譚 暢，張耒耒，楊 輝，章俊輝

（1.華東交通大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.華東交通大學(xué)江西省先進(jìn)控制與優(yōu)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013）

高速列車作為一種快速、高效、節(jié)能環(huán)保的運(yùn)輸工具，近年來得到廣泛的重視和迅猛的發(fā)展，已成為現(xiàn)代交通運(yùn)輸系統(tǒng)中不可或缺的部分[1]。然而高速列車軌道情況復(fù)雜，工況變化頻繁，列車系統(tǒng)因不確定的運(yùn)行狀態(tài)和運(yùn)行阻力等因素都會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，進(jìn)而導(dǎo)致列車運(yùn)行過程表現(xiàn)出強(qiáng)烈非線性、參數(shù)時(shí)變、不確定性等運(yùn)行特點(diǎn)[2-3]。這些系統(tǒng)誤差不僅使列車的控制性能變差，還會(huì)使得列車運(yùn)行不穩(wěn)定，甚至導(dǎo)致安全事故的發(fā)生。研究建立有效的高速列車運(yùn)行過程模型，并設(shè)計(jì)合適的控制策略實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差補(bǔ)償，對(duì)于保證列車安全運(yùn)行具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)踐價(jià)值[4-5]。

米根鎖等針對(duì)高速列車在運(yùn)行中由牽引和制動(dòng)系統(tǒng)的損耗現(xiàn)象和外界干擾引起的模型參數(shù)偏差問題，設(shè)計(jì)了一種最優(yōu)預(yù)見控制算法實(shí)現(xiàn)的控制器，并進(jìn)行極點(diǎn)配置保持控制系統(tǒng)穩(wěn)定[6]。李中奇等為解決動(dòng)車組停車制動(dòng)控制中因參數(shù)時(shí)變和時(shí)延導(dǎo)致的較大停車誤差問題，提出了一種改進(jìn)模糊PID-Smith 控制器[7]。何之煜等利用高速列車運(yùn)行過程因受到外部擾動(dòng)和系統(tǒng)受限的情況而產(chǎn)生的狀態(tài)偏差，提出了一種基于迭代學(xué)習(xí)控制的自適應(yīng)控制算法，能夠用較短的迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望曲線的精確跟蹤[8]。耿睿等將動(dòng)車組實(shí)際輸出與線性模型輸出的誤差描述為未建模動(dòng)態(tài)，設(shè)計(jì)了多變量非線性廣義預(yù)測(cè)控制器[9]。但上述研究中針對(duì)誤差引起的問題，大都將其視作可預(yù)見的，沒有考慮列車運(yùn)行過程中存在的系統(tǒng)誤差大多不可測(cè)，因此誤差的估計(jì)成為誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵。針對(duì)這一問題，Yang 等總結(jié)了各類可用于估計(jì)的方法[10]，詳細(xì)介紹了目前較為常用的干擾觀測(cè)器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer, ESO）方法。徐傳芳等考慮輸入飽和約束以及由于不確定的運(yùn)行阻力、未知的黏滯摩擦系數(shù)和未測(cè)量的運(yùn)行狀態(tài)等引起的系統(tǒng)不確定性，引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器在線估計(jì)和補(bǔ)償系統(tǒng)總的不確定性，提出高速列車的魯棒自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制算法[11]。郭亮等將列車運(yùn)行過程中受到的基本阻力和附加阻力等當(dāng)作“總干擾”，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)該干擾進(jìn)行估計(jì)，并設(shè)計(jì)列車速度曲線跟蹤的前饋控制算法[12]。上述方法都在一定程度上估計(jì)和補(bǔ)償了系統(tǒng)的不確定性，但高速列車這類屬于不確定性復(fù)雜對(duì)象的控制系統(tǒng)，容易受到人為的干擾中斷和啟停，致使系統(tǒng)常處于過渡階段。迫切需要提出一種能夠有效解決高速列車由于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致不確定性和自適應(yīng)調(diào)節(jié)問題的補(bǔ)償控制方法。

