□郜舒竹 魏衛(wèi)霞 程曉紅

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）新增了“分?jǐn)?shù)單位”的說(shuō)法，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第二學(xué)段（3～4 年級(jí)）的“內(nèi)容要求”中表述為“感悟分?jǐn)?shù)單位”?！胺?jǐn)?shù)單位”一詞具有明顯的語(yǔ)義模糊與歧義特征，極易讓人產(chǎn)生誤解，因此會(huì)給實(shí)際教學(xué)、教科書(shū)編修及試題編制造成誤導(dǎo)。

一、所指界限不清的“模糊性”

【說(shuō)明】把兩個(gè)同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，通過(guò)比較各自1份面積大小的方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)的大小。然后，進(jìn)一步把這兩個(gè)圓都平均分成6份，通過(guò)“，所以，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系，知道只有在相同單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小。

這段“說(shuō)明”并未說(shuō)明諸多分?jǐn)?shù)中，哪個(gè)或哪些是“分?jǐn)?shù)單位”。作為“比較的大小”的例題，“幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系”應(yīng)當(dāng)是“感悟分?jǐn)?shù)單位”的重要內(nèi)容。由此看來(lái)，“分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系”應(yīng)當(dāng)是指“的關(guān)系”，也就是將這樣分子為1 的分?jǐn)?shù)視為分?jǐn)?shù)單位。按照這樣的理解，可以猜測(cè)，“感悟分?jǐn)?shù)單位”的意義是認(rèn)識(shí)兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位，其大小或順序可能是不同的，而且分母中數(shù)的大小與分?jǐn)?shù)單位的大小關(guān)系是反向的，即分母越大（小），分?jǐn)?shù)單位越?。ù螅?。

再看“說(shuō)明”中的另一句話(huà)：“只有在相同單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小。”通分后分別成為等值的的3 倍是的2倍。這一過(guò)程是將視為比較的標(biāo)準(zhǔn)，因此“說(shuō)明”中的“相同單位”應(yīng)當(dāng)是把視為分?jǐn)?shù)單位。這時(shí)的“感悟分?jǐn)?shù)單位”或許應(yīng)當(dāng)是通過(guò)通分，構(gòu)造共同的分?jǐn)?shù)單位，將分?jǐn)?shù)大小的比較轉(zhuǎn)化為整數(shù)大小的比較，體現(xiàn)所謂分?jǐn)?shù)與整數(shù)的一致性。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的“分?jǐn)?shù)單位”應(yīng)當(dāng)是指“分子為1的分?jǐn)?shù)”，這一點(diǎn)可以在鞏子坤等發(fā)表的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性》一文中得到證實(shí)。該文將整數(shù)中的“1、10、100……”，小數(shù)中的“0.1、0.01、0.001……”，以及分子為1 的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱(chēng)為“計(jì)數(shù)單位”，而且特別說(shuō)明分?jǐn)?shù)中的計(jì)數(shù)單位也叫“分?jǐn)?shù)單位”。［1］

二、語(yǔ)義相離的“歧義性”

“分?jǐn)?shù)單位”不僅具有所指界限不清的模糊性，還可能出現(xiàn)其他另類(lèi)的意義。數(shù)作為表征量的語(yǔ)言，是人思維中生成的對(duì)象，其說(shuō)法與寫(xiě)法的表征形式取決于如何看待單位，也就是如何看待“一”。只有確定了“一”，才能確定“幾（或幾分之幾）”。［3］分?jǐn)?shù)的一般意義是：將一個(gè)“整體（Whole）”平均分成2 份（或3 份），表示其中1 份的數(shù)。如果按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1 中的例9 所說(shuō)，將“一個(gè)圓的面積”視為“整體”，那么將圓平均分成2份（或3 份），表達(dá)其中的1 份的數(shù)就是（如圖1）

圖1 “單位一”與“分?jǐn)?shù)”關(guān)系示意圖

圖2 單位改變示意圖

由此看來(lái)，同樣的量可以用不同的數(shù)表達(dá)，其原因在于單位的不同，就像同樣的6 根筷子，也可以稱(chēng)為3 雙筷子，120 分鐘也可以叫作2 小時(shí)。因此，每一個(gè)數(shù)的出現(xiàn)與存在，都對(duì)應(yīng)并依賴(lài)著一個(gè)單位，這個(gè)單位與對(duì)應(yīng)的數(shù)具有“一對(duì)一”的關(guān)系，單位的確定使得數(shù)隨之確定，單位的改變導(dǎo)致數(shù)的改變。像這樣和數(shù)的出現(xiàn)與存在息息相關(guān)的單位，在分?jǐn)?shù)的語(yǔ)境中通常叫作“單位一”，其意義是“分?jǐn)?shù)所依賴(lài)的單位”。從字面意思來(lái)看，這樣的“單位一”也應(yīng)當(dāng)命名為“分?jǐn)?shù)單位”。由此得到“分?jǐn)?shù)單位”一詞可能出現(xiàn)的兩個(gè)截然不同的意義：

因此，“分?jǐn)?shù)單位”的說(shuō)法就具有了語(yǔ)義相離的“歧義性（Ambiguity）”。［4］在同一語(yǔ)境中的“分?jǐn)?shù)單位”，同時(shí)具有所指界限不清的模糊性和語(yǔ)義相離的歧義性，使得這一詞語(yǔ)失去了確定的意義，極易引起誤解。

三、教學(xué)誤解

“分?jǐn)?shù)單位”一詞并非《課程標(biāo)準(zhǔn)》的原創(chuàng)，有關(guān)其意義以及對(duì)它的誤解的討論由來(lái)已久，早在20世紀(jì)80年代就常見(jiàn)如下的試題［5］：

