□陳 蒨 陸世奇 徐文彬

數(shù)線即表征數(shù)的意義、性質(zhì)和運(yùn)算的線。數(shù)線在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。其中，應(yīng)用最廣泛、最特殊的數(shù)線就是數(shù)軸。數(shù)軸是一條帶有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線，一些研究者也將其稱為結(jié)構(gòu)化數(shù)線。［1］除數(shù)軸外，“數(shù)線家族”還有很多其他成員，如心理數(shù)線、空數(shù)線、雙數(shù)線等。在教學(xué)中，教師可以根據(jù)不同的問(wèn)題情境和學(xué)習(xí)需求呈現(xiàn)不同類型的數(shù)線，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

在教學(xué)中，以數(shù)軸為主，輔以其他類型的數(shù)線，可以為學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展核心素養(yǎng)提供更多機(jī)會(huì)?；诖?，筆者試探究數(shù)線在小學(xué)階段的應(yīng)用，包括在數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算及解決問(wèn)題等多個(gè)維度上的教學(xué)實(shí)踐，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力和幾何直觀等核心素養(yǎng)助力。

一、依托數(shù)線認(rèn)數(shù)，發(fā)展學(xué)生數(shù)感

數(shù)線是認(rèn)數(shù)的直觀工具，數(shù)線可以幫助學(xué)生理解數(shù)的意義、認(rèn)識(shí)數(shù)的順序、厘清數(shù)的關(guān)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟，包括能夠理解數(shù)的意義、能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序、能進(jìn)行合理的估算。［2］依托數(shù)線開展認(rèn)數(shù)教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。

（一）以數(shù)線為主線貫穿認(rèn)數(shù)教學(xué)

對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行梳理，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)線出現(xiàn)在每一個(gè)有關(guān)認(rèn)數(shù)的教學(xué)單元中。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，數(shù)線就出現(xiàn)在了認(rèn)識(shí)10 以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)、認(rèn)識(shí)100以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識(shí)多位數(shù)，以及認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等教學(xué)單元。這說(shuō)明教師要用好數(shù)線這一直觀教學(xué)工具，以整體性、結(jié)構(gòu)化的思路來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生在每一階段都能循序漸進(jìn)地理解數(shù)的意義、認(rèn)識(shí)數(shù)的順序、厘清數(shù)的關(guān)系。特別是在認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)及負(fù)數(shù)時(shí)，借助數(shù)軸能幫助學(xué)生自然理解數(shù)系的擴(kuò)張，逐漸建構(gòu)自身的數(shù)系認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。［3］

例如，蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)”的教學(xué)內(nèi)容中，以數(shù)形結(jié)合的形式呈現(xiàn)了（如圖1）。教材編排的意圖在于引導(dǎo)學(xué)生把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，并表示在數(shù)線上，從而幫助學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的意義、建立分?jǐn)?shù)與整數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)系的自然擴(kuò)張。這種依托數(shù)線認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的教學(xué)方式，有助于學(xué)生直觀地理解分?jǐn)?shù)的意義、厘清分?jǐn)?shù)與整數(shù)的關(guān)系，從而把分?jǐn)?shù)正確納入自身已有的數(shù)系結(jié)構(gòu)中。當(dāng)然，這一教學(xué)方式的實(shí)施必須基于教師對(duì)認(rèn)數(shù)教學(xué)整體性和結(jié)構(gòu)性的把握，以及學(xué)生長(zhǎng)期以來(lái)積累的對(duì)數(shù)線的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。如果每一次的認(rèn)數(shù)教學(xué)都能依托數(shù)線來(lái)幫助學(xué)生建立對(duì)數(shù)的理解，那么每一次數(shù)系的擴(kuò)張對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是自然而然、順理成章的了。

圖1 “把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)”教材圖

值得注意的是，學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)也在學(xué)習(xí)數(shù)線相關(guān)的知識(shí)，同時(shí)形成物理意義和心理意義上的數(shù)線。心理數(shù)線是個(gè)人在腦海中構(gòu)造的數(shù)線，是學(xué)生在學(xué)習(xí)物理數(shù)線過(guò)程中的一種內(nèi)化。心理數(shù)線的發(fā)展，與測(cè)量、分類等數(shù)學(xué)能力的發(fā)展似乎是齊頭并進(jìn)的。［4］這是數(shù)感發(fā)展的體現(xiàn)，也是數(shù)感外顯的表現(xiàn)形式之一，即學(xué)生能夠基于心理數(shù)線自主建構(gòu)物理數(shù)線。因此，教師可以讓學(xué)生運(yùn)用無(wú)界數(shù)線（如圖2）和空數(shù)線（如圖3）來(lái)“造數(shù)”。

圖2 無(wú)界數(shù)線示意圖

圖3 空數(shù)線示意圖

（二）以數(shù)線為支點(diǎn)突破近似數(shù)難點(diǎn)