自適應(yīng)控制在實(shí)現(xiàn)過渡過程的自適應(yīng)調(diào)節(jié)和解決高速列車不確定參數(shù)以及漸進(jìn)跟蹤的問題上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，被廣泛用于高速列車跟蹤控制[13-15]。但大部分自適應(yīng)控制容易出現(xiàn)待調(diào)參數(shù)過多，參數(shù)預(yù)選工作量大以及計(jì)算量大的問題，不利于工程實(shí)現(xiàn)。而特征模型以其簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)和具有輸出采樣反饋形式彌補(bǔ)了此方面的不足。吳宏鑫等提出的基于特征模型的智能自適應(yīng)控制理論[16-17]可以解決一類復(fù)雜的高階對(duì)象或者非線性系統(tǒng)對(duì)位置保持或者跟蹤的控制要求。曹陽等針對(duì)高速永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)因物理受限產(chǎn)生的飽和效應(yīng)，設(shè)計(jì)了一種基于特征模型的自適應(yīng)抗飽和控制，提高了系統(tǒng)跟蹤精度和抗干擾能力[18]。吳悠等為實(shí)現(xiàn)對(duì)管道壓力的高精度控制，將特征建模與黃金分割自適應(yīng)控制應(yīng)用于水流管道的壓力控制[19]。Gao 等為實(shí)現(xiàn)對(duì)列車位移和速度的精確跟蹤控制，提出了基于特征模型的全系數(shù)自適應(yīng)控制，設(shè)計(jì)了位移/速度雙反饋的控制方法，將其應(yīng)用于列車自動(dòng)控制系統(tǒng)中，具有較強(qiáng)的魯棒性[20-21]?？梢钥闯?，應(yīng)用特征模型方法處理具有較大不確定性的系統(tǒng)和被控對(duì)象，在控制性能上具有出色的表現(xiàn)。

本文針對(duì)高速列車運(yùn)行過程中因系統(tǒng)誤差造成的不確定性問題，提出了一種新的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制策略。該策略通過建立存在系統(tǒng)誤差的高速列車特征模型，考慮不確定運(yùn)行阻力、辨識(shí)誤差及模型誤差等對(duì)系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)以達(dá)到補(bǔ)償目的，實(shí)現(xiàn)列車對(duì)給定目標(biāo)曲線的漸近跟蹤。

1 列車動(dòng)力學(xué)建模和問題描述

1.1 列車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在列車動(dòng)力學(xué)中，考慮到高速鐵路線路坡度長(zhǎng)、曲線半徑大，可以將在其上方運(yùn)行的高速列車看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。列車整體動(dòng)力學(xué)模型可以描述為

式中：v 為列車運(yùn)行速度；γ 為加速度系數(shù)；F 為列車受到的合力；u 為列車牽引力或制動(dòng)力；Fg為列車基本阻力，a，b，c 為阻力系數(shù)，三者均為非恒定系數(shù)，且變化范圍較大。將式（1）整合，可以得到如下的動(dòng)力學(xué)方程

隨著列車運(yùn)行速度的不斷提高，cv2所占比例越大，系統(tǒng)的非線性特征就越明顯，式（2）即為高速列車的非線性模型。

1.2 列車特征模型

鑒于特征建模方法可以結(jié)合被控對(duì)象動(dòng)力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求進(jìn)行建模，本文通過特征模型方法建立列車特征模型。特征模型一般用一階或二階時(shí)變差分方程來描述，有關(guān)信息都?jí)嚎s到幾個(gè)特征參數(shù)中，不丟失原有的信息。并且建立形式比原對(duì)象動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，能夠有效解決高速列車控制設(shè)計(jì)中系統(tǒng)模型階次較高和模型建立過程較為復(fù)雜的問題[22－23]。

根據(jù)特征建模思想，當(dāng)要實(shí)現(xiàn)速度跟蹤控制并保持與列車原動(dòng)力學(xué)方程等價(jià)時(shí)，應(yīng)先對(duì)列車系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系構(gòu)建相對(duì)應(yīng)的特征模型。由式（2）的模型結(jié)構(gòu)，先將高速列車非線性模型簡(jiǎn)化為

