施斌杰,賈鼎,葛勇

（江蘇大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，鎮(zhèn)江，212013）

近年來，拓撲絕緣體在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域受到研究學(xué)者們的廣泛關(guān)注，已成為當(dāng)前研究熱點方向之一，此概念也被引入到經(jīng)典波領(lǐng)域［1-4］.例如，在聲學(xué)領(lǐng)域［5-8］，研究人員通過設(shè)計各類具有拓撲保護的聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)，可以實現(xiàn)對聲傳輸?shù)母唪敯粜圆倏丶岸喾N聲拓撲絕緣體，如類量子霍爾聲拓撲絕緣體［9-10］、類量子自旋霍爾聲拓撲絕緣體［11-12］、Floquet 聲拓撲絕緣體［13-15］、谷霍爾聲拓撲絕緣體［16-21］、高階聲拓撲絕緣體［22-23］等.

在上述拓撲絕緣體中，具有能谷自由度的谷霍爾聲拓撲絕緣體，因其豐富的谷拓撲物理內(nèi)涵及其潛在的應(yīng)用前景而備受關(guān)注.在此方面，通過打破聲子晶體的鏡像或空間反演對稱性，可以實現(xiàn)谷霍爾聲拓撲絕緣體.如通過旋轉(zhuǎn)三角晶格聲子晶體［16-18］單元，打破晶格的鏡像對稱性，可以實現(xiàn)聲能谷輸運；通過調(diào)節(jié)Kagome 晶格聲子晶體單元［19-20］的結(jié)構(gòu)參數(shù)，打破其空間反演對稱性，實現(xiàn)谷拓撲絕緣體；此外，基于二聚體諧振腔的正方晶格聲子晶體［21］，調(diào)節(jié)單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以實現(xiàn)聲學(xué)谷拓撲絕緣體.上述工作均很好地展示了谷拓撲絕緣體的優(yōu)點及特性.然而，基于谷邊緣態(tài)對稱分布特征［16］的聲能谷輸運研究尚未開展.

本工作基于蜂窩型聲子晶體設(shè)計實現(xiàn)了包含兩種不同界面（Ⅰ和Ⅱ）的谷拓撲波導(dǎo).聲子晶體單元由兩種鏤空散射體組成.通過調(diào)節(jié)鏤空散射體中通道寬度，可以實現(xiàn)聲子晶體的能帶反轉(zhuǎn).基于兩種不同谷霍爾相的聲子晶體，設(shè)計實現(xiàn)包含界面Ⅰ和Ⅱ的兩種谷拓撲波導(dǎo).研究發(fā)現(xiàn)，界面Ⅰ和Ⅱ中的谷邊緣態(tài)分別具有反對稱和對稱分布特征.數(shù)值模擬反相與同相聲源激發(fā)包含界面Ⅰ與Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)的谷邊緣態(tài)及其聲能谷輸運特征.在此基礎(chǔ)上，在界面Ⅰ和Ⅱ中引入Z 型和V型缺陷，進一步驗證了谷拓撲波導(dǎo)中聲能谷輸運的魯棒性.最后，在所設(shè)計的谷拓撲波導(dǎo)兩側(cè)分別放置一對聲源，通過主動控制聲源初始相位，設(shè)計實現(xiàn)了可調(diào)控聲非對稱傳輸效應(yīng).

1 數(shù)值模擬與討論

1.1 聲子晶體結(jié)構(gòu)與性能圖1a 顯示所設(shè)計的基于鏤空散射體的二維蜂窩結(jié)構(gòu)聲子晶體.聲子晶體晶格常數(shù)a=mm，單元（平行四邊形區(qū)域）由兩種鏤空散射體（半徑r=9 mm）組成，相鄰散射體間距d=20 mm，散射體中三條空氣通道的夾角θ=120°，左右兩側(cè)散射體的通道寬度分別為w1和w2.本文采用COMSOL Multiphysics軟件數(shù)值模擬聲子晶體中的聲傳輸，在數(shù)值模型中，散射體邊界設(shè)置為硬聲場，空氣密度ρ=1.21 kg·m-3，聲速c=343 m·s-1.圖1b 顯示數(shù)值模擬兩種不同參數(shù)聲子晶體的色散關(guān)系，其中Δw=w1-w2，且保持w1+w2=10 mm.可以看出，當(dāng)時（實線），在K 點形成狄拉克錐；而當(dāng)=0.2 時（虛線），聲子晶體的蜂窩晶格空間反演對稱性被破壞，進而K 點的二重簡并被打破，在13.8～14.4 kHz 區(qū)間形成直接帶隙.

