李英紅

摘 要：建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)建模分析、解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)思想，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，有助于學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用已知數(shù)學(xué)思想和方法的能力。本文在分析學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)情的基礎(chǔ)上，探討高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想的意義，從在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中滲透建模思想、創(chuàng)設(shè)建模背景情境、開展項(xiàng)目化建模探究活動(dòng)、加強(qiáng)模型檢驗(yàn)和修改四個(gè)方面，論述在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想的策略，以供相關(guān)教育人士參考。

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；建模思想；高等數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G64? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2023）20-0006-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.20.002

數(shù)學(xué)建模以實(shí)際問題為依據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，并求解數(shù)學(xué)建模，再以結(jié)果為依據(jù)解決實(shí)際問題。作為一種常見的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，數(shù)學(xué)建模思想常被用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)，能夠幫助學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣，感受數(shù)學(xué)建模的魅力，簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的難度。因此，教師需要結(jié)合高等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容以及學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，以建模的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，并在實(shí)踐練習(xí)等環(huán)節(jié)著力滲透建模概念，以便提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

一、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想的價(jià)值

數(shù)學(xué)是工科類大學(xué)的一門公共課，高等數(shù)學(xué)能夠訓(xùn)練學(xué)生的思維素養(yǎng)，尤其是在當(dāng)前素質(zhì)教育的大背景下，如果依舊使用傳統(tǒng)層面的教學(xué)模式，并不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。而通過既有的數(shù)學(xué)教學(xué)技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行建模，能夠在數(shù)學(xué)理論知識(shí)與數(shù)學(xué)實(shí)際問題之間構(gòu)架一座溝通的橋梁。教師可以將教學(xué)的關(guān)注點(diǎn)放在課后實(shí)驗(yàn)方面，并在教學(xué)過程中融入建模思想，通過建模的方式解決數(shù)學(xué)問題。在了解學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)情況以及分析學(xué)生的數(shù)學(xué)理論認(rèn)知能力的前提下，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的意義主要有以下三個(gè)方面。

（一）有利于激發(fā)學(xué)生探究高等數(shù)學(xué)的興趣

新時(shí)期的高等數(shù)學(xué)教學(xué)追求調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情。數(shù)學(xué)建模思想具有悠久的歷史，涉及的知識(shí)面非常廣泛，同時(shí)建構(gòu)模型的過程也極具趣味性，數(shù)學(xué)建模能夠激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)的自主意愿。為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)，教師可以將涵蓋數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的數(shù)學(xué)文化資料，如歐幾里得幾何、牛頓萬有引力定律等傳遞給學(xué)生，促使學(xué)生接觸更多數(shù)學(xué)建模的光輝典范。在研究復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系問題背景進(jìn)行模型假設(shè)、建立和求解，促使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)明易懂，從而同步強(qiáng)化學(xué)生探究高等數(shù)學(xué)的興趣和信心［1］。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)技能的能力

學(xué)生邁入高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段之后，面對(duì)的學(xué)習(xí)內(nèi)容日益艱深，非常考驗(yàn)學(xué)生整合運(yùn)用已有知識(shí)技能的能力。數(shù)學(xué)建模從本質(zhì)上來說，就是將各種知識(shí)以創(chuàng)意性方式相關(guān)聯(lián)，以培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，讓學(xué)生將學(xué)習(xí)的關(guān)注點(diǎn)從概念性內(nèi)容轉(zhuǎn)向解題。如在進(jìn)行模型假設(shè)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)建模的目的和實(shí)際對(duì)象的特征，聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)化問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、程序、表格、圖形等對(duì)數(shù)學(xué)問題作出恰當(dāng)、合理的模型假設(shè)，從而發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力。

（三）有利于促進(jìn)學(xué)生高效解決實(shí)際問題

開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中把各種數(shù)學(xué)知識(shí)技能學(xué)以致用，融入數(shù)學(xué)建模思想旨在簡(jiǎn)化解決實(shí)際問題的難度。即使看起來完全不同的問題，實(shí)則其內(nèi)里的數(shù)學(xué)模型都是相同或相似的，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，對(duì)促進(jìn)學(xué)生高效解決實(shí)際問題大有裨益。如在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以根據(jù)具體的數(shù)學(xué)概念或定理引入相關(guān)的建模實(shí)例。比如，在講授極值定理時(shí)，教師就可以借助磁盤的最大存儲(chǔ)量、優(yōu)化設(shè)計(jì)會(huì)議室等建模實(shí)例，幫助學(xué)生運(yùn)用極值定理解決生活中類似的最優(yōu)化問題，讓學(xué)生感知建模知識(shí)的實(shí)用價(jià)值，自然能夠增強(qiáng)學(xué)生的求知意愿［2］。

