左朋 石先杰 葛任偉 羅景潤(rùn)

摘要： 提出一種可用于分析復(fù)雜邊界條件下功能梯度圓環(huán)板平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性的譜幾何法？虛擬激勵(lì)法（spec？tro geometric method？pseudo excitation method，SGM？PEM）。采用沿圓環(huán)板邊界均勻分布的邊界約束彈簧來(lái)模擬復(fù)雜邊界條件，通過(guò)虛擬激勵(lì)法將平穩(wěn)隨機(jī)載荷轉(zhuǎn)化為虛擬簡(jiǎn)諧載荷。在一階剪切變形理論框架下，采用以簡(jiǎn)潔三角函數(shù)為內(nèi)核的譜幾何法來(lái)描述圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)?；?Rayleigh？Ritz 法推導(dǎo)了平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下功能梯度圓環(huán)板的動(dòng)力學(xué)分析模型。通過(guò)與有限元法結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了文中構(gòu)建的分析模型的有效性和準(zhǔn)確性。分析了梯度指數(shù)、厚度參數(shù)、邊界條件等因素對(duì)功能梯度圓環(huán)板平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)振動(dòng)；功能梯度圓環(huán)板；平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)；譜幾何法？虛擬激勵(lì)法；復(fù)雜邊界條件

中圖分類(lèi)號(hào)： O324；TB532 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0634-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.005

引言

作為一種新型復(fù)合材料，功能梯度材料自被提出便受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。而作為基本結(jié)構(gòu)單元，由功能梯度材料所制造的圓環(huán)板在航空航天工程中被廣泛應(yīng)用，如衛(wèi)星的隔艙壁，發(fā)動(dòng)機(jī)的端蓋等。近年來(lái)，功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性分析成為研究熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者針對(duì)該問(wèn)題開(kāi)展了大量研究，提出了一系列分析方法。？ur［1］采用擬格林函數(shù)法分析了彈性支承功能梯度圓環(huán)板的自由振動(dòng)特性。Zhao 等［2］采用 Rayleigh？Ritz 法獲得了任意邊界條件下功能梯度厚圓環(huán)板的自由振動(dòng)三維解。Jodaei 等［3］采用基于狀態(tài)空間的微分求積法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，分別對(duì)不同邊界條件下功能梯度圓環(huán)板的自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析，并對(duì)比了兩種方法獲取的固有頻率結(jié)果，驗(yàn)證了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在預(yù)示功能梯度圓環(huán)板自由振動(dòng)特性方面的有效性。基于三維彈性理論，Jin 等［4］采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法研究了任意邊界條件下功能梯度圓環(huán)板的自由振動(dòng)特性。Malekzadeh 等［5］基于微分求積法和三維彈性理論求解了熱環(huán)境下功能梯度厚圓環(huán)板自由振動(dòng)解。滕兆春等［6？7］基于微分求積法分析了功能梯度圓環(huán)板面內(nèi)自由振動(dòng)特性。針對(duì)材料屬性沿徑向變化的功能梯度圓環(huán)板，呂朋等［8］采用 Rayleigh？Ritz法分析了其在熱環(huán)境下的面內(nèi)自由振動(dòng)特性，并在研究中考慮了彈性邊界條件。Dong［9］基于 Ritz 法求解了功能梯度圓環(huán)板的三維自由振動(dòng)解。

通過(guò)上述文獻(xiàn)分析可以發(fā)現(xiàn)，雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)功能梯度圓環(huán)板的動(dòng)力學(xué)特性求解開(kāi)展了大量工作，但是研究成果主要集中在確定性振動(dòng)分析方面。然而，航空航天工程結(jié)構(gòu)在實(shí)際服役期間，通常會(huì)經(jīng)受各種形式的隨機(jī)載荷作用，從而使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，甚至出現(xiàn)疲勞破壞現(xiàn)象。此外，功能梯度圓環(huán)板作為工程結(jié)構(gòu)的基本單元，其在載荷作用下的振動(dòng)特性影響著工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為。因此，有必要開(kāi)展隨機(jī)載荷作用下功能梯度圓環(huán)板相應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)特性研究，為實(shí)際工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供相應(yīng)的理論支撐。

