錢有華 楊園

摘要： 針對(duì)一類參數(shù)激勵(lì)下的雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板非線性系統(tǒng)，考慮了一個(gè)參數(shù)激勵(lì)頻率是另一個(gè)的整數(shù)倍的情形，并將參數(shù)激勵(lì)視為慢變參數(shù)，利用“快慢分析方法”得到了多頻參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的快子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)，分析了快子系統(tǒng)的分岔行為。在平衡點(diǎn)分岔分析中，分析出單模和雙模平衡點(diǎn)下快子系統(tǒng)的 Hopf 和 fold 分岔?xiàng)l件；利用雙參數(shù)分岔集，相圖、時(shí)間歷程曲線圖、轉(zhuǎn)換相圖與平衡分支的疊加圖，分析了不同參數(shù)下簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理及其動(dòng)力學(xué)行為，觀察到不同的參數(shù)條件下其簇發(fā)振蕩現(xiàn)象可能與叉形分岔點(diǎn)無關(guān)。

關(guān)鍵詞： 簇發(fā)振蕩；快慢分析方法；叉形分岔；轉(zhuǎn)換相圖；慢變參數(shù)

中圖分類號(hào)： O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0612-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.003

引 言

多時(shí)間尺度效應(yīng)通常表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩的交替出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱為簇發(fā)振蕩。簇發(fā)振蕩通常表現(xiàn)為兩種方式：一種是時(shí)域上的耦合；另一種是頻域上的耦合［1］。本文考慮頻域上的耦合，即外激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率有一個(gè)量級(jí)上的差異。對(duì)于頻域上的簇發(fā)振蕩已經(jīng)有許多學(xué)者進(jìn)行了研究。比如：張曉芳等［2］以一類典型的混沌系統(tǒng)為例，引入?yún)⑼饴?lián)合激勵(lì)，考慮了兩激勵(lì)頻率在嚴(yán)格共振和非共振兩種情形下的動(dòng)力學(xué)特性 。夏付兵等[3］以非自治Duffing？van der Pol振子為例，討論了頻域上不同尺度的快慢耦合效應(yīng)，揭示了不同形式的簇發(fā)振蕩行為。Wei等［4］報(bào)告了在一個(gè)參數(shù)和外部激勵(lì)機(jī)械系統(tǒng)中復(fù)雜的簇發(fā)振蕩動(dòng)力學(xué)行為，研究結(jié)果豐富了復(fù)合簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)途徑。夏雨等［5］以修正的四維 Chua 電路為例，通過引入兩個(gè)頻率不同的周期電流源，建立了雙頻 1∶2 周期激勵(lì)兩尺度動(dòng)力學(xué)模型，當(dāng)兩激勵(lì)頻率之間存在嚴(yán)格的共振關(guān)系時(shí)，分析了兩尺度下的耦合行為。吳天一等［6］以經(jīng)典的 Chua系統(tǒng)為例，構(gòu)建存在頻域兩尺度耦合的非對(duì)稱動(dòng)力系統(tǒng)模型，重點(diǎn)分析了三種不同周期激勵(lì)幅值下典型的非對(duì)稱簇發(fā)振蕩及吸引子結(jié)構(gòu)，揭示其相應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)理。

文獻(xiàn)［7？8］引入了快慢分析方法，將不同尺度耦合系統(tǒng)分解為相互耦合的快慢兩子系統(tǒng)，即快子系統(tǒng)（FS）和慢子系統(tǒng)（SS），并將慢變量視為分岔參數(shù)，可以清楚地解釋其簇發(fā)機(jī)理。當(dāng)所有變量表現(xiàn)出小振幅振蕩或保持不變時(shí)，快子系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)（QS），當(dāng)所有變量表現(xiàn)出大振幅振蕩時(shí)，快子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于一個(gè)尖峰狀態(tài)（SP），當(dāng)慢子系統(tǒng)影響快子系統(tǒng)在靜止態(tài)和尖峰態(tài)之間轉(zhuǎn)換時(shí)，產(chǎn)生簇發(fā)振蕩。