二、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的策略

（一）數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)概念的關(guān)系

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)要求學(xué)生具有基本的計(jì)算能力，同時(shí)應(yīng)用性強(qiáng)、邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)也是高等數(shù)學(xué)的固有特點(diǎn)。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)需要從理解數(shù)學(xué)概念入手，并注意讀懂題意，但是部分學(xué)生并沒有讀題思路，難以理解數(shù)學(xué)問題。學(xué)生要理解后續(xù)專業(yè)課程中遇到的名詞、符號(hào)等，尤其是相較于初、高中時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，高等數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性更強(qiáng)，增加了學(xué)生讀題的難度。同時(shí)，學(xué)生在理解概念時(shí)更渴望了解概念在實(shí)際問題中的原型，這樣學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的難度會(huì)降低，也能無形中體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在含義。所以，教師需要將建模思想與數(shù)學(xué)概念相結(jié)合，建模思想是以數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)事物本質(zhì)，在數(shù)學(xué)概念形成的過程中融入建模思想，讓學(xué)生體驗(yàn)這個(gè)過程，這對(duì)幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)精髓大有裨益。教師可以通過學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)際問題或數(shù)學(xué)模型吸引學(xué)生主動(dòng)思考，然后引導(dǎo)學(xué)生用建模的方式探索數(shù)學(xué)概念的形成過程，從而促使學(xué)生有效運(yùn)用建模思維，同時(shí)透徹理解數(shù)學(xué)概念的來龍去脈。

例如，在講授定積分概念時(shí)，教師就可以出示有關(guān)定積分概念的建模問題引例：如何求曲邊梯形的面積？提出問題的同時(shí)，教師在電子白板上展示曲邊梯形的圖片，學(xué)生交流之后正確列出曲邊梯形的面積公式，教師繼續(xù)設(shè)問引導(dǎo)：“能否將這個(gè)建模問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)和式的極限？”學(xué)生思考之后認(rèn)為可行，并求出和式極限值，教師在電子白板上出示對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像講解和式極限值可以稱之為函數(shù)區(qū)間上的定積分。教師出示定積分f（x）dx提問：“這個(gè)定積分在函數(shù)圖像上表示什么？”學(xué)生回答：“表示x軸上方圖形面積與x軸下方面積之差?！币源诉_(dá)到通過建模理解積分概念的目的。為了幫助學(xué)生認(rèn)知概念，教師可以引入第二個(gè)學(xué)生熟悉的建模問題示例：如何求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程？有了之前的建模鋪墊，學(xué)生通過討論很快得出結(jié)論：假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有界，在（a，b）中任意插入n個(gè)分點(diǎn)，把（a，b）分成n個(gè)小區(qū)間，求出每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度，將長(zhǎng)度乘以速度就是這個(gè)問題的模型。要想得到總路程的精確值，還需要將小區(qū)間無限細(xì)化，使小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零。教師認(rèn)同學(xué)生的結(jié)論之后，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系建立的模型以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像總結(jié)、歸納定積分的幾何意義及概念，幫助學(xué)生認(rèn)知函數(shù)的可積條件，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)建模理解數(shù)學(xué)概念［3］。

（二）創(chuàng)設(shè)與建模問題相關(guān)的實(shí)際背景情境

高等數(shù)學(xué)課程看似復(fù)雜，但是卻與實(shí)際生活密切相關(guān)，很多建模問題在現(xiàn)實(shí)生活中都能找到應(yīng)用實(shí)例，所以學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)理論知識(shí)的同時(shí)，也應(yīng)該重視知識(shí)的來源及其應(yīng)用。融入數(shù)學(xué)建模思想單憑講授概念是無法達(dá)成的，教師必須將建模問題與現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系起來，讓學(xué)生通過生活原型理解建模內(nèi)涵，促使學(xué)生通過實(shí)際背景尋找建模問題原型。教師還應(yīng)該注意結(jié)合實(shí)際生活背景開展建模，引導(dǎo)學(xué)生探討和研究背景內(nèi)容，并以數(shù)學(xué)實(shí)例為依據(jù)提取數(shù)學(xué)模型，以便提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)能力，凸顯數(shù)學(xué)建模的教學(xué)價(jià)值。

