劉梅 白進(jìn)偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。在小學(xué)階段，圖形的認(rèn)識(shí)是從點(diǎn)的認(rèn)識(shí)一直到圓柱的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了從一維圖形到二維圖形再到三維圖形的學(xué)習(xí)，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。在教學(xué)中，怎樣培養(yǎng)小學(xué)生的空間觀念，筆者以“認(rèn)識(shí)圓柱”為例，做一些探討。

一、在雙向描述中，抽象圖形

圖形是人類長(zhǎng)期通過對(duì)客觀物體的觀察逐漸抽象出來的。從小學(xué)到中學(xué)，對(duì)同一個(gè)或同一類圖形的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了從辨認(rèn)到認(rèn)識(shí)，再從認(rèn)識(shí)到探索并證明的三個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)。

認(rèn)識(shí)圓柱，經(jīng)歷了從辨認(rèn)到認(rèn)識(shí)兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)，無論是辨認(rèn)還是認(rèn)識(shí)，均要構(gòu)建生活中的物體與抽象圖形的關(guān)聯(lián)，并在雙向描述中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。在一年級(jí)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生把形狀相同的物品放在一起，從直觀上描述這些圓柱形物品在材料、用途、大小等方面各不相同，接著教師提出，除了觀察這些物品的“不同點(diǎn)”，還要觀察這些物品的什么？啟發(fā)學(xué)生想到觀察這些物品的“相同點(diǎn)”。此時(shí)教學(xué)就轉(zhuǎn)向從具體到圖形表象的抽象過程，為此調(diào)動(dòng)學(xué)生的視覺、觸覺、聽覺感知圓柱形物品上、下或左、右或前、后兩個(gè)面的形狀、大小及位置關(guān)系，感知圓柱形物品曲面的形狀、大小，感知圓柱形物品曲面與上、下或左、右或前、后兩個(gè)面的位置關(guān)系，從整體上構(gòu)建物品與抽象圖的關(guān)系，在學(xué)生頭腦中直觀地抽象出圓柱表象，初步建立空間觀念。皮亞杰說過：“空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過程?！庇纱?，設(shè)計(jì)辨認(rèn)哪些物品是圓柱，設(shè)計(jì)描述圓柱的表象，設(shè)計(jì)用學(xué)習(xí)的材料如橡皮泥做出所描述的物品，評(píng)價(jià)學(xué)生是否在頭腦中建立起圓柱的模型圖。這種雙向教學(xué)思想，一直延續(xù)到了五、六年級(jí)認(rèn)識(shí)立體圖形的學(xué)習(xí)中。如到了六年級(jí)認(rèn)識(shí)圓柱，呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的圓柱形建筑物和生活用品，通過觀察、比較它們的相同點(diǎn)，喚醒學(xué)生對(duì)圓柱的認(rèn)知，在描述“面”的形狀、大小及位置關(guān)系時(shí)，體會(huì)從具體到抽象的空間想象過程；為增強(qiáng)學(xué)生空間觀念，讓學(xué)生再把抽象的圓柱具體化，描述生活中的哪些物體是圓柱。在雙向描述中，不僅抽象出圖形，更重要的是發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

二、在雙向描述中，概括特征

數(shù)學(xué)思維包含找尋關(guān)聯(lián)、建立聯(lián)系和數(shù)學(xué)理解，不能建立聯(lián)系，學(xué)生就要學(xué)習(xí)和記憶太多的獨(dú)立的概念和技能。有了相互間的聯(lián)系，他們就能在以前知識(shí)的基礎(chǔ)上建立更新的理解。

當(dāng)學(xué)生構(gòu)建圓柱的“模型圖”后，接下來，要學(xué)習(xí)圓柱的什么知識(shí)？讓學(xué)生帶著問題深入思考，如果學(xué)生的思維受阻，教師引導(dǎo)學(xué)生厘清新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，依圖尋本，延伸認(rèn)知，完善結(jié)構(gòu)。

從哪些方面學(xué)習(xí)圓柱？圓柱是立體圖形，圓柱和已經(jīng)學(xué)過的哪些立體圖形有關(guān)聯(lián)？已經(jīng)從認(rèn)識(shí)和測(cè)量?jī)蓚€(gè)方面學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體，那么要從哪兩個(gè)方面學(xué)習(xí)圓柱？今天這節(jié)課學(xué)習(xí)圓柱的特征，為什么要從“面”的角度認(rèn)識(shí)圓柱的特征？一系列高階問題的提出，能有效促使學(xué)生主動(dòng)將原有經(jīng)驗(yàn)和新知進(jìn)行對(duì)比、分析，擴(kuò)充原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，想到用同化的方式認(rèn)識(shí)圓柱的特征，此時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的思維清晰可見。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生很容易歸納出圓柱由兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成的，兩個(gè)底面是大小一樣的圓形，圓柱有無數(shù)條高，這些顯性基本的知識(shí)固然重要，但更重要的是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建圓柱與圓、長(zhǎng)方形、正方形、平行線、平行線之間的距離等知識(shí)的聯(lián)系，再根據(jù)它們的關(guān)聯(lián)推理出圓柱隱性的屬性特征，由此引導(dǎo)學(xué)生有序觀察，觀察兩個(gè)底面，兩個(gè)底面的大小為什么一樣大？?jī)蓚€(gè)底面所在的平面為什么是平行的？圓柱的高為什么有無數(shù)條？圓柱的高為什么同時(shí)垂直于兩個(gè)底面的直徑？觀察圓柱的側(cè)面，是曲面，可以展開在一個(gè)平面上嗎？側(cè)面展開后可能是什么圖形？學(xué)生在描述以上問題的過程中，數(shù)學(xué)思維從三維圖形轉(zhuǎn)化為二維圖形，又從二維圖形轉(zhuǎn)化為一維圖形，從整體上認(rèn)識(shí)了圓柱，概括出圓柱的特征，增強(qiáng)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