近年來，許多學(xué)者研究了非光滑領(lǐng)域中的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象。比如 Bi等［9］研究了在激勵(lì)頻率與固有頻率之間有間隙的參數(shù)激勵(lì)動(dòng)力系統(tǒng)中簇發(fā)振蕩的演化。Zhang 等［10？11］在典型 Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)具有兩個(gè)時(shí)間標(biāo)度的非光滑動(dòng)力系統(tǒng)，探討簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其機(jī)理。Qu等［12］探討了具有參數(shù)和外部周期激勵(lì)的 filippov型系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩和非光滑動(dòng)力學(xué)行為的模式。Zhang 等［13］在混沌磁場(chǎng)模型的基礎(chǔ)上，引入非光滑因子來研究多時(shí)間尺度系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。Peng 等［14］研究了頻域含兩個(gè)時(shí)間尺度的 filippov 型系統(tǒng)的混合模式振蕩和分岔機(jī)理。Wang等［15］以典型 Chua電路為基礎(chǔ)，通過引入非線性分段電阻和諧波變?cè)矗⒘祟l域兩尺度耦合的修正非光滑模型，探討兩個(gè)尺度的耦合對(duì)非光滑動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。Huang 等［16］提出了一種多吸引子共存的三維混沌系統(tǒng)，其中不同的常數(shù)控制參數(shù)可以使混沌行為由單渦吸引子演化為雙渦吸引子，當(dāng)控制項(xiàng)被激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于固有頻率的周期諧波激勵(lì)所取代時(shí)，混沌運(yùn)動(dòng)可能會(huì)消失，而發(fā)生周期性的振蕩。Mao 等［17］對(duì)非自治 Murali？Lakshmanan？Chua （MLC）電路的振蕩行為進(jìn)行了詳細(xì)的研究，在 MLC電路中，分岔值的確定與非光滑的兩個(gè)邊界有關(guān)。Wang等［18］以一個(gè)典型的 Chua電路為研究對(duì)象，研究了分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)中簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。Shen 等［19］通過在四維激光系統(tǒng)中引入非光滑項(xiàng)和周期外部激勵(lì)，得到一個(gè)兩尺度 filippov型系統(tǒng)，并研究了這個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為和機(jī)理。近年來，對(duì)簇發(fā)振蕩的模式和路徑的研究也得到了很多學(xué)者的關(guān)注。比如 Yu 等［20］研究了多時(shí)滯控制振蕩器中一些新的簇發(fā)模式的產(chǎn)生，給出了周期激勵(lì)項(xiàng)緩慢變化的對(duì)稱余維 1 和余維 2 爆 破 圖 。Han 等［21］基 于 參 數(shù) 驅(qū) 動(dòng) 的 Lorenz 系 統(tǒng) ，提 出 了 一種混沌簇發(fā)路徑。Yu 等［22］證明了經(jīng)典的受控 Lu系統(tǒng)中周期性和混沌簇發(fā)的新路徑。Han 等［23］針對(duì)多頻率參數(shù)激勵(lì)的 Duffing 系統(tǒng)，提出了兩種爆破模式 ，探討了兩種爆破方式之間的關(guān)系 。 Han等［24］發(fā)現(xiàn)平衡環(huán)和極限環(huán)都能表現(xiàn)出與系統(tǒng)參數(shù)變化相關(guān)的脈沖型急劇定量變化，即脈沖型爆破（PSE）。 Wang 等［25］從解析和數(shù)值兩方面研究了雙參數(shù)機(jī)械振子在振幅調(diào)制力作用下的 Melnikov閾值轉(zhuǎn)換和相應(yīng)的快慢動(dòng)力學(xué)。Han 等［26］報(bào)道了一種近似方法—— 頻率截?cái)嗫炻治?，用于分析參數(shù)和外部激勵(lì)系統(tǒng)的快慢動(dòng)力學(xué)與兩個(gè)慢不適應(yīng)激勵(lì)頻率。Wei 等［27］研究了多頻率慢激勵(lì)下的Rayleigh 振子的動(dòng)力學(xué)，得到了與雙穩(wěn)脈沖型爆炸有關(guān)的兩種不同的爆破模式。Ma 等［28］基于一個(gè)帶有兩個(gè)慢變周期激勵(lì)的修正 Rayleigh？Duffing 系統(tǒng) ，研究了系統(tǒng)解趨近于無窮的機(jī)理。Jiang 等［29］提出了一種 2∶1 內(nèi)共振來擴(kuò)大振動(dòng)能量采集的頻帶寬度。Wei 等［30］提出了一種基于外部激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)的 Rayleigh 系統(tǒng)進(jìn)行 PSE 的方法。