式中：f（v，u）=ξ0+ξ1u+ξ2v+ξ3v2，ξ0=-γa，ξ1=γ，ξ2=-γb，ξ3=-γc。這些參數(shù)都是不確定的，隨著列車運(yùn)行工況的改變而改變。

根據(jù)文獻(xiàn)[24]提出的由非線性系統(tǒng)推導(dǎo)建立對(duì)應(yīng)的二階等價(jià)時(shí)變差分方程形式的特征建模方法。本文由特征建模思想，對(duì)列車系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系構(gòu)建離散形式的特征模型，取g0（k）u（k）作為輸入，得到列車系統(tǒng)的特征模型

式中：u（k）和v（k）分別表示列車在k 時(shí)刻的牽引/制動(dòng)力和運(yùn)行速度，即高速列車在運(yùn)行過程中系統(tǒng)的輸入量為控制力，輸出量為列車的運(yùn)行速度；Δ0（k）為建模誤差，由于u（k）在1 個(gè)采樣周期內(nèi)的變化量很小，所以此誤差在小范圍變化；f1（k），f2（k），g0（k）為待辨識(shí)的特征參數(shù)，可通過在線辨識(shí)得到，且參數(shù)的取值范圍在有界范圍內(nèi)，即f1（k）∈（1，2]，f2（k）∈[-1，0），g0（k）?1，g1（k）?1。

1.3 列車特征模型參數(shù)辨識(shí)

在特征模型建立過程中，核心是特征參數(shù)的辨識(shí)，因而準(zhǔn)確地在線實(shí)時(shí)辨識(shí)特征參數(shù)是十分重要的。針對(duì)上述建立的列車特征模型，本文采用遞推最小二乘參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)特征模型時(shí)變參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。

其中：

式中：Φ（k）為列車系統(tǒng)輸入輸出向量，分別表示列車在k-1、k-2 時(shí)刻的速度以及系統(tǒng)的控制輸入；θ（k）為特征模型時(shí)變系數(shù)向量，其中包含列車動(dòng)力學(xué)中復(fù)雜高階的有關(guān)信息，從而不至于丟失信息，且其參數(shù)估計(jì)值的范圍與時(shí)變差分方程參數(shù)取值范圍一致。為初值，其取值通常為零；K（k）為增益矩陣；P（k）為協(xié)方差矩陣，P（0）=（104～106）I，μ 為遺忘因子，當(dāng)μ=1 時(shí)，則為基本的遞推最小二乘法。

辨識(shí)后模型式（4）化為

1.4 存在系統(tǒng)誤差的列車特征模型

通過將建模誤差Δ0（k）和上述辨識(shí)誤差看作總誤差Δ（k），最后在式（6）的基礎(chǔ)上得到存在系統(tǒng)誤差的列車特征模型為

1.5 控制問題及控制目標(biāo)

鑒于特征建模理論和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的優(yōu)勢(shì)，考慮到列車系統(tǒng)由于系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的不確定性，本文針對(duì)上述所建立的存在系統(tǒng)誤差的列車系統(tǒng)特征模型（7），通過結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)，以達(dá)到相應(yīng)補(bǔ)償?shù)哪康?，設(shè)計(jì)自適應(yīng)補(bǔ)償控制器，由此實(shí)現(xiàn)存在系統(tǒng)誤差情況下的高速列車速度跟蹤控制。

因此，本文的控制目標(biāo)為：針對(duì)存在系統(tǒng)誤差的列車特征模型式（7），結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)出基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器u（k），保證速度跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)有界，使列車在運(yùn)行時(shí)的實(shí)際速度v（k）能漸近跟蹤給定速度vd（k），即e（k）→0，其中e（k）=v（k）-vd（k），e（k）為速度跟蹤誤差。