能進(jìn)行合理的估計(jì)、估算也是數(shù)感的具體表現(xiàn)之一。用“四舍五入法”取近似數(shù)是認(rèn)數(shù)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。以蘇教版教材為例，在四年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)多位數(shù)”單元“近似數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，認(rèn)識(shí)大數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為困難，用“四舍五入法”求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)就更難了。從教材的主題圖（如圖4）可以看出，數(shù)線是突破這一難點(diǎn)的有效支架。“近似數(shù)的認(rèn)識(shí)”常常面臨教師施教“重法輕理”、學(xué)生學(xué)習(xí)“知其然而不知其所以然”的困境。數(shù)線的有效利用能打破這一僵局，使得教師教學(xué)“理法并舉”，學(xué)生學(xué)習(xí)“融會(huì)貫通”。

圖4 “近似數(shù)的認(rèn)識(shí)”主題圖

解答圖4中的問(wèn)題，需把男性人數(shù)384204和女性人數(shù)386685對(duì)應(yīng)的大致位置標(biāo)在數(shù)線上。這涉及兩種學(xué)生可能使用的數(shù)線估計(jì)模型：線性模型與對(duì)數(shù)模型。線性模型指?jìng)€(gè)體對(duì)所有數(shù)字的表征具有相等的心理空間距離，相鄰數(shù)字之間的距離不會(huì)因數(shù)量的增加而改變。［5］對(duì)數(shù)模型則是指，對(duì)于某一范圍內(nèi)的數(shù)字，個(gè)體傾向于擴(kuò)大低端數(shù)字間的距離而縮小高端數(shù)字間的距離。［6］如在0～1000 范圍內(nèi)，個(gè)體在心理上會(huì)認(rèn)為1 與75 的距離比75 與1000的距離要大。

在數(shù)線上標(biāo)數(shù)的過(guò)程，不僅是一個(gè)操作過(guò)程，也是一個(gè)對(duì)數(shù)及其關(guān)系的理解過(guò)程，更是對(duì)數(shù)線的感知過(guò)程。學(xué)生在標(biāo)數(shù)任務(wù)中出錯(cuò)，原因可能在于運(yùn)用了錯(cuò)誤的數(shù)線估計(jì)策略。開展變式訓(xùn)練是一種可能的教學(xué)手段。教材中呈現(xiàn)的是一種半結(jié)構(gòu)化的數(shù)線（在38萬(wàn)到39萬(wàn)之間有單位，但未顯示單位長(zhǎng)度），其變式既可以增加單位長(zhǎng)度，也可以去除單位，從而讓學(xué)生在各種數(shù)線情境下標(biāo)數(shù)，以呈現(xiàn)他們對(duì)數(shù)線的理解情況。教師據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生形成恰當(dāng)?shù)臄?shù)線估計(jì)（標(biāo)數(shù)）策略，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)近似數(shù)的理解，有助于學(xué)生生成對(duì)數(shù)的估計(jì)的感悟，逐步內(nèi)化對(duì)數(shù)的大小和近似數(shù)的感知，從而發(fā)展數(shù)感。

二、巧借數(shù)線運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力

數(shù)線有利于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。它可以呈現(xiàn)運(yùn)算過(guò)程，讓學(xué)生更直觀地感受運(yùn)算過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生既可以借助數(shù)線感知運(yùn)算間的關(guān)聯(lián)，也可以借助數(shù)線理解運(yùn)算的意義。

（一）借助數(shù)線感知運(yùn)算間的關(guān)聯(lián)

對(duì)于小學(xué)生而言，感知運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)是非常困難的。尤其是低年級(jí)的學(xué)生，他們對(duì)運(yùn)算的理解是孤立的，加法是加法，減法是減法，很難理解加減法之間的關(guān)系。借助數(shù)線，可以幫助學(xué)生直觀感知加法和減法之間的關(guān)聯(lián)，初步認(rèn)識(shí)減法是加法的逆運(yùn)算。

例如，浙教版教材一年級(jí)上冊(cè)在“練一練八”中安排了圖5的練習(xí)題，借助數(shù)線來(lái)幫助一年級(jí)學(xué)生理解加減法之間的聯(lián)系。圖5 中的數(shù)線具有正方向，箭頭方向與正方向相同是加，箭頭方向與正方向相反則是減。把兩幅圖放在一起理解，能幫助學(xué)生直觀感知加減法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，感悟加減法的本質(zhì)是相同的，理解減法是加法的逆運(yùn)算。當(dāng)然，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，必須注意一年級(jí)學(xué)生的數(shù)線經(jīng)驗(yàn)，如他們對(duì)正方向和單位長(zhǎng)度的理解程度。