近年來(lái)，學(xué)者針對(duì)隨機(jī)激勵(lì)下板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)特性開(kāi)展了相關(guān)研究。在研究中采用了有限元法［10？12］，譜有限元法［13］等方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解，但這些方法普遍存在計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題。隨后，一些學(xué)者將虛擬激勵(lì)法［14］用于研究板殼結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性，大大縮短了計(jì)算時(shí)間。孫悅等［15］結(jié)合有限元法和虛擬激勵(lì)法對(duì)硬涂層薄板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行分析，并討論了硬涂層的減振效果。戴新進(jìn)［16］結(jié)合有限元法和虛擬激勵(lì)法對(duì)平穩(wěn)/非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下復(fù)合材料層合板的振動(dòng)響應(yīng)行為開(kāi)展了研究。Chen 等采用離散解析法和虛擬激勵(lì)法研究獲得了各向同性矩形板［17］以及各向同性圓柱殼［18］的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)解析解。Zhou 等［19］采用改善的 Ritz 法和虛擬激勵(lì)法研究了功能梯度壓電矩形板的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性。

雖然目前針對(duì)板殼結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析取得了一定的研究成果，但大部分研究工作集中在矩形板。而且目前的分析手段多采用有限元方法與虛擬激勵(lì)法相結(jié)合的方式，雖然可以降低計(jì)算耗時(shí)，但有限元法對(duì)于鉚接、螺栓等結(jié)構(gòu)復(fù)雜邊界條件的等效處理、結(jié)構(gòu)快速參數(shù)化分析以及結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析的能力與實(shí)際相比還存在一定差距。因此，直面實(shí)際工程需要，發(fā)展一套具備有效處理復(fù)雜邊界條件及快速參數(shù)化分析能力，并同時(shí)擁有計(jì)算耗時(shí)短、收斂特性?xún)?yōu)、結(jié)果保真度高的建模分析方法，具有一定理論和工程應(yīng)用價(jià)值。

譜幾何法［20］具有形式簡(jiǎn)潔、收斂快速、求解精度高以及滿足任意邊界條件等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)被廣泛用于板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究中。Jiang 等［21］在改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法的基礎(chǔ)上將正弦函數(shù)作為傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)的輔助項(xiàng)，提出了譜幾何法。隨后文獻(xiàn)［20，22？25］基于譜幾何法分析了環(huán)板、圓環(huán)板等回轉(zhuǎn)板結(jié)構(gòu)，并建立了旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的統(tǒng)一分析模型。在此基礎(chǔ)上，Zhao 等［26］分析了圓錐？圓柱？圓球組合殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。此后，譜幾何法被應(yīng)用到復(fù)合材料回轉(zhuǎn)組合殼結(jié)構(gòu)［27？28］的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)分析中。

綜合譜幾何法滿足任意邊界條件以及虛擬激勵(lì)法處理隨機(jī)載荷的優(yōu)勢(shì)，提出一種高精度且易于參數(shù)化研究的高效計(jì)算分析方法，用于研究任意邊界條件下功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題。該方法采用譜幾何法將圓環(huán)板位移容許函數(shù)描述為形式簡(jiǎn)潔的三角函數(shù)，并通過(guò)引入正弦函數(shù)項(xiàng)來(lái)消除邊界處位移容許函數(shù)在邊界處微分不連續(xù)的問(wèn)題。采用虛擬激勵(lì)法將平穩(wěn)隨機(jī)載荷轉(zhuǎn)化為確定性載荷，并結(jié)合一階剪切變形理論建立平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板的動(dòng)力學(xué)分析模型。通過(guò)與有限元數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的有效性和準(zhǔn)確性。最后，探討了梯度指數(shù)、厚度、邊界條件等因素對(duì)功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

