胡永旭

摘 要：數(shù)值分析課程是高等院校機(jī)械類專業(yè)的公共類課程或?qū)I(yè)選修類課程，提高數(shù)值分析課程教學(xué)質(zhì)量有助于幫助學(xué)生獲取利用數(shù)值計(jì)算方法解決工程實(shí)際問題的能力。針對數(shù)值分析課程與機(jī)械類專業(yè)課程融合不足的問題進(jìn)行了探討，論述了以解決機(jī)械學(xué)科專業(yè)問題為導(dǎo)向，以數(shù)學(xué)軟件為工具，以機(jī)械學(xué)科專業(yè)知識(shí)融合為教學(xué)目的的數(shù)值分析課程教學(xué)改革的多項(xiàng)舉措。以理論力學(xué)和汽車試驗(yàn)技術(shù)為例講解了面向機(jī)械專業(yè)的數(shù)值分析課程教學(xué)改革方法，以支持向量機(jī)的求解問題講解了數(shù)值分析課程如何與學(xué)科前沿理論知識(shí)結(jié)合。最后倡導(dǎo)了以學(xué)科融合為主，通過動(dòng)畫展示和引入學(xué)科前沿知識(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)值分析興趣的教學(xué)理念。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析 學(xué)科融合 教學(xué)改革 動(dòng)畫教學(xué)

Teaching reform and practice of numerical analysis course for integration of mechanical disciplines

Hu Yongxu

Abstract：The course of numerical analysis is a public course or a professional elective course of engineering subject in colleges and universities， improving the teaching quality of numerical analysis course is helpful to help students acquire the ability to solve practical engineering problems by using numerical calculation method. This paper discusses the integration of numerical analysis course and other professional courses， and discusses several measures of numerical analysis course teaching reform which is oriented to solve the professional problems of related disciplines， takes mathematical software as the tool， and takes disciplinary integration as the purpose of teaching. Taking theoretical mechanics and automobile test technology as examples， the teaching reform method of numerical analysis course for mechanical specialty was explained， the purpose of introducing frontier theory knowledge is explained by solving the problem of support vector machine. Finally， it advocates the teaching concept of integrating disciplines， stimulating students' interest in learning numerical analysis through animation display and introducing frontier knowledge of disciplines.

Key words：Numerical analysis; Integration of disciplines; Teaching reform; Teaching of animation

1 引言

數(shù)值分析課程是高等院校機(jī)械專業(yè)的公共類課程或?qū)I(yè)選修類課程，該課程著重于鍛煉學(xué)生將復(fù)雜非線性數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為簡單線性數(shù)學(xué)問題的能力，并要求學(xué)生能夠利用迭代或近似方法對問題進(jìn)行求解。同時(shí)，數(shù)值分析課程也是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力的一門課程，完成數(shù)值分析課程的學(xué)習(xí)后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠用數(shù)學(xué)語言描述機(jī)械專業(yè)的復(fù)雜問題，并且能夠構(gòu)造數(shù)值計(jì)算算法和利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行問題的求解。但傳統(tǒng)數(shù)值分析課程的教學(xué)一般僅針對數(shù)值求解問題本身，而未與機(jī)械專業(yè)中的其他課程產(chǎn)生聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生無法使用數(shù)值分析工具解決機(jī)械專業(yè)的實(shí)際工程問題。將各專業(yè)學(xué)科進(jìn)行交叉融合，使大學(xué)教育形成一個(gè)有機(jī)整體一直是教育者們關(guān)注的問題，各研究者也提出了很多相關(guān)的教育理念[1，2]，但數(shù)值分析課程與機(jī)械學(xué)科專業(yè)知識(shí)的學(xué)科融合教學(xué)改革研究稍顯不足。

2 數(shù)值分析課程的特點(diǎn)及教學(xué)中的不足

數(shù)值分析課程主要包含了插值計(jì)算，擬合分析，數(shù)值積分與微分，非線性與線性方程組求解，常微分方程初值問題的數(shù)值解法等內(nèi)容，其特點(diǎn)是：（1）公式推導(dǎo)較多，推導(dǎo)過程較復(fù)雜且需要一定抽象思維；（2）算法構(gòu)建基于近似和等效，將非線性復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為了線性問題；（3）算法便于在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn)。這些特點(diǎn)決定了數(shù)值分析是一門知識(shí)豐富、理論抽象、實(shí)踐性非常強(qiáng)的課程。