本文設(shè)計(jì)的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制框圖如圖1 所示?？刂瓶驁D中主要包括控制器模塊、遞推最小二乘法辨識(shí)模塊、控制器參數(shù)優(yōu)化模塊以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器模塊?？刂破髂K包括黃金分割控制、邏輯積分控制、邏輯微分控制，黃金分割控制是本方法中特有的一種反饋控制律。為了實(shí)現(xiàn)列車在存在未知系統(tǒng)誤差的情況下對(duì)給定目標(biāo)速度曲線的漸近跟蹤，通過采用控制框圖中的3 種控制器，結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，不斷地對(duì)列車對(duì)象進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，以獲取較好的控制效果，使列車能夠?qū)崟r(shí)跟蹤期望的速度。

圖1 高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制框圖Fig.1 Block diagram for adaptive error compensation control of high-speed train

2 列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

基于控制目標(biāo)，本文設(shè)計(jì)的控制器基本步驟如下：首先根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器模塊對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)；之后基于遞推最小二乘法辨識(shí)得到的列車特征模型參數(shù)，設(shè)計(jì)基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器；應(yīng)用廣義最小方差方法對(duì)控制器中的黃金分割控制、邏輯積分控制、邏輯微分控制中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)列車在存在系統(tǒng)誤差情況下對(duì)給定目標(biāo)曲線的漸近跟蹤。

2.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)上述控制框圖，針對(duì)列車運(yùn)行過程存在的系統(tǒng)誤差，將其視為一個(gè)整體看作新的系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)，再結(jié)合采樣得到的列車輸入輸出設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)。

考慮到列車運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜多變，列車系統(tǒng)因不確定的運(yùn)行狀態(tài)和運(yùn)行阻力等因素都會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，將系統(tǒng)誤差看作新的系統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)，設(shè)該擴(kuò)張狀態(tài)為x3，對(duì)x3進(jìn)行估計(jì)。在整個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器模塊設(shè)計(jì)中，先令速度v=x1，加速度dv=x2，再分別對(duì)速度x1，加速度x2，系統(tǒng)誤差x3進(jìn)行觀測(cè)，得到觀測(cè)結(jié)果為z1，z2，z3。同時(shí)根據(jù)觀測(cè)結(jié)果添加補(bǔ)償量，對(duì)控制量進(jìn)行補(bǔ)償，并作用于列車系統(tǒng)。通過采樣列車輸入輸出數(shù)據(jù)，利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行估計(jì)，便于設(shè)計(jì)相應(yīng)的補(bǔ)償，進(jìn)而消除誤差的影響，確保列車控制的精度。

通過上述分析，設(shè)計(jì)此擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

式中：z1、z2和z3分別為速度v、加速度dv 和系統(tǒng)誤差x3的觀測(cè)值；b 為補(bǔ)償因子，決定補(bǔ)償量的大??；β1、β2和β3分別為觀測(cè)器增益參數(shù)；fal（e，α，δ）為防振顫函數(shù)，主要用于抑制信號(hào)的抖震強(qiáng)度，具體結(jié)構(gòu)為

式中：δ 決定防振顫函數(shù)中非線性區(qū)間的寬度。對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行合理的整定，可以使系統(tǒng)的性能得到改善。同時(shí)滿足z1→x1，z2→x2，z3→x3的關(guān)系。

通過設(shè)計(jì)上述非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，并對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行合理的整定，以實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的速度x1和加速度x2及系統(tǒng)誤差x3的估計(jì)。為達(dá)到控制框圖中對(duì)列車對(duì)象進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整的良好控制效果，將擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器與基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制相結(jié)合，構(gòu)成最終的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器。

2.2 自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)設(shè)計(jì)的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器u0（k）由控制框圖中黃金分割、邏輯積分、邏輯微分3 種控制量協(xié)同作用，采用廣義最小方差方法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以減小調(diào)參復(fù)雜度。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值，得到基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器u（k），以取得更好的控制效果。

2.2.1 基于特征模型的自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器

為了實(shí)現(xiàn)列車在存在系統(tǒng)誤差情況下對(duì)給定目標(biāo)曲線的漸近跟蹤，設(shè)計(jì)基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器。針對(duì)存在系統(tǒng)誤差的列車特征模型（7），根據(jù)2.1 中系統(tǒng)誤差x3的觀測(cè)值z(mì)3和基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器，設(shè)計(jì)基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器為