三、在雙向描述中，評(píng)估目標(biāo)

要保證所有的學(xué)生能深入并高質(zhì)量地學(xué)習(xí)，評(píng)估和教學(xué)必須結(jié)合起來。一節(jié)課中，教師應(yīng)該清楚地知道已教了什么及學(xué)生學(xué)了什么，使得評(píng)估與教學(xué)目標(biāo)相呼應(yīng)。

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容范圍的大小，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)可分為六個(gè)級(jí)別。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師要從單元的角度設(shè)置單課的目標(biāo)。即：教學(xué)前，指向核心素養(yǎng)導(dǎo)向下分析單元教學(xué)目標(biāo)后，再統(tǒng)籌單元內(nèi)容，整合板塊，分解重難點(diǎn)，設(shè)計(jì)單課教學(xué)目標(biāo)。如，學(xué)習(xí)“圓柱與圓錐”，不僅習(xí)得有關(guān)圓柱、圓錐的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更重要的是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，幫助學(xué)生建立幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)、推理意識(shí)及應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、極限、變中不變等數(shù)學(xué)思想，彰顯育人的價(jià)值。由此，評(píng)估“認(rèn)識(shí)圓柱”這節(jié)課的課堂教學(xué)目標(biāo)，教師可選擇不同的評(píng)估技術(shù)進(jìn)行評(píng)估。

評(píng)估1：評(píng)估學(xué)生應(yīng)用程序性知識(shí)的情況。

評(píng)估學(xué)生對(duì)圓柱特征認(rèn)識(shí)和描述，不是單一的判斷哪些圖是圓柱？哪些圖不是圓柱？而是要用分類的思想把這5個(gè)圖分為兩類，第一類是第1、3、5圖，第二類是第2、4圖。第一類的3個(gè)圖有什么不同點(diǎn)？有什么共同點(diǎn)？第二類的2個(gè)圖為什么不是圓柱？這兩類圖有什么關(guān)聯(lián)？通過描述，鞏固學(xué)生對(duì)圓柱本質(zhì)特征的理解，用轉(zhuǎn)化的方法構(gòu)建兩類圖的聯(lián)系，并拓展了圓柱的知識(shí)。為發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力，把抽象的圓柱具體化，讓學(xué)生根據(jù)以上兩類幾何圖形想象并描述出生活中的實(shí)際物體，或課后你能設(shè)計(jì)一個(gè)包含圓柱、具有對(duì)稱性的作品嗎？教學(xué)拉長(zhǎng)學(xué)生的思考，不僅促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展，同時(shí)也體現(xiàn)出跨學(xué)科的教學(xué)思想。

評(píng)估2：評(píng)估學(xué)生把數(shù)學(xué)應(yīng)用于復(fù)雜或新情境的能力。

如果從靜態(tài)觀察、想象，學(xué)生就能直觀感知出上圖第2、3個(gè)圖分別以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個(gè)圓柱。要讓學(xué)生真正體會(huì)從“面”到“體”的空間轉(zhuǎn)換，教師追問，這兩個(gè)圓柱是怎樣得到的？教學(xué)從靜態(tài)思維轉(zhuǎn)向?yàn)閯?dòng)態(tài)思考，以顯促隱，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)組織學(xué)習(xí)，讓學(xué)生初步體會(huì)點(diǎn)、線、面、體之間的轉(zhuǎn)換，直觀溝通長(zhǎng)方形的長(zhǎng)或?qū)捙c圓柱底面半徑的關(guān)系，長(zhǎng)方形的寬或長(zhǎng)與圓柱高的關(guān)系，長(zhǎng)方體與圓柱的關(guān)系。顯然，在旋轉(zhuǎn)中想象圖形，在想象中描述一維圖形與二維圖形的關(guān)聯(lián)，在描述中畫出二維圖形與三維圖形的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生空間想象能力的發(fā)展，提高學(xué)生對(duì)圓柱特征的理解。

通過評(píng)估，了解學(xué)生達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的進(jìn)展情況，為最大發(fā)揮評(píng)估在教學(xué)上的作用，教師需要從對(duì)學(xué)生解答過程中表面的對(duì)錯(cuò)分析轉(zhuǎn)向?qū)W生在解答過程中的思維過程分析，幫助學(xué)生往正確的方向努力。

認(rèn)識(shí)圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷情境——圖形——特征——評(píng)價(jià)的學(xué)習(xí)過程，在情境表征、圖形表征、操作表征、語言表征的相互轉(zhuǎn)換中，實(shí)現(xiàn)一維、二維、三維的空間轉(zhuǎn)換，使發(fā)展學(xué)生的空間觀念真正落實(shí)于課堂。

【注：本文系“2021年度云南省教育科學(xué)規(guī)劃基礎(chǔ)教育專項(xiàng)項(xiàng)目《基于新課程標(biāo)準(zhǔn)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐研究》（項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)BFJC21023）”“2022年度普洱市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題《多元表征下小學(xué)數(shù)學(xué)概念理解過程的實(shí)證研究》（課題立項(xiàng)編號(hào)22Z007）”的階段性研究成果?！?/p>