但是從現(xiàn)狀來看，數(shù)值分析課程教學(xué)存在以下方面的問題：（1）教學(xué)內(nèi)容仍偏重于理論。受到課時(shí)數(shù)的限制，數(shù)值分析課程一般都將教學(xué)重點(diǎn)放在數(shù)值計(jì)算的理論講解方面，應(yīng)用數(shù)值分析理論進(jìn)行建模和求解的實(shí)踐教學(xué)課時(shí)較少，其結(jié)果是學(xué)生僅僅初步了解了數(shù)值計(jì)算的理論原理，但沒有通過深入實(shí)踐學(xué)會(huì)如何提出問題和解決問題。2）理論教學(xué)沒有和機(jī)械專業(yè)其他課程的理論知識(shí)融合，無法形成學(xué)科體系。對于機(jī)械專業(yè)學(xué)生來說，數(shù)值計(jì)算算法是解決本學(xué)科專業(yè)問題的有利工具，數(shù)值計(jì)算方法和專業(yè)中的其他理論問題存在著天然聯(lián)系，但是目前針對數(shù)值計(jì)算的教學(xué)沒有能夠?qū)C(jī)械專業(yè)課程的理論知識(shí)融入到教學(xué)內(nèi)容中，使得數(shù)值分析課程的教學(xué)內(nèi)容空洞且沒有著力點(diǎn)。3）實(shí)踐課題與現(xiàn)實(shí)工程問題聯(lián)系不緊密，探討問題過于數(shù)學(xué)模型化。數(shù)值分析針對的問題是實(shí)際工程中所面對的問題，但是目前課程教學(xué)實(shí)踐的內(nèi)容仍是基于一般數(shù)學(xué)問題（方程，方程組，微分方程，積分求解等），沒有將實(shí)際工程問題與數(shù)值求解方法結(jié)合起來，導(dǎo)致實(shí)踐內(nèi)容無法激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，實(shí)踐效果較差。

對于數(shù)值分析課程目前存在的一些問題和不足，許多教育工作者提出了解決方法并進(jìn)行了方法實(shí)踐，如以數(shù)學(xué)建模為實(shí)踐內(nèi)容進(jìn)行數(shù)值分析課程教學(xué)改革，加強(qiáng)理論教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)的聯(lián)系，或在教學(xué)過程中加入數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生了解學(xué)科的發(fā)展過程等[3-6]。

3 以學(xué)科融合問題為導(dǎo)向構(gòu)筑理論教學(xué)內(nèi)容

從數(shù)值分析課程的特點(diǎn)來看，擬合分析與機(jī)械材料的疲勞曲線解析表達(dá)存在一定聯(lián)系，常微分方程數(shù)值問題與機(jī)械專業(yè)的力學(xué)相關(guān)課程和專業(yè)知識(shí)聯(lián)系較緊密，其他章節(jié)課程也都和學(xué)科中其他課程的專業(yè)理論知識(shí)存在一定關(guān)聯(lián)，因此可以以學(xué)科融合問題為導(dǎo)向構(gòu)筑理論教學(xué)內(nèi)容。

以汽車外形設(shè)計(jì)為例，如圖1所示，當(dāng)汽車外形的關(guān)鍵點(diǎn)的尺寸[（x1，y1），…， （x1，y1）]確定后，其余位置的汽車外形輪廓點(diǎn)坐標(biāo)可以用三次樣條插值方法進(jìn)行計(jì)算，得到的設(shè)計(jì)輪廓具有過渡平滑，流線型強(qiáng)的特點(diǎn)，可以輔助工程師進(jìn)行汽車輪廓設(shè)計(jì)。此外，擬合方法可以幫助學(xué)生以函數(shù)形式理解主尺寸選用的原則；非線性方程組求解方法可應(yīng)用于優(yōu)化問題；微分方程的初值問題可以用于求解理論力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)問題等。