1 理論推導(dǎo)

1. 1 結(jié)構(gòu)模型描述

圖 1 為功能梯度圓環(huán)板模型。圓環(huán)板的參考面與其中面一致，并且正交坐標(biāo)系（r，θ，z）位于功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的參考面上。其中，r，θ 和 z 分別表示圓環(huán)板的徑向、周向和厚度方向。此外，R0和 R1分別表示圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的內(nèi)徑和外徑，徑向方向的長(zhǎng)度為：R=R1-R0，而 h 則為圓環(huán)板厚度。通過(guò)在圓環(huán)板內(nèi)徑和外徑的邊界處均勻布置具有可調(diào)剛度系數(shù)的不同類(lèi)型邊界約束彈簧來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)任意邊界條件的模擬。kui，kvi和 kwi（i=0，1）表示三組平移約束彈簧，Kri和 Kθ（i i=0，1）表示兩組旋轉(zhuǎn)約束彈簧，其中，下標(biāo)“0”和“1”分別表示功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的內(nèi)徑和外徑邊界。在后續(xù)研究中，假設(shè)功能梯度圓環(huán)板經(jīng)受沿 z 方向的基礎(chǔ)加速度平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用或集中點(diǎn)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用。

文中所研究的功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)上下表面材料分別為陶瓷和金屬，并且功能梯度材料屬性 P 在圓環(huán)板厚度 z 方向上呈現(xiàn)梯度變化，其變化關(guān)系如下式所示：式中 Pc和 Pm分別表示陶瓷和金屬的材料參數(shù)（包括彈性模量 E，泊松比 ν 和密度 ρ）；p 表示材料的梯度指數(shù)。

1. 2 能量方程

根據(jù)一階剪切變形理論，垂直于結(jié)構(gòu)中面的法線在變形后依然為直線且長(zhǎng)度不變，但是不一定垂直于變形后的中面［29］，因此功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)可以描述為：

1. 3 位移容許函數(shù)

為了滿足位移容許函數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)（包括邊界處）充分光滑的條件，使得構(gòu)造的位移容許函數(shù)能夠克服不同邊界條件下其微分在邊界處可能存在的不連續(xù)問(wèn)題，文中基于譜幾何法采用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)輔助項(xiàng)來(lái)描述功能梯度圓環(huán)板徑向坐標(biāo)下的位移容許函數(shù)，同時(shí)考慮到圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的空間對(duì)稱(chēng)性，采用正余弦函數(shù)描述周向坐標(biāo)下的位移函數(shù)：q （ r，θ，t ）=

在一階剪切變形理論下，圓環(huán)板的振動(dòng)位移由其二階控制微分方程決定，為保證位移函數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)并且二階導(dǎo)數(shù)存在，在徑向方向引入了兩項(xiàng)傅里葉正弦函數(shù)輔助項(xiàng)。從數(shù)學(xué)上可知，傅里葉余弦函數(shù)可以用來(lái)表示任何在求解域中完全可積的連續(xù)函數(shù)，并且余弦函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)逐項(xiàng)微分。但是當(dāng)邊界條件中存在彎矩等條件時(shí)，若直接采用傅里葉余弦函數(shù)表示，其一階導(dǎo)數(shù)在結(jié)構(gòu)邊界處會(huì)出現(xiàn)數(shù)值間斷的現(xiàn)象。因此，為了克服數(shù)值不連續(xù)的問(wèn)題，引入正弦函數(shù)輔助項(xiàng)消除數(shù)值間斷的現(xiàn)象，使得位移函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)或存在。

1. 4 求 解

基于上述構(gòu)建的能量方程，功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的拉格朗日函數(shù)可表示為：

Ξ = T - U - V + Wξ （15）式中 ξ= f，g。將式（7）～（14）代入式（15），并采用Rayleigh？Ritz法對(duì)位移容許函數(shù)的未知級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)求偏導(dǎo)，獲得平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板的動(dòng)力學(xué)控制方程：