凡此似是而非的試題及其標(biāo)準(zhǔn)答案，必然會(huì)給一線(xiàn)教師的教學(xué)帶來(lái)困惑，造成是非難辨的混亂現(xiàn)象。為了防止這樣的混亂產(chǎn)生，就需要將“分?jǐn)?shù)單位”的不同意義分離開(kāi)，并針對(duì)不同意義分別命名，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)消除歧義的目的。

四、區(qū)分“單位分?jǐn)?shù)”與“分?jǐn)?shù)單位”

如前所述，“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性表現(xiàn)為：既有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴(lài)的單位的意義，也有分子是1的分?jǐn)?shù)的意義。通過(guò)歷史考察可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)分子為1 的分?jǐn)?shù)的研究在古代埃及的紙草書(shū)中就早有記載，但通用的名稱(chēng)是“單位分?jǐn)?shù)（Unit Fraction）”，而不是“分?jǐn)?shù)單位”。［6］

數(shù)學(xué)中對(duì)單位分?jǐn)?shù)的研究，意在將任何一個(gè)分?jǐn)?shù)分解為互不相同的單位分?jǐn)?shù)之和，比如可以分解為兩個(gè)互異單位分?jǐn)?shù)的和，即將此類(lèi)內(nèi)容應(yīng)用于教學(xué)中，通常是為了幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)運(yùn)算與分?jǐn)?shù)意義的聯(lián)系，避免單純的程序化計(jì)算。［7］

像這樣將分?jǐn)?shù)拆分為單位分?jǐn)?shù)的過(guò)程，并非依據(jù)分?jǐn)?shù)所謂的算法和算理，而是依據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，將分?jǐn)?shù)自身所依賴(lài)的“單位一”與分子為1 的單位分?jǐn)?shù)聯(lián)系在一起，利用示意圖建立了不同分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系使得分?jǐn)?shù)自身的意義與其運(yùn)算意義形成了一致性（如圖5）。

圖5 分?jǐn)?shù)單位與單位分?jǐn)?shù)關(guān)系示意圖

如果把分子為1的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù)，同時(shí)把分?jǐn)?shù)單位視為分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴(lài)的“單位一”，就可以消除“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性。單位分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)單位二者的關(guān)系可以概括為：?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位“分（Splitting）”得的產(chǎn)物，是單位的單位。按照杜威（John Dewey，1859—1952）與人合著的《數(shù)的心理學(xué)》一書(shū)中關(guān)于單位的論述，如果把分?jǐn)?shù)單位視為分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在的“原始單位（Primary Unit）”，那么單位分?jǐn)?shù)就是原始單位衍生出來(lái)的“衍生單位（Derived Unit）”。［8］

數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視數(shù)與單位的一致性，任何實(shí)數(shù)（包括分?jǐn)?shù)）所依賴(lài)的單位都是“一”，這樣的單位具有抽象性，是思維的產(chǎn)物，不同的視角會(huì)生成不同的單位。任何實(shí)數(shù)都是與單位的“比（Ratio）”。1000 這個(gè)數(shù)表示的是1000 個(gè)一，如果把“100”視為“一”，那么“1000”就隨之改變?yōu)椤?0 個(gè)一”，這樣的單位轉(zhuǎn)換實(shí)質(zhì)依賴(lài)的是比例關(guān)系“1000∶100=10∶1”。

同樣，作為圓周率的無(wú)理數(shù)π，表達(dá)的是將圓的直徑視為單位時(shí)圓的周長(zhǎng)，依賴(lài)的是比例關(guān)系：圓周長(zhǎng)∶圓直徑=π∶1。類(lèi)似于此，如果把正方形邊長(zhǎng)視為單位，這個(gè)正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度就是依賴(lài)的比例關(guān)系為：正方形對(duì)角線(xiàn)∶正方形邊長(zhǎng)=從這些比例關(guān)系中，便能夠看出“原始單位”與“衍生單位”的因果關(guān)系。

把分子為1 的分?jǐn)?shù)從“分?jǐn)?shù)單位”的所指中分離出來(lái)，命名為“單位分?jǐn)?shù)”，就可以實(shí)現(xiàn)任何分?jǐn)?shù)有且僅有一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。這樣的分?jǐn)?shù)單位可以沿襲“單位一”的稱(chēng)謂，這與美國(guó)教師聯(lián)合會(huì)2000年發(fā)布的《學(xué)校數(shù)學(xué)原理與標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的“單位整體（Unit Whole）”意義一致［9］，其實(shí)質(zhì)就是分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴(lài)的單位，避免了“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性。

五、結(jié)束語(yǔ)

最后還需指出，《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1 的例9 中提到，把兩個(gè)同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，表示的大小關(guān)系，其中“兩個(gè)”的說(shuō)法似乎也有不妥之處。

圖6 《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1中的例9示意圖

圖7 學(xué)生作品示意圖

總之，課程標(biāo)準(zhǔn)代表的是國(guó)家意志，是教科書(shū)編修的依據(jù)，是教師教學(xué)實(shí)踐的指南。課程標(biāo)準(zhǔn)中的字字句句對(duì)學(xué)校教育與教學(xué)的影響不言而喻。一線(xiàn)教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的踐行，需要以理解為前提，任何形式的誤解都會(huì)對(duì)實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生負(fù)面的影響。因此，“謹(jǐn)防誤解”應(yīng)當(dāng)成為時(shí)下教師培訓(xùn)與教學(xué)研究的重要話(huà)題。