金佳妮,齊加齊,劉 兵

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

害蟲是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的主要危害之一.化學(xué)控制和生物控制是最常用的害蟲控制方法,在實(shí)際應(yīng)用中,通常將兩種控制策略結(jié)合起來綜合治理害蟲.國內(nèi)外很多學(xué)者利用數(shù)學(xué)模型研究害蟲控制問題:有學(xué)者假設(shè)殺蟲劑瞬時(shí)成比例殺死害蟲[1-3],實(shí)際上,殺蟲劑的作用并不是瞬時(shí)完成的,而是具有一定的殘留及滯后效應(yīng);也有學(xué)者引入殺蟲劑作用函數(shù)來模擬殺蟲劑產(chǎn)生的殘留與滯后效應(yīng)[4-5].文獻(xiàn)[1-5]中均假設(shè)天敵投放量為常數(shù).事實(shí)上,由于天敵資源的有限性,天敵的投放量需要依賴現(xiàn)有天敵的數(shù)量,非線性地釋放天敵[6].考慮多次重復(fù)使用同一種殺蟲劑將導(dǎo)致害蟲對(duì)殺蟲劑產(chǎn)生抗藥性,學(xué)者們進(jìn)一步研究了具有抗藥性發(fā)展的害蟲綜合治理模型[7-8].基于上述研究背景,本文建立并研究一類資源有限下具有抗藥性發(fā)展的害蟲綜合治理切換模型.

1 模型的建立

本文考慮資源有限條件下天敵的投放量依賴于現(xiàn)有天敵的數(shù)量,假設(shè)在每個(gè)年度周期內(nèi),只在害蟲爆發(fā)的時(shí)間內(nèi)使用殺蟲劑,在使用殺蟲劑和不使用殺蟲劑的不同時(shí)段,天敵對(duì)害蟲的捕食率函數(shù)、轉(zhuǎn)化率不同,考慮殺蟲劑的殘留作用,建立資源有限的害蟲綜合治理切換模型

(1)

bi(t)=mie-δi(t-(n+l)T-kTp),(n+l)T+kTp≤t≤(n+l)T+(k+1)Tp,k=1,2,…,p

其中,mi>0(i=1,2)分別表示殺蟲劑對(duì)害蟲和天敵的非瞬時(shí)殺死率,δi>0(i=1,2)分別表示殺蟲劑對(duì)害蟲和天敵的衰減率.

本文將害蟲種群分為兩類:一類是對(duì)殺蟲劑敏感的害蟲xs(t),另一類是對(duì)殺蟲劑具有抗藥性的害蟲xr(t).設(shè)在t時(shí)刻敏感害蟲xs(t)的比例為q(t),即

則抗藥性害蟲xr(t)的比例為1-q(t).設(shè)初始時(shí)間敏感害蟲的比例為q(0)=q0,并且假設(shè)不噴灑殺蟲劑時(shí),即t∈(nT,(n+l)T]時(shí),害蟲的抗藥性不發(fā)展.

因此,當(dāng)t∈((n+l)T,(n+1)T]時(shí),敏感害蟲xs(t)和抗藥性害蟲xr(t)分別滿足方程

這樣,當(dāng)t∈((n+l)T,(n+1)T]時(shí),害蟲種群增長模型就變?yōu)?/p>

通過計(jì)算,得到

(2)

所以,可以得到資源有限下具有抗藥性發(fā)展的害蟲綜合治理切換模型

(3)

其中,q(t)滿足式(2).

通過計(jì)算,q(t)在任意區(qū)間(nT,(n+1)T](n∈N)的解析解為

(4)

其中,

2 害蟲滅絕閾值的分析

首先,考慮系統(tǒng)(3)的子系統(tǒng)

(5)

可以得到如下定理:

定理1如果θ≠0,子系統(tǒng)(5)有一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的周期解

(6)

其中,

證明通過對(duì)系統(tǒng)(5)中的方程進(jìn)行積分,并將所得到的式子進(jìn)行迭代計(jì)算,可得

令

Yn=y(nT+)

有

(7)

當(dāng)θ≠0時(shí),方程(7)有唯一的正不動(dòng)點(diǎn)

那么

同時(shí)

證明因?yàn)镽n<1,所以存在充分小的ε,且ε>0,使得

由于t∈(nT,(n+1)T]時(shí),

因此, 當(dāng)t→∞時(shí),x(t)→K+ε.

又由系統(tǒng)(3)可得

考慮如下脈沖微分方程

為方便起見,不妨假設(shè)上式對(duì)所有t≥0均成立,則有

由脈沖微分方程比較定理,當(dāng)t∈(nT,(n+1)T]時(shí),有

x(nT+)χ

x(nT+)≤x(0+)χn

由于χ<1,進(jìn)而,當(dāng)n→∞時(shí),x(nT+)→0,因此,當(dāng)t→∞時(shí),x(t)→0

對(duì)于兩個(gè)不等式的左端由脈沖微分方程比較定理可得,當(dāng)y(t)≥N(t),且t→∞時(shí),N(t)→y*(t).對(duì)于上面兩個(gè)不等式的右端,考慮如下脈沖微分方程

3 數(shù)值模擬與結(jié)論

本文研究了一類資源有限下具有抗藥性發(fā)展的害蟲綜合治理切換模型,通過理論分析得出害蟲滅絕的閾值,證明了害蟲滅絕周期解是全局吸引的.下面通過數(shù)值模擬研究模型中關(guān)鍵參數(shù)對(duì)害蟲滅絕閾值的影響.

由定理2可知,害蟲滅絕的閾值依賴于許多參數(shù),將其中的參數(shù)取值為r=0.5,K=10,α1=0.2,α2=0.25,d=0.05,m2=0.25,σ=10,θ=15,δ1=0.1,δ2=0.25,q0=0.99,l=0.1,p=2,ω=2,x0=8,y0=5,c1=0.1,c2=0.1, 其他參數(shù)如圖1、圖2所示.

圖1 T=2時(shí)Rn隨著n的變化趨勢(shì)圖 圖2 T=2,m1=0.6時(shí)害蟲、天敵的時(shí)間序列圖

圖1模擬了殺蟲劑對(duì)害蟲的非瞬時(shí)殺死率m1取不同數(shù)值的情況,控制策略次數(shù)n對(duì)害蟲滅絕閾值Rn的影響.可以看出,Rn是關(guān)于n的遞增函數(shù).當(dāng)施行控制次數(shù)較少時(shí),害蟲沒有產(chǎn)生抗藥性,此時(shí)殺蟲劑對(duì)害蟲的非瞬時(shí)殺死率m1越大,殺蟲劑對(duì)害蟲起的作用越強(qiáng).但是,隨著施行控制次數(shù)的增多,害蟲的抗藥性逐漸發(fā)展,并且m1越大,抗藥性發(fā)展得越快,最終Rn的值將大于1,即害蟲最終會(huì)爆發(fā)(見圖2).

研究發(fā)現(xiàn),多次噴灑同一種殺蟲劑會(huì)使害蟲產(chǎn)生抗藥性,并導(dǎo)致害蟲種群爆發(fā).因此,在以后的研究中,可以討論如何切換殺蟲劑或彈性釋放天敵來控制害蟲.