式中：u0（k）為基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器；b 為補(bǔ)償因子。該控制器通過基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器計(jì)算得到控制量u0（k），同時(shí)根據(jù)觀測(cè)結(jié)果添加補(bǔ)償量1/b，其目的是設(shè)計(jì)基于此不確定性觀測(cè)的反饋控制，對(duì)控制量u0（k）進(jìn)行補(bǔ)償，將最終控制量u（k）再作用于列車對(duì)象，得到輸出速度，使列車能夠較好地跟蹤期望速度值。

2.2.2 基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器

本文設(shè)計(jì)的CMGSID 控制方法（characteristic model-golden section-integral-differential control，CMGSID）是由黃金分割控制、邏輯積分控制、邏輯微分控制組合而成。此控制器u0（k）包括3 個(gè)部分，形式如下

式中：ug（k）為黃金分割控制器（Golden-section control）；ui（k）為邏輯積分控制器（Logic integral control）；ud（k）為邏輯微分控制器（Logic differential control）。

1）黃金分割自適應(yīng)控制器。黃金分割控制能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)在參數(shù)估計(jì)未收斂到真值時(shí)是穩(wěn)定的，其一般形式可表示為

式中：l1和l2分別為黃金分割比例系數(shù)，l1=0.382，l2=0.618；e（k-1）=v（k-1）-vd（k-1）即為在k-1 時(shí)刻列車期望速度減去列車實(shí)際速度的速度誤差；，是參數(shù)估計(jì)值并且有界，σ 為可調(diào)參數(shù)。

2）邏輯積分控制器。邏輯積分控制可以消除非零均值干擾以及輸出靜態(tài)誤差，其控制器形式為

式中：kI為積分系數(shù)，且ε 為一個(gè)較小的正數(shù)。

3）邏輯微分控制器。邏輯微分控制當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，可以增大系統(tǒng)阻尼，減小震蕩幅度，其控制器形式為

式中：kd為積分系數(shù)；N 為微分系數(shù)。

2.2.3 控制器參數(shù)優(yōu)化

由于對(duì)上述控制器參數(shù)σ、kI和kd進(jìn)行調(diào)整較為困難，本小節(jié)采用廣義最小方差方法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以減小調(diào)參復(fù)雜度，取得更好的控制效果。首先將基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制器輸出表達(dá)式簡(jiǎn)化為

由于本文中的列車特征模型是單輸入單輸出系統(tǒng)，其受控自回歸模型可以表示為

式中：

ζ（k）為零均值的白噪聲序列，D 為延遲步數(shù)。以此分析列車運(yùn)行過程的特征模型式(4)，將其改寫為如下自回歸模型式

之后設(shè)列車控制系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)為

式中：P（z-1）和Q（z-1）為加權(quán)多項(xiàng)式；R（z-1）為輸入模型多項(xiàng)式。同時(shí)定義目標(biāo)函數(shù)為廣義輸出誤差的平方。

為了求出使目標(biāo)函數(shù)取最小值時(shí)的控制律，引入丟番方程

C（z-1）P（z-1）=A（z-1）F（z-1）+z-DG（z-1）（19）

在引入丟番方程后，通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)，可以得到廣義最小方差控制律為

根據(jù)文獻(xiàn)[25]中的方法對(duì)上述控制律進(jìn)行了簡(jiǎn)化，最終可得到上式的增廣式廣義最小方差形式為

式中：n 為待定參數(shù)。

經(jīng)過以上的推導(dǎo)，可以進(jìn)一步將控制器輸出表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)槠湓隽啃问?/p>

對(duì)比上兩式，同時(shí)根據(jù)由列車特征模型式改寫的式（17），可以得到na=2，=1，D=1，=0。由于之前簡(jiǎn)化最小方差控制律時(shí)，取C（z-1）=P（z-1）=1，則將丟番方程重寫為

