掘數(shù)學(xué)的教育價(jià)值,發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的力量,教師與教材協(xié)同發(fā)力,努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科立德樹(shù)人的目標(biāo)。
參考文獻(xiàn)
[1] 方運(yùn)加.數(shù)學(xué)教師應(yīng)信仰數(shù)學(xué)真理[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):小學(xué)版,2012(Z1):20-21.
[2] 劉加霞.把握度量的本質(zhì),積累度量活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)——兼評(píng)趙娣老師的“毫米的認(rèn)識(shí)”一課[J].小學(xué)教學(xué):數(shù)學(xué)版,2013(05):24-26.
[3] 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì).美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M].蔡金返,等譯.北京:人民教育出版社,2004:167.
[4] 伍鴻熙,趙潔譯.鳳凰涅槃:讓核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)煥發(fā)生機(jī)[J].?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),2012,51(04):1-12.
[5] 吉智深.數(shù)學(xué)推廣:模式、方法及教育價(jià)值[J].中小學(xué)教師培訓(xùn),2023(03):29-34.
[6] 鄭隆炘.數(shù)學(xué)推廣的類型與思想方法[J].武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999(03):5-10.
[責(zé)任編輯:陳國(guó)慶]