本文基于一類兩自由度雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板進(jìn)行研究。第 1節(jié)對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分岔分析，得到了 Hopf和 fold分岔的條件；第 2節(jié)主要對(duì)不含有叉形分岔點(diǎn)的參數(shù)進(jìn)行簇發(fā)振蕩分析，得到了不同參數(shù)條件下的簇發(fā)振蕩類型；第 3節(jié)主要在叉形分岔參數(shù)條件下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行簇發(fā)振蕩分析，得到了不同參數(shù)下的簇發(fā)振蕩類型；第 4節(jié)對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

本文研究參數(shù)和外激勵(lì)同時(shí)作用下的系統(tǒng)［31］：

2 不含有“叉形分岔點(diǎn)”的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

在這一節(jié)中用固定參數(shù) m1 = -1 來研究其簇發(fā) 振 蕩 機(jī) 理 。 如 圖 1 所 示 ，考 慮 系 統(tǒng) 在 慢 變 參 數(shù)cos （ Ω2 t ）= δ 作用下，不同 μ1 所產(chǎn)生的不同的簇發(fā)振蕩行為。由圖 1 可知，系統(tǒng)在 μ1 ∈ （ 0，1 ） 時(shí)，會(huì)產(chǎn)生有效的簇發(fā)振蕩行為。系統(tǒng)在 μ1 = 0.35 時(shí)可能存在兩個(gè) Hopf 點(diǎn)以及兩個(gè) fold 點(diǎn)，如圖 2 所示。在μ1 = 0.5時(shí)也有可能 存在三個(gè) Hopf 點(diǎn)以及兩個(gè) fold點(diǎn)共存的行為，如圖 3 所示。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一種特殊的簇發(fā)振蕩模式，雖然系統(tǒng)在 μ1 = 0.1 時(shí)存在兩個(gè) Hopf 點(diǎn)以及兩個(gè) fold 點(diǎn)共存的行為，但事實(shí)上，真正起到作用的只有兩個(gè) fold 點(diǎn)，如圖 4 所示。

2. 1 “ 延 遲 Hopf/fold/Hopf/fold”型 簇 發(fā) 振 蕩 現(xiàn) 象分析

在 μ1 = 0.35 時(shí) ，存 在 兩 個(gè) Hopf 點(diǎn) 記 為H1（ 0.6913，-0.3816 ），H2（ 0.4609，0.1295 ），也 存 在兩 個(gè) 折 疊 點(diǎn) ，記 為 LP1（-0.06833，-0.8872 ） 和LP2 （-4.556-9，4.903-5 ），如圖 2 所示。 在文中的轉(zhuǎn)換相圖和平衡分支疊加圖中，紅色實(shí)線代表穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，黑色實(shí)線代表不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，綠色實(shí)心圓 表 示 穩(wěn) 定 極 限 環(huán) ，藍(lán) 色 空 心 圓 表 示 不 穩(wěn) 定 極限環(huán)。

在圖 2 中，系統(tǒng)一共受到四個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的影響。系統(tǒng)在右上方沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，首先碰到 H1，但并未直接開始大幅振蕩，繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，才開始進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩現(xiàn)象漸漸消退，由于 LP2 的吸引，系統(tǒng)跳躍到上分支，并沿著上分支前進(jìn)了一段時(shí)間，漸漸轉(zhuǎn)移到了穩(wěn)定平衡點(diǎn)分支，一直沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)分支移動(dòng)至最小值-1 后，開始反向運(yùn)動(dòng)；同樣地，系統(tǒng)先遇到 H2 之后，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩現(xiàn)象的漸漸消退，系統(tǒng)沿著不平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，逐漸被 LP1 吸引，跳躍到下分支，沿著下分支運(yùn)動(dòng)。至此，系統(tǒng)的一個(gè)周期已完全進(jìn)行，稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“延遲 Hopf/fold/Hopf/fold”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，會(huì)觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“延遲 Hopf/fold/Hopf/fold”型簇發(fā)振蕩。

2. 2 "Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold"型 簇 發(fā) 振 蕩 現(xiàn) 象分析