圖5 用數(shù)線表示加減法之間的聯(lián)系

（二）借助數(shù)線理解運(yùn)算的意義

四則運(yùn)算的意義是理解算理、探索算法、分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，也是四則運(yùn)算內(nèi)容的核心［7］，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展至關(guān)重要。在運(yùn)算教學(xué)中，巧妙借助數(shù)線能幫助學(xué)生理解運(yùn)算的意義。

以蘇教版教材為例，二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘法（一）”單元“5的乘法口訣”這一內(nèi)容的“想想做做”中，就出現(xiàn)了用數(shù)線表示乘法意義的練習(xí)題（如圖6）。乘法的本質(zhì)意義是幾個(gè)相同加數(shù)的和（幾個(gè)幾相加）的簡(jiǎn)便運(yùn)算，也就是等距連加。像圖6這樣把乘法的意義形象地表示為在數(shù)線上連跳，不僅富有童趣，還有助于學(xué)生對(duì)乘法意義的直觀理解。此處的變式可以采用無(wú)界數(shù)線（如在數(shù)線上僅顯示到10），讓學(xué)生繼續(xù)補(bǔ)充單位，在理解數(shù)線結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成對(duì)乘法的理解。

圖6 借助數(shù)線理解乘法意義

三、活用數(shù)線分析，發(fā)展學(xué)生幾何直觀

數(shù)線是一種非常重要的直觀模型，在解決問(wèn)題中也發(fā)揮著重要的作用。數(shù)線上的數(shù)從小到大排列，形成一段一段的區(qū)間。教師充分利用數(shù)線的區(qū)間性與等分性，可以巧妙地解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。［8］

（一）靈活運(yùn)用數(shù)線表征時(shí)間問(wèn)題

計(jì)算經(jīng)過(guò)時(shí)間是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。靈活運(yùn)用數(shù)線來(lái)呈現(xiàn)時(shí)間軸，能有效幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，理解計(jì)算經(jīng)過(guò)時(shí)間的本質(zhì)。以蘇教版教材為例，“計(jì)算經(jīng)過(guò)時(shí)間”這一內(nèi)容安排在三年級(jí)下冊(cè)“年、月、日”教學(xué)單元，主題圖和時(shí)間軸如圖7所示。

圖7 “計(jì)算經(jīng)過(guò)時(shí)間”主題圖和時(shí)間軸

從圖7可以看出，用數(shù)線表征的時(shí)間軸非常形象，能幫助學(xué)生直觀把握開始時(shí)間、結(jié)束時(shí)間以及經(jīng)過(guò)時(shí)間三者之間的關(guān)系，為學(xué)生搭建可視化的支架，突破教學(xué)難點(diǎn)。同時(shí)也能幫助學(xué)生建立直觀模型，把抽象的時(shí)間問(wèn)題變得直觀、形象，從而發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

（二）創(chuàng)新運(yùn)用數(shù)線解決分段問(wèn)題

分段問(wèn)題在日常生活中應(yīng)用廣泛，如電費(fèi)、水費(fèi)、出租車收費(fèi)、停車費(fèi)等的分段計(jì)費(fèi)。對(duì)學(xué)生而言，分段問(wèn)題呈現(xiàn)的信息較多，解決問(wèn)題的過(guò)程比較復(fù)雜。借助數(shù)線模型能幫助學(xué)生直觀理解分段的具體情況，厘清數(shù)量間的關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。

例如，人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法”教學(xué)單元中的“小數(shù)乘法解決問(wèn)題”就是一個(gè)出租車收費(fèi)的分段問(wèn)題（如圖8）。學(xué)生雖然能理解題意，但由于缺少分段討論的經(jīng)驗(yàn)，他們對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)并不是很清楚。因此，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)線模型（如圖9）來(lái)表征這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，架起數(shù)與量之間的橋梁，幫助學(xué)生直觀理解分段計(jì)費(fèi)的規(guī)則，發(fā)展幾何直觀，積累解決復(fù)雜問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

圖8 “小數(shù)乘法解決問(wèn)題”主題圖

圖9 “小數(shù)乘法解決問(wèn)題”數(shù)線模型

教師還可以設(shè)計(jì)變式練習(xí)，讓學(xué)生為半結(jié)構(gòu)化的雙數(shù)線（即兩條數(shù)線聯(lián)結(jié)，如圖10、圖11）補(bǔ)充信息，從而厘清數(shù)量關(guān)系。

圖10 雙數(shù)線示意圖

圖11 雙數(shù)線簡(jiǎn)化示意圖

綜上所述，數(shù)線是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有效載體，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、運(yùn)算能力、幾何直觀等核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著舉足輕重的作用。除了數(shù)軸，在教學(xué)中還可以運(yùn)用數(shù)線家族中其他各種形式的數(shù)線，充分發(fā)揮數(shù)線的價(jià)值。