王玨 張瑩 黃愫 葉會然 周叮

摘要： 為抑制位移激勵下主結(jié)構(gòu)的振動，提出了三種含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)（N‐ISD），推導(dǎo)了各系統(tǒng)分別在 H∞和 H2優(yōu)化準(zhǔn)則下設(shè)計參數(shù)的解析解，探究了不同形式 N‐ISD 系統(tǒng)振動控制的特點(diǎn)。建立位移激勵下減振系統(tǒng)的動力學(xué)方程，得到結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)。針對簡諧位移激勵下的振動幅值，采用固定點(diǎn)理論推導(dǎo)了以 H∞范數(shù)為優(yōu)化準(zhǔn)則的設(shè)計參數(shù)解析解；針對隨機(jī)激勵下位移均方值，采用極值理論推導(dǎo)了以 H2范數(shù)為優(yōu)化準(zhǔn)則的設(shè)計參數(shù)解析解。通過與基于遺傳算法的數(shù)值優(yōu)化解對比，驗證了上述最優(yōu)設(shè)計參數(shù)解析解的有效性及優(yōu)越性。對最優(yōu)狀態(tài)下的減振系統(tǒng)進(jìn)行減振效果分析，結(jié)果表明：負(fù)剛度的引入能有效降低主結(jié)構(gòu)的振幅放大因子和均方值，簡諧激勵下N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)反共振峰值更低，共振峰值間距更大，減振效果及穩(wěn)定性更好；隨機(jī)激勵下 N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)位移均方值均小于 N‐SIS 型慣容系統(tǒng)，表現(xiàn)出更好的減振性能。

關(guān)鍵詞： 慣容減振；位移激勵；隨機(jī)激勵；負(fù)剛度； H∞優(yōu)化； H2優(yōu)化

中圖分類號： TB535；TU352.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2023）03-0804-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.023

引 言

隨著人們對結(jié)構(gòu)安全性、舒適性要求的提高，結(jié)構(gòu)振動控制已經(jīng)成為機(jī)械和土木工程界的核心問題之一。作用在減振結(jié)構(gòu)上常見的外部激勵有源自機(jī)械振動引起的激振力，源自地震引起的加速度激振，源自地面或軌道不平順引起的底部位移激勵等。動力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）可以通過大量消耗這些外部激勵作用在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的能量，實現(xiàn)對主結(jié)構(gòu)振動的被動控制。Den Hartog［1］提出了在彈簧‐質(zhì)量吸振器上加入阻尼元件的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD），進(jìn)一步降低了主結(jié)構(gòu)的振幅且拓寬了減振頻帶，同時提出了力激振下 TMD 減振結(jié)構(gòu) H∞優(yōu)化的固定點(diǎn)理論。Warburton［2］提出了隨機(jī)白噪聲激勵下 TMD 減振結(jié)構(gòu)基于 H2優(yōu)化的設(shè)計參數(shù)解析解。在此基礎(chǔ)上，由彈簧、阻尼器和質(zhì)量元件構(gòu)成的不同形式的 DVA得到了發(fā)展，如將阻尼元件替換為黏彈性元件的三要素型 DVA［3］，將阻尼器接到固定結(jié)構(gòu)上的接地式DVA［4］等。由于主結(jié)構(gòu)在力激勵、底部位移激勵的情況下，參數(shù)優(yōu)化設(shè)計并不等價［5］，因此研究者們對不同振源下含 TMD 的結(jié)構(gòu)開展了 H∞或 H2優(yōu)化準(zhǔn)則下設(shè)計參數(shù)的解析或數(shù)值求解，取得了豐碩的成果［6‐8］。盡管這些 TMD 型動力吸振器都獲得了不錯的減振效果，但是為達(dá)到較好的減振效果，一般需要較大的附加質(zhì)量，再加上質(zhì)量塊的單端點(diǎn)特性，使得其在結(jié)構(gòu)中的安裝受到限制。