在創(chuàng)設(shè)實(shí)際背景情境時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)課程中具體的建模問題，為學(xué)生列舉現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子，搭配展示一些背景資料，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例討論學(xué)習(xí)，建構(gòu)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；還可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系自身的生活體驗(yàn)，列舉更多的生活實(shí)例，教師再因勢(shì)利導(dǎo)引入新課程模型，以便達(dá)到融合數(shù)學(xué)建模思想的最佳效果。如在教學(xué)導(dǎo)數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)模型從本質(zhì)上來說涉及生活中的變化率問題。教師創(chuàng)設(shè)實(shí)際背景情境時(shí)，就可以在電子白板上展示某地一段時(shí)間內(nèi)房?jī)r(jià)漲跌的折線統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察折線和數(shù)據(jù)的變化，分析規(guī)律列出對(duì)應(yīng)的公式，學(xué)生完成之后教師提問：“這個(gè)實(shí)例屬于什么問題？”學(xué)生作答：“變化率問題。”教師再問：“請(qǐng)大家回顧生活經(jīng)驗(yàn)和所學(xué)知識(shí)，指出生活中還有哪些類似的變化率模型？”學(xué)生交流之后列舉：物體的自由落體運(yùn)動(dòng)，股票、基金在某一段時(shí)間內(nèi)的漲跌情況，溫室效應(yīng)引起全球變暖等。借助生活問題調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，再趁熱打鐵引出變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度模型，引導(dǎo)學(xué)生探討質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。學(xué)生根據(jù)模型問題和實(shí)際背景，學(xué)習(xí)用平均變化率刻畫快慢速度的建模方法。這樣通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際背景情境，學(xué)生就能真切體會(huì)客觀世界中變化快慢不同的現(xiàn)象，有效吸收導(dǎo)數(shù)概念和建模思想［4］。

（三）組織開展項(xiàng)目化建模學(xué)習(xí)

教師除了以潛移默化的方式給學(xué)生滲透數(shù)學(xué)建模思想之外，還應(yīng)該著重鍛煉學(xué)生自主建模的能力，促使學(xué)生形成用建模思想分析和解決問題的習(xí)慣。項(xiàng)目化教學(xué)具有較強(qiáng)的自主性，是調(diào)動(dòng)學(xué)生自主建模的有效方式，教師應(yīng)該根據(jù)課程的知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生發(fā)展建模能力的需要設(shè)計(jì)開展項(xiàng)目化建模探究活動(dòng)，給學(xué)生發(fā)布建模項(xiàng)目的內(nèi)容、目的和要求等，組織學(xué)生合作參與建構(gòu)模型和解決問題，從而強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想的能力，具體教學(xué)策略如下。

設(shè)計(jì)開展高等數(shù)學(xué)項(xiàng)目化建模探究活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)課程要點(diǎn)為學(xué)生出示建模項(xiàng)目的問題、背景資料，促使學(xué)生掌握項(xiàng)目對(duì)象的各種信息，然后出具建模項(xiàng)目的具體要求，組織學(xué)生按照要求合作開展項(xiàng)目化建模探究活動(dòng)，教師期間要給予必要的點(diǎn)撥和幫扶，促進(jìn)學(xué)生順暢完成建模項(xiàng)目、解決實(shí)際問題。如在教學(xué)函數(shù)最值時(shí)，教師就可以將森林救火問題作為建模項(xiàng)目的探究問題，在電子白板上出示對(duì)應(yīng)的函數(shù)式和函數(shù)圖像，同時(shí)提出建模項(xiàng)目的要求：請(qǐng)聯(lián)系建模項(xiàng)目問題的實(shí)際背景，在函數(shù)圖像上比較各函數(shù)值，找出函數(shù)閉區(qū)間的最大值和最小值，然后在函數(shù)圖像上標(biāo)出全部極值可疑點(diǎn)及其函數(shù)值，求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，完成模型建立之后再代入函數(shù)式的具體數(shù)據(jù)，計(jì)算模型的所有參數(shù)。學(xué)生參與建模項(xiàng)目探究活動(dòng)時(shí)應(yīng)該做好建模的準(zhǔn)備工作，以數(shù)學(xué)語言描述問題背景，學(xué)生通過討論簡(jiǎn)化函數(shù)式、提煉函數(shù)式的閉區(qū)間之后，對(duì)閉區(qū)間的最值作出建模假設(shè)、在假設(shè)的基礎(chǔ)上，學(xué)生求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，并把極值可疑點(diǎn)和函數(shù)值添加到函數(shù)圖像上。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師適時(shí)提問：“大家是如何確定極值可疑點(diǎn)的呢？”學(xué)生作答：“比較區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大的就是最大值可疑點(diǎn)，反之，最小的是最小值可疑點(diǎn)?！苯又?，學(xué)生按照項(xiàng)目要求的指示，把函數(shù)式中的數(shù)值代入函數(shù)圖像模型，計(jì)算得出關(guān)于數(shù)學(xué)模型的所有參數(shù)，并用最終的計(jì)算結(jié)果解答森林救火問題。這樣通過項(xiàng)目化的數(shù)學(xué)建模教學(xué)引導(dǎo)方式，能夠?yàn)閷W(xué)生營(yíng)造一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過程以及解決實(shí)際問題的流程，提高數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)課程融合的效率［5］。