學(xué)科融合的根本目的在于加強(qiáng)學(xué)生對機(jī)械專業(yè)知識(shí)的理解，起到溫故而知新的作用，同時(shí)為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供平臺(tái)。由于學(xué)科融合的本質(zhì)是鍛煉大學(xué)生的知識(shí)綜合運(yùn)用能力，因此學(xué)科融合后的教學(xué)內(nèi)容既有利于學(xué)生對數(shù)值分析知識(shí)的理解，又有利于機(jī)械專業(yè)的學(xué)生加強(qiáng)對專業(yè)理論知識(shí)的掌握，非常全面，起到了綜合訓(xùn)練的作用。大學(xué)生的專業(yè)課程和未來的工作內(nèi)容有著緊密聯(lián)系，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，因此面向多學(xué)科融合的數(shù)值分析課程能夠幫助學(xué)生在未來更好解決實(shí)際工作問題。將數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容與機(jī)械專業(yè)的其他理論緊密結(jié)合也為學(xué)生的仿真分析學(xué)習(xí)提供了有力的平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)和科研的良性互動(dòng)，促進(jìn)了教學(xué)和實(shí)踐的聯(lián)系。

4 將求解過程用動(dòng)畫展示，幫助學(xué)生理解，提高學(xué)生興趣

以往數(shù)值分析計(jì)算的求解結(jié)果都是以曲線或圖表進(jìn)行展示，該種方法有利于學(xué)生理解結(jié)果和算法之間的內(nèi)在聯(lián)系，卻不利于提高學(xué)生對工程問題解決方案的感性認(rèn)識(shí)。例如多連桿機(jī)構(gòu)的尺寸設(shè)計(jì)是機(jī)械專業(yè)理論力學(xué)課程的基本教學(xué)內(nèi)容，專業(yè)課主要是教學(xué)生如何使用解析方法求解各連桿的尺寸，但是由于缺少動(dòng)畫展示，學(xué)生對確定尺寸后的多連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性沒有感性認(rèn)識(shí)。

在汽車試驗(yàn)技術(shù)這門課中，教材用車身動(dòng)力學(xué)頻響曲線（如圖3所示）解釋車身的共振區(qū)間以及不同頻率激勵(lì)力下的車身振動(dòng)特征，但是學(xué)生無法通過教材真實(shí)感受到不同頻率激勵(lì)力作用下汽車的振動(dòng)位移，教學(xué)效果較差。如圖2所示，汽車的垂向振動(dòng)特性和俯仰振動(dòng)特性可以用彈簧-質(zhì)量等效動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行描述，描述微分方程為式（1）。

式中：k1為前懸架剛度，k2為后懸架剛度，M為車身質(zhì)量，J為車身俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，l1為前懸掛到汽車車身質(zhì)心的距離，l2為后懸掛到汽車車身質(zhì)心的距離，z為車身垂直運(yùn)動(dòng)距離，θ為車身俯仰角度，F(xiàn)z為是的車身發(fā)生垂向運(yùn)動(dòng)的作用力，Mθ為使車身發(fā)生俯仰運(yùn)動(dòng)的作用力矩。在給定輸入條件下，微分方程（1）可以應(yīng)用數(shù)值計(jì)算中的歐拉法，梯形公式，龍格庫塔法等算法求解。在使用數(shù)值方法進(jìn)行求解時(shí)，輸入激勵(lì)力和力矩的頻率可以設(shè)置為如式（2）所示的連續(xù)變化，這樣既可以幫助學(xué)生理解用掃頻法獲取系統(tǒng)函數(shù)的原理，又可以通過動(dòng)畫演示不同激勵(lì)頻率下車身的振動(dòng)幅度讓學(xué)生對汽車的共振有更深刻的理解。

現(xiàn)在很多的數(shù)學(xué)軟件（MATLAB， Maple等）都具有制作動(dòng)畫的功能，借助動(dòng)畫縮放功能，學(xué)生能夠直觀感受地到車身的微幅振動(dòng)的變化，更有利于學(xué)生理解頻響曲線與實(shí)際車身振動(dòng)的聯(lián)系。除了能更好地幫助學(xué)生理解機(jī)械專業(yè)的知識(shí)以外，制作動(dòng)畫的過程還極大地鍛煉了學(xué)生的編程能力。動(dòng)畫制作訓(xùn)練了學(xué)生的程序規(guī)劃，函數(shù)調(diào)用，程序調(diào)試等技能，對于學(xué)生掌握計(jì)算機(jī)編程語言，學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)值分析算法十分有益。