MQ？+ KQ = Fξ （16）式中 M 為圓環(huán)板的整體質(zhì)量矩陣；K 表示圓環(huán)板的整體剛度矩陣；Q 表示未知級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)向量；Fξ為 虛 擬 激 勵(lì) 力 的 載 荷 向 量 ，可 以 表 示 為 Fξ =[ ] 0，0，F(xiàn) Wξ，0，0 T，其中 F Wξ 為沿 z 方向的集中點(diǎn)載荷或基礎(chǔ)加速度載荷向量，其表達(dá)式為：將式（16）中求得的未知級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)向量 Q代入式（14）中，便可得到虛擬位移響應(yīng) u，v，w，φr 和φθ，從而可以方便地獲得平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下功能梯度圓環(huán)板的振動(dòng)響應(yīng)功率譜密度。以圓環(huán)板橫向位移響應(yīng)為例，位移響應(yīng)自功率譜函數(shù) Sww （ω），速度響應(yīng)自功率譜函數(shù) Sw？ w？ （ω） 以及加速度響應(yīng)自功率譜函數(shù) Sw？w？（ω） 可以分別描述為：

相應(yīng)地，平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板的響應(yīng)均方根值（RMS）可按下式計(jì)算獲得［18］：式中 ωl和 ωu分別表示所施加隨機(jī)激勵(lì)頻率范圍的下限和上限；Δω 代表頻率步長(zhǎng)；G ww （ω），G w？ w？ （ω） 和G w？w？（ω） 為單邊功率譜。

式（20）對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)均方根值的求解是通過(guò)對(duì)頻率范圍進(jìn)行離散而計(jì)算得到的，NM 即為頻率范圍的離散頻率點(diǎn)數(shù)，其和頻率步長(zhǎng)有如下關(guān)系：

為了避免數(shù)值計(jì)算的奇異性，文中采用復(fù)楊氏模量的方式引入結(jié)構(gòu)阻尼：E'= E （1 + iη） （22）式中 E'為復(fù)楊氏模量；η 為結(jié)構(gòu)損耗因子，在下述數(shù)值分析中，結(jié)構(gòu)損耗因子 η=0.1。

2 振動(dòng)求解與分析

在理論模型推導(dǎo)基礎(chǔ)上，本節(jié)將對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性進(jìn)行分析和討論。在接下來(lái)的研究中，假設(shè)功能梯度圓環(huán)板的默認(rèn)幾何尺寸為：R0=0.5 m，R1=2.0 m，h=0.1 m。圓 環(huán) 板 上 下 表 面 的 材 料 分 別 為 Si3N4 和 SUS304 ，材 料 參 數(shù) 為 ：Ec=348.43 GPa ，ν c=0.24 ，ρ c=2370 kg/m3，Em=201.04 GPa，νm=0.3262，ρm=8166 kg/m3。文中研究考慮了固支（C）、簡(jiǎn)支（SS）、剪切（SD）三種經(jīng)典邊界條件和 E1，E2，E3，E4，E5，E6 六種彈性邊界條件。不同邊界條件下的相應(yīng)彈簧剛度值參考文獻(xiàn)［31］選取，相應(yīng)參數(shù)如表 1 所示。此外，根據(jù)文獻(xiàn)［20］中相關(guān)收斂性分析，文中位移容許 函 數(shù) 在 徑 向 和 周 向 上 的 截 斷 數(shù) 被 設(shè) 定 為 ：M=N=14。

2. 1 有效性驗(yàn)證

表 2 給出了不同邊界條件下功能梯度圓環(huán)板的前 10 階固有頻率（Hz）。材料的梯度指數(shù) p=1.0，圓環(huán)板的其余參數(shù)與默認(rèn)參數(shù)一致，還考慮了 C？C，SS？SS，C？E1，C？E2，E1？E4 和 E2？E5 等 6 種 不 同 的邊界條件。其中，以 C？C 邊界條件為例，C？C 中第一個(gè)“C”代表圓環(huán)板內(nèi)徑邊界的約束邊界條件類(lèi)型為固支，第二個(gè)“C”代表圓環(huán)板外徑邊界的約束邊界條件類(lèi)型為固支。通過(guò)與有限元結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩種計(jì)算方法獲得的結(jié)果吻合良好。