圖1 聲子晶體結(jié)構(gòu)(a)及其色散關(guān)系(b)，插圖為第一布里淵區(qū)Fig.1 (a) Structure and (b) dispersion relations of sonic crystals，and the inset in (b) is the 1st Brillouin zone

圖2a 顯示帶隙底部與頂部的本征態(tài)頻率與參數(shù)Δ之間的關(guān)系（其他參數(shù)不變），其中，K1，K2，K3和K4點分別為Δ=±0.2 對應(yīng)的帶隙底部與頂部的本征態(tài).可以看出，當(dāng)參數(shù)Δ從負值逐漸增大時，帶隙寬度逐漸變小，帶隙頂部與底部的本征態(tài)在Δ=0 處發(fā)生簡并；當(dāng)Δ變?yōu)檎禃r，簡并被打開，帶隙寬度逐漸增大.圖2b 顯示本征態(tài)K1，K2，K3和K4對應(yīng)的聲壓場分布.可以看出，本征態(tài)K1和K4的場分布相同，聲渦旋沿著逆時針方向，本征態(tài)K2與K3的場分布相同，聲渦旋沿著順時針方向，表現(xiàn)出典型的能帶反轉(zhuǎn)特征，從而說明Δ=±0.2 對應(yīng)的兩種聲子晶體產(chǎn)生了谷霍爾相變.基于兩種不同谷拓撲相的聲子晶體，可以設(shè)計包含兩種不同界面的谷拓撲波導(dǎo).

圖2 (a)帶隙底部與頂部本征態(tài)的頻率與參數(shù)Δwd 關(guān)系,本征態(tài)K1,K2,K3,K4分別對應(yīng)參數(shù)△w/d=±0.2；(b)數(shù)值模擬的本征態(tài)K1,K2,K3,K4對應(yīng)的聲壓場分布，箭頭表示聲能流方向，環(huán)形箭頭為聲渦旋方向Fig.2 (a) Eigenfrequencies of the band edge states as a function of Δwd,the edge states K1，K2，K3 and K4 correspond to the parameters △w/d=±0.2,(b) simulated pressure distributions of the edge states K1，K2，K3 and K4,the arrows represent the direction of energy flux，and the circular arrows are the direction of sound vortex

1.2 超原胞色散關(guān)系與谷邊緣態(tài)特性圖3a 顯示基于聲子晶體A（Δ=-0.2）與B（Δ=0.2）構(gòu)建的兩種不同界面（Ⅰ與Ⅱ）的谷拓撲波導(dǎo)超原胞.超原胞色散關(guān)系如圖3b.可以看出，對于含界面Ⅰ的超原胞，其帶隙存在一對群速度相同、方向相反的谷邊緣態(tài)（實線），其中和分別為谷K 和K?的投影，群速度分別為正和負；對于含界面Ⅱ的超原胞，同樣存在著一對谷邊緣態(tài)和（虛線），其色散關(guān)系特征與界面Ⅰ相反.為了進一步顯示上述谷邊緣態(tài)特征，數(shù)值模擬圖3b中M，N，P 和Q 點對應(yīng)的谷邊緣態(tài)聲壓場分布，如圖3c.可以看出，在包含界面Ⅰ的超原胞中，M與N 模式的場分布相同，關(guān)于界面Ⅰ反對稱；在包含界面Ⅱ的超原胞中，P 與Q 模式的場分布相同，關(guān)于界面Ⅱ?qū)ΨQ.上述具有反對稱和對稱模式場分布的兩種谷邊緣態(tài)，可以實現(xiàn)聲能谷輸運及其相關(guān)的新效應(yīng).