從上式中可以得出

則可得優(yōu)化后的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器參數(shù)如下

為了實(shí)現(xiàn)列車在存在系統(tǒng)誤差情況下對(duì)給定目標(biāo)曲線的漸近跟蹤，設(shè)計(jì)了基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器。該控制器由基于特征模型的高速列車自適應(yīng)控制結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)誤差的觀測(cè)值組成，針對(duì)控制器參數(shù)σ，kI和kd采用廣義最小方差方法進(jìn)行優(yōu)化，減小調(diào)參復(fù)雜度的同時(shí)，使列車能夠較好地跟蹤期望速度值。

2.3 穩(wěn)定性分析

為了證明本文所提控制方法的穩(wěn)定性，通過選取上述目標(biāo)函數(shù)中P（z-1），R（z-1），Q（z-1）的一組多項(xiàng)式，針對(duì)列車特征模型求出其在該組目標(biāo)函數(shù)下的廣義最小方差控制律。由對(duì)比可知廣義最小方差控制律與基于特征模型的黃金分割控制律相同，最后基于廣義最小方差的收斂性和穩(wěn)定性的結(jié)果得到黃金分割控制律的閉環(huán)性質(zhì)。

針對(duì)廣義最小方差控制目標(biāo)函數(shù)和廣義最小方差控制律，選擇恰當(dāng)?shù)腝（z-1），配置文中廣義最小方差控制律的B（z-1）+C（z-1）Q（z-1）為（n 為常數(shù)）。由此，本文的受控自回歸模型可解得

按照最小二乘算法辨識(shí)上述參數(shù)θ（k），然后根據(jù)表達(dá)式設(shè)計(jì)控制律。根據(jù)文獻(xiàn)[26]中的定理1 和2以及D=1 可得如下命題。

命題1[26](穩(wěn)定性)對(duì)于上述算法，如果

式中：

則有

命題2[26]（收斂性）對(duì)于上述算法，如果σ（k）=0 則有

基于上述命題，由于廣義最小方差控制律的穩(wěn)定性和收斂性依賴于以下式的穩(wěn)定性，則其閉環(huán)特征方程為

引理[26]若特征模型是非最小相位系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定時(shí)，則存在n＞0，使得式（26）穩(wěn)定。

定理針對(duì)存在系統(tǒng)誤差的列車特征模型式（7），所有信號(hào)都是有界的，設(shè)計(jì)基于特征模型的自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器（10），使得系統(tǒng)的跟蹤誤差是有界的，并且有sup|e（k）|≤σ。

證明將式（10）代入式（7）中，基于辨識(shí)得到的參數(shù)設(shè)計(jì)控制器，并通過引入廣義最小方差對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)基于廣義最小方差的收斂性和穩(wěn)定性的結(jié)果滿足引理1 時(shí)，本文控制律的閉環(huán)穩(wěn)定性質(zhì)即為

進(jìn)而可得

將n 看作根軌跡參數(shù)時(shí)，當(dāng)開環(huán)穩(wěn)定時(shí)其開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，根據(jù)根軌跡法和式（27）可知存在常數(shù)n＞0，且時(shí)變參數(shù)有界，使得系統(tǒng)穩(wěn)定。再由上述兩個(gè)命題以及引理1 可知誤差e（k）有界，且sup|e（k）|≤σ。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的建模和控制方法的效果，選用CRH380A 型高速列車作為研究對(duì)象進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)研究。選取該趟列車在濟(jì)南—徐州東路段的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文采用不同控制方法作了兩部分的仿真。

第一部分利用本文設(shè)計(jì)的基于特征模型的高速列車自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制方法對(duì)所建立模型進(jìn)行速度跟蹤控制，該控制器由黃金分割控制、邏輯積分控制、邏輯微分控制以及擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器組合的控制器（CMGSID+ESO），并驗(yàn)證在受到誤差影響下的本文方法的抗干擾性能；第二部分分別采用傳統(tǒng)PID、基于特征模型的高速列車自適應(yīng)（CMGSID）控制方法，使用相同目標(biāo)跟蹤曲線，在參數(shù)突變一致的情況下進(jìn)行對(duì)比，比較3 種控制方法性能差異。