接下來(lái)，對(duì)采用文中方法分析功能梯度圓環(huán)板平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。其中，集中點(diǎn)激勵(lì) 為 功 率 譜 密 度（Power Spectral Density，PSD）S=1 N2/Hz 的 限 帶 白 噪 聲 譜 ，其 頻 率 范 圍 為［20，2000］ Hz；基礎(chǔ)加速度激勵(lì)考慮兩種類(lèi)型的激勵(lì)載荷，Ⅰ類(lèi)是功率譜密度（PSD）S0=1 g2/Hz 的限帶白噪聲譜，其頻率范圍為［20，2000］ Hz；Ⅱ類(lèi)則為航空航天工程中的特定功率譜［18］，其形式如圖 2 所示，頻率與基礎(chǔ)加速度激勵(lì) PSD 之間的數(shù)學(xué)關(guān)系可以表示為：式中 Sref表示頻率范圍 （150，700 ） Hz 內(nèi) PSD 值為0.04 g2/Hz；Ω1和 Ω2分別表示頻率范圍 （ 20，150 ） Hz和（700，2000 ） Hz內(nèi) PSD 曲線斜率分別為+6 dB/oc？tave和？3 dB/octave。

同時(shí)需要指出的是，文中采用向量［r，θ］來(lái)表示響應(yīng)測(cè)點(diǎn)的位置，其中，r 和 θ 分別表示功能梯度圓環(huán)板徑向和周向的位置。在后續(xù)計(jì)算分析中，測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的徑向位置選為圓環(huán)板內(nèi)徑和外徑的中點(diǎn)，而周向位置選取 θ=0。

圖3 分別給出了集中點(diǎn)激勵(lì)、Ⅰ類(lèi)基礎(chǔ)加速度激勵(lì)和Ⅱ類(lèi)基礎(chǔ)加速度激勵(lì)作用下 C？C 功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)（功率譜密度）對(duì)比結(jié)果。功能梯度圓環(huán)板的幾何尺寸與默認(rèn)尺寸一致，材料的梯度指數(shù) p=1.0。通過(guò)圖 3 可以看出，文中基于譜幾何法？虛擬激勵(lì)法研究獲得的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好，說(shuō)明文中方法可以有效預(yù)示平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性。此外，表 3 還給出了基于譜幾何法？虛擬激勵(lì)法獲得的集中點(diǎn)激勵(lì)和兩類(lèi)基礎(chǔ)加速度激勵(lì)下 C？C 功能梯度圓環(huán)板的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)均方根值。相應(yīng)地，有限元法結(jié)果也作為參考列在表中。從表 3 中可以看出，文中方法獲得的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)均方根值與有限元結(jié)果具有良好的一致性，進(jìn)一步驗(yàn)證了文中方法在預(yù)示功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性方面的有效性。同時(shí)，從表 3 的計(jì)算時(shí)間對(duì)比情況可知，文中方法的計(jì)算耗時(shí)約為有限元法的 0.2%，說(shuō)明文中方法具有較好的計(jì)算效率。

圖 4 則給出了Ⅱ類(lèi)基礎(chǔ)加速度激勵(lì)作用下功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)（加速度功率譜）的對(duì)比情況。圓環(huán)板的所有參數(shù)與表2保持一致 ，考慮了C？E1，E1？E4，E4？E6，C？E2，E2？E5，E5？E6 六種不同邊界條件。從圖 4 的對(duì)比情況可以看出，文中模型對(duì)不同邊界條件下功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)加速度功率譜密度響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果均吻合良好。因此，文中構(gòu)建的分析模型可以有效分析不同邊界條件下功能梯度圓環(huán)板的平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性。