圖3 兩種谷拓撲波導(dǎo)超原胞結(jié)構(gòu)(a)及其色散關(guān)系(b),(c)谷邊緣態(tài)M,N,P 和Q 的聲壓場模式分布(虛線表示界面Ⅰ和Ⅱ)Fig.3 (a) Structures of the supercells of both valley topological waveguides，and (b) their corresponding dispersion relations,(c) pressure distributions of the valley edge states M，N，P and Q (The dashed lines are the domain walls Ⅰ and Ⅱ)

2 聲能谷輸運與魯棒性驗證

2.1 聲能谷輸運基于谷邊緣態(tài)的反對稱與對稱模式分布特征，數(shù)值模擬包含界面Ⅰ和Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)聲能谷輸運，其中模型四周邊界均設(shè)置為平面波輻射條件.如圖4a，在包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)的左側(cè)放置一對反相聲源，可以看到，反相聲源在界面Ⅰ中激發(fā)產(chǎn)生谷邊緣態(tài)，聲能量可以沿著界面Ⅰ進行高效地傳輸.然而，將聲源相位設(shè)置為同相（圖4b），拓撲波導(dǎo)中的谷邊緣態(tài)無法被激發(fā)，界面Ⅰ中的聲能量幾乎為0，聲波無法傳輸.這主要是因為谷邊緣態(tài)的激發(fā)與聲源相位分布密切相關(guān)，當(dāng)聲源相位分布與谷邊緣態(tài)的場分布相同時，可以在界面中激發(fā)產(chǎn)生谷邊緣態(tài)，反之則無法激發(fā).為了進一步驗證該結(jié)論，采用一對反相聲源激發(fā)包含界面Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)（圖4c），可以看出，與界面Ⅰ相反，界面Ⅱ中的谷邊緣態(tài)無法被激發(fā).而將聲源相位設(shè)置為同相，具有對稱分布特征的谷邊緣態(tài)可以被有效激發(fā)，聲能量能夠通過包含界面Ⅱ的波導(dǎo)（圖4d）.上述結(jié)果表明，基于兩種不同界面谷拓撲波導(dǎo)中的反對稱與對稱模式的谷邊緣態(tài)，通過改變聲源的相位，可以對聲能谷輸運進行有效調(diào)控.

圖4 (a)反相與(b)同相聲源激發(fā)包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布；(c)反相與(d)同相聲源激發(fā)包含界面Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布（聲源頻率為14.0 kHz，一對黑色與白色五角星表示反相聲源，一對黑色五角星表示同相聲源）Fig.4 Acoustic intensity distributions in the valley topological waveguide with the domain wall Ⅰ under the excitation of a pair of (a) out?phase and (b) in?phase sources，and those with the domain wall Ⅱ under the excitation of a pair of (c) out?phase and (d) in?phase sources（The excitation frequency is 14.0 kHz，and the dashed lines indicate the domain walls，and a pair of black and white stars present a pair of out?phase sources，and a pair of black stars are a pair of in?phase sources）

為了顯示聲能谷輸運的帶寬，數(shù)值模擬反相和同相聲源分別激發(fā)兩種谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲透射譜.如圖5a，在體帶隙中（陰影區(qū)域），反相聲源激發(fā)對應(yīng)的聲透射率均在-5 dB 之上，從而說明界面Ⅰ中谷邊緣態(tài)被有效激發(fā).而同相聲源激發(fā)對應(yīng)的聲透射率均在-30 dB 之下，聲能量無法在界面Ⅰ中傳輸.對包含界面Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)，如圖5b，采用反相和同相聲源激發(fā)產(chǎn)生的透射譜特征與圖5a 中正好相反.基于上述結(jié)果可以得到，基于反對稱和對稱模式谷邊緣態(tài)的聲能谷輸運，可以在聲子晶體的體帶隙范圍實現(xiàn).

圖5 反相與同相聲源分別激發(fā)包含(a)界面Ⅰ與(b)Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲透射譜,陰影區(qū)域表示體帶隙(13.8～14.4 kHz)Fig.5 Transmittance spectra of the topological waveguides with the domain walls (a) Ⅰ and (b) Ⅱ under the excitations of a pair of out?phase and in?phase sources，respectively,shaded regions are the bulk bandgap (from 13.8 to 14.4 kHz)