3.1 CMGSID+ESO 控制方法仿真效果

首先基于2.2 中調(diào)試的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，并根據(jù)2.2中的設(shè)計(jì)內(nèi)容，對(duì)運(yùn)行在京滬高鐵線路上的濟(jì)南—徐州東的列車進(jìn)行速度跟蹤控制仿真實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過不斷的調(diào)試，CMGSID+ESO 方法中控制器參數(shù)經(jīng)優(yōu)化后調(diào)試為n=5；以得到良好的控制性能為目標(biāo)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值采用試湊法將ESO 參數(shù)設(shè)置為β1＝0.7，β2＝0.3，β3＝0.4，δ＝3.5，α1＝0.5，α2＝0.25。實(shí)驗(yàn)得到的仿真結(jié)果如圖2 所示，分別為該方法對(duì)給定速度和位移的跟蹤控制曲線。其中：yr表示目標(biāo)速度曲線，Sr表示目標(biāo)位移曲線。

通過對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，在速度跟蹤的局部放大圖中，本文控制方法得到的速度跟蹤曲線能基本緊密的追蹤上目標(biāo)速度曲線yr，保持一定重合度。同時(shí)在位移跟蹤的局部放大圖中，本文控制方法得到的位移跟蹤曲線也能較好地跟蹤目標(biāo)位移曲線Sr，表明本文控制方法能使列車在運(yùn)行過程中具有較好的跟蹤性能。

然后驗(yàn)證在受到誤差影響下，CMGSID+ESO控制方法的抗干擾性能。本文設(shè)置當(dāng)列車運(yùn)行至t=1 495 s 時(shí)，設(shè)定相同的運(yùn)行模型參數(shù)突變，持續(xù)時(shí)間為90 s，而后將該參數(shù)改回原值。本文控制方法下得到的高速列車速度跟蹤曲線和速度誤差曲線以及加速度跟蹤曲線的仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 CMGSID+ESO 仿真結(jié)果圖Fig.3 CMGSID+ESO simulation results

通過對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，圖3 中CMGSID 控制的速度跟蹤誤差和加速度曲線在突變時(shí)刻有輕微躍變，速度跟蹤誤差在[-0.261 1，0.270 2] km/h 范圍內(nèi)，CMGSID+ESO 控制方法得到的速度跟蹤均方根誤差為0.08 km/h。由于ESO 可以較快地觀測(cè)系統(tǒng)誤差并補(bǔ)償，很快就能繼續(xù)保持參數(shù)未突變時(shí)的跟蹤，不再出現(xiàn)速度的急劇增減，且跳變幅度也較小。顯示了本文控制方法的有效性。

本文控制方法下的特征參數(shù)和控制器參數(shù)受系統(tǒng)誤差影響的變化曲線如圖4 和圖5 所示。

圖4 特征參數(shù)曲線Fig.4 Characteristic parameter curves

圖5 控制參數(shù)曲線Fig.5 Control parameter curves

圖4 表明，系統(tǒng)存在誤差情況下，該參數(shù)變化曲線在1 500 s 后變化較為平滑，對(duì)特征參數(shù)f1（k）和f2（k）的影響較小，對(duì)g0（k）影響較大。圖5 表明，在同樣系統(tǒng)存在誤差情況下，控制器參數(shù)kI變化曲線較為平滑，參數(shù)σ 變化曲線在500 s 后變化較為平滑，對(duì)參數(shù)λ 和kI的影響較小，對(duì)kd影響較大。特征參數(shù)和控制器參數(shù)受系統(tǒng)誤差的整體影響較小，有效體現(xiàn)出本文控制方法具有較好的追蹤性能和較強(qiáng)的自適應(yīng)能力以及抗干擾性。