與傳統(tǒng)的質(zhì)量塊不同，最早用于賽車減振中的慣容器是一種雙端點(diǎn)機(jī)械元件［9］，它可將質(zhì)量塊的直線運(yùn)動等效為慣容器中飛輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，從而用很小的物理質(zhì)量實現(xiàn)了千倍級參振質(zhì)量的動力特性［10］，因而慣容‐彈簧‐阻尼（Inerter‐Spring‐Damper，ISD）減振系統(tǒng)得到了關(guān)注和發(fā)展［11‐12］。Hu 等［13］推導(dǎo)了三種典型的慣容系統(tǒng)（混聯(lián) Ⅰ 型慣容系統(tǒng)（Series‐Parallel‐Ⅰ Inerter System， SPIS‐Ⅰ）、混 聯(lián)Ⅱ型慣容系統(tǒng)（SPIS‐Ⅱ）和串聯(lián)型慣容系統(tǒng)（SeriesInerter System，SIS）在 H∞或 H2 優(yōu)化準(zhǔn)則下的設(shè)計參數(shù)解析解。李壯壯等［14］、隋鵬等［15］提出了含有不同結(jié)構(gòu)形式的 ISD 減振系統(tǒng)，并基于固定點(diǎn)理論推導(dǎo)了集中力激振下主結(jié)構(gòu)在 H∞優(yōu)化下的解析解，取得了很好的減振效果。潘超等［16］、Pan 等［17‐18］提出了含不同 ISD 減振系統(tǒng)的單自由度及多自由度動力學(xué)模型，基于數(shù)值優(yōu)化法求解了地震激勵下主結(jié)構(gòu)在H2優(yōu)化下的數(shù)值解，并擬合成了適用于工程的經(jīng)驗公式。文永奎等［19］、陳政清等［20］采用不同的數(shù)值優(yōu)化算法提出了將多個并聯(lián)慣容系統(tǒng)用于單自由減振的 H∞優(yōu)化，以及將兩類典型慣容系統(tǒng)用于橋梁減震的 H2優(yōu)化。因此，慣容減振系統(tǒng)為工程減振（震）提供了更大的發(fā)展空間。

除了慣容，負(fù)剛度裝置也因具有較大的承載能力、能在一定條件下降低系統(tǒng)的固有頻率［21］等特點(diǎn)，成為了近年來的研究熱點(diǎn)。與傳統(tǒng)正剛度元件不同，負(fù)剛度元件的荷載變化量與變形量方向相反，表現(xiàn)為對結(jié)構(gòu)的推力，從而輔助系統(tǒng)的運(yùn)動。Wang等［22］系統(tǒng)地比較和評估了分別含慣容和含負(fù)剛度的減振系統(tǒng)在基于 H∞優(yōu)化下對主結(jié)構(gòu)的能量耗散能力和在地震動下的抗震性能。劉海平等［23］利用序列二次規(guī)劃算法提出了簡諧力激振下一種非接地負(fù)剛度動力吸振器 H∞優(yōu)化設(shè)計的數(shù)值解。邢昭陽等［24］將放大機(jī)構(gòu)應(yīng)用于含負(fù)剛度彈簧元件的動力吸振器，基于 H∞優(yōu)化推導(dǎo)出了力激勵下的解析解。近期，范舒銅等［25］基于 Maxwell 模型，提出了一種含有慣容和接地負(fù)剛度的動力吸振器，推導(dǎo)了力激勵下基于 H∞優(yōu)化的解析解。Baduidana 等［26］對含負(fù)剛度的混聯(lián) I 型慣容系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，證明了含有負(fù)剛度元件的慣容減振模型會表現(xiàn)出更好的減振性能。Islam 等［27］利用固定點(diǎn)理論推導(dǎo)了加速度激勵下含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)在 H∞優(yōu)化下的設(shè)計參數(shù)，并驗證了含該參數(shù)減振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)下的減振效果。由此可見，將慣容和負(fù)剛度聯(lián)合應(yīng)用具有令人滿意的減振效果，可為研究人員提供一種思路，為工程應(yīng)用提供一種有益的選擇。

含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的研究仍處于初步階段，近期文獻(xiàn)主要針對主結(jié)構(gòu)受力激振或者加速度激振下的減振問題，且大多基于 H∞準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。但是對于一些由地面或軌道不平順引起的結(jié)構(gòu)振動問題，從簡諧位移激勵和隨機(jī)位移激勵兩方面對含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)分別基于 H∞和 H2準(zhǔn)則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，得到便于工程應(yīng)用的設(shè)計參數(shù)解析解十分有必要，但目前這方面的研究較少。因此，本文將負(fù)剛度元件引入三種典型的SPIS‐Ⅰ ，SPIS‐Ⅱ和SIS型慣容減振系統(tǒng)，提出了三種N‐ISD減振系統(tǒng)。求解了簡諧位移激勵下的主結(jié)構(gòu)幅頻函數(shù)以及隨機(jī)激勵下的主結(jié)構(gòu)位移均方值，分別基于H∞優(yōu)化和H2優(yōu)化準(zhǔn)則推導(dǎo)了三種 N‐ISD 減振系統(tǒng)相應(yīng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)解析表達(dá)式，并與基于遺傳算法的數(shù)值最優(yōu)解進(jìn)行了對比驗證，最后通過算例分析評價了三個 N‐ISD 系統(tǒng)的減振效果。