2.2 魯棒性驗證在兩種谷拓撲波導(dǎo)的界面中引入缺陷，數(shù)值模擬聲能谷輸運的魯棒性.如圖6a，在谷拓撲波導(dǎo)界面Ⅰ中引入Z 型缺陷，采用反相聲源激發(fā)產(chǎn)生的聲能量可以有效通過Z 型缺陷，沿界面Ⅰ傳輸.圖6b 顯示數(shù)值模擬反相聲源激發(fā)包含Z 型缺陷的界面Ⅰ產(chǎn)生的聲透射譜（實線），作為對比，引入無缺陷界面Ⅰ對應(yīng)的聲透射譜（實線+空心圓點）.可以看出，在陰影區(qū)域?qū)?yīng)的體帶隙中，兩種情況對應(yīng)的聲透射譜幾乎相同，說明所產(chǎn)生的聲能谷輸運幾乎無背向散射，對Z 型缺陷具有較好的免疫性.圖6c 和6d 顯示在谷拓撲波導(dǎo)界面Ⅱ中引入Z 型缺陷的模擬結(jié)果，可以看出，所對應(yīng)的聲能谷輸運魯棒性與界面Ⅰ相同.在此基礎(chǔ)上，在兩種谷拓撲波導(dǎo)界面引入V型缺陷，數(shù)值模擬結(jié)果見圖7，可以看出，兩種谷拓撲波導(dǎo)中產(chǎn)生的聲能谷輸運同樣對V 型缺陷具有很好的免疫性.綜上，基于反對稱和對稱模式谷邊緣態(tài)的聲能谷輸運具有很好的魯棒性.

圖6 (a)頻率為14.0 kHz 的反相聲源激發(fā)包含Z 型缺陷的界面Ⅰ產(chǎn)生的聲能量分布;(b)反相聲源激發(fā)包含Z 型缺陷與無缺陷的界面Ⅰ產(chǎn)生的聲透射譜;(c)頻率為14.0 kHz 的同相聲源激發(fā)包含Z 型缺陷的界面Ⅱ產(chǎn)生的聲能量分布;(d)同相聲源激發(fā)包含Z 型缺陷與無缺陷的界面Ⅱ產(chǎn)生的聲透射譜((b)和(d)中陰影區(qū)域為體帶隙(13.8～14.4 kHz))Fig.6 (a) Acoustic intensity distribution in the domain wall Ⅰ with a Z?shaped defect under the excitation of a pair of out?phase sources at 14.0 kHz，and (b) transmittance spectra through the domain wall Ⅰ with and without Z?shaped defect;(c) acoustic intensity distribution in the domain wall Ⅱ with a Z?shaped defect under the excitation of a pair of in?phase sources at 14.0 kHz，and (d) transmittance spectra through the domain wall Ⅱ with and without Z?shaped defect (shaded regions in (b) and (d) are the bulk bandgap (from 13.8 to 14.4 kHz))

圖7 (a)頻率為14.0 kHz 的反相聲源激發(fā)包含V 型缺陷的界面Ⅰ產(chǎn)生的聲能量分布;(b)反相聲源激發(fā)包含V 型缺陷與無缺陷的界面Ⅰ產(chǎn)生的聲透射譜;(c)頻率為14.0 kHz 的同相聲源激發(fā)包含V 型缺陷的界面Ⅱ產(chǎn)生的聲能量分布;(d)同相聲源激發(fā)包含V 型缺陷與無缺陷的界面Ⅱ產(chǎn)生的聲透射譜Fig.7 (a) Acoustic intensity distribution in the domain wall Ⅰ with a V?shaped defect under the excitation of a pair of out?phase sources at 14.0 kHz，and (b) transmittance spectra through the domain wall Ⅰ with and without V?shaped defect，(c) acoustic intensity distribution in the domain wall Ⅱ with a V?shaped defect under the excitation of a pair of in?phase sources at 14.0 kHz，and (d) transmittance spectra through the domain wall Ⅱ with and without V?shaped defect