2.2 參數(shù)化分析

在驗(yàn)證文中方法有效性的基礎(chǔ)上，研究關(guān)鍵參數(shù)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板振動(dòng)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，后續(xù)算例中的外界激勵(lì)載荷選定為Ⅱ類(lèi)基礎(chǔ)加速度激勵(lì)載荷。

首先，圖 5 給出了不同梯度指數(shù) p 下 C？C 功能梯度圓環(huán)板的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性。相關(guān)幾何參數(shù)、材料參數(shù)和響應(yīng)點(diǎn)位置均與默認(rèn)參數(shù)保持一致。從圖5 中可以發(fā)現(xiàn)，隨著梯度指數(shù) p 增大，圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)（位移，速度，加速度）曲線的共振峰值將逐漸向低頻段移動(dòng)，這是因?yàn)?p 增大將導(dǎo)致圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的材料屬性由陶瓷成分向金屬成分變化，使得結(jié)構(gòu)彎曲剛度不斷降低，結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸增加，從而降低了結(jié)構(gòu)的固有頻率。此外，以 p=9 時(shí)圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)在基頻處的峰值作為參考，p=0，1，3，5，7 時(shí)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)在基頻處的峰值分 別 為 p=9 時(shí) 的 4.49%，34.47%，66.57%，82.69%，92.50% 和 21.18%，57.62%，80.33%，90.16%，96.27%。說(shuō)明隨著 p 增大，隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)基頻處的峰值逐漸增加。但是，梯度指數(shù) p 對(duì)隨機(jī)振動(dòng)加速度響應(yīng)在基頻處的峰值影響很小，在不同梯度指數(shù) p 下，加速度響應(yīng)基頻處的峰值最小值為最大值的 96.42%。

圓環(huán)板外徑與內(nèi)徑之比對(duì)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響如圖 6 所示，其中圓環(huán)板邊界條件為 C？C。在該算例中，圓環(huán)板外徑 R1=2 m 保持不變，外徑與內(nèi)徑之比 R1/R0=2，3，4，6，8。測(cè)點(diǎn)響應(yīng)位置選為圓環(huán)板內(nèi)徑和外徑的中點(diǎn)，其余參數(shù)與默認(rèn)參數(shù)一致。從圖 6 中可以看出，R1/R0 增加將會(huì)使得圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)（位移，速度和加速度）曲線的共振峰值向低頻段移動(dòng)。這是由于 R1/R0 增大降低了圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的彎曲剛度。此外，以 R1/R0=8 時(shí)圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)在基頻處 的 峰 值 作 為 參 考 ，R1/R0=2，3，4，6 時(shí) 位 移 響 應(yīng)和速度響應(yīng)在基頻處的峰值分別為 R1/R0=8 時(shí)的1.50%，12.45%，30.45%，68.41% 和 13.21%，36.61%，56.22%，83.44%。 說(shuō) 明 隨 著 R1/R0 增 大 ，隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)基頻處的峰值逐漸增 加 。 對(duì) 加 速 度 響 應(yīng) 而 言 ，R1/R0 對(duì) 其 影 響 較 小 ，在不同 R1/R0下，加速度響應(yīng)基頻處的峰值最小值為最大值的 86.87%。