1 動力學(xué)建模及求解

本文將負(fù)剛度元件 kn與慣容元件并聯(lián)，提出了三種典型的含負(fù)剛度的混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)N‐SPIS‐Ⅰ（如圖1（a）所示），含負(fù)剛度的混聯(lián)Ⅱ型慣容系統(tǒng)N‐SPIS‐Ⅱ（如圖1（b）所示）以及含負(fù)剛度的串聯(lián)型慣容系統(tǒng)N‐SIS（如圖1（c）所示）。其中，m為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量；b為慣容系數(shù)；c為阻尼系數(shù)；k，k1和kn分別為主結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)、慣容系統(tǒng)剛度系數(shù)和負(fù)剛度系數(shù)；x1為主結(jié)構(gòu)位移；x2和x3分別為彈簧‐阻尼‐慣容三種元件間的端點(diǎn)位移。當(dāng)kn=0時可退化為典型的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型慣容減振系統(tǒng)。

當(dāng)主結(jié)構(gòu)在地面位移激勵u（t）作用下，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可建立上述三種含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)運(yùn)動控制方程如下：

2 參數(shù)優(yōu)化

2. 1 基于 H∞準(zhǔn)則的參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)三種含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)，定義其振幅放大因子Gi=│H（is）│，則N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ，N‐SIS型減振系統(tǒng)的振幅放大因子均可整理為如下形式：

簡諧位移激勵下基于H∞范數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)是使主結(jié)構(gòu)的最大振幅放大系數(shù)最小，即Gimax最小。下面以N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)為例，簡述其參數(shù)優(yōu)化過程。根據(jù)已推導(dǎo)出的N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的振幅放大因子，可繪制出N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2所示。當(dāng)阻尼比ξ取不同值時，曲線均通過兩個與阻尼比ξ無關(guān)的定點(diǎn)P和Q（假定λP<λQ）。因此，根據(jù)固定點(diǎn)理論，將 P，Q 兩點(diǎn)調(diào)整到同一高度并使得這兩點(diǎn)處于曲線最大位置，即可得到系統(tǒng) H∞優(yōu)化下的設(shè)計參數(shù)。

由于定點(diǎn) P 和 Q 與阻尼比 ξ 的取值無關(guān)，根據(jù)固定點(diǎn)理論，要使這兩點(diǎn)等高，只需使這兩點(diǎn)在阻尼比 ξ→0 和 ξ→∞時的響應(yīng)值相等，即：

定點(diǎn)等高后，若要使 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的振幅放大因子最小，還需使 P，Q 兩點(diǎn)處于幅頻曲線的最大極值點(diǎn)。根據(jù)極值條件，只需 P，Q 兩點(diǎn)處振幅放大因子的一階偏導(dǎo)數(shù)都等于零，即：

將式（9）和式（11）代入上式，可直接求得 P，Q兩定點(diǎn)處所對應(yīng)的阻尼比平方值 ξ 2P 和 ξ 2Q。取二者均值的算術(shù)平方根為系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼比，則N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼比為：

將求得的最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的解析解代入振幅放大因子表達(dá)式，即可求得 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)固定點(diǎn)處對應(yīng)的峰值為：

同理，可分別求得 N‐SPIS‐Ⅰ和 N‐SIS 型慣容減振系統(tǒng)固定點(diǎn)處對應(yīng)的峰值如下：

含負(fù)剛度的 N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型慣容系統(tǒng)在上述最優(yōu)振幅放大因子狀態(tài)下對應(yīng)的最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的解析解如表 1 所示。

2. 2 基于 H2準(zhǔn)則的參數(shù)優(yōu)化

在實際工程中，系統(tǒng)受到的激勵大多為隨機(jī)激勵。因此，有必要對上述三種慣容減振系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下的響應(yīng)進(jìn)行討論。假設(shè)主結(jié)構(gòu)受功率譜密度為 S（ω）=S0的白噪聲位移激勵。則三種減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)位移均方值都可表示為：