5 引入學(xué)科前沿理論知識(shí)，深化學(xué)科認(rèn)識(shí)

課程教學(xué)內(nèi)容的更新和改革已成為大學(xué)教學(xué)改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容，但總體上看數(shù)值分析課程教學(xué)內(nèi)容的更新速度滯后于機(jī)械學(xué)科前沿成果的發(fā)展速度，沒有將最新的機(jī)械學(xué)科理論知識(shí)與數(shù)值算法緊密結(jié)合起來。目前數(shù)值分析算法已經(jīng)成為機(jī)械領(lǐng)域設(shè)計(jì)、材料、故障診斷等問題求解的必要手段，如有限元分析，動(dòng)力學(xué)分析，人工智能的計(jì)算問題都與數(shù)值算法息息相關(guān)。例如在人工智能領(lǐng)域，支持向量機(jī)技術(shù)已經(jīng)成為解決分類決策問題的一種重要方法，支持向量機(jī)的數(shù)學(xué)公式表述可以是不等式條件下的條件極值問題，即：

式中：γ為樣本點(diǎn)到分類超平面的距離，y為樣本的決策屬性值，為±1，w為分類超平面的系數(shù)，是一個(gè)n維的向量，b是分類超平面的參數(shù)標(biāo)量。引入拉格朗日乘數(shù)后，式（3）的函數(shù)表達(dá)式為：

對于僅含等式約束的條件極值問題，可以直接由式（4）對各變量求偏導(dǎo)數(shù)獲得問題的解，但是對于含有不等式約束的條件極值問題，則必須用KKT條件將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題再進(jìn)行求解。引入KKT條件后，式（4）的求解方程為：

關(guān)于式（5）的求解，當(dāng)問題的維度較低或樣本數(shù)量較少時(shí)，可以用牛頓迭代法，但是當(dāng)樣本較多或維度較高時(shí)，需要將式（4）化為對偶問題，再利用KKT條件求解?；癁閷ε紗栴}后，式（4）的求解方程為：

目前數(shù)值分析課程中的求解方法已經(jīng)不能滿足式（6）的快速求解，而必須使用啟發(fā)式（SMO）算法進(jìn)行求解。啟發(fā)式 算法由微軟研究院提出，是目前運(yùn)行速度最快的二次規(guī)劃優(yōu)化算法，特別適合線性支持向量機(jī)模型的學(xué)習(xí)或數(shù)據(jù)稀疏場景。教師通過講解支持向量機(jī)問題可以引入新的數(shù)值求解方法，通過對新的數(shù)值求解方法的講解有利于為學(xué)生拓寬數(shù)值計(jì)算和計(jì)算機(jī)方面的知識(shí)，深化對人工智能的理解和認(rèn)識(shí)。

通過將機(jī)械專業(yè)前言理論知識(shí)與數(shù)值分析課程教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行融合可以極大地拓寬學(xué)生的科學(xué)視野，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，更有助于學(xué)生未來的發(fā)展。因此，教師可以基于自己的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，在教學(xué)中通過實(shí)例講解適當(dāng)?shù)貙⒁恍┬碌臋C(jī)械專業(yè)成果和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)貫徹到課堂教學(xué)和實(shí)踐中，這既保證了教學(xué)內(nèi)容與學(xué)科前沿的緊密結(jié)合性，又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

6 結(jié)語

作為數(shù)學(xué)理論和計(jì)算機(jī)科學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，數(shù)值分析算法和學(xué)科專業(yè)知識(shí)存在著緊密的聯(lián)系。針對目前數(shù)值分析課程存在的與機(jī)械專業(yè)知識(shí)聯(lián)系不緊密，結(jié)果展示方法單一，教學(xué)內(nèi)容滯后于機(jī)械學(xué)科前沿理論的問題進(jìn)行教學(xué)改革是必要的。面向多學(xué)科融合的數(shù)值分析課程教學(xué)改革與實(shí)踐的目的是增強(qiáng)數(shù)值分析課程與機(jī)械專業(yè)課程的聯(lián)系，借助數(shù)值計(jì)算課程將機(jī)械專業(yè)大學(xué)課程形成統(tǒng)一的整體，達(dá)到優(yōu)化教學(xué)過程，提升教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生良好互動(dòng)的目的。

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