3 應(yīng)用探索

最后，基于包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)提出一種方向可調(diào)控的聲非對稱傳輸器件的設(shè)計方案.如圖8a，在谷拓撲波導(dǎo)界面Ⅰ左右兩側(cè)分別放置一對聲源，將其相位分別設(shè)置為反相和同相狀態(tài)，可以看出，左側(cè)反相聲源可以激發(fā)反對稱分布的谷邊緣態(tài)，到達拓撲波導(dǎo)右側(cè)；右側(cè)同相聲源不能激發(fā)谷邊緣態(tài)，聲能量無法通過拓撲波導(dǎo).數(shù)值模擬的左側(cè)反相和右側(cè)同相聲源激發(fā)谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布分別如圖8b 和圖8c.可以看出，左側(cè)反相聲源激發(fā)產(chǎn)生的聲能量能通過拓撲波導(dǎo)，而右側(cè)同相聲源激發(fā)的聲波無法在拓撲波導(dǎo)中傳輸，從而實現(xiàn)聲波非對稱傳輸效應(yīng).在此基礎(chǔ)上，將兩側(cè)聲源的初始相位分別調(diào)整為同相和反相（圖8d），則聲非對稱傳輸方向發(fā)生反轉(zhuǎn)，數(shù)值模擬的聲能量分布如圖8e 和圖8f，表現(xiàn)出明顯的反轉(zhuǎn)聲非對稱傳輸效應(yīng).基于上述結(jié)果可以得到，通過主動控制界面兩側(cè)聲源的初始相位，可以實現(xiàn)方向可調(diào)控的聲非對稱傳輸效應(yīng).

圖8 (a)基于包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)設(shè)計的聲非對稱傳輸器件示意圖;(b)頻率為14.0 kHz 的左側(cè)反相與(c)右側(cè)同相的聲源激發(fā)包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布;(d)聲非對稱傳輸方向反轉(zhuǎn)示意圖;(e)頻率為14.0 kHz 的左側(cè)同相與(f)右側(cè)反相的聲源激發(fā)包含界面Ⅰ的谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布Fig.8 (a) Schematic of an acoustic asymmetric transmission device based on the valley topological waveguide with the domain wall Ⅰ,acoustic intensity distributions in valley topological waveguides with the domain wall Ⅰ under the excitations of a pair of (b) out?phase and (c) in?phase sources at the left and right sides，respectively,(d) schematic of the revseal of acoustic asymmetric transmission by adjusting the initial phases of sound sources on both sides,acoustic intensity distributions in valley topological waveguides with the domain wall Ⅰ under the excitations of a pair of(e) in?phase and (f) out?phase sources at the left and right sides，respectively

4 結(jié)論

本文研究基于對稱與反對稱谷邊緣態(tài)的聲能谷輸運效應(yīng).基于蜂窩型聲子晶體提出了包含界面Ⅰ和Ⅱ的兩種谷拓撲波導(dǎo)，其中聲子晶體單元由兩種鏤空散射體組成.通過調(diào)節(jié)散射體的空氣通道寬度，可以實現(xiàn)聲子晶體的能帶反轉(zhuǎn).基于兩種不同谷霍爾相的聲子晶體，設(shè)計實現(xiàn)了包含界面Ⅰ和Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo).數(shù)值結(jié)果表明，在包含界面Ⅰ和Ⅱ的谷拓撲波導(dǎo)體帶隙中分別存在著一對群速度相同、傳播方向相反的谷邊緣態(tài)，其對應(yīng)的模式場分布分別具有反對稱和對稱特征.在此基礎(chǔ)上，采用一對反相與同相聲源分別在界面Ⅰ與Ⅱ上激發(fā)產(chǎn)生反對稱與對稱分布的谷邊緣態(tài)，并可以在體帶隙中實現(xiàn)聲能谷輸運.而采用同相與反相聲源無法在界面Ⅰ與Ⅱ上激發(fā)產(chǎn)生谷邊緣態(tài).此外，在谷拓撲波導(dǎo)界面Ⅰ和Ⅱ中分別引入Z 型和V 型缺陷，模擬反相與同相聲源激發(fā)兩種谷拓撲波導(dǎo)產(chǎn)生的聲能量分布及其聲透射譜.通過比較分析，所設(shè)計的兩種谷拓撲波導(dǎo)均具有很好的魯棒性.最后，探索了所設(shè)計的谷拓撲波導(dǎo)潛在應(yīng)用方案，通過主動控制波導(dǎo)兩側(cè)聲源的初始相位，實現(xiàn)了可調(diào)控聲非對稱傳輸效應(yīng).本文為研究聲子晶體中能谷輸運提供了新思路，并在設(shè)計高魯棒性可調(diào)控拓撲聲學(xué)器件方面具有潛在的應(yīng)用價值.