在圖 3 中 μ1 = 0.5 時(shí)，系統(tǒng)存在三個(gè) Hopf 點(diǎn)，分別 為 H1（ 0.7474，-0.3307 ），H2（-0.5315，0.1017 ），H3（-0.7317，-0.01579 ），還存在兩個(gè) fold 點(diǎn)，分別為 LP1（ 0.1146，0.782 ），LP2（ 2.272-10，-2.186-5 ）。

在圖3中 ，系統(tǒng)受到五個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的影響。系統(tǒng)在右上方沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，碰到H1之后，開始進(jìn)行簇發(fā)振蕩，大幅振蕩現(xiàn)象漸漸消退之后，由于LP2的吸引，系統(tǒng)跳躍到上分支，沿著上分支前進(jìn)了一段時(shí)間后，遇到了分岔點(diǎn)H2，也發(fā)生了簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，隨著大幅振蕩的逐漸消退，繼續(xù)向左邊前進(jìn)，緊接著遇到了分岔點(diǎn)H3，也開始出現(xiàn)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，大幅振蕩漸漸消退后，系統(tǒng)繼續(xù)沿著不穩(wěn)定平衡點(diǎn)分支向左邊運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最左邊的最小值-1，隨后開始反向運(yùn)動(dòng)；同樣地，系統(tǒng)先遇到H3之后，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩現(xiàn)象的漸漸消退，系統(tǒng)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，隨后碰到了分岔點(diǎn)H2，也進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩的逐漸消退，系統(tǒng)逐漸被LP1吸引，跳躍到下分支，一直沿著下分支運(yùn)動(dòng)，遇到了分岔點(diǎn)H1，類似地，發(fā)生了簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，直至系統(tǒng)到達(dá)最右邊1處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，會(huì)觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”型簇發(fā)振蕩。

2.3“fold/fold”型簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

圖4中μ1=0.1時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)Hopf點(diǎn)，分別為H1（0.04058，-0.9249），H2（-0.1999，0.1785），還存在兩個(gè)fold點(diǎn)，分別為L(zhǎng)P1（-0.1409，-0.5971）和LP2（-7.42-10，3.265-5）。

在圖4中，雖然系統(tǒng)中存在四個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但事實(shí)上，真正起到作用的只有兩個(gè)折疊點(diǎn)，即LP1，LP2。系統(tǒng)在右上方沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，雖然遇到了 H1，但并未發(fā)生分岔行為，系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)遇到了 LP1，并跳躍到上分支，開始了簇發(fā)振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)，直至最小值-1 處，開始反向運(yùn)動(dòng)；同樣地，系統(tǒng)先遇到 H2，也并未發(fā)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰到了 LP2，跳躍到下分支，進(jìn)行了簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩現(xiàn)象的漸漸消退，系統(tǒng)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至系統(tǒng)到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“fold/fold”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，會(huì)觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“fold/fold”型簇發(fā)振蕩。

3 含有“叉形分岔點(diǎn)”的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

在這一節(jié)中用固定參數(shù) m1 = 1 來研究其簇發(fā)振蕩機(jī)理 。 如圖5所示，考慮系統(tǒng)在慢變參數(shù)cos （ Ω2 t ）= δ 作用下，不同 μ1 可能會(huì)產(chǎn)生不同的簇發(fā)振蕩行為。根據(jù)圖 5 可知，系統(tǒng)在不同 μ1 作用時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生不同的簇發(fā)振蕩行為，與第 2 節(jié)不同的是，這里的簇發(fā)振蕩行為受到叉形分岔的影響。具體可以分為以下幾種情形。

3. 1 “BP/fold”型簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

在圖 6 中 μ1 = -0.1 時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè) fold 點(diǎn)，分 別 為 LP1（ 0.1353，0.7113 ），LP2（-0.117，1.299 ），還存在一個(gè) BP 點(diǎn)，為 BP （ 0.00022，0.01072 ）。

在圖 6 中，雖然系統(tǒng)中存在三個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但真正起作用的只有一個(gè) fold 和一個(gè)叉形分岔點(diǎn)，即 LP1 和 BP。系統(tǒng)在左上方和右上方同時(shí)沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，遇到了點(diǎn) BP，并跳躍到上分支，開始了簇發(fā)振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)，直至最小值-1 處，開始反向運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)遇到 LP2，但并未發(fā)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰到了 LP1，跳躍到下分支，進(jìn)行了簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩的漸漸消退，系統(tǒng)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡，稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“BP/fold”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，能觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“BP/fold”型簇發(fā)振蕩。