3.2 傳統(tǒng)PID 和CMGSID 控制方法仿真效果

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的CMGSID+ESO 控制方法在抗干擾方面的優(yōu)勢(shì)，以下采用傳統(tǒng)PID 控制和CMGSID 控制方法與本文的控制方法進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)過不斷的調(diào)試，傳統(tǒng)PID 控制器參數(shù)可設(shè)為kp=3.7、kI=3、kd=2；CMGSID 方法中控制器參數(shù)經(jīng)優(yōu)化后調(diào)試為n=5。實(shí)驗(yàn)仿真了兩種控制方法在存在系統(tǒng)誤差情況下對(duì)于速度跟蹤誤差和加速度跟蹤的跟蹤效果，圖6 是采用PID 控制算法的仿真結(jié)果，圖7是采用CMGSID 控制方法的仿真結(jié)果。

圖6 PID 仿真結(jié)果圖Fig.6 PID simulation results

圖7 CMGSID 仿真結(jié)果圖Fig.7 CMGSID simulation results

通過對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，在速度跟蹤方面，當(dāng)列車運(yùn)行至1 495～1 585 s 時(shí)，圖6 中PID 控制的速度跟蹤存在明顯的躍變。同時(shí)，由PID、CMGSID兩種控制方法得到的速度跟蹤的均方根誤差分別為：0.668 4，0.084 0 km/h。從仿真結(jié)果可以看出，在發(fā)生系統(tǒng)參數(shù)突變時(shí)，本文方法（CMGSID+ESO）能夠?qū)ζ溥M(jìn)行有效處理，并且速度跟蹤誤差跳變幅度最小；CMGSID 控制方法能夠較好地處理參數(shù)突變，該方法下的速度跟蹤誤差跳變幅度小于0.5 km/h；PID 控制方法在處理參數(shù)突變時(shí)其速度跟蹤誤差大于2 km/h。經(jīng)對(duì)比可知本文設(shè)計(jì)的CMGSID+ESO的控制效果最好，CMGSID 控制次之，PID 控制最差。在速度誤差方面，圖6 中PID 控制下的跟蹤誤差曲線有一個(gè)波動(dòng)較大的跳變，并且在高速列車初期啟動(dòng)以及末期制動(dòng)的速度跟蹤誤差相對(duì)較大。圖7 中CMGSID 作用下的跟蹤誤差曲線也產(chǎn)生了一定波動(dòng)幅度，而本文控制方法下得到的跟蹤誤差有輕微躍變且后續(xù)依然可以保持平穩(wěn)跟蹤。在加速度跟蹤方面，PID 和CMGSID 控制也在突變點(diǎn)均出現(xiàn)一定幅度的跳變。由加速度跟蹤精度大小可以反映乘客舒適性指標(biāo)，可以看出，PID 控制方法得到的加速度跟蹤曲線在突變點(diǎn)出現(xiàn)較急劇變化現(xiàn)象，極易影響高速列車的安全運(yùn)行和乘客的舒適性。

因此，相較于傳統(tǒng)PID 控制和未加擴(kuò)張觀測(cè)器的CMGSID 控制方法，在受到系統(tǒng)誤差影響下，本文方法得到的速度和加速度跟蹤曲線能有效克服突變的影響，仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)給定速度曲線的漸進(jìn)跟蹤，具有較好的抗干擾性和魯棒性，同時(shí)提高了列車運(yùn)行的控制精度。

4 結(jié)論

采用特征模型的方法，針對(duì)高速列車運(yùn)行過程中因系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的不確定性等問題進(jìn)行了研究，得出以下結(jié)論。

1）對(duì)于存在系統(tǒng)誤差的高速列車運(yùn)行過程，基于特征模型方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)誤差補(bǔ)償控制器，能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)對(duì)給定速度曲線的漸近跟蹤，從而保障高速列車的安全可靠運(yùn)行。

2）針對(duì)存在系統(tǒng)誤差的高速列車特征模型，結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)控制器，該控制器能夠有效處理系統(tǒng)誤差帶來的不確定性，提高控制精度，具有良好的魯棒性。

3）本文設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)考慮了系統(tǒng)誤差帶來的不確定性，提高了列車運(yùn)行的控制精度，確保了高速列車安全可靠平穩(wěn)運(yùn)行。進(jìn)一步考慮同時(shí)存在系統(tǒng)誤差和擾動(dòng)的高速列車自適應(yīng)抗擾控制策略是下一步的研究方向。