圖 7 則給出了不同邊界條件對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板的振動(dòng)響應(yīng)特性。該算例考慮了C？C，SS？SS，SD？SD 三 種 經(jīng) 典 邊 界 條 件 和 C？E1，C？E2，C？E3，E1？E4，E2？E5，E3？E6 六種組合邊界條件。圓環(huán)板相關(guān)幾何參數(shù)和材料參數(shù)與默認(rèn)參數(shù)保持一致。對(duì)于經(jīng)典邊界條件而言，當(dāng)邊界條件從C？C 變?yōu)?SS？SS 或者 SD？SD 時(shí)，圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的彎曲剛度逐漸減小，降低了結(jié)構(gòu)的固有頻率，從而使得隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)曲線共振峰值向低頻段移動(dòng)。此外，通過(guò)對(duì)比 C？C 和 SS？SS 下的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)約束彈簧 Kr的剛度值對(duì)圓環(huán)板的隨機(jī)振動(dòng)響 應(yīng) 特 性 有 較 大 影 響 。 同 時(shí) ，SS？SS 邊 界 條 件 和SD？SD 邊界條件對(duì)圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性影響基本一致。這說(shuō)明徑向方向的約束彈簧剛度對(duì)結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性影響較小 。 C？E3，E2？E5 和E3？E6 邊界條件會(huì)使得隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)曲線共振峰值向低頻段移動(dòng)，而且會(huì)明顯改變圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)能量在各頻率上的分布密度 ，而 C？E1，C？E2 和 E1？E4邊界條件對(duì)圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性影響基本一致。從而說(shuō)明厚度方向（z 方向）的彈簧剛度值對(duì)圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性影響較大，而周向方向的彈簧剛度值對(duì)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性影響較小。

最后，分析了厚度參數(shù)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下C？C 功能梯度圓環(huán)板振動(dòng)響應(yīng)特性的影響，相應(yīng)結(jié)果如圖 8 所示。圓環(huán)板的厚度分別設(shè)定為 0.050，0.075，0.100，0.125 和 0.150 m。其余參數(shù)和響應(yīng)位置均與默認(rèn)參數(shù)值保持一致。從圖 8 中可以看出，隨著厚度 h 增加，圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)（位移，速度和加速度）曲線的共振峰值將向高頻段移動(dòng)。這是由于隨著厚度 h 增加，圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的彎曲剛度和質(zhì)量均提高，但是，其對(duì)剛度矩陣的貢獻(xiàn)要大于對(duì)質(zhì)量矩陣的貢獻(xiàn)，從而提升了結(jié)構(gòu)的固有頻率。此外，厚度 h 的增加會(huì)明顯降低位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的共振峰值。在不同的厚度 h 下，加速度響應(yīng)在基頻處峰值的最小值為最大值的 80.40%，表明相較于梯度指數(shù) p 和外徑與內(nèi)徑之比 R1/R0，厚度 h 對(duì)加速度響應(yīng)的影響更大。

3 結(jié) 論

文中基于譜幾何法？虛擬激勵(lì)法和一階剪切變形理論，建立了平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下功能梯度圓環(huán)板振動(dòng)分析模型。通過(guò)數(shù)值算例分析對(duì)比，驗(yàn)證了文中所構(gòu)建模型的有效性和準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，探討了材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、邊界條件等因素對(duì)功能梯度圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響，獲得結(jié)論如下：

（1）梯度指數(shù) p 和圓環(huán)板外徑與內(nèi)徑之比 R1/R0增加，將會(huì)降低圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，使得結(jié)構(gòu)固有頻率降低，從而使得隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)曲線的共振峰值向低頻段移動(dòng)。

（2）比較不同參數(shù)下加速度響應(yīng)基頻處峰值最大值和最小值之間的比例，發(fā)現(xiàn)相較于梯度指數(shù) p和外徑與內(nèi)徑之比 R1/R0，厚度 h 對(duì)加速度響應(yīng)能量在各頻率上的分布影響最大。

（3）徑向約束彈簧 ku和軸向約束彈簧 kv剛度值的改變基本不會(huì)影響圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)能量在各頻率上的分布密度；而改變厚度方向約束彈簧 kw和旋轉(zhuǎn)約束彈簧 Kr的剛度值會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)邊界勢(shì)能產(chǎn)生很大影響，從而改變圓環(huán)板隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)能量在各頻率上的分布密度。

（4）在平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下，功能梯度圓環(huán)板結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)、速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)能量主要集中在結(jié)構(gòu)基頻處。此外，隨機(jī)激勵(lì)的高頻對(duì)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的影響較小，但對(duì)加速度響應(yīng)有較大影響。

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