3. 2 “BP/fold/Hopf”型簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

在圖 7 中 μ1 = 0.05 時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè) fold 點(diǎn)，分 別 為 LP1（ 0.1353，0.7113 ） 和 LP2（-0.117，1.299 ），一 個(gè) BP 點(diǎn) ，為 BP （ 0.00022，0.01072 ），以 及一個(gè) Hopf點(diǎn)，為 H1（ 0.3609，-0.114 ）。

在圖 7 中，雖然系統(tǒng)中存在四個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但真正起作用的只有一個(gè) fold 點(diǎn)、一個(gè)叉形分岔點(diǎn)和一個(gè) Hopf 點(diǎn)，即 LP1，BP 和 H1。系統(tǒng)在左上方和右上方同時(shí)沿著平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，遇到了點(diǎn) BP，并跳躍到上分支，開始了簇發(fā)振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)，直至最小值-1 處，系統(tǒng)開始反向運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)遇到 LP2，但并未發(fā)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰到了 LP1，跳躍到下分支，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩的漸漸消退，系統(tǒng)又遇到了 H1，進(jìn)行簇發(fā)振蕩運(yùn)動(dòng)，隨著尖峰態(tài)的逐漸消退，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“BP/fold/Hopf”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，可以觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“BP/fold/Hopf”型簇發(fā)振蕩。

3. 3 “BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型 簇 發(fā) 振 蕩 現(xiàn) 象分析

在圖 8 中 μ1 = 0.08 時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè) fold 點(diǎn)，分別為 LP1（ 0.1353，0.7113 ） 和 LP2（-0.1351，1.285 ），一 個(gè) BP 點(diǎn) ，為 BP （ 0.00022，0.01072 ），以 及 四 個(gè)Hopf 點(diǎn) ，分 別 為 H1（ 0.05746，1.179 ），H2（-0.354，0.9216 ） 和 H3（-0.6845， 0.4561 ）， H4 （-0.354，-0.9393 ）。

在圖 8 中，雖然系統(tǒng)中存在七個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但真正起作用的只有一個(gè) fold 點(diǎn)、一個(gè)叉形分岔點(diǎn)和三個(gè) Hopf 點(diǎn)，即 LP1，BP 和 H1，H2，H4。系統(tǒng)在左上方和右上方同時(shí)沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，遇到了點(diǎn) BP，并跳躍到上分支，立即遇到了 H1，開始簇發(fā)振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)，遇到 LP2，但并未發(fā)生簇發(fā)振蕩，其次遇到了 H2，開始大幅振蕩，又碰到了 H3，并未產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，直至最小值-1 處，系統(tǒng)開始反向運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，碰到了 LP1，跳躍到下分支，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著簇發(fā)振蕩現(xiàn)象的漸漸消退，系統(tǒng)又遇到了 H4，進(jìn)行簇發(fā)振蕩運(yùn)動(dòng)，隨著尖峰態(tài)的逐漸消退，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，會(huì)觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組 參 數(shù) 下 產(chǎn) 生“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型 簇 發(fā)振蕩。

3. 4 “BP/Hopf/fold/Hopf”型簇發(fā)振蕩現(xiàn)象分析

在圖 9 中 μ1 = 0.1 時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè) fold 點(diǎn)，分別 為 LP1（ 0.1353，0.7113 ），LP2（-0.2049，1.2 ），一個(gè) BP 點(diǎn)，為 BP （ 0.001271，0.02644 ），以及三個(gè) Hopf點(diǎn) ，分 別 為 H1（ 0.4495，-0.07972 ），H2（-0.2682，1.091 ）和 H3（-0.7213，0.4265 ）