（四）加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)和修改數(shù)學(xué)模型

高等數(shù)學(xué)是一門追求嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科，在數(shù)學(xué)建模的過程中，部分?jǐn)?shù)學(xué)模型并不是一次成型的。由于邏輯分析和計(jì)算失誤，有些數(shù)學(xué)模型會(huì)出現(xiàn)與實(shí)際情形不吻合的情況，需要進(jìn)一步校驗(yàn)和修改。檢驗(yàn)和修改模型是重要的建模思想，但是卻容易被學(xué)生忽視，致使最終的解題結(jié)果出錯(cuò)。因此，在滲透數(shù)學(xué)建模思想時(shí)，教師必須根據(jù)具體的建模探究?jī)?nèi)容，加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)和修改數(shù)學(xué)模型，提升數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性和適用性，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、審慎的建模習(xí)慣。

教師應(yīng)該立足具體問題和建?；顒?dòng)，在學(xué)生完成模型建立和模型分析之后，指導(dǎo)學(xué)生將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形相對(duì)照，比較得出模型和客觀實(shí)際是否吻合。如果吻合，教師需要啟發(fā)學(xué)生用模型計(jì)算結(jié)果解釋實(shí)際含義；如果不吻合，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行邏輯檢驗(yàn)，從模型假設(shè)中找出矛盾，否定模型之后再重復(fù)建模過程，以此確保模型正確、合理和適用。

例如，在建立關(guān)于人口增長(zhǎng)問題的模型時(shí)，教師給出一份10年的人口數(shù)據(jù)，學(xué)生通過探究建立指數(shù)模型，并結(jié)合數(shù)據(jù)資料得到指數(shù)模型的底數(shù)和冪，初步探知人口增長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系。在檢驗(yàn)指數(shù)模型正確性的環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)指數(shù)模型的函數(shù)關(guān)系是否符合人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況？符合程度高不高？如何驗(yàn)證？學(xué)生交流之后反饋：從現(xiàn)有的人口數(shù)據(jù)來看，建立的指數(shù)模型符合實(shí)際情形。要想知道符合的程度，需要更長(zhǎng)時(shí)間段的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。教師順勢(shì)再給學(xué)生提供一份30年的人口數(shù)據(jù)，學(xué)生把數(shù)據(jù)代入指數(shù)模型進(jìn)行計(jì)算，比較前后的模型計(jì)算參數(shù)，得出的誤差非常小，說明該指數(shù)模型和實(shí)際情況的吻合度很高，標(biāo)志著建模成功。這樣通過實(shí)施模型檢驗(yàn)練習(xí)，學(xué)生的建模思想和嚴(yán)謹(jǐn)意識(shí)就能得到進(jìn)一步突破［6］。

三、結(jié)語

綜上所述，為了解決數(shù)學(xué)問題，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過抽象及歸納的方式構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過建模思想簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考，有效吸收數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)與建模問題相關(guān)的實(shí)際背景情境，設(shè)計(jì)項(xiàng)目化的建模探究活動(dòng)，加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)和修改數(shù)學(xué)模型，促使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)用性，提高學(xué)生的建模實(shí)踐能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 古麗努爾·里瓦依丁.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的融入［J］.產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2021（18）：192.

［2］ 王慧，安然.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的融入與應(yīng)用［J］.內(nèi)江科技，2019（7）：150.

［3］ 秦素平.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討［J］.智庫(kù)時(shí)代，2018（46）：215.

［4］ 陳富媛.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想初探［J］.現(xiàn)代職業(yè)教育，2018（4）：38.

［5］ 孫文兵.數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)施策略［J］.考試周刊，2016（64）：52.

［6］ 劉君.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討［J］.科技視界，2016（5）：89.

［責(zé)任編輯 李永偉］