隨機(jī)激勵下基于 H2范數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)是使主結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線下的面積最小化，即主結(jié)構(gòu)的位移均方值最小。同樣以 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)為例，簡述其參數(shù)優(yōu)化過程。上述含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的位移均方值表達(dá)式均可整理成如下形式：

可得 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的最小位移均方值和最優(yōu)阻尼比表達(dá)式如下：

二者均是關(guān)于剛度比的表達(dá)式，即要想求解位移均方值和阻尼比的最優(yōu)解析解，只需求解出N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)在主結(jié)構(gòu)位移均方值最小狀態(tài)下對應(yīng)的最優(yōu)剛度比。根據(jù)極值理論，建立方程：

解式（22）可得 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的最優(yōu)剛度比，則相應(yīng)的最優(yōu)阻尼比和最小位移均方值解析解分別為：

表 2 為上述三種含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)在其位移均方值最小時對應(yīng)的剛度比和阻尼比解析解。

3 算例驗證

3. 1 H∞優(yōu)化下解析解與數(shù)值解對比

為驗證基于 H∞優(yōu)化準(zhǔn)則下含負(fù)剛度的三種慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)解析解的正確性，采用遺傳算法 （Genetic Algorithm， GA） 在 優(yōu) 化 目 標(biāo)max δ，κ，α，ξ{max （ Gi ）}下 ，分 別 對 N‐SPIS‐Ⅰ ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型慣容系統(tǒng)的剛度比和阻尼比進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化，并將數(shù)值優(yōu)化結(jié)果與解析解進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3 和圖 4 所示。遺傳算法是一種通過模擬自然進(jìn)化過程來尋找最優(yōu)解的隨機(jī)搜索算法。相比傳統(tǒng)優(yōu)化算法，其通用性更強(qiáng)，不需要輔助信息就能求出優(yōu)化問題的最優(yōu)解。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，其全局搜索能力更強(qiáng)，計算精度更高，具有較強(qiáng)的魯棒性。對N‐SPIS‐Ⅰ和 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)，其最優(yōu)剛度比和阻尼比的解析解與數(shù)值解幾乎完全吻合，而N‐SIS型減振系統(tǒng)在慣質(zhì)比較小時，其解析解與優(yōu)化數(shù)值解有一定的差異。為此，圖5給出了三種含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)下其主結(jié)構(gòu)振幅放大因子的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果對比。從圖5（c）可以看出，對于N‐SIS型慣容系統(tǒng)，在慣質(zhì)比較小情況下，解析解獲得的結(jié)果優(yōu)于數(shù)值解。因此，基于H∞優(yōu)化準(zhǔn)則得出的解析解比基于遺傳算法得到的數(shù)值解更加穩(wěn)定，可避免GA優(yōu)化算法在尋找最優(yōu)解時可能存在的局部最優(yōu)問題。

3. 2 H2優(yōu)化下解析解與數(shù)值解對比

為驗證基于 H2優(yōu)化準(zhǔn)則下含負(fù)剛度的三種慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)解析解的正確性，采用 GA 優(yōu)化算法求解 N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型慣容減振系統(tǒng)在 min δ，κ，α，ξ{σ }2i 目標(biāo)下的最優(yōu)剛度比和阻尼比的數(shù)值解，其解析結(jié)果與數(shù)值優(yōu)化結(jié)果的對比曲線如圖 6和圖 7 所示。由圖可知，N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS 型減振系統(tǒng)在最優(yōu)狀態(tài)下，其最優(yōu)剛度比和阻尼比的解析結(jié)果與數(shù)值優(yōu)化結(jié)果一致，驗證了基于 H2優(yōu)化準(zhǔn)則推導(dǎo)出的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)解析解的有效性。

4 不同模型的減振效果評價

4. 1 簡諧位移激勵下的減振效果評價

根據(jù)表 1 推導(dǎo)的三種含負(fù)剛度的慣容減振模型的最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比解析解，可以得到N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)各自處于最優(yōu)狀態(tài)下的幅頻曲線。圖8為選取慣質(zhì)比δ=0.2和負(fù)剛度比κ=-0.1時，不含負(fù)剛度和含有負(fù)剛度的三種典型慣容減振系統(tǒng)的幅頻曲線對比。從圖8中同種顏色的虛線和實線對比可知：含有負(fù)剛度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ，N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)的振幅放大因子均低于不含負(fù)剛度的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型慣容減振系統(tǒng)，說明負(fù)剛度的增加可以有效降低慣容減振系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的幅值。另外，從圖8中不同種顏色的實線對比可知：相比N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)，N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)的反共振峰值更低，共振峰值的間距更大。因此，簡諧位移激勵下N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)的減振效果及穩(wěn)定性更好。