在圖9中，雖然系統(tǒng)中存在六個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但真正起作用的只有一個(gè) fold 點(diǎn)、一個(gè)叉形分岔點(diǎn)和兩個(gè) Hopf 點(diǎn)，即 LP1，BP 和 H1，H2。系統(tǒng)在左上方和右上方同時(shí)沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，遇到了點(diǎn) BP，并跳躍到上分支，遇到了 LP2，系統(tǒng)并未受到 LP2 的影響，繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)遇到了 H2，由于不穩(wěn)定極限環(huán)的影響，系統(tǒng)也進(jìn)行大幅振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)遇到 H3，并未產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，直至最小值-1 處，系統(tǒng)開始反向運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)后，碰到了 LP1，跳躍到下分支，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩的漸漸消退，系統(tǒng)又遇到了 H1，進(jìn)行簇發(fā)振蕩運(yùn)動(dòng)，隨著尖峰態(tài)的逐漸消退，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“BP/Hopf/fold/Hopf”型 。 對(duì) 應(yīng) 到 實(shí) 際 的 模 型 中 ，會(huì) 觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“BP/Hopf/fold/Hopf”簇發(fā)振蕩。

3. 5 “fold/fold/Hopf/fold//fold/Hopf”型 簇 發(fā) 振 蕩現(xiàn)象分析

與之前幾種情況不同的是，在圖 10 中 μ1 = 0.2時(shí)，系統(tǒng)不存在 BP 點(diǎn)，是由于 BP 點(diǎn)已轉(zhuǎn)化為 fold點(diǎn)，所以在這種情況下，系統(tǒng)存在三個(gè) fold 點(diǎn)，分別為 LP1（ 0.005077，-0.4583 ），LP2（ 0.1353，0.7113 ），LP3（-0.1888，1.223 ） 以 及 兩 個(gè) Hopf 點(diǎn) ，分 別 為H1（ 0.8308，0.3555 ），H2（ 0.817，0.3598 ）。

在圖 10 中，系統(tǒng)中一共存在 5 個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。系統(tǒng)在右上方沿著平衡點(diǎn)曲線圖運(yùn)動(dòng)，遇到了點(diǎn)LP1，并跳躍到上分支，開始簇發(fā)振蕩，隨著尖峰態(tài)的減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著平衡點(diǎn)曲線向左移動(dòng)遇到LP3，也發(fā)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，其次遇到了 H2，開始大幅振蕩，隨著尖峰態(tài)的逐漸減弱，系統(tǒng)繼續(xù)沿著平衡點(diǎn)曲線想左邊運(yùn)動(dòng)，直至最小值-1 處開始反向運(yùn)動(dòng)；系統(tǒng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，再次遇到 LP3，開始大幅振蕩，并碰到了 LP2，跳躍到下分支，進(jìn)行簇發(fā)振蕩，隨著大幅振蕩的漸漸消退，系統(tǒng)又遇到了 H1，進(jìn)行簇發(fā)振蕩運(yùn)動(dòng)，隨著尖峰態(tài)的逐漸消退，系統(tǒng)繼續(xù)沿著穩(wěn)定平衡點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)最右邊 1 處才完成了一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)軌跡。稱這種簇發(fā)振蕩現(xiàn)象為“fold/fold/Hopf/fold/fold/Hopf”型。對(duì)應(yīng)到實(shí)際的模型中，會(huì)觀察到雙穩(wěn)態(tài)層合板在這組參數(shù)下產(chǎn)生“fold/fold/Hopf/fold/fold/Hopf”型簇發(fā)振蕩。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合快慢動(dòng)力學(xué)分析方法和分岔理論，把外激勵(lì)項(xiàng)視為系統(tǒng)的慢變量，從雙參數(shù)分岔集出發(fā)，從理論上分析了不同的參數(shù)下可能得到的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象類型，結(jié)合數(shù)值模擬，通過分析平衡點(diǎn)曲線與轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖，研究了雙穩(wěn)態(tài)復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)在不同參數(shù)下的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其機(jī)理 .數(shù)值模擬結(jié)果表明：

（1）在不含“叉形分岔點(diǎn)”情形下，會(huì)產(chǎn)生三種簇發(fā) 振 蕩 類 型 ，分 別 為“ 延 遲 Hopf/fold/Hopf/fold”，“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”和“fold/fold”；

（2）在含“叉形分岔點(diǎn)”情形下，會(huì)產(chǎn)生五種簇發(fā)振 蕩 類 型 ，分 別 為“BP/fold”，“BP/fold/Hopf”，“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”，“BP/Hopf/fold/Hopf”和“fold/fold/Hopf/fold/ fold/Hopf”。

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