4.2 隨機(jī)激勵下的減振效果評價

圖9分別給出了N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的位移均方值隨剛度比、阻尼比的變化曲面。由圖9（a）和9（c）可知，對于N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SIS型慣容系統(tǒng)，位移均方值與剛度比間的關(guān)系不單調(diào)，存在最優(yōu)剛度比使得位移均方值最小，此時直接求解極值方程就能得到相應(yīng)的最優(yōu)剛度比。但是，對圖 9（b）中的 N‐SPIS‐Ⅱ型慣容系統(tǒng)，在剛度比取值區(qū)間內(nèi)，位移均方值與剛度比間的關(guān)系為單調(diào)遞減，要使該系統(tǒng)的位移均方值最小，即剛度比取最大值1。確定了N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)剛度比后，代入優(yōu)化后的位移均方值表達(dá)式，即可求解出這三種含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)基于H2優(yōu)化準(zhǔn)則下的最小位移均方值。

表3給出了隨機(jī)激勵下，含有負(fù)剛度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)分別相對于不含負(fù)剛度的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型慣容減振系統(tǒng)的位移均方值及衰減率。由表3中數(shù)據(jù)可知，含有負(fù)剛度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)的位移均方值小于不含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)，說明負(fù)剛度元件的引入能夠有效降低慣容減振系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的位移均方值，N‐ISD慣容系統(tǒng)相比ISD型慣容系統(tǒng)可以表現(xiàn)出更好的減振性能。另外，N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)的位移均方值均低于N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)，但兩者之間位移均方值相差不大，說明在隨機(jī)位移激勵下N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)的減振效果比N‐SIS型慣容系統(tǒng)更佳。

5 結(jié)論

慣容器和負(fù)剛度元件本質(zhì)上均表現(xiàn)出負(fù)剛度特性，能夠輔助減振結(jié)構(gòu)中黏性阻尼器的運(yùn)動，從而產(chǎn)生阻尼放大效應(yīng)。負(fù)剛度元件表現(xiàn)出來的負(fù)剛度特性不受激振頻率的影響，而慣容器與激振頻率相關(guān)且在較高頻率下的負(fù)剛度效應(yīng)愈發(fā)明顯。將負(fù)剛度元件、慣容器、彈簧元件和阻尼元件進(jìn)行不同的串并聯(lián)組合，可以形成不同剛度的減振系統(tǒng)，從而產(chǎn)生不同的減振效果。因此，本文在典型的三種慣容減振模型基礎(chǔ)上，將負(fù)剛度元件與慣容元件并聯(lián)，提出了三種含有負(fù)剛度的 N‐SPIS‐I，N‐SPIS‐II 和 N‐SIS 型慣容減振系統(tǒng)。分別基于 H∞和 H2優(yōu)化準(zhǔn)則，推導(dǎo)了含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比的解析解。通過減振系統(tǒng)的算例對比及分析可以得出以下結(jié)論：

（1）簡諧位移激勵和隨機(jī)位移激勵下，N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)解析解與基于遺傳算法的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果幾乎一致，驗證了解析解的有效性。但是解析結(jié)果比數(shù)值優(yōu)化結(jié)果更加穩(wěn)定，避免了遺傳算法可能存在的局部優(yōu)化問題。

（2）對于慣質(zhì)比相同的減振系統(tǒng)，引入合適的負(fù)剛度可以有效提高主結(jié)構(gòu)的減振性能。簡諧位移激勵下，含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的振幅放大因子低于不含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)；隨機(jī)位移激勵下，含有負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)位移均方值小于不含負(fù)剛度的慣容減振系統(tǒng)。

（3）N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)在簡諧位移激勵下較其他兩個含負(fù)剛度的慣容系統(tǒng)的減振效果及穩(wěn)定性更好；N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型慣容減振系統(tǒng)在隨機(jī)位移激勵下的主結(jié)構(gòu)位移均方值均低于N‐SIS型慣容減振系統(tǒng)。

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